Министерство образования Российской Федерации
“МАТИ”- РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. К. Э. ЦИОЛКОВСКОГО
Кафедра “Высшая математика”
Варианты курсовых заданий
Методические указания к курсовому заданию
«Пределы функций. Производные»
Кулакова Р. Д.
Титаренко В. И.
Москва 1999
Аннотация
Предлагаемые методические указания ставят своей целью помочь студентам первого курса усвоить теоретический и практический материал по теме «Математический анализ».
В каждом разделе после теоретической части разбираются типовые задачи.
В методических указаниях охвачены следующие темы: пределы функций, дифференцирование функций, заданных в различных видах, производные и дифференциалы высших порядков, правило Лопиталя, приложение производной к задачам геометрии и механики.
Для закрепления материала студентам предлагается выполнить курсовую работу по перечисленным выше темам.
Настоящие методические указания могут использоваться на всех факультетах и специальностях.
1. Пределы функций
Для определения пределов последовательностей и функций используются некоторые известные приемы:
Если необходимо найти предел
можно предварительно привести к общему знаменателю
Поделив на член, имеющий максимальную степень, получим в числителе постоянную величину, а в знаменателе – все члены, стремящиеся к 0,то есть
.
Тогда
и подставив x=a,
получим:
;
4.
,
при подстановке х=0, получим
.
5. Однако, если необходимо найти предел рациональной функции
, то при делении на член с минимальной степенью, получим
;
и, устремив х к 0, получим:
Если в пределах содержатся иррациональные выражения, то приходится вводить новые переменные для получения рационального выражения, или же переводить иррациональности из знаменателя в числитель и наоборот.
6.
;
Сделаем замену переменной. Заменим
,
при
,
получим
.
7.
.
Если числитель и знаменатель умножить
на одно и то же число, то предел не
изменится. Умножим числитель на
и разделим на это же выражение, чтобы
предел не изменился, а знаменатель
умножим на
и разделим, на это же выражение. Тогда
получим:
Для определения пределов часто используются замечательные пределы:
; (1)
. (2)
8.
.
Для
вычисления такого предела сведем его
к 1-му замечательному пределу (1). Для
этого умножим и разделим числитель на
,
а знаменатель на
,
тогда.
9.
Для вычисления этого предела сведем
его ко второму замечательному пределу.
С этой целью из рационального выражения
в скобках выделим целую часть и представим
ее в виде правильной дроби. Так поступают
в тех случаях, когда
,
где
,
а
,
где
;
,
а
, то окончательно
.
Здесь использовалась непрерывность
композиции непрерывных функций.
2. Производная
Производной
от функции
называется конечный предел отношения
приращения функции к приращению
аргумента, когда последнее стремится
к нулю:
,
или
.
Геометрически
производная представляет собой угловой
коэффициент касательной к графику
функции
в точке х, то есть
.
Производная есть скорость изменения функции в точке х.
Отыскание производной называется дифференцированием функции.
Формулы дифференцирования основных функций:
3. Основные правила дифференцирования
Пусть , тогда:
7)
Если
,
то есть
,
где
и
имеют
производные, то
(правило дифференцирования сложной
функции).
4. Логарифмическое дифференцирование
Если
требуется найти
из
уравнения
,
то можно:
а) логарифмировать обе части уравнения
б)
дифференцировать обе части полученного
равенства, где
есть
сложная функция от х,
.
в) заменить его выражением через х
.
Пример:
5. Дифференцирование неявных функций
Пусть
уравнение
определяеткак неявную функцию от х.
а)
продифференцируем по х обе части
уравнения
,
получим уравнение первой степени
относительно;
б) из полученного уравнения выразим .
Пример:
.
6. Дифференцирование функций, заданных
параметрически
Пусть
функция задана параметрическими
уравнениями
,
тогда
,
или
Пример:
7. Приложение производной к задачам
геометрии и механики
Пусть
и
,
где-угол,
образованный с положительным направлением
оси ОХ касательной к кривой в точке с
абсциссой.
Уравнение
касательной к кривой
в точке
имеет
вид:
,
где
-производнаяпри
.
Нормалью к кривой называется прямая, перпендикулярная касательной и проходящая через точку касания.
Уравнение нормали имеет вид
.
Угол
между двумя кривыми
и
в точке их пересечения
называется
угол между касательными к этим кривым
в точке
.
Этот угол находится по формуле
.
8. Производные высших порядков
Если
есть производная от функции
,
то производная отназывается второй производной, или
производной второго порядка и обозначается,
или
,
или.
Аналогично
определяются производные любого
порядка:производная третьего порядка
;
производнаяn-го
порядка:
.
Для произведения двух функций можно получить производную любого n-го порядка, пользуясь формулой Лейбница:
9. Вторая производная от неявной функции
-уравнение определяет , как неявную функцию от х.
а)
определим
;
б)
продифференцируем по х левую и правую
части равенства
,
причем,
дифференцируя функцию
по
переменной х, помним, чтоесть
функция от х:
;
в)
заменяя
через
,
получим:
и т.д.
10. Производные от функций, заданных параметрически
Найти
если
.
11. Дифференциалы первого и высших порядков
Дифференциалом
первого порядка функции
называется
главная, линейная относительно аргумента
часть. Дифференциалом аргумента
называется приращение аргумента:
.
Дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал аргумента:
.
Основные свойства дифференциала:
где
.
Если
приращение
аргумента
мало по абсолютной величине, то
и.
Таким образом, дифференциал функции может применяться для приближенных вычислений.
Дифференциалом
второго порядка функции
называется дифференциал от дифференциала
первого порядка:
.
Аналогично:
.
.
Если
и-
независимая переменная, то дифференциалы
высших порядков вычисляются по формулам
Найти дифференциалы первого и второго порядков функции
12. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя
Все вышеперечисленные пределы не использовали аппарат дифференциального исчисления. Однако, если необходимо найти
и
при
обе эти функции бесконечно малые или
обе бесконечно большие, то их отношение
не определено в точке
и, следовательно, представляет собой
неопределенность типаилисоответственно. Поскольку это отношение
в точке
может иметь предел, конечный или
бесконечный, то нахождение этого предела
называется раскрытием неопределенности
(правило Лопиталя Бернули),
и имеет место следующее равенство:
, если
и
.
=
.
Аналогичное
правило имеет место, если
и
,
т.е.
.
=
=
.
Правило
Лопиталя позволяет также раскрывать
неопределенности типа
и
.
Для вычисления
,
где
-
бесконечно малая, а
-
бесконечно большая при
(раскрытие
неопределенности типа
)
следует преобразовать произведение к
виду
(неопределенность типа ) или к виду(неопределенность типа) и далее использовать правило Лапиталя.
Для
вычисления
,
где
и
-
бесконечно большие при
(раскрытие неопределенности типа
)
следует преобразовать разность к виду
,
затем раскрыть неопределенностьтипа.
Если
,
то
.
Если
же
,
то получается неопределенность типа
(
),
которая раскрывается аналогично примеру
12).
Так
как
,
то получим в итоге неопределенность
типа
и далее имеем
.
Правилом
Лопиталя можно пользоваться также для
раскрытия неопределенностей типа
.
В этих случаях имеется в виду вычисление
предела выражения
,
где
в случае
есть
бесконечно малая, в случае
-
бесконечно большая, а в случае
-
функция, предел которой равен единице.
Функция
в
первых двух случаях является бесконечно
малой, а в последнем случае – бесконечно
большой функцией.
Прежде
чем искать предел таких выражений, их
логарифмируют, т.е. если
,
то
,
затем находят предел
,
и после чего находят предел.
Во всех перечисленных случаях
является неопределенностью типа
,
которую раскрывают аналогично примеру
12).
5.
(воспользуемся правилом Лопиталя)=
=
.
В этом произведении пределов первый равен 1, второй сомножитель представляет собой первый замечательный предел и он тоже равен 1, а последний сомножитель стремится к 0, следовательно:
и
тогда
.
=
;
.
7.
;
=
;
.
8.
;
=
;
.
КУРСОВУЮ РАБОТУ ВКЛЮЧЕНА 21 ЗАДАЧА.
№1-4 – Вычисление пределов функций;
№5-10 – Найти производные функций;
№11 – Найти первую производную;
№12 – Вычислить функции, заданной параметрическом виде;
№13 – Найти d 2 y ;
№14 – Найти y ( n ) ;
№15 – Составить уравнение нормали и касательной к кривой в точке x 0 ;
№16 – Вычислить значение функции приближенно с помощью дифференциала;
№17
– Найти
;
№18 – Найти ;
№19 – Найти ;
№20-21 – Вычислить предел, используя правило Лопиталя.
Вариант 1
№1.
.
№2.
.
№3.
.
№4.
.
Вычислить производную
№5.
.
Составить отношение и вычислить предел .
Откуда появилась таблица производных и правила дифференцирования ? Благодаря единственному пределу . Кажется волшебством, но в действительности – ловкость рук и никакого мошенничества. На уроке Что такое производная? я начал рассматривать конкретные примеры, где с помощью определения нашёл производные линейной и квадратичной функции. В целях познавательной разминки продолжим тревожить таблицу производных , оттачивая алгоритм и технические приёмы решения:
Пример 1
По сути, требуется доказать частный случай производной степенной функции, который обычно фигурирует в таблице: .
Решение технически оформляется двумя способами. Начнём с первого, уже знакомого подхода: лесенка начинается с дощечки, а производная функция – с производной в точке.
Рассмотрим некоторую
(конкретную) точку , принадлежащую области определения
функции , в которой существует производная. Зададим в данной точке приращение (разумеется, не выходящее за рамки
о/о
-я)
и составим соответствующее приращение функции:
Вычислим предел:
Неопределённость 0:0 устраняется стандартным приёмом, рассмотренным ещё в первом веке до нашей эры. Домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение :
Техника решения такого предела подробно рассмотрена на вводном уроке о пределах функций .
Поскольку в качестве можно выбрать ЛЮБУЮ точку интервала , то, осуществив замену , получаем:
Ответ
В который раз порадуемся логарифмам:
Пример 2
Найти производную функции , пользуясь определением производной
Решение : рассмотрим другой подход к раскрутке той же задачи. Он точно такой же, но более рационален с точки зрения оформления. Идея состоит в том, чтобы в начале решения избавиться от подстрочного индекса и вместо буквы использовать букву .
Рассмотрим произвольную точку , принадлежащую области определения функции (интервалу ), и зададим в ней приращение . А вот здесь, кстати, как и в большинстве случаев, можно обойтись без всяких оговорок, поскольку логарифмическая функция дифференцируема в любой точке области определения.
Тогда соответствующее приращение функции:
Найдём производную:
Простота оформления уравновешивается путаницей, которая может возникнуть у начинающих (да и не только). Ведь мы привыкли, что в пределе изменяется буква «икс»! Но тут всё по-другому: – античная статуя, а – живой посетитель, бодро шагающий по коридору музея. То есть «икс» – это «как бы константа».
Устранение неопределённости закомментирую пошагово:
(1) Используем свойство логарифма .
(2) В скобках почленно делим числитель на знаменатель.
(3) В знаменателе искусственно домножаем и делим на «икс» чтобы воспользоваться замечательным пределом , при этом в качестве бесконечно малой величины выступает .
Ответ : по определению производной:
Или сокращённо:
Предлагаю самостоятельно сконструировать ещё две табличные формулы:
Пример 3
В данном случае составленное приращение сразу же удобно привести к общему знаменателю. Примерный образец оформления задания в конце урока (первый способ).
Пример 3:
Решение
: рассмотрим некоторую точку
, принадлежащую области определения функции
. Зададим в данной точке приращение
и составим соответствующее приращение функции:
Найдём производную в точке
:
Так как в качестве
можно выбрать любую точку
области определения функции
, то
и
Ответ
:
по определению производной
Пример 4
Найти производную по определению
А тут всё необходимо свести к замечательному пределу . Решение оформлено вторым способом.
Аналогично выводится ряд других табличных производных . Полный список можно найти в школьном учебнике, или, например, 1-м томе Фихтенгольца. Не вижу особого смысла переписывать из книг и доказательства правил дифференцирования – они тоже порождены формулой .
Пример 4:
Решение
, принадлежащую
, и зададим в ней приращение
Найдём производную:
Используем замечательный предел
Ответ
:
по определению
Пример 5
Найти производную функции , используя определение производной
Решение
: используем первый стиль оформления. Рассмотрим некоторую точку , принадлежащую , изададим в ней приращение аргумента . Тогда соответствующее приращение функции:
Возможно, некоторые читатели ещё не до конца поняли принцип, по которому нужно составлять приращение . Берём точку (число) и находим в ней значение функции: , то есть в функцию вместо «икса» следует подставить . Теперь берём тоже вполне конкретное число и так же подставляем его в функцию вместо «икса»: . Записываем разность , при этом необходимо полностью взять в скобки .
Составленное приращение функции бывает выгодно сразу же упростить . Зачем? Облегчить и укоротить решение дальнейшего предела.
Используем формулы , раскрываем скобки и сокращаем всё, что можно сократить:
Индейка выпотрошена, с жаркое никаких проблем:
В итоге:
Поскольку в качестве можно выбрать любое действительное число, то проведём замену и получим .
Ответ : по определению.
В целях проверки найдём производную с помощью правил дифференцирования и таблицы
:
Всегда полезно и приятно знать правильный ответ заранее, поэтому лучше мысленно либо на черновике продифференцировать предложенную функцию «быстрым» способом в самом начале решения.
Пример 6
Найти производную функции по определению производной
Это пример для самостоятельного решения. Результат лежит на поверхности:
Пример 6:
Решение
: рассмотрим некоторую точку
, принадлежащую
, и зададим в ней приращение аргумента
. Тогда соответствующее приращение функции:
Вычислим производную:
Таким образом:
Поскольку в качестве
можно выбрать любое действительное число, то
и
Ответ
:
по определению.
Вернёмся к стилю №2:
Пример 7
Давайте немедленно узнаем, что должно получиться. По правилу дифференцирования сложной функции
:
Решение
: рассмотрим произвольную точку , принадлежащую , зададим в ней приращение аргумента и составим приращение функции:
Найдём производную:
(1) Используем тригонометрическую формулу
.
(2) Под синусом раскрываем скобки, под косинусом приводим подобные слагаемые.
(3) Под синусом сокращаем слагаемые, под косинусом почленно делим числитель на знаменатель.
(4) В силу нечётности синуса выносим «минус». Под косинусом указываем, что слагаемое .
(5) В знаменателе проводим искусственное домножение, чтобы использовать первый замечательный предел . Таким образом, неопределённость устранена, причёсываем результат.
Ответ : по определению
Как видите, основная трудность рассматриваемой задачи упирается в сложность самого предела + небольшое своеобразие упаковки. На практике встречаются и тот и другой способ оформления, поэтому я максимально подробно расписываю оба подхода. Они равноценны, но всё-таки, по моему субъективному впечатлению, чайникам целесообразнее придерживаться 1-го варианта с «икс нулевым».
Пример 8
Пользуясь определением, найти производную функции
Пример 8:
Решение
: рассмотрим произвольную точку
, принадлежащую
, зададим в ней приращение
и составим приращение функции:
Найдём производную:
Используем тригонометрическую формулу
и первый замечательный предел:
Ответ
:
по определению
Разберём более редкую версию задачи:
Пример 9
Найти производную функции в точке , пользуясь определением производной.
Во-первых, что должно получиться в сухом остатке? Число
Вычислим ответ стандартным способом:
Решение : с точки зрения наглядности это задание значительно проще, так как в формуле вместо рассматривается конкретное значение.
Зададим в точке приращение и составим соответствующее приращение функции:
Вычислим производную в точке:
Используем весьма редкую формулу разности тангенсов и в который раз сведём решение к первому замечательному пределу :
Ответ : по определению производной в точке.
Задачу не так трудно решить и «в общем виде» – достаточно заменить на или просто в зависимости от способа оформления. В этом случае, понятно, получится не число, а производная функция.
Пример 10
Используя определение, найти производную функции в точке (одно из которых может оказаться и бесконечным) , о котором я в общих чертах уже рассказал на теоретическом уроке о производной .
Некоторые кусочно-заданные функции дифференцируемы и в точках «стыка» графика, например, котопёс обладает общей производной и общей касательной (ось абсцисс) в точке . Кривой, да дифференцируемый на ! Желающие могут убедиться в этом самостоятельно по образцу только что решённого примера.
©2015-2019 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-06-11
Когда человек сделал первые самостоятельные шаги в изучении математического анализа и начинает задавать неудобные вопросы, то уже не так-то просто отделаться фразой, что «дифференциальное исчисление найдено в капусте». Поэтому настало время набраться решимости и раскрыть тайну появления на светтаблицы производных и правил дифференцирования . Начало положено в статьео смысле производной , которую я настоятельно рекомендую к изучению, поскольку там мы как раз рассмотрели понятие производной и начали щёлкать задачи по теме. Этот же урок носит ярко выраженную практическую направленность, более того,
рассматриваемые ниже примеры, в принципе, можно освоить и чисто формально (например, когда нет времени/желания вникать в суть производной). Также крайне желательно (однако опять не обязательно) уметь находить производные «обычным» методом – хотя бы на уровне двух базовых занятий: Как найти производную?и Производная сложной функции.
Но без чего-чего сейчас точно не обойтись, так это безпределов функций . Вы должны ПОНИМАТЬ, что такое предел и уметь решать их, как минимум, на среднем уровне. А всё потому, чтопроизводная
функции в точке определяется формулой:
Напоминаю обозначения и термины: называютприращением аргумента ;
– приращением функции;
– это ЕДИНЫЕ символы («дельту» нельзя «отрывать» от «икса» или «игрека»).
Очевидно, что является «динамической» переменной,– константой и результат вычисления предела– числом(иногда – «плюс» либо «минус» бесконечностью) .
В качестве точки можно рассмотреть ЛЮБОЕ значение, принадлежащееобласти определения функции, в котором существует производная.
Примечание : оговорка «в котором существует производная» –в общем случае существенна ! Так, например, точкахоть и входит в область определения функции, но производной
там не существует. Поэтому формула
не применима в точке,
и укороченная формулировка без оговорки будет некорректна. Аналогичные факты справедливы и для других функций с «обрывами» графика, в частности, для арксинуса и арккосинуса.
Таким образом, после замены , получаем вторую рабочую формулу:
Обратите внимание на коварное обстоятельство, которое может запутать чайника: в данном пределе «икс», будучи сам независимой переменной, исполняет роль статиста, а «динамику» задаёт опять же приращение . Результатом вычисления предела
является производная функция.
Исходя из вышесказанного, сформулируем условия двух типовых задач:
– Найти производную в точке , используя определение производной.
– Найти производную функцию , используя определение производной. Эта версия, по моим наблюдениям, встречается заметно чаще и ей будет уделено основное внимание.
Принципиальное отличие заданий состоит в том, что в первом случае требуется найти число (как вариант, бесконечность) , а во втором –
функцию . Кроме того, производной может и вовсе не существовать.
Как ?
Составить отношение и вычислить предел.
Откуда появилась таблица производных и правила дифференцирования? Благодаря единственному пределу
Кажется волшебством, но в
действительности – ловкость рук и никакого мошенничества. На уроке Что такое производная? я начал рассматривать конкретные примеры, где с помощью определения нашёл производные линейной и квадратичной функции. В целях познавательной разминки продолжим тревожитьтаблицу производных , оттачивая алгоритм и технические приёмы решения:
По сути, требуется доказать частный случай производной степенной функции, который обычно фигурирует в таблице: .
Решение технически оформляется двумя способами. Начнём с первого, уже знакомого подхода: лесенка начинается с дощечки, а производная функция – с производной в точке.
Рассмотрим некоторую (конкретную) точку, принадлежащуюобласти определения функции, в которой существует производная. Зададим в данной точке приращение (разумеется, не выходящее за рамки о/о -я) и составим соответствующее приращение функции:
Вычислим предел:
Неопределённость 0:0 устраняется стандартным приёмом, рассмотренным ещё в первом веке до нашей эры. Домножим
числитель и знаменатель на сопряженное выражение :
Техника решения такого предела подробно рассмотрена на вводном уроке о пределах функций .
Поскольку в качестве можно выбрать ЛЮБУЮ точкуинтервала
То, осуществив замену, получаем:
В который раз порадуемся логарифмам:
Найти производную функции , пользуясь определением производной
Решение : рассмотрим другой подход к раскрутке той же задачи. Он точно такой же, но более рационален с точки зрения оформления. Идея состоит в том, чтобы в начале решения избавиться от
подстрочного индекса и вместо буквы использовать букву.
Рассмотрим произвольную точку, принадлежащуюобласти определения функции(интервалу), и зададим в ней приращение.А вот здесь, кстати, как и в большинстве случаев, можно обойтись без всяких оговорок, поскольку логарифмическая функция дифференцируема в любой точке области определения.
Тогда соответствующее приращение функции:
Найдём производную:
Простота оформления уравновешивается путаницей, которая может
возникнуть у начинающих (да и не только). Ведь мы привыкли, что в пределе изменяется буква «икс»! Но тут всё по-другому: – античная статуя, а– живой посетитель, бодро шагающий по коридору музея. То есть «икс» – это «как бы константа».
Устранение неопределённости закомментирую пошагово:
(1) Используем свойство логарифма .
(2) В скобках почленно делим числитель на знаменатель.
(3) В знаменателе искусственно домножаем и делим на «икс» чтобы
воспользоваться замечательным пределом , при этом в качествебесконечно малой величины выступает.
Ответ : по определению производной:
Или сокращённо:
Предлагаю самостоятельно сконструировать ещё две табличные формулы:
Найти производную по определению
В данном случае составленное приращение сразу же удобно привести к общему знаменателю. Примерный образец оформления задания в конце урока (первый способ).
Найти производную по определению
А тут всё необходимо свести к замечательному пределу . Решение оформлено вторым способом.
Аналогично выводится ряд других табличных производных . Полный список можно найти в школьном учебнике, или, например, 1- м томе Фихтенгольца. Не вижу особого смысла переписывать из книг и доказательства правил дифференцирования – они тоже порождены
формулой .
Переходим к реально встречающимся заданиям: Пример 5
Найти производную функции , используя определение производной
Решение : используем первый стиль оформления. Рассмотрим некоторую точку, принадлежащую, и зададим в ней приращение аргумента. Тогда соответствующее приращение функции:
Возможно, некоторые читатели ещё не до конца поняли принцип, по которому нужно составлять приращение . Берём точку(число) и находим в ней значение функции:, то есть в функцию
вместо «икса» следует подставить. Теперь берём
Составленное приращение функции бывает выгодно сразу же упростить . Зачем? Облегчить и укоротить решение дальнейшего предела.
Используем формулы , раскрываем скобки и сокращаем всё, что можно сократить:
Индейка выпотрошена, с жаркое никаких проблем:
В итоге:
Поскольку в качестве можно выбрать любое действительное число, то проведём заменуи получим.
Ответ :по определению.
В целях проверки найдём производную с помощью правил
дифференцирования и таблицы:
Всегда полезно и приятно знать правильный ответ заранее, поэтому лучше мысленно либо на черновике продифференцировать предложенную функцию «быстрым» способом в самом начале решения.
Найти производную функции по определению производной
Это пример для самостоятельного решения. Результат лежит на поверхности:
Вернёмся к стилю №2: Пример 7
Давайте немедленно узнаем, что должно получиться. По правилу дифференцирования сложной функции :
Решение : рассмотрим произвольную точку, принадлежащую, зададим в ней приращение аргументаи составим приращение
Найдём производную:
(1) Используем тригонометрическую формулу
(2) Под синусом раскрываем скобки, под косинусом приводим подобные слагаемые.
(3) Под синусом сокращаем слагаемые, под косинусом почленно делим числитель на знаменатель.
(4) В силу нечётности синуса выносим «минус». Под косинусом
указываем, что слагаемое .
(5) В знаменателе проводим искусственное домножение, чтобы использовать первый замечательный предел . Таким образом, неопределённость устранена, причёсываем результат.
Ответ :по определению Как видите, основная трудность рассматриваемой задачи упирается в
сложность самого предела + небольшое своеобразие упаковки. На практике встречаются и тот и другой способ оформления, поэтому я максимально подробно расписываю оба подхода. Они равноценны, но всё-таки, по моему субъективному впечатлению, чайникам целесообразнее придерживаться 1-го варианта с «икс нулевым».
Пользуясь определением, найти производную функции
Это задание для самостоятельного решения. Образец оформлен в том же духе, что предыдущий пример.
Разберём более редкую версию задачи:
Найти производную функции в точке, пользуясь определением производной.
Во-первых, что должно получиться в сухом остатке? Число Вычислим ответ стандартным способом:
Решение : с точки зрения наглядности это задание значительно проще, так как в формулевместо
рассматривается конкретное значение.
Зададим в точке приращениеи составим соответствующее приращение функции:
Вычислим производную в точке:
Используем весьма редкую формулу разности тангенсов и в который раз сведём решение кпервому
замечательному пределу:
Ответ :по определению производной в точке.
Задачу не так трудно решить и «в общем виде» – достаточно заменить наили простов зависимости от способа оформления. В этом случае, понятно, получится не число, а производная функция.
Пример 10 Используя определение, найти производную функциив точке
Это пример для самостоятельного решения.
Заключительная бонус-задача предназначена, прежде всего, для студентов с углубленным изучением математического анализа, но и всем остальным тоже не помешает:
Будет ли дифференцируема функция в точке?
Решение : очевидно, что кусочно-заданная функциянепрерывна в точке, но будет ли она там дифференцируема?
Алгоритм решения, причём не только для кусочных функций, таков:
1) Находим левостороннюю производнуюв данной точке: .
2) Находим правостороннюю производнуюв данной точке: .
3) Если односторонние производныеконечны и совпадают:
, то функциядифференцируема в точкеи
геометрически здесь существует общая касательная (см. теоретическую часть урока Определение и смысл производной ).
Если получены два разных значения: (одно из которых может оказаться и бесконечным) , то функция не дифференцируема в точке.
Если же обе односторонние производные равны бесконечности
(пусть даже разных знаков), то функция не
дифференцируема в точке , но там существует бесконечная производная и общая вертикальная касательная к графику(см. Пример 5 урока Уравнение нормали ) .
Производная функции одной переменной.
Введение.
Настоящие методические разработки предназначены для студентов факультета промышленное и гражданское строительство. Они составлены применительно к программе курса математики по разделу «Дифференциальное исчисление функций одного переменного».
Разработки представляют собой единое методическое руководство, включающее в себя: краткие теоретические сведения; «типовые» задачи и упражнения с подробными решениями и пояснениями к этим решениям; варианты контрольной работы.
В конце каждого параграфа дополнительные упражнения. Такая структура разработок делает их пригодными для самостоятельного овладения разделом при самой минимальной помощи со стороны преподавателя.
§1. Определение производной.
Механический и геометрический смысл
производной.
Понятие производной является одним из самых важных понятий математического анализа.Оно возникло еще в 17 веке. Формирование понятия производной исторически связано с двумя задачами: задачей о скорости переменного движения и задачей о касательной к кривой.
Эти задачи, несмотря на их различное содержание, приводят к одной и той же математической операции, которую нужно провести над функцией.Эта операция получила в математике специальное название. Она называется операцией дифференцирования функции. Результат операции дифференцирования называется производной.
Итак, производной функцииy=f(x)
в точкеx0 называется
предел (если он существует) отношения
приращения функции
к приращению аргумента
при
.
Производную принято обозначать
так:
.
Таким образом, по определению
Для обозначения производной употребляются
также символы
.
Механический смысл производной.
Если s=s(t)
– закон прямолинейного движения
материальной точки, то
есть скорость этой точки в момент времениt.
Геометрический смысл производной.
Если функция y=f(x)
имеет производную в точке,
то угловой коэффициент касательной к
графику функции в точке
равен
.
Пример.
Найдите производную функции
в точке=2:
1) Дадим точке
=2
приращение
.
Заметим, что.
2) Найдем приращение функции в точке =2:
3) Составим отношение приращения функции к приращению аргумента:
Найдем предел отношения при
:
.
Таким образом,
.
§ 2. Производные от некоторых
простейших функций.
Студенту необходимо научиться вычислять производные конкретных функций: y=x,y=и вообщеy=.
Найдем производную функции у=х.
т.е. (x)′=1.
Найдем производную функции
Производная
Пусть
тогда
Легко заметить закономерность в
выражениях производных от степенной
функции
приn=1,2,3.
Следовательно,
. (1)
Эта формула справедлива для любых действительных n.
В частности, используя формулу (1), имеем:
;
.
Пример.
Найдите производную функции
.
.
Данная функция является частным случаем функции вида
при
.
Используя формулу (1), имеем
.
Производные функций y=sin x и y=cos x.
Пусть y=sinx.
Разделим на ∆x, получим
Переходя к пределу при ∆x→0, имеем
Пусть y=cosx .
Переходя к пределу при ∆x→0, получим
;
.
(2)
§3. Основные правила дифференцирования.
Рассмотрим правила дифференцирования.
Теорема 1 . Если функцииu=u(x) иv=v(x) дифференцируемы в данной точкеx,то в этой точке дифференцируема и их сумма, причем производная суммы равна сумме производных слагаемых: (u+v)"=u"+v".(3)
Доказательство: рассмотрим функцию y=f(x)=u(x)+v(x).
Приращению ∆x аргумента x соответствуют приращения ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) функций u и v. Тогда функция y получит приращение
∆y=f(x+∆x)-f(x)=
=--=∆u+∆v.
Следовательно,
Итак, (u+v)"=u"+v".
Теорема 2. Если функцииu=u(x) иv=v(x) дифференцируемы в данной точкеx, то в той же точке дифференцируемо и их произведение.При этом производная произведения находится по следующей формуле: (uv)"=u"v+uv". (4)
Доказательство: Пусть y=uv, где u и v – некоторые дифференцируемые функции от x. Дадим x приращение ∆x;тогда u получит приращение ∆u, v получит приращение ∆v и y получит приращение ∆y.
Имеем y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), или
y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.
Следовательно, ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.
Отсюда
Переходя к пределу при ∆x→0 и учитывая, чтоuиvне зависят от ∆x, будем иметь
Теорема 3 . Производная частного двух функций равна дроби, знаменатель которой равен квадрату делителя, а числитель- разности между произведением производной делимого на делитель и произведением делимого на производную делителя, т.е.
Если
то
(5)
Теорема 4. Производная постоянной равна нулю, т.е. если y=C, где С=const, то y"=0.
Теорема 5. Постоянный множитель можно выносить за знак производной, т.е. если y=Cu(x), где С=const, то y"=Cu"(x).
Пример 1.
Найдите производную функции
.
Данная функция имеет вид
,
гдеu=x,v=cosx. Применяя правило
дифференцирования (4), находим
.
Пример 2.
Найдите производную функции
.
Применим формулу (5).
Здесь
;
.
Задачи.
Найдите производные следующих функций:
;
11)
2)
;
12)
;
3)
13)
4)
14)
5)
15)
6)
16)
7
)
17)
8)
18)
9)
19)
10)
20)
При решении различных задач геометрии, механики, физики и других отраслей знания возникла необходимость с помощью одного и того же аналитического процесса из данной функции y=f(x) получать новую функцию, которую называют производной функцией (или просто производной) данной функции f(x) и обозначают символом
Тот
процесс, с помощью которого из данной
функции f(x)
получают новую функцию f
" (x)
,
называют дифференцированием
и состоит он из следующих трех шагов:
1)
даем аргументу x
приращение
x
и определяем соответствующее приращение
функции
y
= f(x+
x)
-f(x)
;
2)
составляем отношение
3)
считая x
постоянным, а
x
0,
находим
,
который обозначаем черезf
" (x)
,
как бы подчеркивая тем самым, что
полученная функция зависит лишь от того
значения x
,
при котором мы переходим к
пределу.
Определение
:
Производной
y " =f " (x)
данной
функции y=f(x)
при
данном x
называется предел отношения приращения
функции к приращению аргумента при
условии, что приращение аргумента
стремится к нулю, если, конечно, этот
предел существует, т.е. конечен.
Таким
образом,
,
или
Заметим,
что если при некотором значении x
,
например при x=a
,
отношение
при
x
0
не стремится к конечному пределу, то в
этом случае говорят, что функция f(x)
при x=a
(или в точке x=a
)
не имеет производной или не дифференцируема
в точке x=a
.
2. Геометрический смысл производной.
Рассмотрим график функции у = f (х), дифференцируемой в окрестностях точки x 0
f(x)
Рассмотрим произвольную прямую, проходящую через точку графика функции - точку А(x 0 , f (х 0)) и пересекающую график в некоторой точке B(x;f(x)). Такая прямая (АВ) называется секущей. Из ∆АВС: АС = ∆x; ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x .
Так как АС || Ox, то ALO = BAC = β (как соответственные при параллельных). Но ALO - это угол наклона секущей АВ к положительному направлению оси Ох. Значит, tgβ = k - угловой коэффициент прямой АВ.
Теперь будем уменьшать ∆х, т.е. ∆х→ 0. При этом точка В будет приближаться к точке А по графику, а секущая АВ будет поворачиваться. Предельным положением секущей АВ при ∆х→ 0 будет прямая (a), называемая касательной к графику функции у = f (х) в точке А.
Если
перейти к пределу при ∆х → 0 в равенстве
tgβ
=∆y/∆x,
то получим
илиtg
=f
"(x 0),
так как
-угол
наклона касательной к положительному
направлению оси Ох
,
по определению производной. Но tg
= k - угловой коэффициент касательной,
значит, k = tg
= f
"(x 0).
Итак, геометрический смысл производной заключается в следующем:
Производная функции в точке x 0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции, проведенной в точке с абсциссой x 0 .
3. Физический смысл производной.
Рассмотрим движение точки по прямой. Пусть задана координата точки в любой момент времени x(t). Известно (из курса физики), что средняя скорость за промежуток времени равна отношению расстояния, пройденного за этот промежуток времени, на время, т.е.
Vср = ∆x/∆t. Перейдем к пределу в последнем равенстве при ∆t → 0.
lim Vср (t) = (t 0) - мгновенная скорость в момент времени t 0 , ∆t → 0.
а lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (по определению производной).
Итак, (t) =x"(t).
Физический смысл производной заключается в следующем: производная функции y = f (x ) в точке x 0 - это скорость изменения функции f (х) в точке x 0
Производная применяется в физике для нахождения скорости по известной функции координаты от времени, ускорения по известной функции скорости от времени.
(t) = x"(t) - скорость,
a(f) = "(t) - ускорение, или
Если известен закон движения материальной точки по окружности, то можно найти угловую скорость и угловое ускорение при вращательном движении:
φ = φ(t) - изменение угла от времени,
ω = φ"(t) - угловая скорость,
ε = φ"(t) - угловое ускорение, или ε = φ"(t).
Если известен закон распределения массы неоднородного стержня, то можно найти линейную плотность неоднородного стержня:
m = m(х) - масса,
x , l - длина стержня,
р = m"(х) - линейная плотность.
С помощью производной решаются задачи из теории упругости и гармонических колебаний. Так, по закону Гука
F = -kx, x – переменная координата, k- коэффициент упругости пружины. Положив ω 2 =k/m, получим дифференциальное уравнение пружинного маятника х"(t) + ω 2 x(t) = 0,
где ω = √k/√m частота колебаний (l/c), k - жесткость пружины (H/m).
Уравнение вида у" + ω 2 y = 0 называется уравнением гармонических колебаний (механических, электрических, электромагнитных). Решением таких уравнений является функция
у = Asin(ωt + φ 0) или у = Acos(ωt + φ 0), где
А - амплитуда колебаний, ω - циклическая частота,
φ 0 - начальная фаза.