Гиперболические функции через экспоненту. Справочные данные по гиперболическим функциям – свойства, графики, формулы

Ответ: Гиперболи́ческие фу́нкции - семейство элементарных функций, выражающихся через экспоненту и тесно связанных с тригонометрическими функциями. Гиперболические функции были введены Винченцо Риккати (Vincenzo Riccati) в 1757 году («Opusculorum», том I). Он получил их из рассмотрения единичной гиперболы.

Дальнейшее исследование свойств гиперболических функций было проведено Ламбертом. Гиперболические функции часто встречаются при вычислении различных интегралов. Некоторые интегралы от рациональных функций и от функций, содержащих радикалы, довольно просто выполняются с помощью замен переменных с использованием гиперболических функций. Производные гиперболических функций легко находятся, поскольку гиперболические функции являются комбинациями Например, гиперболические синус и косинус определяются как Производные этих функций имеют вид Гиперболические функции задаются следующими формулами: 1)гиперболический синус: (в зарубежной литературе обозначается sinx); 2)гиперболический косинус: (в зарубежной литературе обозначается cosx); 3)гиперболический тангенс: (в зарубежной литературе обозначается tanx); 4)гиперболический котангенс: ; 5)гиперболические секанс и косеканс: Геометрическое определение: Ввиду соотношения гиперболические функции дают параметрическое представление гиперболы При этом аргумент t=2S , где S - площадь криволинейного треугольника OQR , взятая со знаком «+», если сектор лежит выше оси OX , и «−» в противоположном случае. Это определение аналогично определению тригонометрических функций через единичную окружность, которое тоже можно построить подобным образом. Связь с тригонометрическими функциями: Гиперболические функции выражаются через тригонометрические функции от мнимого аргумента. Аналитические свойства: Гиперболический синус и гиперболический косинус аналитичны во всей комплексной плоскости, за исключением существенно особой точки на бесконечности.

Гиперболический тангенс аналитичен везде, кроме полюсов в точках , где n - целое. Вычеты во всех этих полюсах равны единице. Гиперболический котангенс аналитичен везде, кроме точек вычеты его в этих полюсах также равны единице.

Таблица производной.

Ответ: Таблица производных (которые в основном нам нужны):

46)Производная функции – заданной параметрически.

Ответ: Пусть задана зависимость двух переменных x и y от параметра t, изменяющегося в пределах от Пусть функция имеет обратную: Тогда мы можем, взяв композицию функций получить зависимость y от x: Зависимость величины y от величины x, заданной параметрически, можно выразить через производные функций поскольку и, по формуле производной обратной функции, где - значение параметра, при котором получается интересующее нас при вычислении производной значение x. Заметим, что применение формулы приводит нас к зависимости между снова выраженной в виде параметрической зависимости: второе из этих соотношений - то же, что участвовало в параметрическом задании функции y(x) . Несмотря на то, что производная не выражена через в явном виде, это не мешает решать нам задачи, связанные с нахождением производной, найдя соответствующее значение параметра t. Покажем это на следующем примере. Пример 4.22: Пусть зависимость между x и y задана параметрически следующими формулами: Найдём уравнение касательной к графику зависимости y(x) в точке Значения получаются, если взять t=1. Найдём производные x и y по параметру t: Поэтому При t=1 получаем значение производной это значение задаёт угловой коэффициент k искомой касательной. Координаты точки касания заданы в условии задачи. Значит, уравнение касательной таково: Заметим, что исходя из полученной параметрической зависимости мы можем отыскать вторую производную функции y по переменной x:

Гиперболические функции встречаются в механике, электротехнике и других технических дисциплинах. Многие формулы для гиперболических функций похожи на формулы для тригонометрических функций, кроме свойства ограниченности.

№	Функция	Название	Производная
1.		гиперболический синус
2.		гиперболический косинус
3.		гиперболический тангенс
4.		гиперболический котангенс

Формулы для гиперболических функций

1. .

Доказательство. Рассмотрим искомую разность

. .

Доказательство. Рассмотрим произведение

Рассмотрим произведение
.

Сложим два произведения и приведем подобные:

Соединяя начало и конец, получим доказываемое равенство: .

Ещё много других свойств гиперболических функций похожих на свойства тригонометрических функций, которые доказываются аналогично.

Докажем формулы для производных гиперболических функций.

1. Рассмотрим гиперболический синус .

При нахождении производной константу выносим за знак производной. Далее применяем свойство о производной разности двух функций и . Находим производную функции по таблице производных: . Производную функции ищем как производную сложной функции
.

Поэтому, производная
.

Соединяя начало и конец, получим доказываемое равенство: .

2. Рассмотрим гиперболический косинус .

Полностью применяем предыдущий алгоритм, только вместо свойства о производной разности двух функций и применяем свойство о производной суммы двух этих функций.
.

Соединяя начало и конец, получим доказываемое равенство: .

3. Рассмотрим гиперболический тангенс
.

Находим производную по правилу отыскания производной дроби.

4. Производную гиперболического котангенса

можно найти как производную сложной функции
.

Соединяя начало и конец, получим доказываемое равенство: .

Дифференциал функции

Пусть функция – дифференцируема в точке , тогда её приращение этой функции в точке , соответствующее приращению аргумента , может быть представлено в виде

где – некоторое число, не зависящее от , а – функция аргумента , которая является бесконечно малой при .

Таким образом, приращение функции представляет собой сумму двух бесконечно малых слагаемых и . Было показано, что второе слагаемое является бесконечно малой функцией более высокого порядка, чем т.е. (см. 8.1). Поэтому первое слагаемое является главной линейной частью приращения функции . В замечании 8.1. получена другая формула (8.1.1) для приращения функции , а именно: . (8.1.1)

Определение 8.3.Дифференциалом функции в точке называется главная линейная частью её приращения, равная произведению производной в этой точке на произвольное приращение аргумента , и обозначается (или ):

(8.4)

Дифференциал функции называют также дифференциалом первого порядка.

Под дифференциалом независимой переменной понимается любое, независящее от , число. Чаще всего, в качестве этого числа берётся приращение переменной , т.е. . Это согласуется с правилом(8.4) нахождения дифференциала функции

Рассмотрим функцию и найдем её дифференциал.

Т.к. производная . Таким образом, получили: и дифференциал функции можно находить по формуле

. (8.4.1)

Замечание 8.7. Из формулу (8.4.1) следует, что.

Таким образом, запись можно понимать не только как обозначение для производной , но и как отношение дифференциалов зависимого и независимого переменных.

8.7. Геометрический смысл дифференциала функции

Пусть к графику функции проведена (см. рис. 8.1) касательная . Точка находится на графике функции и имеет абсциссу – . Даем произвольное приращение , такое, чтобы точка не вышла из области определения функции .

Рисунок 8.1 Изображение графика функции

Точка имеет координаты . Отрезок . Точка лежит на касательной к графику функции и имеет абсциссу – . Из прямоугольного следует, что , где угол – угол между положительным направлением оси и касательной, проведенной к графику функции в точке . По определению дифференциала функции и геометрического смысла производной функции в точке , делаем вывод, что . Таким образом, геометрический смысл дифференциала функции заключается в том, что дифференциал представляет собойприращение ординаты касательной к графику функции в точке .

Замечание 8.8. Дифференциал и приращение для произвольной функции , вообще говоря, не равны между собой.В общем случае, разность между приращением и дифференциалом функции является бесконечно малой высшего порядка малости, чем приращение аргумента. Из определения 8.1следует, что
, т.е. .

На рисунке 8.1точка лежит на графике функции и имеет координаты
. Отрезок .

На рисунке 8.1 выполнено неравенство , т.е. . Но возможны случаи, когда справедливо противоположное неравенство . Это выполняется для линейной функции и для выпуклой вверх функции.

Справочные данные по гиперболическим функциям. Определения, графики и свойства гиперболического синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Формулы сумм, разностей и произведений. Производные, интегралы, разложения в ряды. Выражения через тригонометрические функции.

Определения гиперболических функций, их области определений и значений

sh x - гиперболический синус

, -∞ < x < +∞; -∞ < y < +∞ .

ch x - гиперболический косинус

, -∞ < x < +∞; 1 ≤ y < +∞ .

th x - гиперболический тангенс

, -∞ < x < +∞; - 1 < y < +1 .

cth x - гиперболический котангенс

X ≠ 0 ; y < -1 или y > +1 .

Графики гиперболических функций

График гиперболического синуса y = sh x

График гиперболического косинуса y = ch x

График гиперболического тангенса y = th x

График гиперболического котангенса y = cth x

Формулы с гиперболическими функциями

Связь с тригонометрическими функциями

sin iz = i sh z ; cos iz = ch z
sh iz = i sin z ; ch iz = cos z
tg iz = i th z ; ctg iz = - i cth z
th iz = i tg z ; cth iz = - i ctg z
Здесь i - мнимая единица, i 2 = -1 .

Применяя эти формулы к тригонометрическим функциям, получаем формулы, связывающие гиперболические функции.