Вы знаете, что разделить натуральное число a на натуральное число b − значит найти такое натуральное число c, которое при умножении на b дает число a. Это утверждение остается верным, если хотя бы одно из чисел a, b, c является десятичной дробью.

Рассмотрим несколько примеров, в которых делителем является натуральное число.

1,2 : 4 = 0,3 , так как 0,3 * 4 = 1,2 ;

2,5 : 5 = 0,5 , так как 0,5 * 5 = 2,5 ;

1 : 2 = 0,5 , так как 0,5 * 2 = 1 .

А как быть в тех случаях, когда деление не удается выполнить устно?

Например, как разделить 43,52 на 17 ?

Увеличив делимое 43,52 в 100 раз, получим число 4 352 . Тогда значение выражения 4 352 : 17 в 100 раз больше значения выражения 43,52 : 17 . Выполнив деление уголком, вы легко установите, что 4 352 : 17 = 256 . Здесь делимое увеличено в 100 раз. Значит, 43,52 : 17 = 2,56 . Заметим, что 2,56 * 17 = 43,52 , что подтверждает правильность выполнения деления.

Частное 2,56 можно получит иначе. Будем делить 4352 на 17 уголком, не обращая внимания на запятую. При этом запятую в частном следует поставить непосредственно перед тем, как будет использована первая цифра после запятой в делимом:

Если делимое меньше делителя, то целая часть частного равна нулю. Например:

Рассмотрим еще один пример. Найдем частное 3,1 : 5 . Имеем:

Мы остановили процесс деления, потому что цифры делимого закончились, а в остатке нуль не получили. Вы знаете, что десятичная дробь не изменится, если к ней справа приписать любое количество нулей. Тогда становится понятным, что цифры делимого закончиться не могут. Имеем:

Теперь мы можем находить частное двух натуральных чисел, когда делимое не делится нацело на делитель. Например, найдем частное 31 : 5 . Очевидно, что число 31 не делится нацело на 5 :

Мы остановили процесс деления, потому что цифры делимого закончились. Однао если представить делимое в виде десятичной дроби, то деление можно продолжить.

Имеем: 31 : 5 = 31,0 : 5 . Далее выполним деление уголком:

Следовательно, 31 : 5 = 6,2 .

В предыдущем параграфе мы выяснили, что если запятую перенести вправо на 1, 2, 3 и т.д. цифры, то дробь увеличится соответственно в 10, 100, 1 000 и т. д. раз, а если запятую перенести влево на 1, 2, 3 и т. д. цифры, то дробь уменьшится соответственно в 10, 100, 1 000 и т. д. раз.

Поэтому в тех случаях, когда делитель равен 10, 100, 1 000 и т. д., пользуются следующим правилом.

Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1 000 и т. д., надо в этой дроби перенести запятую влево на 1, 2, 3 и т. д. цифры .

Например: 4,23 : 10 = 0,423 ; 2 : 100 = 0,02 ; 58,63 : 1 000 = 0,05863 .

Итак, мы научились делить десятичную дробь на натуральное число.

Покажем, как деление на десятичную дробь можно свести к делению на натуральное число.

$\frac{2}{5} км = 400 м$

,

$\frac{20}{50} км = 400 м$

,

$\frac{200}{500} км = 400 м$

.

Получаем, что

$\frac{2}{5} = \frac{20}{50} = \frac{200}{500}$

Т.е. 2 : 5 = 20 : 50 = 200 : 500 .

Этот пример иллюстрирует следующее: если делимое и делитель увеличить одновременно в 10, 100, 1 000 и т.д. раз, то частное не изменится .

Найдем частное 43,52 : 1,7 .

Увеличим одновременно делимое и делитель в 10 раз. Имеем:

43,52 : 1,7 = 435,2 : 17 .

Увеличим одновременно делимое и делитель в 10 раз. Имеем: 43,52 : 1,7 = 25,6 .

Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную надо:

1 ) перенести в делимом и в делителе запятые вправо на столько цифр, сколько их содержится после запятой в делителе;

2 ) выполнить деление на натуральное число .

Пример 1 . Ваня собрал 140 кг яблок и груш, из них 0,24 составляли груши. Сколько килограммов груш собрал Ваня?

Решение. Имеем:

$0,24=\frac{24}{100}$

.

1 ) 140 : 100 = 1,4 (кг) − составляет

Яблок и груш.

2 ) 1,4 * 24 = 33,6 (кг) − груш было собрано.

Ответ: 33,6 кг.

Пример 2 . На завтрак Винни−Пух съел 0,7 бочонка меда. Сколько килограммов меда было в бочонке, если Винни−Пух съел 4,2 кг?

Решение. Имеем:

$0,7=\frac{7}{10}$

.

1 ) 4,2 : 7 = 0,6 (кг) − составляет

Всего меда.

2 ) 0,6 * 10 = 6 (кг) −меда было в бочонке.

Ответ: 6 кг.

Запишем правило и рассмотрим его применение на примерах.

При делении десятичной дроби на натуральное число:

1) делим, не обращая внимания на запятую;

2) когда заканчивается деление целой части, в частном ставим запятую.

Если целая часть меньше делителя, то целая часть частного равна нулю.

Примеры деления десятичных дробей на натуральные числа.

Делим, не обращая внимания на запятую, то есть 348 делим на 6. При делении 34 на 6 берём по 5. 5∙6=30, 34-30=4, то есть остаток равен 4.

Отличие деления десятичной дроби на натуральное число от деления целых чисел только в том, что, когда деление целой части закончилось, в частном ставим запятую. То есть при переходе через запятую, прежде чем снести к остатку от деления целой части, 4, число 8 из дробной части, в частном пишем запятую.

Сносим 8. 48:6=8. В частное пишем 8.

Итак, 34,8:6=5,8.

Так как 5 на 12 не делится, в частном пишем нуль. Деление целой части окончено, в частном ставим запятую.

Сносим 1. При делении 51 на 12 берём по 4. В остатке — 3.

Сносим 6. 36:12=3.

Таким образом, 5,16:12=0,43.

3) 0,646:38=?

В целой части делимого стоит нуль. Так как нуль на 38 не делится, в частном ставим 0. Деление целой части окончено, в частном пишем запятую.

Сносим 6. Так как 6 на 38 не делится, в частном пишем ещё один нуль.

Сносим 4. При делении 64 на 38 берём по 1. В остатке — 26.

Сносим 6. 266:38=7.

Итак, 0,646:38=0,017.

4) 14917,5:325=?

При делении 1491 на 325 берём по 4. В остатке получаем 191. Сносим 7. При делении 1917 на 325 берём по 5. Остаток — 292.

Поскольку деление целой части закончено, в частном пишем запятую.

Деление на десятичную дробь сводится к делению на натуральное число.

Правило деления числа на десятичную дробь

Чтобы разделить число на десятичную дробь, надо и в делимом, и в делителе запятую перенести на столько цифр вправо, сколько их в делителе после запятой. После этого выполнить деление на натуральное число.

Примеры.

Выполнить деление на десятичную дробь:

Чтобы разделить на десятичную дробь, нужно и в делимом, и в делителе перенести запятую на столько цифр вправо, сколько их после запятой в делителе, то есть, на один знак. Получаем: 35,1: 1,8 =351: 18. Теперь выполняем деление уголком. В итоге получаем: 35,1: 1,8 = 19,5.

2) 14,76: 3,6

Чтобы выполнить деление десятичных дробей, и в делимом, и в делителе переносим запятую вправо на один знак: 14,76: 3,6 = 147,6: 36. Теперь выполняемна натуральное число. Результат: 14,76: 3,6 = 4,1.

Чтобы выполнить деление на десятичную дробь натурального числа, надо и в делимом, и в делителе перенести на столько знаков вправо, сколько их в делителе после запятой. Поскольку в делителе в этом случае запятая не пишется, недостающее количество знаков заполняем нулями: 70: 1,75 = 7000: 175. Делим уголком полученные натуральные числа: 70: 1,75 = 7000: 175 =40.

4) 0,1218: 0,058

Чтобы разделить одну десятичную дробь на другую, переносим запятую вправо и в делимом, и в делителе на столько знаков, сколько их в делителе после запятой, то есть на три знака. Таким образом, 0,1218: 0,058 = 121,8: 58. Деление на десятичную дробь заменили делением на натуральное число. Делим уголком. Имеем: 0,1218: 0,058 = 121,8: 58 = 2,1.

5) 0,0456: 3,8

I. Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, нужно делить дробь на это число, как делят натуральные числа и поставить в частном запятую тогда, когда закончится деление целой части.

Примеры.

Выполнить деление : 1) 96,25: 5; 2) 4,78: 4; 3) 183,06: 45.

Решение.

Пример 1) 96,25: 5.

Делим «уголком» так, как делят натуральные числа. После того, как сносим цифру 2 (число десятых — первая цифра после запятой в записи делимого 96,2 5), в частном ставим запятую и продолжаем деление.

Ответ : 19,25.

Пример 2) 4,78: 4.

Делим так, как делят натуральные числа. В частном поставим запятую сразу, как снесем 7 — первую цифру после запятой в делимом 4,7 8. Продолжаем деление дальше. При вычитании 38-36 получаем 2, но деление не окончено. Как поступаем? Мы знаем, что в конце десятичной дроби можно приписывать нули — от этого значение дроби не изменится. Приписываем нуль и делим 20 на 4. Получаем 5 — деление окончено.

Ответ : 1,195.

Пример 3) 183,06: 45.

Делим как 18306 на 45. В частном поставим запятую как только снесем цифру 0 — первую цифру после запятой в делимом 183,0 6. Так же, как в примере 2) нам пришлось приписать нуль к числу 36 — разности чисел 306 и 270.

Ответ : 4,068.

Вывод : при делении десятичной дроби на натуральное число в частном ставим запятую сразу после того, как сносим цифру в разряде десятых делимого . Обратите внимание: все выделенные красным цветом цифры в этих трех примерах относятся к разряду десятых долей делимого.

II . Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т. д. нужно перенести запятую влево на 1, 2, 3 и т. д. цифр.

Примеры.

Выполнить деление: 1) 41,56: 10; 2) 123,45: 100; 3) 0,47: 100; 4) 8,5: 1000; 5) 631,2: 10000.

Решение.

Перенос запятой влево зависит от того, сколько в делителе нулей после единицы. Так, при делении десятичной дроби на 10 мы будем переносить в делимом запятую влево на одну цифру ; при делении на 100 — перенесем запятую влево на две цифры ; при делении на 1000 перенесем в данной десятичной дроби запятую на три цифры влево.

Многие школьники к старшим классам забывают, как выполнять деление в столбик. Компьютеры, калькуляторы, мобильные телефоны и прочие устройства так плотно вошли в нашу жизнь, что элементарные математические действия иногда приводят в ступор. И как только люди обходились без всех этих благ еще несколько десятков лет назад? Для начала надо вспомнить главные математические понятия, которые нужны для деления. Так, делимым называют число, которое будут делить. Делитель – число, на которое будут делить. То, что в результате получится, называется частное. Для деления в строчку используется символ, похожий на двоеточие - «: », а при делении в столбик используют значок «∟», его еще по-другому называют уголок.

Стоит также напомнить, что любое деление можно проверить умножением. Чтобы проверить результат деления, достаточно умножить его на делитель, в итоге должно получиться число, которое соответствует делимому (а: b=с; значит, с*b=а) . Теперь о том, что такое десятичная дробь. Десятичная дробь получается после деления единицы на 0,0, 1000 и так далее частей. Запись этих чисел и математические действия с ними, точно такие же, как и с целыми числами. При делении десятичных дробей нет надобности помнить, где располагается знаменатель. Все становится итак понятным при записи числа. Сначала пишется целое число, а после запятой записываются ее десятые, сотые, тысячные части. Первая цифра после запятой соответствует десяткам, вторая - сотням, третья – тысячам и т. д.

Каждый школьник должен знать как делить десятичные дроби на десятичную дробь. Если и делимое, и делитель умножить на одинаковое число, то ответ, т. е. частное не изменится. Если десятичную дробь умножить на 0,0, 1000 и т. д. , то запятая, после целого числа изменит свое положение – она перенесется вправо на столько же цифр, сколько нулей в числе, на которое умножили. Например, при умножении десятичной дроби на 10, запятая сместится на одно число вправо. 2,9: 6,7 – умножаем и делитель, и делимое на 100, получаем 6,9: 3687. Лучше всего умножать так, чтобы при умножении на него хотя бы у одного числа (делителя или делимого) не осталось цифр после запятой, т. е. сделать хотя бы одно число целым. Еще несколько примеров переноса запятых после целого числа: 9,2: 1,5 = 2492: 2,5; 5,4: 4,8 = 5344: 74598.

Внимание, десятичная дробь не изменит своего значения, если справа к ней приписать нули, например 3,8 = 3,0. Также значение дроби не изменится, если у нее убрать справа нули, стоящие в самом конце числа: 3,0 = 3,3. Однако убирать нули, стоящие в середине числа нельзя – 3,3. Как делить десятичную дробь на натуральное число в столбик? Чтобы поделить десятичную дробь на натуральное число в столбик, нужно сделать соответствующую запись уголком, поделить. В частном запятую нужно поставить тогда, когда закончится деление целого числа. Например, 5,4|2 14 7,2 18 18 0 4 4 0Если первая цифра числа в делимом меньше, чем делитель, то используются последующие цифры, то тех пор, пока не будет возможным произвести первое действие.

В данном случае, первая цифра делимого 1, ее поделить на 2 нельзя, поэтому для деления используется сразу две цифры 1 и 5: 15 на 2 делится с остатком, получается в частном 7, а в остатке остается 1. Затем используем следующую цифру делимого – 8. Ее спускаем вниз к 1 и делим 18 на 2. В частном записываем цифру 9. В остатке ничего не остается, поэтому записываем 0. Оставшуюся цифру 4 делимого спускаем вниз и производим деление на делитель, т. е. на 2. В частное записываем 2, а в остатке опять 0. Итогом такого деления получается число 7,2. Оно называется частным. Довольно просто решить вопрос о том, как делить десятичную дробь на десятичную дробь в столбик, если знать некоторые хитрости. Делить десятичные дроби в уме иногда довольно сложно, поэтому для облегчения процесса используется деление в столбик.

При таком делении действуют все те же правила, что и при делении десятичной дроби на целое число или при делении в строку. Слева в строке записывают делимое, затем ставят символ «уголка» и затем пишут делитель и начинают деление. Для облегчения деления и переноса в удобное место запятой после целого числа можно произвести умножение на десятки, сотни или тысячи. Например, 9,2: 1,5 = 24920: 125. Внимание, на 0,0, 1000 умножаются обе дроби. Если делимое было умножено на 10, то и делитель также умножается на 10. В данном примере было произведено умножение и делимого и делителя на 100. Далее выполняют расчет так же, как показано в примере деления десятичной дроби на натуральное число. Для того чтобы произвести деление на 0,1; 0,1; 0,1 и т. д. необходимо умножить и делитель, и делимое на 0,0, 1000.

Достаточно часто при делении в частном, т. е. в ответе, получаются бесконечные дроби. В таком случае необходимо округлить число до десятых, сотых или тысячных. При этом действует правило, если после числа до которого нужно округлить ответ меньше или равняется 5, то ответ округляется в меньшую сторону, если же больше 5 – в большую. Например, требуется округлить результат 5,5 до тысячных. Значит, ответ после запятой должен заканчиваться на цифре 6. После 6 стоит 9, значит, ответ округляем в большую сторону и получаем 5,7. Но если бы нужно было ответ 5,5 округлить не до тысячных, а до десятых, то ответ бы выглядел так – 5,2. В данном случае 2 не округлили в большую сторону, потому что после нее идет 3, а она меньше 5.