Hyperbolische Funktionen durch Exponentialfunktionen. Referenzdaten zu hyperbolischen Funktionen – Eigenschaften, Grafiken, Formeln

Antwort: Hyperbolische Funktionen sind eine Familie elementarer Funktionen, die durch Exponenten ausgedrückt werden und eng mit trigonometrischen Funktionen verwandt sind. Hyperbolische Funktionen wurden 1757 von Vincenzo Riccati eingeführt (Opusculorum, Band I). Er erhielt sie aus der Betrachtung der Einheitshyperbel.

Eine weitere Untersuchung der Eigenschaften hyperbolischer Funktionen wurde von Lambert durchgeführt. Hyperbolische Funktionen werden häufig bei der Berechnung verschiedener Integrale angetroffen. Einige Integrale rationaler Funktionen und Funktionen, die Radikale enthalten, werden ganz einfach durch Variablenänderungen mithilfe hyperbolischer Funktionen durchgeführt. Die Ableitungen hyperbolischer Funktionen sind leicht zu finden, da hyperbolische Funktionen Kombinationen sind. Beispielsweise sind der hyperbolische Sinus und der Cosinus definiert als Die Ableitungen dieser Funktionen haben die Form Hyperbolische Funktionen werden durch die folgenden Formeln angegeben: 1) Hyperbolischer Sinus: (in der ausländischen Literatur wird es als sinx bezeichnet); 2) hyperbolischer Kosinus: (in der ausländischen Literatur wird es als cosx bezeichnet); 3) hyperbolischer Tangens: (in der ausländischen Literatur wird es als Tanx bezeichnet); 4) hyperbolischer Kotangens: ; 5) hyperbolischer Sekante und Kosekans: Geometrische Definition: Aufgrund der Beziehung ergeben hyperbolische Funktionen eine parametrische Darstellung der Hyperbel. In diesem Fall ist das Argument t = 2S, wobei S die Fläche des krummlinigen Dreiecks OQR ist, genommen mit dem „+“-Zeichen der Sektor liegt über der OX-Achse und „−“ im umgekehrten Fall. Diese Definition ähnelt der Definition trigonometrischer Funktionen anhand des Einheitskreises, der ebenfalls auf ähnliche Weise konstruiert werden kann. Zusammenhang mit trigonometrischen Funktionen: Hyperbolische Funktionen werden durch trigonometrische Funktionen eines imaginären Arguments ausgedrückt. Analytische Eigenschaften: Hyperbolischer Sinus und hyperbolischer Kosinus sind in der gesamten komplexen Ebene analytisch, außer am im Wesentlichen singulären Punkt im Unendlichen.

Der hyperbolische Tangens ist überall analytisch, außer an den Polen an Punkten, an denen n eine ganze Zahl ist. Die Residuen an allen diesen Polen sind gleich eins. Der hyperbolische Kotangens ist überall analytisch, außer an Punkten, seine Reste an diesen Polen sind ebenfalls gleich eins.

Ableitungstabelle.

Antwort: Tabelle der Derivate (die wir hauptsächlich benötigen):

46) Ableitung einer Funktion – parametrisch angegeben.

Antwort: Gegeben sei die Abhängigkeit zweier Variablen x und y vom Parameter t, die im Bereich von variiert. Die Funktion habe eine Umkehrung: Dann können wir die Zusammensetzung von Funktionen übernehmen Ermitteln Sie die Abhängigkeit von y von x: Die Abhängigkeit des Wertes y vom parametrisch angegebenen Wert x kann durch die Ableitungen der Funktionen ausgedrückt werden, da und gemäß der Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion wo ist der Wert des Parameters, bei dem der Wert x erhalten wird, der uns bei der Berechnung der Ableitung interessiert. Beachten Sie, dass die Anwendung der Formel uns zu der Beziehung zwischen führt, wiederum ausgedrückt als parametrische Beziehung: Die zweite dieser Beziehungen ist dieselbe, die an der parametrischen Spezifikation der Funktion y(x) beteiligt war. Obwohl die Ableitung nicht explizit ausgedrückt wird, hindert uns dies nicht daran, Probleme im Zusammenhang mit der Ermittlung der Ableitung zu lösen, indem wir den entsprechenden Wert des Parameters t ermitteln. Lassen Sie uns dies anhand des folgenden Beispiels zeigen. Beispiel 4.22: Die Abhängigkeit zwischen x und y sei parametrisch durch die folgenden Formeln gegeben: Finden Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen der Abhängigkeit y(x) am Punkt. Die Werte werden erhalten, wenn wir t=1 annehmen. Finden wir die Ableitungen von x und y nach dem Parameter t: Deshalb Bei t=1 erhalten wir den Wert der Ableitung; dieser Wert gibt die Steigung k der gewünschten Tangente an. Koordinaten Die Berührungspunkte werden in der Problemstellung angegeben. Das bedeutet, dass die Tangensgleichung wie folgt lautet: Beachten Sie, dass wir basierend auf der erhaltenen parametrischen Abhängigkeit die zweite Ableitung der Funktion y in Bezug auf die Variable x finden können:

Hyperbolische Funktionen finden sich in der Mechanik, der Elektrotechnik und anderen technischen Disziplinen. Viele Formeln für hyperbolische Funktionen ähneln Formeln für trigonometrische Funktionen, mit Ausnahme der Beschränktheitseigenschaft.

№	Funktion	Name	Derivat
1.		hyperbolischer Sinus
2.		hyperbolischer Kosinus
3.		hyperbolischer Tangens
4.		hyperbolischer Kotangens

Formeln für hyperbolische Funktionen

1. .

Nachweisen. Betrachten wir den erforderlichen Unterschied

. .

Nachweisen. Schauen wir uns die Arbeit an

Schauen wir uns die Arbeit an
.

Fügen wir zwei Produkte hinzu und geben ähnliche an:

Indem wir Anfang und Ende verbinden, erhalten wir die zu beweisende Gleichheit: .

Es gibt viele andere Eigenschaften hyperbolischer Funktionen, die den Eigenschaften trigonometrischer Funktionen ähneln und auf ähnliche Weise bewiesen werden.

Lassen Sie uns Formeln für Ableitungen hyperbolischer Funktionen beweisen.

1. Betrachten Sie den hyperbolischen Sinus .

Wenn wir die Ableitung finden, nehmen wir die Konstante aus dem Ableitungszeichen. Als nächstes wenden wir die Eigenschaft der Ableitung der Differenz zwischen zwei Funktionen an und . Finden Sie die Ableitung einer Funktion mithilfe der Ableitungstabelle: . Wir suchen die Ableitung einer Funktion als Ableitung einer komplexen Funktion
.

Daher die Ableitung
.

Indem wir Anfang und Ende verbinden, erhalten wir die zu beweisende Gleichheit: .

2. Betrachten Sie den hyperbolischen Kosinus .

Wir wenden den vorherigen Algorithmus vollständig an, verwenden jedoch anstelle der Eigenschaft über die Ableitung der Differenz zweier Funktionen die Eigenschaft über die Ableitung der Summe dieser beiden Funktionen.
.

Indem wir Anfang und Ende verbinden, erhalten wir die zu beweisende Gleichheit: .

3. Betrachten Sie den hyperbolischen Tangens
.

Wir ermitteln die Ableitung mithilfe der Regel zum Ermitteln der Ableitung eines Bruchs.

4. Ableitung des hyperbolischen Kotangens

kann als Ableitung einer komplexen Funktion gefunden werden
.

Indem wir Anfang und Ende verbinden, erhalten wir die zu beweisende Gleichheit: .

Funktionsdifferential

Lassen Sie die Funktion – an dem Punkt differenzierbar ist, dann kann sein Inkrement dieser Funktion an dem Punkt, das dem Inkrement des Arguments entspricht, dargestellt werden als

wobei eine bestimmte Zahl unabhängig von ist und eine Funktion des Arguments ist, das für unendlich klein ist .

Somit das Inkrement der Funktion ist die Summe zweier infinitesimaler Terme Und . Es wurde gezeigt, dass die zweite Amtszeit ist eine infinitesimale Funktion höherer Ordnung als d.h. (siehe 8.1). Daher der erste Begriff ist der lineare Hauptteil des Inkrements der Funktion . In Bemerkung 8.1. Für das Inkrement der Funktion wurde eine andere Formel (8.1.1) erhalten , nämlich: . (8.1.1)

Definition 8.3.Differential Funktionen an einem Punkt wird der lineare Hauptteil seines Inkrements genannt, der dem Produkt der Ableitung entspricht an dieser Stelle durch ein beliebiges Inkrement des Arguments und wird mit (oder) bezeichnet ):

(8.4)

Funktionsdifferential auch genannt Differential erster Ordnung.

Unter dem Differential einer unabhängigen Variablen versteht man eine beliebige Zahl unabhängig von . Am häufigsten wird diese Zahl als Inkrement der Variablen angesehen, d. h. . Dies steht im Einklang mit Regel (8.4) zur Bestimmung des Differentials der Funktion

Betrachten Sie die Funktion und finde sein Differential.

Weil Derivat . Somit haben wir: und Differentialfunktionen kann mit der Formel ermittelt werden

. (8.4.1)

Bemerkung 8.7. Aus Formel (8.4.1) folgt das.

Somit kann die Notation nicht nur als Notation für die Ableitung verstanden werden , sondern auch als Verhältnis der Differentiale der abhängigen und unabhängigen Variablen.

8.7. Geometrische Bedeutung der Differentialfunktion

Lassen Sie den Graphen der Funktion Es wird eine Tangente gezogen (siehe Abb. 8.1). Punkt liegt auf dem Graphen der Funktion und hat eine Abszisse - . Wir geben ein beliebiges Inkrement an, so dass der Punkt hat den Bereich der Funktionsdefinition nicht verlassen .

Abbildung 8.1 Darstellung eines Funktionsgraphen

Der Punkt hat Koordinaten . Segment . Der Punkt liegt auf der Tangente an den Funktionsgraphen und hat eine Abszisse - . Von rechteckig Daraus folgt, wobei Winkel der Winkel zwischen der positiven Richtung der Achse und der Tangente ist, die an den Funktionsgraphen gezogen wird am Punkt. Durch Definition des Differentials der Funktion und die geometrische Bedeutung der Ableitungsfunktion An diesem Punkt kommen wir zu dem Schluss . Somit ist die geometrische Bedeutung des Differentials der Funktion ist, dass das Differential das Inkrement der Ordinate der Tangente an den Funktionsgraphen darstellt am Punkt.

Bemerkung 8.8. Differential und Inkrement für eine beliebige Funktion sind im Allgemeinen nicht gleich. Im allgemeinen Fall ist die Differenz zwischen dem Inkrement und dem Differential einer Funktion unendlich klein und weist eine höhere Kleinheit auf als das Inkrement des Arguments. Aus Definition 8.1 folgt das
, d.h. .

In Abbildung 8.1 liegt der Punkt auf dem Funktionsgraphen und hat Koordinaten
. Segment.

In Abbildung 8.1 ist die Ungleichung erfüllt , d.h. . Es kann jedoch Fälle geben, in denen die gegenteilige Ungleichung zutrifft . Dies gilt für eine lineare Funktion und für eine aufwärtskonvexe Funktion.

Referenzdaten zu hyperbolischen Funktionen. Definitionen, Diagramme und Eigenschaften von hyperbolischem Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens. Formeln für Summen, Differenzen und Produkte. Ableitungen, Integrale, Reihenentwicklungen. Ausdrücke durch trigonometrische Funktionen.

Definitionen hyperbolischer Funktionen, ihre Definitions- und Wertebereiche

sh x - hyperbolischer Sinus

, -∞ < x < +∞; -∞ < y < +∞ .

ch x - hyperbolischer Kosinus

, -∞ < x < +∞; 1 ≤ y< +∞ .

th x - hyperbolischer Tangens

, -∞ < x < +∞; - 1 < y < +1 .

cth x - hyperbolischer Kotangens

X ≠ 0 ; j< -1 или y > +1 .

Graphen hyperbolischer Funktionen

Hyperbolischer Sinusgraph y = sh x

Diagramm des hyperbolischen Kosinus y = ch x

Diagramm des hyperbolischen Tangens y = Danke

Diagramm des hyperbolischen Kotangens y = cth x

Formeln mit hyperbolischen Funktionen

Beziehung zu trigonometrischen Funktionen

sin iz = i sh z ; cos iz = ch z
sh iz = i sin z; ch iz = weil z
tg iz = i th z ; cot iz = - i cth z
th iz = i tg z ; cth iz = - ich cot z
Hier ist i die imaginäre Einheit, i 2 = - 1 .

Wenn wir diese Formeln auf trigonometrische Funktionen anwenden, erhalten wir Formeln, die hyperbolische Funktionen in Beziehung setzen.