So finden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Nenner. Finden des kleinsten gemeinsamen Vielfachen, Methoden, Beispiele zum Finden des LCM

Definition. Die größte natürliche Zahl, durch die die Zahlen a und b ohne Rest geteilt werden, heißt größter gemeinsamer Teiler (GCD) diese Zahlen.

Finden wir den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen 24 und 35.
Die Teiler von 24 sind die Zahlen 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 und die Teiler von 35 sind die Zahlen 1, 5, 7, 35.
Wir sehen, dass die Zahlen 24 und 35 nur einen gemeinsamen Teiler haben – die Zahl 1. Solche Zahlen heißen gegenseitig prim.

Definition. Natürliche Zahlen werden aufgerufen gegenseitig prim, wenn ihr größter gemeinsamer Teiler (GCD) 1 ist.

Größter gemeinsamer Teiler (GCD) kann gefunden werden, ohne alle Teiler der gegebenen Zahlen aufzuschreiben.

Lassen Sie uns die Zahlen 48 und 36 faktorisieren und erhalten:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Von den Faktoren, die in der Entwicklung der ersten dieser Zahlen enthalten sind, streichen wir diejenigen heraus, die nicht in der Entwicklung der zweiten Zahl enthalten sind (d. h. zwei Zweier).
Die verbleibenden Faktoren sind 2 * 2 * 3. Ihr Produkt ist gleich 12. Diese Zahl ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 48 und 36. Es gibt auch den größten gemeinsamen Teiler von drei oder mehr Zahlen.

Zu finden größter gemeinsamer Teiler

2) Von den Faktoren, die in die Entwicklung einer dieser Zahlen einfließen, streichen Sie diejenigen durch, die nicht in die Entwicklung anderer Zahlen eingehen;
3) Finden Sie das Produkt der verbleibenden Faktoren.

Wenn alle gegebenen Zahlen durch eine davon teilbar sind, dann ist diese Zahl größter gemeinsamer Teiler gegebene Zahlen.
Beispielsweise ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 15, 45, 75 und 180 die Zahl 15, da alle anderen Zahlen durch sie teilbar sind: 45, 75 und 180.

Kleinstes gemeinsames Vielfaches (LCM)

Definition. Kleinstes gemeinsames Vielfaches (LCM) Die natürlichen Zahlen a und b sind die kleinste natürliche Zahl, die ein Vielfaches von a und b ist. Das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) der Zahlen 75 und 60 kann ermittelt werden, ohne die Vielfachen dieser Zahlen hintereinander aufzuschreiben. Dazu zerlegen wir 75 und 60 in Primfaktoren: 75 = 3 * 5 * 5 und 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Schreiben wir die Faktoren auf, die in der Entwicklung der ersten dieser Zahlen enthalten sind, und fügen wir ihnen die fehlenden Faktoren 2 und 2 aus der Entwicklung der zweiten Zahl hinzu (d. h. wir kombinieren die Faktoren).
Wir erhalten fünf Faktoren 2 * 2 * 3 * 5 * 5, deren Produkt 300 ist. Diese Zahl ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 75 und 60.

Sie finden auch das kleinste gemeinsame Vielfache von drei oder mehr Zahlen.

Zu Finden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache Um mehrere natürliche Zahlen zu erhalten, benötigen Sie:
1) faktorisiere sie in Primfaktoren;
2) Notieren Sie die Faktoren, die in die Entwicklung einer der Zahlen einfließen;
3) füge die fehlenden Faktoren aus den Erweiterungen der verbleibenden Zahlen hinzu;
4) Finden Sie das Produkt der resultierenden Faktoren.

Beachten Sie, dass, wenn eine dieser Zahlen durch alle anderen Zahlen teilbar ist, diese Zahl das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen ist.
Beispielsweise ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 12, 15, 20 und 60 60, weil es durch alle diese Zahlen teilbar ist.

Pythagoras (VI. Jahrhundert v. Chr.) und seine Schüler untersuchten die Frage der Teilbarkeit von Zahlen. Sie nannten eine Zahl, die der Summe aller ihrer Teiler (ohne die Zahl selbst) entspricht, eine vollkommene Zahl. Beispielsweise sind die Zahlen 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) perfekt. Die nächsten perfekten Zahlen sind 496, 8128, 33.550.336. Die Pythagoräer kannten nur die ersten drei perfekten Zahlen. Der vierte – 8128 – wurde im 1. Jahrhundert bekannt. N. e. Der fünfte – 33.550.336 – wurde im 15. Jahrhundert gefunden. Bis 1983 waren bereits 27 perfekte Zahlen bekannt. Aber Wissenschaftler wissen immer noch nicht, ob es ungerade vollkommene Zahlen gibt oder ob es eine größte vollkommene Zahl gibt.
Das Interesse der alten Mathematiker an Primzahlen beruht auf der Tatsache, dass jede Zahl entweder eine Primzahl ist oder als Produkt von Primzahlen dargestellt werden kann, d. h. Primzahlen sind wie Bausteine, aus denen die übrigen natürlichen Zahlen aufgebaut sind.
Sie haben wahrscheinlich bemerkt, dass Primzahlen in der Reihe der natürlichen Zahlen ungleichmäßig vorkommen – in einigen Teilen der Reihe gibt es mehr davon, in anderen weniger. Aber je weiter wir uns in der Zahlenreihe bewegen, desto seltener werden Primzahlen. Es stellt sich die Frage: Gibt es eine letzte (größte) Primzahl? Der antike griechische Mathematiker Euklid (3. Jahrhundert v. Chr.) bewies in seinem Buch „Elemente“, das zweitausend Jahre lang das wichtigste Lehrbuch der Mathematik war, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, d. h. hinter jeder Primzahl steht eine noch größere Primzahl Nummer.
Um Primzahlen zu finden, entwickelte ein anderer griechischer Mathematiker der gleichen Zeit, Eratosthenes, diese Methode. Er schrieb alle Zahlen von 1 bis zu einer Zahl auf und strich dann eine durch, die weder eine Primzahl noch eine zusammengesetzte Zahl ist, und strich dann durch eins alle Zahlen durch, die nach 2 kamen (Zahlen, die ein Vielfaches von 2 sind, also 4). 6, 8 usw.). Die erste verbleibende Zahl nach 2 war 3. Dann wurden nach zwei alle Zahlen nach 3 (Zahlen, die ein Vielfaches von 3 waren, also 6, 9, 12 usw.) durchgestrichen. letztlich blieben nur die Primzahlen ungekreuzt.

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Schüler der Sekundarstufe stoßen in der sechsten Klasse auf die Konzepte des größten gemeinsamen Teilers (GCD) und des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (LCM). Dieses Thema ist immer schwer zu verstehen. Kinder verwechseln diese Konzepte oft und verstehen nicht, warum sie studiert werden müssen. In der populärwissenschaftlichen Literatur finden sich in jüngster Zeit vereinzelt Aussagen, dass dieser Stoff aus dem Lehrplan der Schulen gestrichen werden sollte. Ich denke, dass dies nicht ganz stimmt, und es ist notwendig, es zu studieren, wenn nicht im Unterricht, dann während der außerschulischen Stunden während des Schulteilunterrichts, da es zur Entwicklung des logischen Denkens bei Schulkindern beiträgt und die Geschwindigkeit von Rechenoperationen erhöht. und die Fähigkeit, Probleme mit schönen Methoden zu lösen.

Beim Addieren und Subtrahieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern bringen wir Kindern bei, den gemeinsamen Nenner von zwei oder mehr Zahlen zu finden. Beispielsweise müssen Sie die Brüche 1/3 und 1/5 addieren. Schüler können leicht eine Zahl finden, die ohne Rest durch 3 und 5 teilbar ist. Diese Zahl ist 15. Wenn die Zahlen tatsächlich klein sind, ist ihr gemeinsamer Nenner leicht zu finden, wenn Sie die Multiplikationstabelle gut kennen. Eines der Kinder bemerkt, dass diese Zahl das Produkt der Zahlen 3 und 5 ist. Die Kinder sind der Meinung, dass es auf diese Weise immer möglich ist, einen gemeinsamen Nenner für Zahlen zu finden. Subtrahieren Sie beispielsweise die Brüche 7/18 und 5/24. Finden wir das Produkt der Zahlen 18 und 24. Sie beträgt 432. Wir haben bereits eine große Anzahl erhalten, und wenn weitere Berechnungen durchgeführt werden müssen (insbesondere für Beispiele für alle Aktionen), steigt die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers. Aber das gefundene kleinste gemeinsame Vielfache von Zahlen (LCM), das in diesem Fall dem kleinsten gemeinsamen Nenner (LCD) – der Zahl 72 – entspricht, wird die Berechnungen erheblich erleichtern und zu einer schnelleren Lösung des Beispiels führen und dadurch sparen Zeitaufwand für die Erledigung dieser Aufgabe, die bei der Durchführung von Abschlusstests und Prüfungen, insbesondere bei der Abschlusszertifizierung, eine wichtige Rolle spielt.

Wenn Sie sich mit dem Thema „Brüche kürzen“ befassen, können Sie nacheinander Zähler und Nenner eines Bruchs durch dieselbe natürliche Zahl dividieren und dabei die Teilbarkeitszeichen von Zahlen verwenden, um letztendlich einen irreduziblen Bruch zu erhalten. Beispielsweise müssen Sie den Bruch 128/344 reduzieren. Teilen Sie zunächst Zähler und Nenner des Bruchs durch die Zahl 2, wir erhalten den Bruch 64/172. Teilen Sie Zähler und Nenner des resultierenden Bruchs noch einmal durch 2, wir erhalten den Bruch 32/86. Teilen Sie Zähler und Nenner des Bruchs noch einmal durch 2, wir erhalten den irreduziblen Bruch 16/43. Aber das Reduzieren eines Bruchs geht viel einfacher, wenn wir den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen 128 und 344 finden. GCD(128, 344) = 8. Wenn wir Zähler und Nenner des Bruchs durch diese Zahl dividieren, erhalten wir sofort einen irreduziblen Bruch .

Wir müssen Kindern verschiedene Möglichkeiten zeigen, den größten gemeinsamen Teiler (GCD) und das kleinste gemeinsame Vielfache (LCD) von Zahlen zu finden. In einfachen Fällen ist es praktisch, den größten gemeinsamen Teiler (GCD) und das kleinste gemeinsame Vielfache (LCD) von Zahlen durch einfache Aufzählung zu ermitteln. Wenn die Zahlen größer werden, können Sie die Primfaktorzerlegung verwenden. Das Lehrbuch der sechsten Klasse (Autor N.Ya. Vilenkin) zeigt die folgende Methode zum Ermitteln des größten gemeinsamen Teilers (GCD) von Zahlen. Zerlegen wir die Zahlen in Primfaktoren:

16 = 2*2*2*2
120 = 2*2*2*3*5

Dann streichen wir von den Faktoren, die in der Entwicklung einer dieser Zahlen enthalten sind, diejenigen durch, die nicht in der Entwicklung der anderen Zahl enthalten sind. Das Produkt der verbleibenden Faktoren ergibt den größten gemeinsamen Teiler dieser Zahlen. In diesem Fall ist das die Zahl 8. Aus eigener Erfahrung bin ich davon überzeugt, dass es für Kinder klarer ist, wenn wir in den Zerlegungen von Zahlen die gleichen Faktoren unterstreichen und dann in einer der Zerlegungen das Produkt von finden unterstrichene Faktoren. Dies ist der größte gemeinsame Teiler dieser Zahlen. In der sechsten Klasse sind Kinder aktiv und neugierig. Sie können ihnen folgende Aufgabe stellen: Versuchen Sie, mit der beschriebenen Methode den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen 343 und 287 zu finden. Es ist nicht sofort klar, wie man sie in Primfaktoren zerlegt. Und hier können Sie ihnen von der wunderbaren Methode erzählen, die von den alten Griechen erfunden wurde und die es Ihnen ermöglicht, nach dem größten gemeinsamen Teiler (GCD) zu suchen, ohne ihn in Primfaktoren zu zerlegen. Diese Methode zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers wurde erstmals in Euklids Elementen beschrieben. Es wird der euklidische Algorithmus genannt. Es besteht aus Folgendem: Teilen Sie zunächst die größere Zahl durch die kleinere. Wenn sich ein Rest ergibt, teilen Sie die kleinere Zahl durch den Rest. Wenn sich erneut ein Rest ergibt, teilen Sie den ersten Rest durch den zweiten. Teilen Sie auf diese Weise weiter, bis der Rest Null ist. Der letzte Teiler ist der größte gemeinsame Teiler (GCD) dieser Zahlen.

Kehren wir zu unserem Beispiel zurück und schreiben der Übersichtlichkeit halber die Lösung in Form einer Tabelle.

Dividende	Teiler	Privat	Rest
343	287	1	56
287	56	5	7
56	7	8	0

Also ggT(344.287) = 7

Wie finde ich das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) derselben Zahlen? Gibt es dafür eine Möglichkeit, die keine vorherige Zerlegung dieser Zahlen in Primfaktoren erfordert? Es stellt sich heraus, dass es das gibt, und zwar ein sehr einfaches. Wir müssen diese Zahlen multiplizieren und das Produkt durch den größten gemeinsamen Teiler (GCD) dividieren, den wir gefunden haben. In diesem Beispiel ist das Produkt der Zahlen 98441. Teilen Sie es durch 7 und erhalten Sie die Zahl 14063. LCM(343,287) = 14063.

Eines der schwierigsten Themen in der Mathematik ist das Lösen von Textaufgaben. Wir müssen den Schülern zeigen, wie die Konzepte des größten gemeinsamen Teilers (GCD) und des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (LCM) verwendet werden können, um Probleme zu lösen, die auf herkömmliche Weise manchmal schwer zu lösen sind. Hier ist es angebracht, mit den Schülern neben den von den Autoren des Schulbuchs vorgeschlagenen Aufgaben auch alte und unterhaltsame Aufgaben zu besprechen, die die Neugier der Kinder wecken und das Interesse am Studium dieses Themas steigern. Die geschickte Beherrschung dieser Konzepte ermöglicht es den Schülern, eine schöne Lösung für ein nicht standardmäßiges Problem zu finden. Und wenn die Stimmung eines Kindes nach der Lösung eines guten Problems steigt, ist das ein Zeichen für erfolgreiche Arbeit.

Daher lernt man in der Schule Konzepte wie „Größter gemeinsamer Teiler (GCD)“ und „Kleinstes gemeinsames Vielfaches (LCD)“ von Zahlen

Ermöglicht Ihnen, Zeit für die Erledigung von Arbeiten zu sparen, was zu einer erheblichen Erhöhung des Volumens erledigter Aufgaben führt;

Erhöht die Geschwindigkeit und Genauigkeit der Durchführung arithmetischer Operationen, was zu einer erheblichen Reduzierung der Anzahl von Rechenfehlern führt;

Ermöglicht Ihnen, schöne Wege zur Lösung nicht standardmäßiger Textprobleme zu finden;

Fördert die Neugier der Schüler und erweitert ihren Horizont;

Schafft die Voraussetzungen für die Ausbildung einer vielseitigen kreativen Persönlichkeit.

Größter gemeinsamer Teiler

Definition 2

Wenn eine natürliche Zahl a durch eine natürliche Zahl $b$ teilbar ist, dann heißt $b$ Teiler von $a$ und $a$ heißt Vielfaches von $b$.

Seien $a$ und $b$ natürliche Zahlen. Die Zahl $c$ wird als gemeinsamer Teiler von $a$ und $b$ bezeichnet.

Die Menge der gemeinsamen Teiler der Zahlen $a$ und $b$ ist endlich, da keiner dieser Teiler größer als $a$ sein kann. Das bedeutet, dass es unter diesen Teilern einen größten gibt, der als größter gemeinsamer Teiler der Zahlen $a$ und $b$ bezeichnet wird und durch die folgende Notation bezeichnet wird:

$GCD\(a;b)\ oder \D\(a;b)$

Um den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen zu finden, benötigen Sie:

Finden Sie das Produkt der in Schritt 2 gefundenen Zahlen. Die resultierende Zahl ist der gewünschte größte gemeinsame Teiler.

Beispiel 1

Finden Sie den ggT der Zahlen $121$ und $132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Wählen Sie die Zahlen aus, die in der Erweiterung dieser Zahlen enthalten sind

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Finden Sie das Produkt der in Schritt 2 gefundenen Zahlen. Die resultierende Zahl ist der gewünschte größte gemeinsame Teiler.

$GCD=2\cdot 11=22$

Beispiel 2

Finden Sie den ggT der Monome $63$ und $81$.

Wir werden nach dem vorgestellten Algorithmus finden. Gehen Sie dazu wie folgt vor:

Zerlegen wir die Zahlen in Primfaktoren

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Wir wählen die Zahlen aus, die in der Erweiterung dieser Zahlen enthalten sind

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Lassen Sie uns das Produkt der in Schritt 2 gefundenen Zahlen ermitteln. Die resultierende Zahl ist der gewünschte größte gemeinsame Teiler.

$GCD=3\cdot 3=9$

Sie können den ggT zweier Zahlen auf andere Weise ermitteln, indem Sie eine Reihe von Teilern von Zahlen verwenden.

Beispiel 3

Finden Sie den ggT der Zahlen $48$ und $60$.

Lösung:

Finden wir die Menge der Teiler der Zahl $48$: $\left$(\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right$$

Finden wir nun die Menge der Teiler der Zahl $60$:$\ \left$(\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right$ $

Finden wir den Schnittpunkt dieser Mengen: $\left$(\rm 1,2,3,4,6,12)\right$$ – diese Menge bestimmt die Menge der gemeinsamen Teiler der Zahlen $48$ und $60 $. Das größte Element in dieser Menge ist die Zahl $12$. Das bedeutet, dass der größte gemeinsame Teiler der Zahlen $48$ und $60$ $12$ ist.

Definition von NPL

Definition 3

Gemeinsame Vielfache natürlicher Zahlen$a$ und $b$ ist eine natürliche Zahl, die ein Vielfaches von $a$ und $b$ ist.

Gemeinsame Vielfache von Zahlen sind Zahlen, die ohne Rest durch die ursprünglichen Zahlen teilbar sind. Für die Zahlen 25 $ und 50 $ sind die gemeinsamen Vielfachen beispielsweise die Zahlen 50.100.150.200 $ usw.

Das kleinste gemeinsame Vielfache wird als kleinstes gemeinsames Vielfaches bezeichnet und mit LCM$(a;b)$ oder K$(a;b).$ bezeichnet

Um den LCM zweier Zahlen zu ermitteln, müssen Sie:

Faktorisieren Sie Zahlen in Primfaktoren
Schreiben Sie die Faktoren auf, die Teil der ersten Zahl sind, und addieren Sie dazu die Faktoren, die Teil der zweiten, aber nicht Teil der ersten Zahl sind

Beispiel 4

Finden Sie den LCM der Zahlen $99$ und $77$.

Wir werden nach dem vorgestellten Algorithmus finden. Dafür

Faktorisieren Sie Zahlen in Primfaktoren

$99=3\cdot 3\cdot 11$

Schreiben Sie die im ersten Schritt enthaltenen Faktoren auf

Fügen Sie ihnen Multiplikatoren hinzu, die Teil des zweiten und nicht Teil des ersten sind

Finden Sie das Produkt der in Schritt 2 gefundenen Zahlen. Die resultierende Zahl ist das gewünschte kleinste gemeinsame Vielfache

$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Das Zusammenstellen von Listen mit Teilern von Zahlen ist oft eine sehr arbeitsintensive Aufgabe. Es gibt eine Möglichkeit, GCD zu finden, den sogenannten Euklidischen Algorithmus.

Aussagen, auf denen der Euklidische Algorithmus basiert:

Wenn $a$ und $b$ natürliche Zahlen sind und $a\vdots b$ ist, dann ist $D(a;b)=b$

Wenn $a$ und $b$ natürliche Zahlen sind, so dass $b

Mit $D(a;b)= D(a-b;b)$ können wir die betrachteten Zahlen sukzessive reduzieren, bis wir ein Zahlenpaar erreichen, bei dem eine von ihnen durch die andere teilbar ist. Dann ist die kleinere dieser Zahlen der gewünschte größte gemeinsame Teiler für die Zahlen $a$ und $b$.

Eigenschaften von GCD und LCM

Jedes gemeinsame Vielfache von $a$ und $b$ ist durch K$(a;b)$ teilbar
Wenn $a\vdots b$ , dann К$(a;b)=a$

Wenn K$(a;b)=k$ und $m$ eine natürliche Zahl ist, dann ist K$(am;bm)=km$

Wenn $d$ ein gemeinsamer Teiler für $a$ und $b$ ist, dann ist K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

Wenn $a\vdots c$ und $b\vdots c$ , dann ist $\frac(ab)(c)$ das gemeinsame Vielfache von $a$ und $b$

Für alle natürlichen Zahlen $a$ und $b$ gilt die Gleichheit

$D(a;b)\cdot Š(a;b)=ab$

Jeder gemeinsame Teiler der Zahlen $a$ und $b$ ist ein Teiler der Zahl $D(a;b)$

Das unten präsentierte Material ist eine logische Fortsetzung der Theorie aus dem Artikel mit dem Titel LCM – kleinstes gemeinsames Vielfaches, Definition, Beispiele, Zusammenhang zwischen LCM und GCD. Hier werden wir darüber reden Finden des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (LCM), und wir werden besonderes Augenmerk auf die Lösung von Beispielen legen. Zunächst zeigen wir, wie der kgV zweier Zahlen mithilfe des GCD dieser Zahlen berechnet wird. Als nächstes schauen wir uns an, wie wir das kleinste gemeinsame Vielfache finden, indem wir Zahlen in Primfaktoren zerlegen. Danach konzentrieren wir uns auf die Ermittlung des LCM von drei oder mehr Zahlen und konzentrieren uns auch auf die Berechnung des LCM von negativen Zahlen.

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Berechnung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (LCM) über GCD

Eine Möglichkeit, das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden, basiert auf der Beziehung zwischen LCM und GCD. Die bestehende Verbindung zwischen LCM und GCD ermöglicht es uns, das kleinste gemeinsame Vielfache zweier positiver Ganzzahlen über einen bekannten größten gemeinsamen Teiler zu berechnen. Die entsprechende Formel lautet LCM(a, b)=ab:GCD(a, b) . Schauen wir uns Beispiele für die Ermittlung des LCM mithilfe der angegebenen Formel an.

Beispiel.

Finden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Zahlen 126 und 70.

Lösung.

In diesem Beispiel a=126 , b=70 . Nutzen wir den Zusammenhang zwischen LCM und GCD, ausgedrückt durch die Formel LCM(a, b)=ab:GCD(a, b). Das heißt, wir müssen zunächst den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen 70 und 126 finden, woraufhin wir den kgV dieser Zahlen mithilfe der geschriebenen Formel berechnen können.

Finden wir GCD(126, 70) mit dem euklidischen Algorithmus: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, also GCD(126, 70)=14.

Jetzt ermitteln wir das erforderliche kleinste gemeinsame Vielfache: GCD(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.

Antwort:

LCM(126, 70)=630 .

Beispiel.

Was ist LCM(68, 34) gleich?

Lösung.

Weil 68 ist durch 34 teilbar, dann ist GCD(68, 34)=34. Jetzt berechnen wir das kleinste gemeinsame Vielfache: GCD(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.

Antwort:

LCM(68, 34)=68 .

Beachten Sie, dass das vorherige Beispiel die folgende Regel zum Ermitteln des LCM für positive ganze Zahlen a und b erfüllt: Wenn die Zahl a durch b teilbar ist, dann ist das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen a.

Ermitteln des LCM durch Faktorisieren von Zahlen in Primfaktoren

Eine andere Möglichkeit, das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden, besteht darin, Zahlen in Primfaktoren zu zerlegen. Wenn Sie ein Produkt aus allen Primfaktoren gegebener Zahlen zusammenstellen und dann aus diesem Produkt alle gemeinsamen Primfaktoren ausschließen, die in den Zerlegungen der gegebenen Zahlen vorkommen, dann ist das resultierende Produkt gleich dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der gegebenen Zahlen .

Die angegebene Regel zum Finden des LCM folgt aus der Gleichheit LCM(a, b)=ab:GCD(a, b). Tatsächlich ist das Produkt der Zahlen a und b gleich dem Produkt aller Faktoren, die an der Entwicklung der Zahlen a und b beteiligt sind. GCD(a, b) ist wiederum gleich dem Produkt aller Primfaktoren, die gleichzeitig in den Entwicklungen der Zahlen a und b vorkommen (wie im Abschnitt zum Ermitteln des GCD mithilfe der Entwicklung von Zahlen in Primfaktoren beschrieben).

Geben wir ein Beispiel. Lassen Sie uns wissen, dass 75=3·5·5 und 210=2·3·5·7. Stellen wir das Produkt aus allen Faktoren dieser Entwicklungen zusammen: 2·3·3·5·5·5·7 . Aus diesem Produkt schließen wir nun alle Faktoren aus, die sowohl in der Entwicklung der Zahl 75 als auch in der Entwicklung der Zahl 210 vorkommen (solche Faktoren sind 3 und 5), dann wird das Produkt die Form 2·3·5·5·7 annehmen . Der Wert dieses Produkts entspricht dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von 75 und 210, d. h. NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1.050.

Beispiel.

Zerlegen Sie die Zahlen 441 und 700 in Primfaktoren und ermitteln Sie das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen.

Lösung.

Zerlegen wir die Zahlen 441 und 700 in Primfaktoren:

Wir erhalten 441=3·3·7·7 und 700=2·2·5·5·7.

Lassen Sie uns nun ein Produkt aus allen Faktoren erstellen, die an der Entwicklung dieser Zahlen beteiligt sind: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Schließen wir aus diesem Produkt alle Faktoren aus, die in beiden Erweiterungen gleichzeitig vorhanden sind (es gibt nur einen solchen Faktor – das ist die Zahl 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. Daher, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.

Antwort:

NOC(441, 700)= 44 100 .

Die Regel zum Ermitteln des LCM mithilfe der Faktorisierung von Zahlen in Primfaktoren kann etwas anders formuliert werden. Wenn die fehlenden Faktoren aus der Entwicklung der Zahl b zu den Faktoren aus der Entwicklung der Zahl a addiert werden, dann ist der Wert des resultierenden Produkts gleich dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Zahlen a und b.

Nehmen wir zum Beispiel die gleichen Zahlen 75 und 210, ihre Zerlegung in Primfaktoren ist wie folgt: 75=3·5·5 und 210=2·3·5·7. Zu den Faktoren 3, 5 und 5 aus der Entwicklung der Zahl 75 addieren wir die fehlenden Faktoren 2 und 7 aus der Entwicklung der Zahl 210, wir erhalten das Produkt 2·3·5·5·7, dessen Wert ist gleich LCM(75, 210).

Beispiel.

Finden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache von 84 und 648.

Lösung.

Wir erhalten zunächst die Zerlegungen der Zahlen 84 und 648 in Primfaktoren. Sie sehen aus wie 84=2·2·3·7 und 648=2·2·2·3·3·3·3. Zu den Faktoren 2, 2, 3 und 7 aus der Entwicklung der Zahl 84 addieren wir die fehlenden Faktoren 2, 3, 3 und 3 aus der Entwicklung der Zahl 648, wir erhalten das Produkt 2 2 2 3 3 3 3 7, was 4 536 entspricht. Somit ist das gewünschte kleinste gemeinsame Vielfache von 84 und 648 4.536.

Antwort:

LCM(84, 648)=4.536 .

Ermitteln des LCM von drei oder mehr Zahlen

Das kleinste gemeinsame Vielfache von drei oder mehr Zahlen kann ermittelt werden, indem nacheinander das kgV von zwei Zahlen ermittelt wird. Erinnern wir uns an den entsprechenden Satz, der eine Möglichkeit bietet, das kgV von drei oder mehr Zahlen zu ermitteln.

Satz.

Seien positive ganze Zahlen a 1 , a 2 , …, a k gegeben, das kleinste gemeinsame Vielfache m k dieser Zahlen wird durch sequentielle Berechnung von m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a) ermittelt 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .

Betrachten wir die Anwendung dieses Theorems am Beispiel der Ermittlung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen von vier Zahlen.

Beispiel.

Finden Sie den LCM der vier Zahlen 140, 9, 54 und 250.

Lösung.

In diesem Beispiel ist a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

Zuerst finden wir m 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140, 9). Dazu bestimmen wir mit dem Euklidischen Algorithmus GCD(140, 9), wir haben 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, daher GCD(140, 9)=1 , von wo GCD(140, 9)=140 9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1.260. Das heißt, m 2 =1 260.

Jetzt finden wir m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). Berechnen wir es über GCD(1 260, 54), das wir ebenfalls mit dem euklidischen Algorithmus ermitteln: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Dann ist ggT(1,260, 54)=18, woraus ggT(1,260, 54)= 1,260·54:ggT(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. Das heißt, m 3 =3 780.

Es bleibt nur noch zu finden m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). Dazu ermitteln wir GCD(3.780, 250) mithilfe des euklidischen Algorithmus: 3.780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Daher ist GCM(3.780, 250)=10, woraus GCM(3.780, 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3.780·250:10=94.500. Das heißt, m 4 =94.500.

Das kleinste gemeinsame Vielfache der ursprünglichen vier Zahlen ist also 94.500.

Antwort:

LCM(140, 9, 54, 250)=94.500.

In vielen Fällen ist es praktisch, das kleinste gemeinsame Vielfache von drei oder mehr Zahlen mithilfe der Primfaktorzerlegung der gegebenen Zahlen zu ermitteln. In diesem Fall sollten Sie sich an die folgende Regel halten. Das kleinste gemeinsame Vielfache mehrerer Zahlen ist gleich dem Produkt, das sich wie folgt zusammensetzt: Die fehlenden Faktoren aus der Entwicklung der zweiten Zahl werden zu allen Faktoren aus der Entwicklung der ersten Zahl addiert, die fehlenden Faktoren aus der Entwicklung von die dritte Zahl wird zu den resultierenden Faktoren addiert und so weiter.

Schauen wir uns ein Beispiel für die Ermittlung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen mithilfe der Primfaktorzerlegung an.

Beispiel.

Finden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache der fünf Zahlen 84, 6, 48, 7, 143.

Lösung.

Zuerst erhalten wir Zerlegungen dieser Zahlen in Primfaktoren: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 ist eine Primzahl, sie stimmt überein mit seiner Zerlegung in Primfaktoren) und 143=11·13.

Um den LCM dieser Zahlen zu ermitteln, müssen Sie zu den Faktoren der ersten Zahl 84 (es sind 2, 2, 3 und 7) die fehlenden Faktoren aus der Entwicklung der zweiten Zahl 6 hinzufügen. Die Zerlegung der Zahl 6 enthält keine fehlenden Faktoren, da sowohl 2 als auch 3 bereits in der Zerlegung der ersten Zahl 84 vorhanden sind. Als nächstes fügen wir zu den Faktoren 2, 2, 3 und 7 die fehlenden Faktoren 2 und 2 aus der Entwicklung der dritten Zahl 48 hinzu, wir erhalten eine Reihe von Faktoren 2, 2, 2, 2, 3 und 7. Es ist im nächsten Schritt nicht erforderlich, diesem Set Multiplikatoren hinzuzufügen, da 7 bereits darin enthalten ist. Zu den Faktoren 2, 2, 2, 2, 3 und 7 fügen wir schließlich die fehlenden Faktoren 11 und 13 aus der Entwicklung der Zahl 143 hinzu. Wir erhalten das Produkt 2·2·2·2·3·7·11·13, was 48.048 entspricht.

Ermitteln des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (LCD) und des größten gemeinsamen Teilers (GCD) natürlicher Zahlen.

	2						5
	2						5
	3						3
	5

60=2*2*3*5
75=3*5*5
2) Schreiben wir die Faktoren auf, die in der Entwicklung der ersten dieser Zahlen enthalten sind, und fügen wir ihnen den fehlenden Faktor 5 aus der Entwicklung der zweiten Zahl hinzu. Wir erhalten: 2*2*3*5*5=300. Wir haben das NOC gefunden, d.h. dieser Betrag = 300. Vergessen Sie nicht die Dimension und schreiben Sie die Antwort:
Antwort: Mama gibt 300 Rubel.

GCD-Definition: Größter gemeinsamer Teiler (GCD) natürliche Zahlen A Und V Nennen Sie die größte natürliche Zahl C, zu dem A, Und B ohne Rest geteilt. Diese. C ist die kleinste natürliche Zahl, für die und A Und B sind Vielfache.

Memo: Es gibt zwei Ansätze zur Definition natürlicher Zahlen

Zahlen, die verwendet werden bei: Auflisten (Nummerieren) von Objekten (erstes, zweites, drittes, ...); - In Schulen ist das normalerweise so.
Bezeichnung der Anzahl der Gegenstände (kein Pokémon - null, ein Pokémon, zwei Pokémon, ...).

Negative und nicht ganzzahlige (rationale, reelle, ...) Zahlen sind keine natürlichen Zahlen. Einige Autoren nehmen die Null in die Menge der natürlichen Zahlen auf, andere nicht. Die Menge aller natürlichen Zahlen wird üblicherweise mit dem Symbol bezeichnet N

Memo: Teiler einer natürlichen Zahl A Nennen Sie die Nummer B, zu dem A ohne Rest geteilt. Vielfache einer natürlichen Zahl B Nennen Sie eine natürliche Zahl A, die durch teilbar ist B spurlos. Wenn die Nummer B- Zahlenteiler A, Das A Vielfaches der Zahl B. Beispiel: 2 ist ein Teiler von 4 und 4 ist ein Vielfaches von zwei. 3 ist ein Teiler von 12 und 12 ist ein Vielfaches von 3.
Memo: Natürliche Zahlen heißen Primzahlen, wenn sie nur durch sich selbst und 1 ohne Rest teilbar sind. Primzahlzahlen sind solche, die nur einen gemeinsamen Teiler gleich 1 haben.

Definition, wie man einen GCD im allgemeinen Fall findet: So finden Sie GCD (größter gemeinsamer Teiler) Es werden mehrere natürliche Zahlen benötigt:
1) Teilen Sie sie in Primfaktoren auf. (Die Tabelle der Primzahlen kann hierfür sehr nützlich sein.)
2) Notieren Sie die Faktoren, die in der Entwicklung eines von ihnen enthalten sind.
3) Streichen Sie diejenigen durch, die nicht in der Erweiterung der restlichen Zahlen enthalten sind.
4) Multiplizieren Sie die in Schritt 3 erhaltenen Faktoren.

Problem 2 zu (NOK): Für das neue Jahr kaufte Kolya Puzatov in der Stadt 48 Hamster und 36 Kaffeekannen. Fekla Dormidontova erhielt als ehrlichstes Mädchen der Klasse die Aufgabe, dieses Anwesen in möglichst viele Geschenksets für Lehrer aufzuteilen. Wie viele Sets hast du bekommen? Was ist der Inhalt der Sets?

Beispiel 2.1. Lösung des Problems, GCD zu finden. GCD durch Auswahl finden.
Lösung: Jede der Zahlen 48 und 36 muss durch die Anzahl der Geschenke teilbar sein.
1) Notieren Sie die Teiler 48: 48, 24, 16, 12 , 8, 6, 3, 2, 1
2) Schreiben Sie die Teiler von 36 auf: 36, 18, 12 , 9, 6, 3, 2, 1 Wählen Sie den größten gemeinsamen Teiler. Whoa-la-la! Wir haben festgestellt, dass die Anzahl der Sets 12 Stück beträgt.
3) Teilen Sie 48 durch 12, um 4 zu erhalten, teilen Sie 36 durch 12, um 3 zu erhalten. Vergessen Sie nicht die Dimension und schreiben Sie die Antwort:
Antwort: Sie erhalten 12 Sets mit je 4 Hamstern und 3 Kaffeekannen in jedem Set.