Трапеция — это четырехугольник, имеющий две параллельные стороны, являющиеся основаниями и две не параллельные стороны, являющиеся боковыми сторонами.

Также встречаются такие названия, как равнобокая или равнобочная .

— это трапеция, у которой углы при боковой стороне прямые.

Элементы трапеции

a, b — основания трапеции (a параллельно b ),

m, n — боковые стороны трапеции,

d 1 , d 2 — диагонали трапеции,

h — высота трапеции (отрезок, соединяющий основания и при этом перпендикулярен им),

MN — средняя линия (отрезок, соединяющий середины боковых сторон).

Площадь трапеции

1. Через полусумму оснований a, b и высоту h : S = \frac{a + b}{2}\cdot h
2. Через среднюю линию MN и высоту h : S = MN\cdot h
3. Через диагонали d 1 , d 2 и угол (\sin \varphi ) между ними: S = \frac{d_{1} d_{2} \sin \varphi}{2}

Свойства трапеции

Средняя линия трапеции

Средняя линия параллельна основаниям, равна их полусумме и разделяет каждый отрезок с концами, находящимися на прямых, которые содержат основания, (к примеру, высоту фигуры) пополам:

MN || a, MN || b, MN = \frac{a + b}{2}

Сумма углов трапеции

Сумма углов трапеции , прилежащих к каждой боковой стороне, равна 180^{\circ} :

\alpha + \beta = 180^{\circ}

\gamma + \delta =180^{\circ}

Равновеликие треугольники трапеции

Равновеликими , то есть имеющими равные площади, являются отрезки диагоналей и треугольники AOB и DOC , образованные боковыми сторонами.

Подобие образованных треугольников трапеции

Подобными треугольниками являются AOD и COB , которые образованы своими основаниями и отрезками диагоналей.

\triangle AOD \sim \triangle COB

Коэффициент подобия k находится по формуле:

k = \frac{AD}{BC}

Причем отношение площадей этих треугольников равно k^{2} .

Отношение длин отрезков и оснований

Каждый отрезок, соединяющий основания и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, поделен этой точкой в отношении:

\frac{OX}{OY} = \frac{BC}{AD}

Это будет являться справедливым и для высоты с самими диагоналями.

Трапеция - это плоский четырехугольник , у которого две противолежащие стороны параллельны. Они называются основаниями трапеции , а две другие стороны - боковыми сторонами трапеции .

Инструкция

Задача нахождения произвольного угла в трапеции требует достаточного количества дополнительных данных. Рассмотрим пример, в котором известны два угла при основании трапеции . Пусть известны углы &ang-BAD и &ang-CDA, найдем углы &ang-ABC и &ang-BCD. Трапеция обладает таким свойством, что сумма углов при каждой боковой стороне равна 180°-. Тогда &ang-ABC = 180°--&ang-BAD, а &ang-BCD = 180°--&ang-CDA.

трапеции" class="lightbx" data-lightbox="article-image">

В другой задаче может быть указано равенство сторон трапеции и какие-нибудь дополнительные углы. Например, как на рисунке, может быть известно, что стороны AB, BC и CD равны, а диагональ составляет с нижним основанием угол &ang-CAD = α-.Рассмотрим треугольник ABC, он равнобедренный, так как AB = BC. Тогда &ang-BAC = &ang-BCA. Обозначим его x для краткости, а &ang-ABC - y. Сумма углов любого треугольник а равна 180°-, из этого следует, что 2x + y = 180°-, тогда y = 180°- - 2x. В то же время из свойств трапеции : y + x + α- = 180°- и следовательно 180°- - 2x + x + α- = 180°-. Таким образом, x = α-. Мы нашли два угла трапеции : &ang-BAC = 2x = 2α- и &ang-ABC = y = 180°- - 2α-.Так как AB = CD по условию, то трапеция равнобокая или равнобедренная. Значит,

Трапеция - это геометрическая фигура, четырехугольник, который имеет две параллельные линии. Иные две линии параллельными быть не могут, в таком случае это был бы параллелограмм.

Виды трапеций

Трапеции бывают трех видов: прямоугольная, когда два угла трапеции составляют по 90 градусов; равносторонняя, в которой две боковые линии равные; разносторонняя, где боковые линии разной длинны.

Работая с трапециями, можно научиться вычислять их площадь, высоту, размер линий, а также разобраться в том, как находить углы трапеции.

Прямоугольная трапеция

Прямоугольная трапеция имеет два угла по 90 градусов. Сумма остальных двух углов равняется 180 градусам. Поэтому есть способ, как найти углы прямоугольной трапеции, зная размер одного из углов. Пусть он составляет, например, 26 градусов. Всего лишь необходимо из общей суммы углов трапеции - 360 градусов — вычесть сумму известных углов. 360-(90+90+26) = 154. Искомый угол будет составлять 154 градуса. Можно считать проще: так как два угла — прямые, то в сумме они будут составлять 180 градусов, то есть половину 360; сумма непрямых углов также будет равна 180, поэтому можно сосчитать проще и быстрее 180 -26 =154.

Равнобедренная трапеция

Равнобедренная трапеция имеет две равные стороны, которые не являются основаниями. Есть формулы, которые разъясняют, как найти углы равнобедренной трапеции.

Расчет 1, если даны размеры сторон трапеции

Они обозначаются буквами A, В и C: A - размеры боковых сторон, В и C - размеры основания, меньшего и большего соответственно. Трапецию необходимо также назвать АВСD. Для вычислений необходимо провести высоту Н из угла В. Образовался прямоугольный треугольник ВНА, где АН и ВН - катеты, АВ - гипотенуза. Теперь можно вычислить размер катета АН. Для этого необходимо от большей основы трапеции вычесть меньшую, и разделить пополам, т.е. (с-b)/2.

Чтобы найти острый угол треугольника, необходимо использовать функциюcos. Cos искомого угла (β) будет равен а / ((с-b)/2). Чтобы узнать размер угла β, необходимо воспользоваться функцией arcos. β = arcos 2а/с-b. Т.к. два угла равносторонней трапеции равны, то они будут составлять: угол ВАD = углу СDА = arcos 2а/с-b.

Расчет 2. Если даны размеры оснований трапеции.

Имея значения оснований трапеции - а и b, можно воспользоваться тем же методом, что и в предыдущем решении. Из угла b необходимо опустить высоту h. Имея размеры двух катетов только что созданного треугольника, можно воспользоваться похожей тригонометрической функцией, только в этом случае это буде tg. Чтобы преобразовать угол и получить его значение, необходимо воспользоваться функцией arctg. Исходя из формул, получаем размеры искомых углов:

β = arctg 2h/с-b, а угол α = 180 - arctg 2h/с-b/

Обычная разносторонняя трапеция

Есть способ, как найти больший угол трапеции. Для этого необходимо знать размеры обоих острых углов. Зная их, и зная, что сумма углов при любом основании трапеции составляет 180 градусов, делаем вывод, что искомый тупой угол будет состоять из разницы 180 - размер острого угла. Также можно найти и другой тупой угол трапеции.

Задачи с трапецией не кажутся сложными в ряде фигур, которые изучены ранее. Как частный случай рассматривается прямоугольная трапеция. А при поиске ее площади иногда бывает удобнее разбить ее на две уже знакомые: прямоугольник и треугольник. Стоит только немного подумать, и решение обязательно найдется.

Определение прямоугольной трапеции и ее свойства

У произвольной трапеции основания параллельны, а боковые стороны могут иметь произвольное значение углов к ним. Если рассматривается прямоугольная трапеция, то в ней одна из сторон всегда перпендикулярна основаниям. То есть два угла в ней будут равны 90 градусам. Причем они всегда принадлежат смежным вершинам или, другими словами, одной боковой стороне.

Другие углы в прямоугольной трапеции − это всегда острый и тупой. Причем их сумма всегда будет равна 180 градусам.

Каждая диагональ образует с ее меньшей боковой стороной прямоугольный треугольник. А высота, которая проведена из вершины с тупым углом, делит фигуру на две. Одна из них прямоугольник, а другая − прямоугольный треугольник. Кстати, эта сторона всегда равна высоте трапеции.

Какие обозначения приняты в представленных формулах?

Все величины, используемые в разных выражениях, которые описывают трапецию, удобно сразу оговорить и представить в таблице:

Формулы, которые описывают элементы прямоугольной трапеции

Самая простая из них связывает высоту и меньшую боковую сторону:

Еще несколько формул для этой стороны прямоугольной трапеции:

с = d *sinα;

c = (a - b) * tg α;

c = √ (d 2 - (a - b) 2).

Первая вытекает из прямоугольного треугольника. И говорит о том, что катет к гипотенузе дает синус противолежащего угла.

В том же треугольнике второй катет равен разности двух оснований. Поэтому справедливо утверждение, которое приравнивает тангенс угла к отношению катетов.

Из того же треугольника можно вывести формулу, основываясь на знании теоремы Пифагора. Это третье записанное выражение.

Можно записать формулы для другой боковой стороны. Их тоже три:

d = (a - b) /cosα;

d = c / sin α;

d = √ (c 2 + (а - b) 2).

Первые две опять получаются из соотношения сторон в том же прямоугольном треугольнике, а вторая выводится из теоремы Пифагора.

Какой формулой можно воспользоваться для расчета площади?

Той, что дана для произвольной трапеции. Только нужно учесть, что высотой является сторона, перпендикулярная к основаниям.

S = (a + b) * h / 2.

Эти величины не всегда даны явно. Поэтому чтобы вычислить площадь прямоугольной трапеции, потребуется выполнить некоторые математические выкладки.

Как быть, если нужно вычислить диагонали?

В этом случае нужно увидеть, что они образуют два прямоугольных треугольника. Значит, всегда можно воспользоваться теоремой Пифагора. Тогда первая диагональ будет выражаться так:

d1 = √ (с 2 + b 2)

или по-другому, заменив «с» на «h»:

d1 = √ (h 2 + b 2).

Аналогичным образом получаются формулы для второй диагонали:

d2 = √ (с 2 + b 2) или d 2 = √ (h 2 + а 2).

Задача №1

Условие . Площадь прямоугольной трапеции известна и равна 120 дм 2 . Ее высота имеет длину 8 дм. Необходимо вычислить все стороны трапеции. Дополнительным условием является то, что одно основание меньше другого на 6 дм.

Решение. Поскольку дана прямоугольная трапеция, в которой известна высота, то сразу же можно сказать о том, что одна из сторон равна 8 дм, то есть меньшая боковая сторона.

Теперь можно сосчитать другую: d = √ (с 2 + (а - b) 2). Причем здесь сразу даны и сторона с, и разность оснований. Последнее равно 6 дм, это известно из условия. Тогда d будет равняться квадратному корню из (64 + 36), то есть из 100. Так найдена еще одна боковая сторона, равная 10 дм.

Сумму оснований можно найти из формулы для площади. Она будет равна удвоенному значению площади, разделенному на высоту. Если считать, то получается 240 / 8. Значит, сумма оснований — это 30 дм. С другой стороны, их разность равна 6 дм. Объединив эти уравнения, можно сосчитать оба основания:

а + b = 30 и а - b = 6.

Можно выразить а как (b + 6), подставить его в первое равенство. Тогда получится, что 2b будет равняться 24. Поэтому просто b окажется 12 дм.

Тогда последняя сторона а равна 18 дм.

Ответ. Стороны прямоугольной трапеции: а = 18 дм, b = 12 дм, с = 8 дм, d = 10 дм.

Задача №2

Условие. Дана прямоугольная трапеция. Ее большая боковая сторона равняется сумме оснований. Ее высота имеет длину 12 см. Построен прямоугольник, стороны которого равны основаниям трапеции. Необходимо вычислить площадь этого прямоугольника.

Решение. Начать нужно с искомого. Нужная площадь определится как произведение a и b. Обе эти величины не известны.

Потребуется использовать дополнительные равенства. Одно из них построено на утверждении из условия: d = а + b. Необходимо воспользоваться третьей формулой для этой стороны, которая дана выше. Получится: d 2 = с 2 + (a - b) 2 или (a + b) 2 = с 2 + (a - b) 2 .

Необходимо сделать преобразования, подставив вместо с его значение из условия - 12. После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых получается, что 144 = 4 ab.

В начале решения шла речь о том, что а*b дает искомую площадь. Поэтому в последнем выражении можно заменить это произведение на S. Простой расчет даст значение площади. S = 36 см 2 .

Ответ. Искомая площадь 36 см 2 .

Задача №3

Условие. Площадь прямоугольной трапеции 150√3 см². Острый угол равняется 60 градусам. Такое же значение имеет угол между маленьким основанием и меньшей диагональю. Нужно вычислить меньшую диагональ.

Решение. Из свойства углов трапеции получается, что ее тупой угол равен 120º. Тогда диагональ делит его на равные, потому что одна его часть уже 60 градусов. Тогда и угол между этой диагональю и вторым основанием тоже 60 градусов. То есть треугольник, образованный большим основанием, наклонной боковой стороной и меньшей диагональю, является равносторонним. Таким образом, искомая диагональ будет равна а, как и боковая сторона d = а.

Теперь нужно рассмотреть прямоугольный треугольник. В нем третий угол равен 30 градусам. Значит катет, лежащий против него, равен половине гипотенузы. То есть меньшее основание трапеции равно половине искомой диагонали: b = a/2. Из него же нужно найти высоту, равную боковой стороне, перпендикулярной основаниям. Сторона с здесь катет. Из теоремы Пифагора:

с = (a/2) * √3.

Теперь осталось только подставить все величины в формулу площади:

150√3 = (a + a/2) * (a/2 * √3) / 2.

Решение этого уравнения дает корень 20

Ответ. Меньшая диагональ имеет длину 20 см.

Трапеция – это плоский четырехугольник , у которого две противолежащие стороны параллельны. Они именуются основаниями трапеции , а две другие стороны – боковыми сторонами трапеции .

Инструкция

1. Задача нахождения произвольного угла в трапеции требует довольного числа дополнительных данных. Разглядим пример, в котором знамениты два угла при основании трапеции . Пускай вестимы углы ∠BAD и ∠CDA, обнаружим углы ∠ABC и ∠BCD. Трапеция владеет таким свойством, что сумма углов при всякой боковой стороне равна 180°. Тогда ∠ABC = 180°-∠BAD, а ∠BCD = 180°-∠CDA.

2. В иной задаче может быть указано равенство сторон трапеции и какие-либо добавочные углы. Скажем, как на рисунке, может быть вестимо, что стороны AB, BC и CD равны, а диагональ составляет с нижним основанием угол ∠CAD = α.Разглядим треугольник ABC, он равнобедренный, потому что AB = BC. Тогда ∠BAC = ∠BCA. Обозначим его x для краткости, а ∠ABC – y. Сумма углов всякого треугольник а равна 180°, из этого следует, что 2x + y = 180°, тогда y = 180° – 2x. В то же время из свойств трапеции : y + x + α = 180° и следственно 180° – 2x + x + α = 180°. Таким образом, x = α. Мы обнаружили два угла трапеции : ∠BAC = 2x = 2α и ∠ABC = y = 180° – 2α.Потому что AB = CD по условию, то трапеция равнобокая либо равнобедренная. Значит, диагонали равны и равны углы при основаниях. Таким образом, ∠CDA = 2α, а ∠BCD = 180° – 2α.

Диагональ многоугольника – отрезок, тот, что соединяет две не граничащие между собой вершины фигуры (т.е. несмежные вершины либо не принадлежащие одной стороне многоугольника ). В параллелограмме, зная длину диагоналей и длину сторон, дозволено рассчитать углы между диагоналями .

Инструкция

1. Для комфорта воспринятия информации начертите на листе бумаги произвольный параллелограмм АВСD (параллелограмм – это четырехугольник, противоположные стороны которого попарно равны и параллельны). Объедините противоположные вершины отрезками. Полученные АС и ВD – диагонали. Обозначьте точку пересечения диагоналей буквой О. Нужно обнаружить углы ВОС (АОD) и СOD (АОВ).

2. Параллелограмм владеет целым рядом математических свойств:- диагонали точкой пересечения делятся напополам; – диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника ;- сумма всех углов в параллелограмме равна 360 градусов;- сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180 градусам;- сумма квадратов диагоналей равна двойственный сумме квадратов его смежных сторон.

3. Дабы обнаружить углы между диагоналями , воспользуйтесь теоремой косинусов из теории элементарной геометрии (Евклидовой). Согласно теореме косинусов, квадрат стороны треугольника (A) дозволено получить, сложив квадраты 2-х его других сторон (B и C), и из полученной суммы вычесть двойное произведение этих сторон (B и C) на косинус угла между ними.

4. Применительно к треугольнику ВОС параллелограмма АВСD теорема косинусов будет выглядеть дальнейшим образом:Квадрат ВС = квадрат ВО + квадрат ОС – 2*ВО*ОС*cos угла ВOCОтсюда соs угла BOC = (квадрат ВС –квадрат ВО – квадрат ОС) / (2*ВО*ОС)

5. Обнаружив значение угла ВОС (АОD) легко вычислить значение иного угла, заключенного между диагоналями – СОD (АОВ). Для этого из 180 градусов вычтите значение угла ВОС (АОD) – т.к. сумма смежных углов равна 180 градусам, а углы ВОС и СОD и углы АОD и АОВ – смежные.

Видео по теме

Для решения этой задачи способами векторной алгебры, вам нужно знать следующие представления: геометрическая векторная сумма и скалярное произведение векторов, а также следует помнить качество суммы внутренних углов четырехугольника.

Вам понадобится

• – бумага;
• – ручка;
• – линейка.

Инструкция

1. Вектор – это направленный отрезок, то есть величина, считающаяся заданной всецело, если задана его длина и направление (угол) к заданной оси. Расположение вектора огромнее ничем не ограничено. Равными считаются два вектора, владеющие идентичными длинами и одним направлением. Следственно при применении координат векторы изображают радиус-векторами точек его конца (предисловие располагается в начале координат).

2. По определению: результирующим вектором геометрической суммы векторов именуется вектор, исходящий из начала первого и имеющего конец в конце второго, при условии, что конец первого, совмещен с началом второго. Это дозволено продолжать и дальше, строя цепочку подобно расположенных векторов. Изобразите данный четырехугольник ABCD векторами a, b, c и d в соответствии рис. 1. Видимо, что при таком расположении результирующий вектор d=a+ b+c.

3. Скалярное произведение в данном случае комфортнее каждого определить на основе векторов a и d. Скалярное произведение, обозначаемое (a, d)= |a||d|cosф1. Тут ф1 – угол между векторами a и d. Скалярное произведение векторов, заданных координатами, определяется следующими выражением: (a(ax, ay), d(dx, dy))=axdx+aydy, |a|^2= ax^2+ ay^2, |d|^2= dx^2+ dy^2, тогда cos Ф1=(axdx+aydy)/(sqrt(ax^2+ ay^2)sqrt(dx^2+ dy^2)).

4. Основные представления векторной алгебры в привязке к поставленной задаче, приводят к тому, что для однозначной постановки этой задачи довольно задание 3 векторов, расположенных, возможен, на AB, BC, и CD, то есть a, b, c. Дозволено финально сразу задать координаты точек A, B, C, D, но данный метод является избыточным (4 параметра взамен 3-х).

5. Пример. Четырехугольник ABCD задан векторами его сторон AB, BC, CD a(1,0), b(1,1), c(-1,2). Обнаружить углы между его сторонами. Решение. В связи с высказанным выше, 4-й вектор (для AD) d(dx,dy)=a+ b+c={ax+bx +cx, ay+by+cy}={1,3}. Следуя методике вычисления угла между векторами аcosф1=(axdx+aydy)/(sqrt(ax^2+ ay^2)sqrt(dx^2+ dy^2))=1/sqrt(10), ф1=arcos(1/sqrt(10)).-cosф2=(axbx+ayby)/(sqrt(ax^2+ ay^2)sqrt(bx^2+ by^2))=1/sqrt2, ф2=arcos(-1/sqrt2), ф2=3п/4.-cosф3=(bxcx+bycy)/(sqrt(bx^2+ by^2)sqrt(cx^2+ cy^2))=1/(sqrt2sqrt5), ф3=arcos(-1/sqrt(10))=п-ф1. В соответствии с примечанием 2 – ф4=2п- ф1 – ф2- ф3=п/4.

Видео по теме

Обратите внимание!
Примечание 1. В определении скалярного произведения применяется угол между векторами. Тут, скажем, ф2 – это угол между АВ и ВС, а между a и b данный угол п-ф2. сos(п- ф2)=- сosф2. Подобно для ф3.Примечание 2. Знаменито, что сумма углов четырехугольника равна 2п. Следственно ф4=2п- ф1 – ф2- ф3.