Умножение и деление дробей. Как решать примеры с дробями

Дробь - число, которое состоит из целого числа долей единицы и представляется в виде: a/b

Числитель дроби (a) - число, находящееся над чертой дроби и показывающее количество долей, на которые была поделена единица.

Знаменатель дроби (b) - число, находящееся под чертой дроби и показывающее на сколько долей поделили единицу.

2. Приведение дробей к общему знаменателю

3. Арифметические действия над обыкновенными дробями

3.1. Сложение обыкновенных дробей

3.2. Вычитание обыкновенных дробей

3.3. Умножение обыкновенных дробей

3.4. Деление обыкновенных дробей

4. Взаимно обратные числа

5. Десятичные дроби

6. Арифметические действия над десятичными дробями

6.1. Сложение десятичных дробей

6.2. Вычитание десятичных дробей

6.3. Умножение десятичных дробей

6.4. Деление десятичных дробей

#1. Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится дробь, равная данной.

3/7=3*3/7*3=9/21, то есть 3/7=9/21

**a/b=am/bm - так выглядит основное свойство дроби.**

Другими словами, мы получим дробь, равную данной, умножив или разделив числитель и знаменатель исходной дроби на одно и то же натуральное число.

Если ad=bc , то две дроби a/b =c /d считаются равными.

Например, дроби 3/5 и 9/15 будут равными, так как 3*15=5*9, то есть 45=45

Сокращение дроби - это процесс замены дроби, при котором новая дробь получается равной исходной, но с меньшим числителем и знаменателем.

Сокращать дроби принято, опираясь на основное свойство дроби.

Например, 45/60=15/ 20 =9/12=3/4 (числитель и знаменатель делится на число 3, на 5 и на 15 ).

Несократимая дробь - это дробь вида 3/4 , где числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами. Основная цель сокращения дроби - сделать дробь несократимой.

2. Приведение дробей к общему знаменателю

Чтобы привести две дроби к общему знаменателю, надо:

1) разложить знаменатель каждой дроби на простые множители;

2) умножить числитель и знаменатель первой дроби на недостающие

множители из разложения второго знаменателя;

3) умножить числитель и знаменатель второй дроби на недостающие множители из первого разложения.

Примеры: приведите дроби к общему знаменателю .

Разложим знаменатели на простые множители: 18=3∙3∙2, 15=3∙5

Умножили числитель и знаменатель дроби на недостающий множитель 5 из второго разложения.

числитель и знаменатель дроби на недостающие множители 3 и 2 из первого разложения.

= , 90 – общий знаменатель дробей .

3. Арифметические действия над обыкновенными дробями

3.1. Сложение обыкновенных дробей

а) При одинаковых знаменателях числитель первой дроби складывают с числителем второй дроби, оставляя знаменатель прежним. Как видно на примере:

a/b+c/b=(a+c)/b ;

б) При разных знаменателях дроби сначала приводят к общему знаменателю, а затем выполняют сложение числителей по правилу а) :

7/3+1/4=7*4/12+1*3/12=(28+3)/12=31/12

3.2. Вычитание обыкновенных дробей

а) При одинаковых знаменателях из числителя первой дроби вычитают числитель второй дроби, оставляя знаменатель прежним:

a/b-c/b=(a-c)/b ;

б) Если же знаменатели дробей различны, то сначала дроби приводят к общему знаменателю, а затем повторяют действия как в пункте а) .

3.3. Умножение обыкновенных дробей

Умножение дробей подчиняется следующему правилу:

a/b*c/d=a*c/b*d,

то есть перемножают отдельно числители и знаменатели.

Например:

3/5*4/8=3*4/5*8=12/40.

3.4. Деление обыкновенных дробей

Деление дробей производят следующим способом:

a/b:c/d=a*d/b*c,

то есть дробь a/b умножается на дробь, обратную данной, то есть умножается на d/c.

Пример: 7/2:1/8=7/2*8/1=56/2=28

4. Взаимно обратные числа

Если a*b=1, то число b является обратным числом для числа a .

Пример: для числа 9 обратным является 1/9 , так как 9*1/9= 1 , для числа 5 - обратное число 1/5 , так как 5* 1/5 = 1 .

5. Десятичные дроби

Десятичной дробью называется правильная дробь, знаменатель которой равен 10, 1000, 10 000, …, 10^n 1 0 , 1 0 0 0 , 1 0 0 0 0 , . . . , 1 0 n .

Например: 6/10=0,6; 44/1000=0,044 .

Таким же способом пишутся неправильные со знаменателем 10^n или смешанные числа.

Например: 51/10=5,1; 763/100=7,63

В виде десятичной дроби представляется любая обыкновенная дробь со знаменателем, который является делителем некой степени числа 10 .

менателем, который является делителем некой степени числа 10 .

Пример: 5 - делитель числа 100 , поэтому дробь 1/5=1 *20/5*20=20/100=0,2 0 = 0 , 2 .

6. Арифметические действия над десятичными дробями

6.1. Сложение десятичных дробей

Для сложения двух десятичных дробей, нужно их расположить так, чтобы друг под другом оказались одинаковые разряды и запятая под запятой, а затем выполнить сложение дробей как обычных чисел.

6.2. Вычитание десятичных дробей

Выполняется аналогично сложению.

6.3. Умножение десятичных дробей

При умножении десятичных чисел достаточно перемножить заданные числа, не обращая внимания на запятые (как натуральные числа), а в полученном ответе запятой справа отделяется столько цифр, сколько их стоит после запятой в обоих множителях суммарно.

Давайте выполним умножение 2,7 на 1,3 . Имеем 27 \cdot 13=351 2 7 ⋅ 1 3 = 3 5 1 . Отделяем справа две цифры запятой (у первого и второго числа - одна цифра после запятой; 1+1=2 1 + 1 = 2 ). В итоге получаем 2,7 \cdot 1,3=3,51 2 , 7 ⋅ 1 , 3 = 3 , 5 1 .

Если в полученном результате получается меньше цифр, чем надо отделить запятой, то впереди пишут недостающие нули, например:

Для умножения на 10 , 100 , 1000 , надо в десятичной дроби перенести запятую на 1 , 2 , 3 цифры вправо (в случае необходимости справа приписывается определенное число нулей).

Например: 1,47 \cdot 10 000 = 14 700 1 , 4 7 ⋅ 1 0 0 0 0 = 1 4 7 0 0 .

6.4. Деление десятичных дробей

Деление десятичной дроби на натуральное число производят также, как и деление натурального числа на натуральное. Запятая в частном ставится после того, как закончено деление целой части.

Если целая часть делимого меньше делителя, то в ответе получается нуль целых, например:

Рассмотрим деление десятичной дроби на десятичную. Пусть нужно разделить 2,576 на 1,12 . Первым делом, умножим делимое и делитель дроби на 100 , то есть перенесем запятую вправо в делимом и делителе на столько знаков, сколько их стоит в делителе после запятой (в данном примере на две). Затем нужно выполнить деление дроби 257,6 на натуральное число 112 , то есть задача сводится к уже рассмотренному случаю:

Бывает так, что не всегда получается конечная десятичная дробь при делении одного числа на другое. В результате получается бесконечная десятичная дробь. В таких случаях переходят к обыкновенным дробям.

Например, 2,8: 0,09= 28/10: 9/100= 28*100/10*9=2800/90=280/9 = 31 1/9 .

491. 1)

· 3

- 4

· 4

: 13

+ 6

: 2

неизвестное число.

то получится 100. Найти число.

499*. Если неизвестное число увеличить на 2 / 3 его, то получится 60. Какое это число?

Найти неизвестное число.

_____________________________________________________________

501. 1) Урожай картофеля при квадратно-гнездовой посадке составляет в среднем 150 ц с 1 га, а при обычной посадке этого количества. На сколько больше можно собрать картофеля с площади в 15 га, если посадку картофеля производить квадратно-гнездовым способом?

2) Опытный рабочий изготовил за 1 час 18 деталей, а малоопытный 2 / 3 этого количества. На сколько больше деталей изготовит опытный рабочий за 7-часовой рабочий день?

502. 1) Пионеры собрали в течение трёх дней 56 кг разных семян. В первый день было собрано 3 / 14 всего количества, во второй - в полтора раза больше, а в третий день - остальное зерно. Сколько килограммов семян собрали пионеры в третий день?

2) При размоле пшеницы получилось: муки 4 / 5 всего количества пшеницы, манной крупы - в 40 раз меньше, чем муки, а остальное - отруби. Сколько муки, манной крупы и отрубей в отдельности получилось при размоле 3 т пшеницы?

503. 1) В трёх гаражах помещается 460 машин. Число машин помещающихся в первом гараже составляет 3 / 4 числа машин помещающихся во втором, а в третьем гараже в 1 1 / 2 раза больше машин, чем в первом. Сколько машин помещается в каждом гараже?

2) На заводе, имеющем три цеха, работает 6 000 рабочих. Во втором цехе работает в 1 1 / 2 раза меньше, чем в первом, а число рабочих третьего цеха составляет 5 / 6 числа рабочих второго цеха. Сколько рабочих в каждом цехе?

504. 1) Из резервуара с керосином отлили вначале 2 / 5 , потом 1 / 3 всего керосина и после этого в резервуаре осталось 8 т керосина. Сколько керосина было в резервуаре первоначально?

2) Велосипедисты вели гонку в течение трёх дней. В первом день они проехали 4 / 15 всего пути, во второй 2 / 5 , а в третий день оставшиеся 100 км. Какой путь проехали велосипедисты за три дня?

505. 1) Ледокол три дня пробивался через ледяное поле. В первый день он прошёл 1 / 2 всего пути, во второй день 3 / 5 оставшегося пути и в третий день - остальные 24 км. Найти длину пути, пройденного ледоколом за три дня.

2) Три отряда школьников производили посадку деревьев. Первый отряд посадил 7 / 20 всех деревьев, второй 5 / 8 оставшихся деревьев, а третий - остальные 195 деревьев. Сколько всего деревьев посадили три отряда?

506 . 1) Комбайнер убрал урожай пшеницы с одного участка за три дня. В первый день он убрал урожай с 5 / 18 всей площади участка, во второй день с 7 / 13 оставшейся площади и в третий день - с остальной площади в 30 1 / 2 га. В среднем с каждого гектара собрано 20 ц пшеницы. Сколько пшеницы было собрано а всём участке?

2) Участники автопробега в первый день прошли 3 / 11 всего пути, во второй день 7 / 20 оставшегося пути, в третий день 5 / 13 нового остатка, а в четвёртый день - остальные 320 км. Как велик путь автопробега?

507. 1) Автомобиль прошёл в первый день 3 / 8 всего пути, во второй 15 / 17 того, что прошел в первый, и в третий день - остальные 200 км. Сколько бензина было израсходовано, если на 10 км пути автомобиль расходует 1 3 / 5 кг бензина?

2) Город состоит из четырёх районов. В первом районе живёт 4 / 13 всех жителей города, во втором 5 / 6 числа жителей первого района, в третьем 4 / 11 числа жителей первых двух районов, вместе взятых, а в четвёртом районе живёт 18 тысяч человек. Сколько хлеба требуется всему населению города на 3 дня, если в среднем один человек потребляет 500 г в день?

508. 1) Турист прошёл в первый день 10 / 31 всего пути, во второй 9 / 10 того, что прошёл в первый день, а в третий - остальную часть пути, причём в третий день он прошёл на 12 км больше, чем во второй день. Сколько километров прошёл турист в каждый из трёх дней?

2) Весь путь от города А до города Б автомобиль прошёл за три дня. В первый день автомобиль прошёл 7 / 20 всего пути, во второй 8 / 13 оставшегося пути, а в третий день автомобиль прошёл на 72 км меньше, чем в первый день. Каково расстояние между городами А и Б?

509 . 1) Исполком отвёл землю рабочим трёх заводов под садовые участки. Первому заводу было отведено 9 / 25 всего количества участков, второму заводу 5 /9 числа участков, отведенных для первого, а третьему - остальные участки. Сколько всего участков было отведено рабочим трёх заводов, если первому заводу было отведено на 50 участков меньше, чем третьему?

2) Самолёт доставил смену зимовщиков на полярную станцию из Москвы за три дня. В первый день он пролетел 2 / 5 всего пути, во второй 5 / 6 пути, пройденного им за первый день, а в третий день он пролетел на 500 км меньше, чем во второй день. Какое расстояние пролетел самолёт за тpи дня?

510 . 1) Завод имел три цеха. Число рабочих первого цеха составляет 2 / 5 всех рабочих завода; во втором цехе рабочих в 1 1 / 2 раза меньше, чем в первом, а в третьем цехе на 100 рабочих больше, чем во втором. Сколько всего рабочих на заводе?

2) В колхоз входят жители трёх соседних сёл. Число семей первого села составляет 3 / 10 всех семей колхоза; во втором селе число семей в 1 1 / 2 раза больше, чем в первом, а в третьем селе число семей на 420 меньше, чем во втором. Сколько всего семей в колхозе?

511 . 1) Артель израсходовала в первую неделю 1 / 3 имевшегося у неё запаса сырья, а во вторую 1 / 3 остатка. Сколько сырья осталось в артели, если в первую неделю расход сырья был на 3 / 5 т больше, чем во вторую неделю?

2) Из завезённого угля для отопления дома в первый месяц была израсходована 1/ 6 его часть, а во второй месяц 3 / 8 остатка. Сколько угля осталось для отопления дома, если во второй месяц было израсходовано на 1 3 / 4 т больше, чем в первый месяц?

512 . 3 / 5 всей земли колхоза отведено под посев зерна, 13 / 36 остатка занято огородами и лугом, остальная земля -лесом, причём посевная площадь колхоза на 217 га больше площади леса, 1 / 3 земли, отведённой под посевы зерна, засеяна рожью, а остальная - пшеницей. Сколько гектаров земли засеял колхоз пшеницей и сколько рожью?

513. 1) Трамвайный маршрут имеет в длину 14 3 / 8 км. На протяжении этого маршрута трамвай делает 18 остановок, затрачивая в среднем на каждую остановку до 1 1 / 6 мин. Средняя скорость движения трамвая на всём маршруте 12 1 / 2 км в час. Сколько времени требуется трамваю для совершения одного рейса?

2) Маршрут автобуса 16 км. На протяжении этого маршрута автобус делает 36 остановок, по 3 / 4 мин. в среднем каждая. Средняя скорость автобуса 30 км в час. Сколько времени требуется автобусу на один маршрут?

514*. 1) Сейчас 6 часов вечера. Какая часть суток осталась и какую часть она составляет от прошедшей части суток?

2) Пароход по течению проходит расстояние между двумя городами за 3 сут. и обратно это же расстояние за 4 сут. Сколько суток будут плыть по течению плоты от одного города до другого?

516 . Найти среднее арифметическое чисел:

Сколько километров в среднем он проходил в час?

519. 1) Тракторист выполнил задание по вспашке земли за три дня. В первый день он

земли вспахал тракторист за день?

2) Отряд школьников, совершая туристский трёхдневный поход, находился в пути в первый

находились ежедневно в пути школьники?

520. 1) В доме живут три семьи. Первая семья для освещения квартиры имеет 3 электрические лампочки, вторая 4 и третья 5 лампочек. Сколько должна заплатить каждая семья за электроэнергию, если все лампы были одинаковы, а общий счёт (на весь дом) оплаты электроэнергии был 7 1 / 5 руб.?

2) Полотёр натирал полы в доме, где жили три семьи. Первая семья имела жилую площадь

2 руб. 08 коп. Сколько уплатила каждая семья?

картофеля в среднем собрано с каждого куста?

2) Если сложить числа, выражающие ширину Татарского и ширину Керченского проливов

каждого пролива?

2) Острова Новая Земля, Сахалин и Северная Земля вместе занимают площадь

перечисленных островов?

площадь третьей. Какова площадь второй комнаты?

день. Сколько часов велосипедист был в пути во второй день соревнований?

каждый кусок железа?

крупы, то в обоих ящиках станет крупы поровну. Сколько крупы в каждом ящике?

в каждом ящике?

Какова скорость течения реки?

529 . 1) В двух гаражах 110 машин, причём в одном из них в 1 1 / 5 раза больше, чем в другом. Сколько машин в каждом гараже?

____________________________________________________________

530 . 1) Сплав, состоящий из меди и серебра, весит 330 г. Вес меди в этом сплаве

Найти эти числа.

учеников в классе по списку, если присутствует на 20 человек больше, чем отсутствует?

сколько сыну?

535 . Знаменатель дроби на 11 единиц больше её числителя. Чему равна дробь, если её

№ 536-№ 537 устно.

второе число?

число? Какую часть второго числа составляет первое?

мальчиком, численно равны - числа грибов, собранных вторым мальчиком. Сколько грибов собрал каждый мальчик?

2) В учреждении работает 27 человек. Сколько работает мужчин и сколько женщин,

540*. Три мальчика купили волейбольный мяч. Определить взнос каждого мальчика, зная,

третьего мальчика больше взноса первого на 64 коп.

второго числа.

_______________________________________

542 .1) Первая бригада может выполнить некоторую работу за 36 дней, а вторая за 45 дней. За сколько дней обе бригады, работая вместе, выполнят эту работу?

2) Пассажирский поезд проходит расстояние между двумя городами за 10 час, а товарный это расстояние проходит за 15 час. Оба поезда вышли одновременно из этих городов навстречу друг другу. Через сколько часов они встретятся?

обоих городов одновременно навстречу друг другу? (Ответ округлить с точностью до 1 часа.)

2) Два мотоциклиста выехали одновременно из двух городов навстречу друг другу. Один мотоциклист может проехать всё расстояние между этими городами за 6 час, а другой за 5 час. Через сколько часов после выезда встретятся мотоциклисты? (Ответ округлить с точностью до 1 часа.)

544 . 1) Три автомобиля различной грузоподъёмности могут перевезти некоторый груз,

работая отдельно: первый -за 10 час, второй-за 12 час. и третий - за 15 час. За сколько часов они могут перевезти тот же груз, работая совместно?

2) Из двух станций выходят одновременно навстречу друг другу два поезда: первый поезд

часов после выхода поезда встретятся?

545 . 1) К ванне подведены два крана. Через один из них ванна может наполниться за

открыть сразу оба крана?

2) Две машинистки должны перепечатать рукопись. Первая машинистка может выполнить

машинистки, если они будут работать одновременно?

546. 1) Бассейн наполняется первой трубой за 5 час, а через вторую трубу он может быть опорожнен за 6 час. Через сколько часов будет наполнен весь бассейн, если одновременно открыть обе трубы?

У к а з а н и е. За час бассейн наполняется на (1 / 5 - 1 / 6) своей ёмкости.

2) Два трактора вспахали поле за 6 час. Первый трактор, работая один, мог бы вспахать это поле за 15 час. За сколько часов вспахал бы это поле второй трактор, работая один?

547 *. Из двух станций выходят одновременно навстречу друг другу два поезда и встречаются через 18 час после своего выхода. За сколько времени второй поезд проходит расстояние между станциями, если первый поезд проходит это расстояние за 1 сутки 21 час?

548 *. Бассейн наполняется двумя трубами. Сначала открыли первую трубу, а затем через

совместной работы бассейн наполнился. Определить вместимость бассейна, если через вторую трубу вливалось 200 вёдер воды в час.

______________________________________________________________________________

Ленинградом 650 км?

2) От колхоза до города 24 км. Из колхоза выехала грузовая машина, которая проходит 1 км за

со скоростью вдвое меньшей, чем скорость грузовой машины. Через сколько времени после своего выезда велосипедист встретится с грузовой машиной?

Через сколько часов после выхода пешехода его догонит велосипедист?

сколько времени скорый поезд догонит товарный?

551 . 1) Из двух колхозов, через которые проходит дорога в районный центр, выехали

расстояние между колхозами.

большей скорости поезда. Через сколько часов после своего вылета самолет нагонит поезд?

552 . 1) Расстояние между городами по реке 264 км. Это расстояние пароход прошёл

стоял катер на каждой остановке?

554 . Из Ленинграда в Кронштадт в 12 час. дня вышел пароход и прошёл всё

первый.В котором часу произошла встреча обоих пароходов?

555 . Поезд должен был пройти расстояние в 630 км за 14 час. Пройдя 2 / 3 этого расстояния, он был задержан на 1 час 10 мин. С какой скоростью он должен продолжать путь, чтобы прийти к месту назначения без опоздания?

556 . В 4 часа 20 мин. утра из Киева в Одессу вышел товарный поезд со средней

если расстояние между Киевом и Одессой 663 км?

557* . Часы показывают полдень. Через сколько времени часовая и минутная стрелки совпадут?

_____________________________________

школе на 420 учащихся меньше, чем во второй. Сколько всего учащихся в трёх школах?

559. 1) Два комбайнера работали на одном участке. После того, как один комбайнер убрал

га больше, чем второй. В среднем с каждого гектара намолачивали по 32 1 / 2 ц зерна. Сколько центнеров зерна намолотил каждый комбайнер?

причём у первого было на 2 руб. 25 коп. больше, чем у второго. Каждый уплатил половину стоимости аппарата. Сколько денег осталось у каждого?

560. 1) Из города А в город Б, расстояние между которыми 215 км, вышел легковой автомобиль со скоростью 50 км в час. Одновременно с ним из города Б в город А вышел грузовой автомобиль. Сколько километров прошёл легковой автомобиль до встречи с

2) Между городами А и Б 210 км. Из города А в город Б вышла легковая машина. Одновременно с ней из города Б в город А вышла грузовая машина. Сколько километров прошла грузовая машина до встречи с легковой, если легковая машина шла со скоростью 48 км в час, а

561. Колхоз собрал урожай пшеницы и ржи. Пшеницей было засеяно на 20 га больше, чем

хлеб оставил для удовлетворения своих нужд. Сколько потребовалось совершить рейсов двухтонным машинам для вывоза проданного государству хлеба?

562. На хлебозавод привезли ржаную и пшеничную муку. Вес пшеничной муки составил 3 / 5 веса ржаной муки, причём ржаной муки привезено на 4 т больше, чем пшеничной. Сколько пшеничного и сколько ржаного хлеба будет выпечено хлебозаводом из этой

первые два дня вместе. Найти длину шоссе между колхозами.

______________________________________________________________

564 . Заполнить свободные места в таблице, где S - площадь прямоугольника, а - основание прямоугольника, a h - высота (ширина) прямоугольника.

Найти периметр и площадь участка.

периметр и площадь участка.

площадь прямоугольника.

567.

567. Вычислить площади фигур, изображённых на рисунке 30, разбив их на прямоугольники и найдя измерением размеры прямоугольника.

фасолью. Сколько семян потребовалось для засева участка, если на 1 га высевали 1 ц?

2) С поля прямоугольной формы собрали урожай пшеницы по 25 ц с 1 га. Сколько было собрано пшеницы со всего поля, если длина поля 800 м, а ширина равна 3 / 8 его длины?

площади занято строениями. Определить площадь земли под строениями.

колхоз предполагает разбить сад. Сколько деревьев будет посажено в этом саду, если под каждое дерево в среднем нужно отвести площадь в 36 кв. м?

571 . 1) Для нормального освещения дневным светом комнаты необходимо, чтобы площадь

2) Используя условие предыдущей задачи, выясните, достаточно ли света в вашем классе.

2) Поленница дров имеет форму прямоугольного параллелепипеда, размеры которого

в бассейн.

574 . Вокруг прямоугольного участка земли, длина которого 75 м и ширина 45 м, надо построить забор. Сколько кубометров досок должно пойти на его устройство, если

________________________________________________________________________________

575. 1) Какой угол составляют минутная и часовая стрелки в 13 час? в 15 час? в 17 час? в 21 час? в 23 часа 30 мин.?

2) На сколько градусов повернётся часовая стрелка за 2 часа? 5 час? 8 час? 30 мин.?

окружности?

576. 1) Начертите с помощью транспортира: а) прямой угол; б) угол в 30°; в) угол в 60°; г) угол в 150°; д) угол в 55°.

2) Измерьте с помощью транспортира углы фигуры и найдите сумму всех углов каждой фигуры (рис. 31).

577 . Выполнить действия:

1) 36º15"+43º30" 2) 53º29" + 20º41"

3) 16º+23º07" +33º56" 4) 36º15" – 21º11"

5) 48º-19º52" 6) 51º12"-37º45"

7) 17º12·3 8) 39º18·4

9) 13º53"·5 10) 42º22":2

11)58º3":3 12) 49º24":4

578. 1) Полуокружность разделена на две дуги, из которых одна на 100º больше другой. Найти величину каждой дуги.

2) Полуокружность разделена на две дуги, из которых одна на 15° меньше другой. Найти величину каждой дуги.

3) Полуокружность разделена на две дуги, из которых одна в два раза больше другой. Найти величину каждой дуги.

4) Полуокружность разделена на две дуги, из которых одна в 5 раз меньше другой. Найти величину каждой дуги.

___________________________________________________________________________

579. 1) На диаграмме «Грамотность населения в СССР» (рис. 32) изображено число грамотных, приходящихся на сто человек населения. По данным диаграммы и её масштабу определить число грамотных мужчин и женщин для каждого из указанных годов.

2) Используя данные диаграммы «Советские, посланцы в космос» (рис. 33), составить задачи.

580. 1) По данным секторной диаграммы «Режим дня для ученика V класса» (рис. 34) заполнить таблицу и ответить на вопросы: какая часть суток отводится на сон? на домашние занятия? на занятия в школе?

2) Построить секторную диаграмму о режиме своего дня.

Арифметические действия с обыкновенными дробями

1. Сложение.

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тот же.

Пример. .

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, надо привести их к наименьшему общему знаменателю, а затем сложить полученные числители и под суммой подписать общий знаменатель.

Пример.

Короче записывают так:

Чтобы сложить смешанные числа, нужно отдельно найти сумму целых и сумму дробных частей. Действие записывается так:

2. Вычитание.

Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно вычесть числитель вычитаемого из числителя уменьшаемого и оставить прежний знаменатель. Действие записывают так:

Чтобы вычесть дроби с разными знаменателями, нужно сначала привести их к наименьшему общему знаменателю, затем из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого и под их разностью подписать общий знаменатель. Действие записывают так:

Если нужно вычесть одно смешанное число из другого смешанного числа, то, если можно, вычитают дробь из дроби, а целое из целого. Действие записывают так:

Если же дробь вычитаемого больше дроби уменьшаемого, то берут одну единицу из целого числа уменьшаемого, раздробляют ее в надлежащие доли и прибавляют к дроби уменьшаемого, после чего поступают, как описано выше. Действие записывают так:

Аналогично поступают, когда надо вычесть из целого числа дробное.

Пример. .

3. Распространение свойств сложения и вычитания на дробные числа. Все законы и свойства сложения и вычитания натуральных чисел справедливы и для дробных чисел. Их применение во многих случаях значительно упрощает процесс вычисления.

4. Умножение.

Чтобы умножить дробь на дробь, нужно умножить числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель и первое произведение сделать числителем, а второе - знаменателем.

При умножении следует делать (если возможно) сокращение.

Пример. .

Если учесть, что целое число представляет собой дробь со знаменателем 1, то умножение дроби на целое число и целого числа на дробь можно выполнять поэтому же правилу.

Примеры.

5. Умножение смешанных чисел.

Чтобы перемножить смешанные числа, нужно предварительно обратить их в неправильные дроби и потом перемножать по правилу умножения дробей.

Пример. .

6. Деление дроби на дробь.

Чтобы разделить дробь на дробь, нужно числитель первой дроби умножить на знаменатель второй, а знаменатель первой на числитель второй и первое произведение записать числителем, а второе - знаменателем.

Пример. .

По этому же правилу можно выполнять деление дроби на целое число и целого на дробь, если представить целое число в виде дроби со знаменателем 1.

Примеры.

7. Деление смешанных чисел.

Чтобы выполнить деление смешанных чисел, их предварительно обращают в неправильные дроби и затем делят по правилу деления дробей.

Пример. .

8. Замена деления умножением.

Если в какой-нибудь дроби поменять местами числитель и знаменатель, получится новая дробь, обратная данной. Например, для дроби обратная дробь будет .

Очевидно, что произведение двух взаимно обратных дробей равно 1.

Нахождение дроби от числа.

Существует много задач, в которых требуется найти часть или дробь данного числа. Такие задачи решают умножением.

Задача. Хозяйка имела 20 руб.; их она израсходовала на покупки. Сколько стоят покупки?

Здесь требуется найти числа 20. Сделать это можно так:

Ответ. Хозяйка израсходовала 8 руб.

Примеры. Найти от 30. Решение. .

Найти от . Решение. .

Нахождение числа по известной величине его дроби.

Иногда требуется по известной части числа и дроби, выражающей эту часть, определить все число. Такие задачи решаются делением.

Задача. В классе 12 комсомольцев, что составляет части всех учащихся класса. Сколько всех учащихся в классе?

Решение. .

Ответ. 20 учащихся.

Пример. Найти число, которого составляет 34.

Решение. .

Ответ. Искомое число равно .

Нахождение отношения двух чисел.

Рассмотрим задачу: Рабочий изготовил за день 40 деталей. Какую часть месячного задания выполнил рабочий, если месячный план составляет 400 деталей?

Решение. .

Ответ. Рабочий выполнил часть месячного плана.

В данном случае часть (40 деталей) выражено в долях целого (400 деталей). Говорят также, что найдено отношение числа изготовленных за день деталей к месячному плану.

Превращение десятичной дроби в обыкновенную.

Чтобы преобразовать десятичную дробь в обыкновенную, ее записывают со знаменателем и, если возможно, сокращают:

Примеры.

Превращение обыкновенной дроби в десятичную.

Существует несколько способов превращения обыкновенной дроби в десятичную.

Первый способ. Чтобы обратить обыкновенную дробь в десятичную, нужно числитель разделить на знаменатель.

Примеры. .

Второй способ. Чтобы превратить обыкновенную дробь в десятичную, нужно помножить числитель и знаменатель данной дроби на такое число, чтобы в знаменателе получилась единица с нулями (если это возможно).

Пример.

Сравнение десятичных дробей по величине . Чтобы выяснить, какая из двух десятичных дробей больше, надо сравнить их целые части, десятые, сотые и т.д. При равенстве целых частей больше та дробь, у которой десятых частей больше; при равенстве целых и десятичных - та больше, у которой больше сотых, и т.д.

Пример. Из трех дробей 2,432; 2,41 и 2,4098 наибольшая первая, так как в ней сотых наибольше, а целые и десятые во всех дробях одинаковы.

Действия с десятичными дробями

Умножение и деление десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д.

Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т.д. надо перенести запятую соответственно на один, два, три и т.д. знака вправо. Если при этом не хватает знаков у числа, то приписывают нули.

Пример. 15,45 · 10 = 154,5; 32,3 · 100 = 3230.

Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т.д., надо перенести запятую соответственно на один, два, три и т.д. знака влево. Если для перенесения запятой не хватает знаков, их число дополняют соответствующим числом нулей слева.

Примеры. 184,35: 100 = 1,8435; 3,5: 100 = 0,035.

Сложение и вычитание десятичных дробей.

Десятичные дроби складывают и вычитают почти так же, как складывают и вычитают натуральные числа. Разряд записывается под разрядом, запятая - под запятой

Примеры.

Умножение десятичных дробей.

Чтобы перемножить две десятичные дроби, достаточно, не обращая внимания на запятые, перемножить их как целые числа и в произведении отделить запятой справа столько десятичных знаков, сколько их было во множимом и множителе вместе.

Пример 1. 2,064 · 0,05.

Перемножаем целые числа 2064 · 5 = 10320. В первом сомножителе было три знака после запятой, во втором - два. В произведении число десятичных знаков должно быть пять. Отделяем их справа и получаем 0,10320. Нуль, стоящий в конце, можно отбросить: 2,064 · 0,05 = 0,1032.

Пример 2. 1,125 · 0,08; 1125 · 8 = 9000.

Число знаков после запятой должно быть 3 + 2 = 5. Приписываем к 9000 нули слева (009000) и отделяем справа пять знаков. Получаем 1,125 · 0,08 = 0,09000 = 0,09.

Деление десятичных дробей.

Рассматривается два случая деления десятичных дробей без остатка: 1) деление десятичной дроби на целое число; 2) деление числа (целого или дробного) на десятичную дробь.

Деление десятичной дроби на целое число выполняется так же, как и деление целых чисел; получаемые остатки раздробляют последовательно в меньшие десятичные части и продолжают деление до тех пор, пока в остатке будет нуль.

Примеры.

Деление числа (целого или дробного) на десятичную дробь во всех случаях приводят к делению на целое число. Для этого увеличивают делитель в 10, 100, 1000 и т.д. раз, а чтобы частное не изменилось, в то же число раз увеличивают и делимое, после чего делят на целое число (как в первом случае).

Пример. 47,04: 0,0084 = 470400: 84 = 5600;

Примеры на совместные действия с обыкновенными и десятичными дробями.

Рассмотрим сначала пример на все действия с десятичными дробями.

Пример 1. Вычислить:

Здесь пользуются приведением делимого и делителя к целому числу с учетом того, что частное при этом не изменяется. Тогда имеем:

При решении примеров на совместные действия с обыкновенными и десятичными дробями часть действий можно выполнять в десятичных дробях, а часть - в обыкновенных. Надо иметь в виду, что не всегда обыкновенная дробь может быть превращена в конечную десятичную дробь. Поэтому записывать десятичной дробью можно только тогда, когда проверено, что такое преобразование возможно.

Пример 2. Вычислить:

Проценты

Понятие о проценте. Процентом какого-либо числа называется сотая часть этого числа. Например, вместо того, чтобы сказать "54 сотых всех жителей нашей страны составляют женщины", можно сказать "54 процента всех жителей нашей страны составляют женщины". Вместо слова "процент" пишут также значок %, например 35% - значит 35 процентов.

Так как процент есть сотая часть, то отсюда следует, что процент есть дробь со знаменателем 100. Поэтому дробь 0,49, или , можно прочитать как 49 процентов и записать без знаменателя в виде 49%. Вообще, определив, сколько в данной десятичной дроби сотых частей, ее легко записать в процентах. Для этого пользуются правилом: чтобы записать десятичную дробь в процентах, надо перенести в этой дроби запятую на два знака вправо.

Примеры. 0,33 = 33%; 1,25 = 125%; 0,002 = 0,2%; 21 = 2100%.

И наоборот: 7% = 0,07; 24,5% = 0,245; 0,1% = 0,001; 200% = 2.

1. Нахождение процентов данного числа

Задача. Бригада трактористов по плану должна израсходовать 9 т горючего. Трактористы взяли соцобязательство сэкономить 20% горючего. Определить экономию горючего в тоннах.

Если в этой задаче вместо 20% написать равное ему число 0,2, получим задачу, на нахождение дроби числа. А такие задачи решают умножением. Отсюда вытекает способ решения:

20% = 0,2; 9 · 0,2 = 1,8 ( m ).

Вычисления можно записать и так:

( m )

Чтобы найти несколько процентов данного числа, достаточно данное число разделить на 100 и умножить результат на число процентов.

Задача. Рабочий в 1963 г. получал в месяц 90 руб., а в 1964 г. стал получать на 30% больше. Сколько получал он в 1964 г.?

Решение (первый способ).

1) На сколько рублей больше стал получать рабочий?

(руб.)

90 + 27 = 117 (руб).

Второй способ.

1) Сколько процентов прежнего заработка стал получать рабочий в 1964 г.?

100% + 30% = 130%.

2) Какова была месячная зарплата рабочего в 1964 г.?

(руб.)

2. Нахождение числа по данной величине его процентов.

Задача. В колхозе посеяли кукурузу на площади 280 га, что составляет 14% всей посевной площади. Определить посевную площадь колхоза.

Если в этой задаче вместо 14% написать 0,14 или , то получим задачу на нахождение числа по известной величине его дроби. А такие задачи решают делением.

Решение. 14% = 0,14; 280: 0,14 = 2000 (га). Можно это решение оформить и так:

(га)

Чтобы найти число по данной величине нескольких процентов его, достаточно эту величину разделить на число процентов и результат умножить на 100.

Задача. В марте завод выплавил 125,4 т металла, перевыполнив план на 4,5%. Сколько тонн металла завод должен был выплавить в марте по плану?

Решение.

1) На сколько процентов завод выполнил план в марте?

100% + 4,5% = 104,5%.

2) Сколько тонн металла завод должен был выплавить?

(га)

Нахождение процентного отношения двух чисел.

Задача. Нужно вспахать 300 га земли. В первый день вспахали 120 га. Сколько процентов к заданию вспахали в первый день?

Решение.

Первый способ. 300 га составляет 100%, значит, на 1% приходится 3 га. Определив, сколько раз 3 га, составляющие 1%, содержатся в 120 га, мы узнаем сколько процентов к заданию вспахали земли в первый день

120: 3 = 40(%).

Второй способ. Определив, какую часть земли вспахали в первый день, выразим эту дробь в процентах.

Записываем вычисление:

Чтобы вычислить процентное отношение числа а к числу b , нужно найти отношение а к b и умножить его на 100.

Эта статья представляет собой общий взгляд на действия с дробями. Здесь мы сформулируем и обоснуем правила сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень дробей общего вида A/B , где A и B некоторые числа, числовые выражения или выражения с переменными. По обыкновению материал будем снабжать поясняющими примерами с детальными описаниями решений.

Навигация по странице.

Правила выполнения действий с числовыми дробями общего вида

Давайте договоримся под числовыми дробями общего вида понимать дроби, в которых числитель и/или знаменатель могут быть представлены не только натуральными числами, но и другими числами или числовыми выражениями. Для наглядности приведем несколько примеров таких дробей: , .

Нам известны правила, по которым выполняются . По этим же правилам можно выполнять действия с дробями общего вида:

Обоснование правил

Для обоснования справедливости правил выполнения действий с числовыми дробями общего вида можно отталкиваться от следующих моментов:

дробная черта - это по сути знак деления,
деление на некоторое отличное от нуля число можно рассматривать как умножение на число, обратное делителю (этим сразу объясняется правило деления дробей),
свойств действий с действительными числами ,
и его обобщенном понимании ,

Они позволяют провести следующие преобразования, обосновывающие правила сложения, вычитания дробей с одинаковыми и разными знаменателями, а также правило умножения дробей:

Примеры

Приведем примеры выполнения действия с дробями общего вида по разученным в предыдущем пункте правилам. Сразу скажем, что обычно после проведения действий с дробями полученная дробь требует упрощения, причем процесс упрощения дроби часто сложнее, чем выполнение предшествующих действий. Мы не будем подробно останавливаться на упрощении дробей (соответствующие преобразования разобраны в статье преобразование дробей), чтобы не отвлекаться от интересующей нас темы.

Начнем с примеров сложения и вычитания числовых дробей с одинаковыми знаменателями. Для начала сложим дроби и . Очевидно, знаменатели равны. Согласно соответствующему правилу записываем дробь, числитель которой равен сумме числителей исходных дробей, а знаменатель оставляем прежним, имеем . Сложение выполнено, остается упростить полученную дробь: . Итак, .

Можно было решение вести по-другому: сначала осуществить переход к обыкновенным дробям, после чего провести сложение. При таком подходе имеем .

Теперь вычтем из дроби дробь . Знаменатели дробей равны, поэтому, действуем по правилу вычитания дробей с одинаковыми знаменателями:

Переходим к примерам сложения и вычитания дробей с разными знаменателями. Здесь главная сложность заключается в приведении дробей к общему знаменателю. Для дробей общего вида это довольно обширная тема, ее мы разберем детально в отдельной статье приведение дробей к общему знаменателю . Сейчас же ограничимся парой общих рекомендаций, так как в данный момент нас больше интересует техника выполнения действий с дробями.

Вообще, процесс схож с приведением к общему знаменателю обыкновенных дробей. То есть, знаменатели представляются в виде произведений, дальше берутся все множители из знаменателя первой дроби и к ним добавляются недостающие множители из знаменателя второй дроби.

Когда знаменатели складываемых или вычитаемых дробей не имеют общих множителей, то в качестве общего знаменателя логично взять их произведение. Приведем пример.

Допустим, нам нужно выполнить сложение дробей и 1/2 . Здесь в качестве общего знаменателя логично взять произведение знаменателей исходных дробей, то есть, . В этом случае дополнительным множителем для первой дроби будет 2 . После умножения на него числителя и знаменателя дробь примет вид . А для второй дроби дополнительным множителем является выражение . С его помощью дробь 1/2 приводится к виду . Остается сложить полученные дроби с одинаковыми знаменателями. Вот краткая запись всего решения:

В случае дробей общего вида речь уже не идет о наименьшем общем знаменателе, к которому обычно приводятся обыкновенные дроби. Хотя в этом вопросе все же желательно стремиться к некоторому минимализму. Этим мы хотим сказать, что не стоит в качестве общего знаменателя сразу брать произведение знаменателей исходных дробей. Например, совсем не обязательно брать общим знаменателем дробей и произведение . Здесь в качестве общего знаменателя можно взять .

Переходим к примерам умножения дробей общего вида. Умножим дроби и . Правило выполнения этого действия нам предписывает записать дробь, числитель которой есть произведение числителей исходных дробей, а знаменатель – произведение знаменателей. Имеем . Здесь, как и во многих других случаях при умножении дробей, можно сократить дробь: .

Правило деления дробей позволяет от деления переходить к умножению на обратную дробь. Здесь нужно помнить, что для того, чтобы получить дробь, обратную данной, нужно переставить местами числитель и знаменатель данной дроби. Вот пример перехода от деления числовых дробей общего вида к умножению: . Остается выполнить умножение и упростить полученную в результате дробь (при необходимости смотрите преобразование иррациональных выражений):

Завершая информацию этого пункта, напомним, что любое число или числовое выражение можно представить в виде дроби со знаменателем 1 , поэтому, сложение, вычитание, умножение и деление числа и дроби можно рассматривать как выполнение соответствующего действия с дробями, одна из которых имеет единицу в знаменателе. Например, заменив в выражении корень из трех дробью , мы от умножения дроби на число перейдем к умножению двух дробей: .

Выполнение действий с дробями, содержащими переменные

Правила из первой части текущей статьи применяются и для выполнения действий с дробями, которые содержат переменные. Обоснуем первое из них – правило сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями, остальные доказываются абсолютно аналогично.

Докажем, что для любых выражений A , C и D (D тождественно не равно нулю) имеет место равенство на его области допустимых значений переменных.

Возьмем некоторый набор переменных из ОДЗ. Пусть при этих значениях переменных выражения A , C и D принимают значения a 0 , c 0 и d 0 . Тогда подстановка значений переменных из выбранного набора в выражение обращает его в сумму (разность) числовых дробей с одинаковыми знаменателями вида , которая по правилу сложения (вычитания) числовых дробей с одинаковыми знаменателями равна . Но подстановка значений переменных из выбранного набора в выражение обращает его в ту же дробь . Это означает, что для выбранного набора значений переменных из ОДЗ значения выражений и равны. Понятно, что значения указанных выражений будут равны и для любого другого набора значений переменных из ОДЗ, а это означает, что выражения и тождественно равны, то есть, справедливо доказываемое равенство .

Примеры сложения и вычитания дробей с переменными

Когда знаменатели складываемых или вычитаемых дробей одинаковые, то все довольно просто – складываются или вычитаются числители, а знаменатель остается прежним. Понятно, что полученная после этого дробь при надобности и возможности упрощается.

Заметим, что иногда знаменатели дробей отличаются лишь с первого взгляда, но по факту являются тождественно равными выражениями, как например, и , или и . А иногда достаточно упростить исходные дроби, чтобы «проявились» их одинаковые знаменатели.

Пример.

, б) , в) .

Решение.

а) Нам нужно выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Согласно соответствующему правилу знаменатель оставляем прежним и вычитаем числители, имеем . Действие проведено. Но еще можно раскрыть скобки в числителе и привести подобные слагаемые : .

б) Очевидно, знаменатели складываемых дробей одинаковые. Поэтому, складываем числители, а знаменатель оставляем прежним: . Сложение выполнено. Но несложно заметить, что полученную дробь можно сократить. Действительно, числитель полученной дроби можно свернуть по формуле квадрат суммы как (lgx+2) 2 (смотрите формулы сокращенного умножения), таким образом, имеют место следующие преобразования: .

в) Дроби в сумме имеют разные знаменатели. Но, преобразовав одну из дробей, можно перейти к сложению дробей с одинаковыми знаменателями. Покажем два варианта решения.

Первый способ. Знаменатель первой дроби можно разложить на множители, воспользовавшись формулой разность квадратов, после чего сократить эту дробь: . Таким образом, . Еще не помешает освободиться от иррациональности в знаменателе дроби: .

Второй способ. Умножение числителя и знаменателя второй дроби на (это выражение не обращается в нуль ни при каких значениях переменной x из ОДЗ для исходного выражения) позволяет достичь сразу двух целей: освободиться от иррациональности и перейти к сложению дробей с одинаковыми знаменателями. Имеем

Ответ:

а) , б) , в) .

Последний пример подвел нас к вопросу приведения дробей к общему знаменателю. Там мы почти случайно пришли к одинаковым знаменателям, упрощая одну из складываемых дробей. Но в большинстве случаев при сложении и вычитании дробей с разными знаменателями приходится целенаправленно приводить дроби к общему знаменателю. Для этого обычно знаменатели дробей представляются в виде произведений, берутся все множители из знаменателя первой дроби и к ним добавляются недостающие множители из знаменателя второй дроби.

Пример.

Выполнить действия с дробями: а) , б) , в) .

Решение.

а) Здесь нет надобности что-либо делать со знаменателями дробей. В качестве общего знаменателя берем произведение . В этом случае дополнительным множителем для первой дроби выступает выражение , а для второй дроби – число 3 . Эти дополнительные множители приводят дроби к общему знаменателю, что в дальнейшем позволяет выполнить нужное нам действие, имеем

б) В этом примере знаменатели уже представлены в виде произведений, и никаких дополнительных преобразований не требуют. Очевидно, множители в знаменателях отличаются лишь показателями степеней, поэтому, в качестве общего знаменателя берем произведение множителей с наибольшими показателями, то есть, . Тогда дополнительным множителем для первой дроби будет x 4 , а для второй – ln(x+1) . Теперь мы готовы выполнить вычитание дробей:

в) А в данном случае для начала поработаем со знаменателями дробей. Формулы разность квадратов и квадрат суммы позволяют от исходной суммы перейти к выражению . Теперь понятно, что эти дроби можно привести к общему знаменателю . При таком подходе решение будет иметь следующий вид:

Ответ:

а)

б)

в)

Примеры умножения дробей с переменными

Умножение дробей дает дробь, числитель которой есть произведение числителей исходных дробей, а знаменатель – произведение знаменателей. Здесь, как видите, все привычно и просто, и можно лишь добавить, что полученная в результате выполнения этого действия дробь часто оказывается сократимой. В этих случаях ее сокращают, если, конечно, это необходимо и оправданно.