Was ist Fläche?

Die Fläche ist ein Merkmal einer geschlossenen geometrischen Figur (Kreis, Quadrat, Dreieck usw.), das ihre Größe angibt. Die Fläche wird in Quadratzentimetern, Metern usw. gemessen. Mit dem Buchstaben gekennzeichnet S(Quadrat).

Wie finde ich die Fläche eines Dreiecks?

S= A H

Wo A– Basislänge, H– die Höhe des bis zur Basis gezeichneten Dreiecks.

Außerdem muss der Sockel nicht unten liegen. Das wird auch reichen.

Wenn ein Dreieck stumpf, dann wird die Höhe auf die Fortsetzung der Basis abgesenkt:

Wenn ein Dreieck rechteckig, dann sind Basis und Höhe seine Beine:

2. Eine andere Formel, die nicht weniger nützlich ist, aber aus irgendeinem Grund immer vergessen wird:

S= a b sinα

Wo A Und B- zwei Seiten des Dreiecks, sinα ist der Sinus des Winkels zwischen diesen Seiten.

Die Hauptbedingung ist, dass der Winkel zwischen zwei bekannten Seiten gemessen wird.

3. Formel für die Fläche auf drei Seiten (Herons Formel):

S=

Wo A, B Und Mit sind die Seiten des Dreiecks und R - Halbumfang P = (a+b+c)/2.

4. Formel für die Fläche eines Dreiecks bezogen auf den Radius des Umkreises:

S=

Wo A, B Und Mit sind die Seiten des Dreiecks und R - Radius des umschriebenen Kreises.

5. Formel für die Fläche eines Dreiecks bezogen auf den Radius des eingeschriebenen Kreises:

S= p · r

Wo R - Halbumfang eines Dreiecks und R - Radius des eingeschriebenen Kreises.

Wie finde ich die Fläche eines Rechtecks?

1. Die Fläche eines Rechtecks ​​lässt sich ganz einfach ermitteln:

S=A B

Keine Tricks.

Wie finde ich die Fläche eines Quadrats?

1. Da ein Quadrat ein Rechteck mit allen Seiten gleich ist, gilt für es die gleiche Formel:

S=A · a = a 2

2. Außerdem kann die Fläche eines Quadrats durch seine Diagonale ermittelt werden:

S= D 2

Wie finde ich die Fläche eines Parallelogramms?

1. Die Fläche eines Parallelogramms wird durch die Formel ermittelt:

S=A H

Das liegt daran, dass man ein Rechteck erhält, wenn man daraus rechts ein rechtwinkliges Dreieck ausschneidet und es links anlegt:

2. Außerdem kann die Fläche eines Parallelogramms durch den Winkel zwischen zwei Seiten ermittelt werden:

S=A · b · sinα

Wie finde ich die Fläche einer Raute?

Eine Raute ist im Wesentlichen ein Parallelogramm mit gleichen Seiten. Daher gelten für ihn die gleichen Flächenformeln.

1. Fläche einer Raute durch die Höhe:

S=A H

Um Geometrieprobleme zu lösen, müssen Sie Formeln kennen – wie zum Beispiel die Fläche eines Dreiecks oder die Fläche eines Parallelogramms – sowie einfache Techniken, die wir behandeln werden.

Lernen wir zunächst die Formeln für die Zahlenbereiche. Wir haben sie speziell in einer praktischen Tabelle zusammengestellt. Drucken, lernen und bewerben!

Natürlich sind nicht alle Geometrieformeln in unserer Tabelle enthalten. Um beispielsweise Probleme in Geometrie und Stereometrie im zweiten Teil des Profils Einheitliches Staatsexamen in Mathematik zu lösen, werden andere Formeln für die Fläche eines Dreiecks verwendet. Wir werden Ihnen auf jeden Fall davon erzählen.

Was aber, wenn Sie nicht die Fläche eines Trapezes oder Dreiecks ermitteln müssen, sondern die Fläche einer komplexen Figur? Es gibt universelle Wege! Wir zeigen sie anhand von Beispielen aus der FIPI-Taskbank.

1. Wie finde ich die Fläche einer nicht standardmäßigen Figur? Zum Beispiel ein beliebiges Viereck? Eine einfache Technik: Teilen wir diese Figur in diejenigen auf, über die wir alles wissen, und ermitteln wir ihre Fläche – als Summe der Flächen dieser Figuren.

Teilen Sie dieses Viereck mit einer horizontalen Linie in zwei Dreiecke mit einer gemeinsamen Basis gleich . Die Höhen dieser Dreiecke sind gleich und . Dann ist die Fläche des Vierecks gleich der Summe der Flächen der beiden Dreiecke: .

Antwort: .

2. In manchen Fällen kann die Fläche einer Figur als Differenz einiger Flächen dargestellt werden.

Es ist gar nicht so einfach, die Grundfläche und Höhe dieses Dreiecks zu berechnen! Aber wir können sagen, dass seine Fläche gleich der Differenz zwischen den Flächen eines Quadrats mit einer Seite und drei rechtwinkligen Dreiecken ist. Siehst du sie auf dem Bild? Wir bekommen: .

Antwort: .

3. Manchmal müssen Sie bei einer Aufgabe nicht die Fläche der gesamten Figur, sondern eines Teils davon ermitteln. Normalerweise sprechen wir von der Fläche eines Sektors – einem Teil eines Kreises. Finden Sie die Fläche eines Sektors eines Kreises mit einem Radius, dessen Bogenlänge gleich ist.

Auf diesem Bild sehen wir einen Teil eines Kreises. Die Fläche des gesamten Kreises ist gleich. Es bleibt herauszufinden, welcher Teil des Kreises abgebildet ist. Da die Länge des gesamten Kreises gleich ist (da) und die Länge des Bogens eines bestimmten Sektors gleich ist, ist die Länge des Bogens einmal kleiner als die Länge des gesamten Kreises. Der Winkel, in dem dieser Bogen ruht, ist ebenfalls ein Faktor kleiner als ein Vollkreis (d. h. Grad). Dies bedeutet, dass die Fläche des Sektors um ein Vielfaches kleiner ist als die Fläche des gesamten Kreises.

Alle Formeln für die Fläche ebener Figuren

Fläche eines gleichschenkligen Trapezes

1. Formel für die Fläche eines gleichschenkligen Trapezes unter Verwendung von Seiten und Winkeln

a - untere Basis

b - obere Basis

c - gleiche Seiten

α - Winkel an der unteren Basis

Formel für die Fläche eines gleichschenkligen Trapezes durch die Seiten, (S):

Formel für die Fläche eines gleichschenkligen Trapezes unter Verwendung von Seiten und Winkeln (S):

2. Formel für die Fläche eines gleichschenkligen Trapezes in Bezug auf den Radius des eingeschriebenen Kreises

R - Radius des eingeschriebenen Kreises

D - Durchmesser des eingeschriebenen Kreises

O – Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises

H - Trapezhöhe

α, β - Trapezwinkel

Formel für die Fläche eines gleichschenkligen Trapezes in Bezug auf den Radius des eingeschriebenen Kreises (S):

FAIR, für einen eingeschriebenen Kreis in einem gleichschenkligen Trapez:

3. Formel für die Fläche eines gleichschenkligen Trapezes durch die Diagonalen und den Winkel zwischen ihnen

d ist die Diagonale des Trapezes

α,β- Winkel zwischen Diagonalen

Formel für die Fläche eines gleichschenkligen Trapezes durch die Diagonalen und den Winkel zwischen ihnen, (S):

4. Formel für die Fläche eines gleichschenkligen Trapezes durch die Mittellinie, die laterale Seite und den Winkel an der Basis

c-Seite

m - Mittellinie des Trapezes

α, β – Winkel an der Basis

Formel für die Fläche eines gleichschenkligen Trapezes unter Verwendung der Mittellinie, der seitlichen Seite und des Basiswinkels,

(S):

5. Formel für die Fläche eines gleichschenkligen Trapezes unter Verwendung von Basen und Höhe

a - untere Basis

b - obere Basis

h - Höhe des Trapezes

Formel für die Fläche eines gleichschenkligen Trapezes unter Verwendung von Basen und Höhe, (S):

Fläche eines Dreiecks basierend auf einer Seite und zwei Winkeln, Formel.

a, b, c – Seiten des Dreiecks

α, β, γ – entgegengesetzte Winkel

Fläche eines Dreiecks durch eine Seite und zwei Winkel (S):

Formel für die Fläche eines regelmäßigen Vielecks

a - Seite des Polygons

n - Anzahl der Seiten

Fläche eines regelmäßigen Polygons, (S):

Formel (Reiher) für die Fläche eines Dreiecks durch den Halbumfang (S):

Die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks beträgt:

Formeln zur Berechnung der Fläche eines gleichseitigen Dreiecks.

a - Seite des Dreiecks

h – Höhe

Wie berechnet man die Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks?

b - Basis des Dreiecks

a - gleiche Seiten

h – Höhe

3. Formel für die Fläche eines Trapezes mit vier Seiten

a - untere Basis

b - obere Basis

c, d - Seiten

Radius des umschriebenen Kreises eines Trapezes entlang der Seiten und Diagonalen

a - seitliche Seiten des Trapezes

c – untere Basis

b - obere Basis

d - Diagonale

h - Höhe

Trapez-Zirkumradius-Formel, (R)

Ermitteln Sie mithilfe der Seiten den Umkreis eines gleichschenkligen Dreiecks

Wenn Sie die Seiten eines gleichschenkligen Dreiecks kennen, können Sie mit der Formel den Radius des umschriebenen Kreises um dieses Dreieck ermitteln.

a, b - Seiten des Dreiecks

Umkreisradius eines gleichschenkligen Dreiecks (R):

Radius des eingeschriebenen Kreises in einem Sechseck

a - Seite des Sechsecks

Radius des eingeschriebenen Kreises in einem Sechseck, (r):

Radius des eingeschriebenen Kreises in einer Raute

r - Radius des eingeschriebenen Kreises

a - Seite der Raute

D, d - Diagonalen

h - Höhe der Raute

Radius des eingeschriebenen Kreises in einem gleichseitigen Trapez

c – untere Basis

b - obere Basis

a - Seiten

h - Höhe

Radius des eingeschriebenen Kreises in einem rechtwinkligen Dreieck

a, b - Beine des Dreiecks

c - Hypotenuse

Radius des eingeschriebenen Kreises in einem gleichschenkligen Dreieck

a, b - Seiten des Dreiecks

Beweisen Sie, dass die Fläche eines beschrifteten Vierecks beträgt

\/(ð - a)(ð - b) (ð - с) (ð - d),

Dabei ist p der Halbumfang und a, b, c und d die Seiten des Vierecks.

Beweisen Sie, dass die Fläche eines in einen Kreis eingeschriebenen Vierecks gleich ist

1/2 (ab + cb) · sin α, wobei a, b, c und d die Seiten des Vierecks sind und α der Winkel zwischen den Seiten a und b ist.

S = √[ a ƀ c d] sin ½ (α + β). - Lesen Sie mehr auf FB.ru:

Die Fläche eines beliebigen Vierecks (Abb. 1.13) kann durch seine Seiten a, b, c und die Summe eines Paares entgegengesetzter Winkel ausgedrückt werden:

wobei p der Halbumfang des Vierecks ist.

Die Fläche eines in einen Kreis eingeschriebenen Vierecks () (Abb. 1.14, a) wird nach der Brahmagupta-Formel berechnet

und beschrieben (Abb. 1.14, b) () - gemäß der Formel

Wenn das Viereck gleichzeitig eingeschrieben und beschrieben wird (Abb. 1.14, c), dann wird die Formel sehr einfach:

Picks Formel

Um die Fläche eines Polygons auf kariertem Papier abzuschätzen, genügt es zu zählen, wie viele Zellen dieses Polygon abdeckt (wir nehmen die Fläche einer Zelle als eins). Genauer gesagt, wenn S die Fläche des Polygons ist, ist es die Anzahl der Zellen, die vollständig innerhalb des Polygons liegen, und ist die Anzahl der Zellen, die mindestens einen gemeinsamen Punkt mit dem Inneren des Polygons haben.

Im Folgenden betrachten wir nur die Polygone, deren Scheitelpunkte alle in den Knoten des karierten Papiers liegen – diejenigen, bei denen sich die Gitterlinien schneiden. Es stellt sich heraus, dass man für solche Polygone die folgende Formel angeben kann:

Dabei ist die Fläche und r die Anzahl der Knoten, die genau innerhalb des Polygons liegen.

Diese Formel wird „Pick-Formel“ genannt – nach dem Mathematiker, der sie 1899 entdeckte.