So lösen Sie ein Gleichungssystem mit der grafischen Methodenanwendung. Lösen von Gleichungen, Ungleichungen und Systemen mithilfe von Funktionsgraphen

, Wettbewerb „Präsentation für den Unterricht“

Präsentation für den Unterricht















Zurück Vorwärts

Aufmerksamkeit! Folienvorschauen dienen nur zu Informationszwecken und stellen möglicherweise nicht alle Funktionen der Präsentation dar. Wenn Sie an dieser Arbeit interessiert sind, laden Sie bitte die Vollversion herunter.

Unterrichtsziele:

  • Fassen Sie die grafische Methode zur Lösung von Gleichungssystemen zusammen.
  • Entwickeln Sie die Fähigkeit, Systeme von Gleichungen zweiten Grades grafisch zu lösen, indem Sie den Schülern bekannte Diagramme verwenden.
  • Stellen Sie bildlich dar, dass ein System aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen zweiten Grades eine bis vier Lösungen oder keine Lösungen haben kann.

Unterrichtsaufbau:

  1. Org. Moment
  2. Aktualisierung des Wissens der Studierenden.
  3. Erläuterung des neuen Materials.
  4. Konsolidierung des untersuchten Materials. Arbeiten in einer Excel-Tabelle mit anschließender Überprüfung ...
  5. Hausaufgaben.

Unterrichtsfortschritt

1. Organisatorischer Moment

Thema, Zweck und Ablauf der Unterrichtsstunde werden bekannt gegeben.

2. Wissen aktualisieren.

1) Überprüfen Sie Elementarfunktionen und ihre Graphen.

Der Mathematiklehrer stellt eine Frage zu zuvor untersuchten Elementarfunktionen und ihren Graphen und fasst die Antworten der Schüler über den Projektor zusammen.

2) Mündliche Arbeit.

Der Lehrer führt mündliche Arbeiten mit einem Projektor durch, um die Schüler auf die Wahrnehmung eines neuen Themas vorzubereiten.

3. Erläuterung des neuen Materials.

1) Erklärung neuen Materials durch einen Projektor und Analyse der Lösung eines mathematischen Standardproblems.

2) Der Informatik- und IKT-Lehrer erinnert die Schüler mithilfe eines Projektors an den Algorithmus zur grafischen Lösung eines Gleichungssystems in einer Excel-Tabelle.

4. Konsolidierung des untersuchten Materials. Arbeiten in einem TabellenkalkulationsprogrammExcel mit anschließender Verifizierung.

1) Der Lehrer lädt die Schüler ein, sich an den Computer zu setzen und Aufgaben in Excel zu erledigen.

2) Die Lösung jedes Gleichungssystems wird durch den Projektor überprüft.

5. Hausaufgaben.

Liste der verwendeten Literatur:

  1. Lehrbuch für die 9. Klasse allgemeinbildender Einrichtungen „Algebra“, Autoren Yu.N. Makarychev N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suworowa, „Aufklärung“, OJSC „Moscow Textbooks“, Moskau, 2008.
  2. Unterrichtsplanung in Algebra für das Lehrbuch von Yu.N. Makarychev und anderen „Algebra. 9. Klasse“, „Prüfung“, Moskau, 2008
  3. Algebra. 9. Klasse. Unterrichtspläne für das Lehrbuch von Yu.N. Makarychev und anderen, Autor-Compiler S.P. Kovaleva, Wolgograd, 2007.
  4. Algebra-Notizbuch, Autoren Ershova A.P., Goloborodko V.V., Krizhanovsky A.F., ILEKSA, Moskau, 2006.
  5. Lehrbuch Informatik. Grundkurs. 9. Klasse, Autor Ugrinovich N.D., BINOM. Wissenslabor, 2010
  6. Moderner offener Informatikunterricht für die Klassen 8-11, Autoren V.A. Molodtsov, N.B. Ryzhikova, Phoenix, 2006

Einstiegsniveau

Lösen von Gleichungen, Ungleichungen und Systemen mithilfe von Funktionsgraphen. Visueller Leitfaden (2019)

Viele Aufgaben, die wir gewohnt sind, rein algebraisch zu rechnen, lassen sich mithilfe von Funktionsgraphen viel einfacher und schneller lösen; Sie sagen: „Wieso?“ etwas zeichnen, und was soll man zeichnen? Glauben Sie mir, manchmal ist es bequemer und einfacher. Sollen wir anfangen? Beginnen wir mit den Gleichungen!

Grafische Lösung von Gleichungen

Grafische Lösung linearer Gleichungen

Wie Sie bereits wissen, ist der Graph einer linearen Gleichung eine Gerade, daher der Name dieses Typs. Lineare Gleichungen lassen sich algebraisch recht einfach lösen – wir übertragen alle Unbekannten auf eine Seite der Gleichung, alles, was wir wissen, auf die andere und voilà! Wir haben die Wurzel gefunden. Jetzt zeige ich dir, wie es geht grafisch.

Sie haben also die Gleichung:

Wie kann man es lösen?
Option 1, und die häufigste Methode besteht darin, die Unbekannten auf eine Seite und die Bekannten auf die andere zu verschieben. Wir erhalten:

Jetzt lasst uns bauen. Was hast du bekommen?

Was ist Ihrer Meinung nach die Wurzel unserer Gleichung? Das ist richtig, die Koordinate des Schnittpunkts der Graphen ist:

Unsere Antwort ist

Das ist die ganze Weisheit der grafischen Lösung. Wie Sie leicht überprüfen können, ist die Wurzel unserer Gleichung eine Zahl!

Wie ich oben sagte, ist dies die häufigste Option und kommt einer algebraischen Lösung nahe, aber Sie können sie auch auf andere Weise lösen. Um eine alternative Lösung in Betracht zu ziehen, kehren wir zu unserer Gleichung zurück:

Dieses Mal werden wir nichts von einer Seite zur anderen verschieben, sondern die Diagramme direkt konstruieren, da sie jetzt existieren:

Gebaut? Mal sehen!

Was ist diesmal die Lösung? Das ist richtig. Das Gleiche – die Koordinate des Schnittpunkts der Graphen:

Und wieder lautet unsere Antwort.

Wie Sie sehen, ist bei linearen Gleichungen alles äußerst einfach. Es ist Zeit, sich etwas Komplexeres anzusehen ... Zum Beispiel: grafische Lösung quadratischer Gleichungen.

Grafische Lösung quadratischer Gleichungen

Beginnen wir nun mit der Lösung der quadratischen Gleichung. Nehmen wir an, Sie müssen die Wurzeln dieser Gleichung finden:

Natürlich können Sie jetzt mit dem Diskriminantenzählen oder nach dem Satz von Vieta beginnen, aber viele Menschen machen aus Nervosität Fehler beim Multiplizieren oder Quadrieren, insbesondere wenn es sich um ein Beispiel mit großen Zahlen handelt, und Sie haben, wie Sie wissen, gewonnen Ich habe keinen Taschenrechner für die Prüfung ... Versuchen wir daher, ein wenig zu entspannen und zu zeichnen, während wir diese Gleichung lösen.

Lösungen für diese Gleichung können grafisch auf verschiedene Arten gefunden werden. Schauen wir uns die verschiedenen Optionen an und Sie können auswählen, welche Ihnen am besten gefällt.

Methode 1. Direkt

Wir erstellen einfach eine Parabel mit dieser Gleichung:

Um dies schnell zu erledigen, gebe ich Ihnen einen kleinen Hinweis: Es ist zweckmäßig, die Konstruktion mit der Bestimmung des Scheitelpunkts der Parabel zu beginnen. Die folgenden Formeln helfen bei der Bestimmung der Koordinaten des Scheitelpunkts einer Parabel:

Sie werden sagen: „Stopp! Die Formel für ist der Formel zum Finden der Diskriminante sehr ähnlich.“ Ja, das ist sie, und das ist ein großer Nachteil der „direkten“ Konstruktion einer Parabel, um ihre Wurzeln zu finden. Aber lass uns bis zum Ende zählen, und dann zeige ich dir, wie es viel (viel!) einfacher geht!

Hast du gezählt? Welche Koordinaten haben Sie für den Scheitelpunkt der Parabel erhalten? Lassen Sie es uns gemeinsam herausfinden:

Genau die gleiche Antwort? Gut gemacht! Und jetzt kennen wir bereits die Koordinaten des Scheitelpunkts, aber um eine Parabel zu konstruieren, brauchen wir mehr ... Punkte. Wie viele Mindestpunkte brauchen wir Ihrer Meinung nach? Rechts, .

Sie wissen, dass eine Parabel symmetrisch zu ihrem Scheitelpunkt ist, zum Beispiel:

Dementsprechend benötigen wir zwei weitere Punkte auf dem linken oder rechten Ast der Parabel und werden diese Punkte in Zukunft symmetrisch auf der gegenüberliegenden Seite widerspiegeln:

Kehren wir zu unserer Parabel zurück. Für unseren Fall Punkt. Wir brauchen zwei weitere Punkte, damit wir positive Punkte mitnehmen können, oder können wir negative Punkte mitnehmen? Welche Punkte sind für Sie am bequemsten? Für mich ist es bequemer, mit positiven zu arbeiten, also rechne ich bei und.

Da wir nun drei Punkte haben, können wir unsere Parabel leicht konstruieren, indem wir die letzten beiden Punkte relativ zu ihrem Scheitelpunkt spiegeln:

Was ist Ihrer Meinung nach die Lösung der Gleichung? Das ist richtig, Punkte, an denen, das heißt, und. Weil.

Und wenn wir das sagen, heißt das, dass es auch gleich sein muss, oder.

Nur? Wir haben die Gleichung mit Ihnen auf komplexe grafische Weise gelöst, sonst kommen noch mehr!

Natürlich können Sie unsere Antwort algebraisch überprüfen – Sie können die Wurzeln mithilfe des Satzes von Vieta oder der Diskriminante berechnen. Was hast du bekommen? Das gleiche? Siehst du! Schauen wir uns nun eine sehr einfache grafische Lösung an. Ich bin sicher, sie wird Ihnen wirklich gefallen!

Methode 2. In mehrere Funktionen unterteilt

Nehmen wir die gleiche Gleichung: , aber schreiben wir sie etwas anders, nämlich:

Können wir es so schreiben? Wir können, da die Transformation äquivalent ist. Schauen wir weiter.

Lassen Sie uns zwei Funktionen separat konstruieren:

  1. - Der Graph ist eine einfache Parabel, die Sie leicht konstruieren können, auch ohne den Scheitelpunkt mithilfe von Formeln zu definieren und eine Tabelle zur Bestimmung anderer Punkte zu erstellen.
  2. - Das Diagramm ist eine gerade Linie, die Sie genauso einfach erstellen können, indem Sie die Werte im Kopf schätzen, ohne überhaupt auf einen Taschenrechner zurückgreifen zu müssen.

Gebaut? Vergleichen wir mit dem, was ich habe:

Was sind Ihrer Meinung nach die Wurzeln der Gleichung in diesem Fall? Rechts! Die Koordinaten, die man durch den Schnittpunkt zweier Graphen erhält, und zwar:

Dementsprechend lautet die Lösung dieser Gleichung:

Was sagen Sie? Stimmen Sie zu, diese Lösungsmethode ist viel einfacher als die vorherige und sogar einfacher als die Suche nach Wurzeln durch eine Diskriminante! Wenn ja, versuchen Sie, die folgende Gleichung mit dieser Methode zu lösen:

Was hast du bekommen? Vergleichen wir unsere Grafiken:

Die Grafiken zeigen, dass die Antworten wie folgt lauten:

Hast du es geschafft? Gut gemacht! Schauen wir uns nun die Gleichungen etwas komplizierter an, nämlich die Lösung gemischter Gleichungen, also Gleichungen, die Funktionen unterschiedlichen Typs enthalten.

Grafische Lösung gemischter Gleichungen

Versuchen wir nun, Folgendes zu lösen:

Natürlich können Sie alles auf einen gemeinsamen Nenner bringen, die Wurzeln der resultierenden Gleichung finden, ohne die ODZ zu vergessen, aber wir werden auch hier versuchen, es grafisch zu lösen, wie wir es in allen vorherigen Fällen getan haben.

Dieses Mal erstellen wir die folgenden 2 Diagramme:

  1. - Der Graph ist eine Hyperbel
  2. - Das Diagramm ist eine gerade Linie, die Sie leicht erstellen können, indem Sie die Werte in Ihrem Kopf schätzen, ohne auch nur auf einen Taschenrechner zurückgreifen zu müssen.

Haben Sie es erkannt? Beginnen Sie nun mit dem Bau.

Folgendes habe ich bekommen:

Wenn Sie sich dieses Bild ansehen, sagen Sie mir, was die Wurzeln unserer Gleichung sind.

Das ist richtig, und. Hier ist die Bestätigung:

Versuchen Sie, unsere Wurzeln in die Gleichung einzubeziehen. Hat es funktioniert?

Das stimmt! Stimmen Sie zu, solche Gleichungen grafisch zu lösen ist ein Vergnügen!

Versuchen Sie, die Gleichung selbst grafisch zu lösen:

Ich gebe Ihnen einen Tipp: Verschieben Sie einen Teil der Gleichung auf die rechte Seite, sodass sich die am einfachsten zu konstruierenden Funktionen auf beiden Seiten befinden. Hast du den Hinweis verstanden? Werden Sie aktiv!

Nun wollen wir sehen, was Sie haben:

Jeweils:

  1. - kubische Parabel.
  2. - gewöhnliche gerade Linie.

Nun, lasst uns bauen:

Wie Sie vor langer Zeit geschrieben haben, lautet die Wurzel dieser Gleichung - .

Nachdem Sie so viele Beispiele durchgearbeitet haben, ist Ihnen sicher klar geworden, wie einfach und schnell es ist, Gleichungen grafisch zu lösen. Es ist an der Zeit, herauszufinden, wie man Systeme auf diese Weise lösen kann.

Grafische Lösung von Systemen

Das grafische Lösen von Systemen unterscheidet sich im Wesentlichen nicht vom grafischen Lösen von Gleichungen. Wir werden auch zwei Graphen erstellen und ihre Schnittpunkte werden die Wurzeln dieses Systems sein. Ein Graph ist eine Gleichung, der zweite Graph ist eine andere Gleichung. Alles ist extrem einfach!

Beginnen wir mit der einfachsten Sache – dem Lösen linearer Gleichungssysteme.

Lösen linearer Gleichungssysteme

Nehmen wir an, wir haben das folgende System:

Lassen Sie uns es zunächst so umwandeln, dass auf der linken Seite alles ist, womit etwas verbunden ist, und auf der rechten Seite alles, was damit verbunden ist. Mit anderen Worten, schreiben wir diese Gleichungen als Funktion in unserer üblichen Form:

Jetzt bauen wir einfach zwei gerade Linien. Was ist in unserem Fall die Lösung? Rechts! Der Punkt ihrer Kreuzung! Und hier muss man sehr, sehr vorsichtig sein! Denken Sie darüber nach, warum? Lassen Sie mich Ihnen einen Hinweis geben: Wir haben es mit einem System zu tun: Im System gibt es beides, und ... Haben Sie den Hinweis verstanden?

Das stimmt! Beim Lösen eines Systems müssen wir beide Koordinaten betrachten, und zwar nicht nur wie beim Lösen von Gleichungen! Ein weiterer wichtiger Punkt ist, sie richtig aufzuschreiben und nicht zu verwechseln, wo wir die Bedeutung haben und wo die Bedeutung ist! Hast du es aufgeschrieben? Vergleichen wir nun alles der Reihe nach:

Und die Antworten: und. Führen Sie eine Überprüfung durch – setzen Sie die gefundenen Wurzeln in das System ein und stellen Sie sicher, dass wir das Problem grafisch richtig gelöst haben?

Lösen von Systemen nichtlinearer Gleichungen

Was wäre, wenn wir statt einer Geraden eine quadratische Gleichung hätten? Es ist okay! Statt einer Geraden baut man einfach eine Parabel! Glauben Sie mir nicht? Versuchen Sie, das folgende System zu lösen:

Was ist unser nächster Schritt? Das ist richtig, schreiben Sie es auf, damit wir bequem Diagramme erstellen können:

Und jetzt kommt es auf die Kleinigkeiten an – bauen Sie es schnell auf und hier ist Ihre Lösung! Wir bauen:

Sind die Grafiken gleich geworden? Markieren Sie nun die Lösungen des Systems in der Abbildung und notieren Sie die gefundenen Antworten richtig!

Hast du alles gemacht? Vergleichen Sie mit meinen Notizen:

Ist alles richtig? Gut gemacht! Du knackst solche Aufgaben bereits wie verrückt! Wenn ja, geben wir Ihnen ein komplizierteres System:

Was machen wir? Rechts! Wir schreiben das System so, dass es bequem zu erstellen ist:

Ich gebe Ihnen einen kleinen Hinweis, da das System sehr kompliziert aussieht! Wenn Sie Diagramme erstellen, bauen Sie sie „mehr“ auf und lassen Sie sich vor allem nicht von der Anzahl der Schnittpunkte überraschen.

Also, los geht's! Ausgeatmet? Beginnen Sie jetzt mit dem Bau!

Wie also? Schön? Wie viele Schnittpunkte haben Sie erhalten? Ich habe drei! Vergleichen wir unsere Grafiken:

Auch? Schreiben Sie nun sorgfältig alle Lösungen unseres Systems auf:

Schauen Sie sich nun das System noch einmal an:

Können Sie sich vorstellen, dass Sie das in nur 15 Minuten gelöst haben? Stimmen Sie zu, Mathematik ist immer noch einfach, besonders wenn Sie einen Ausdruck betrachten, haben Sie keine Angst davor, einen Fehler zu machen, sondern nehmen Sie ihn einfach und lösen Sie ihn! Du bist toll!

Grafische Lösung von Ungleichungen

Grafische Lösung linearer Ungleichungen

Nach dem letzten Beispiel können Sie alles tun! Jetzt ausatmen – im Vergleich zu den vorherigen Abschnitten wird dieser sehr, sehr einfach sein!

Wir beginnen wie üblich mit einer grafischen Lösung einer linearen Ungleichung. Zum Beispiel dieses hier:

Lassen Sie uns zunächst die einfachsten Transformationen durchführen – öffnen Sie die Klammern perfekter Quadrate und präsentieren Sie ähnliche Begriffe:

Die Ungleichung ist nicht streng, daher ist sie nicht im Intervall enthalten, und die Lösung sind alle Punkte, die rechts liegen, da mehr, mehr usw.:

Antwort:

Das ist es! Leicht? Lösen wir eine einfache Ungleichung mit zwei Variablen:

Zeichnen wir eine Funktion im Koordinatensystem.

Hast du so einen Zeitplan bekommen? Schauen wir uns nun genau an, welche Ungleichheit wir dort haben? Weniger? Das heißt, wir übermalen alles, was links von unserer Geraden liegt. Was wäre, wenn es mehr gäbe? Richtig, dann würden wir alles übermalen, was rechts von unserer Geraden liegt. Es ist einfach.

Alle Lösungen dieser Ungleichung sind orange schattiert. Damit ist die Ungleichung mit zwei Variablen gelöst. Dies bedeutet, dass die Koordinaten eines beliebigen Punktes aus dem schattierten Bereich die Lösungen sind.

Grafische Lösung quadratischer Ungleichungen

Jetzt werden wir verstehen, wie man quadratische Ungleichungen grafisch löst.

Aber bevor wir zur Sache kommen, schauen wir uns etwas Material zur quadratischen Funktion an.

Wofür ist die Diskriminante verantwortlich? Das stimmt, was die Position des Graphen relativ zur Achse betrifft (wenn Sie sich nicht daran erinnern, lesen Sie unbedingt die Theorie über quadratische Funktionen).

Auf jeden Fall hier eine kleine Erinnerung für Sie:

Nachdem wir nun das gesamte Material in unserem Gedächtnis aufgefrischt haben, kommen wir zur Sache: Lösen Sie die Ungleichung grafisch.

Ich sage Ihnen gleich, dass es zwei Möglichkeiten gibt, das Problem zu lösen.

Option 1

Wir schreiben unsere Parabel als Funktion:

Mit den Formeln bestimmen wir die Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel (genau wie beim Lösen quadratischer Gleichungen):

Hast du gezählt? Was hast du bekommen?

Nehmen wir nun zwei weitere unterschiedliche Punkte und berechnen für sie:

Beginnen wir mit dem Aufbau eines Astes der Parabel:

Wir spiegeln unsere Punkte symmetrisch auf einen anderen Ast der Parabel:

Kehren wir nun zu unserer Ungleichung zurück.

Wir benötigen jeweils einen Wert kleiner Null:

Da in unserer Ungleichung das Vorzeichen strikt kleiner ist als, schließen wir die Endpunkte – „Punktion aus“ – aus.

Antwort:

Langer Weg, oder? Nun zeige ich Ihnen eine einfachere Version der grafischen Lösung am Beispiel derselben Ungleichung:

Option 2

Wir kehren zu unserer Ungleichung zurück und markieren die Intervalle, die wir brauchen:

Stimmen Sie zu, es ist viel schneller.

Schreiben wir nun die Antwort auf:

Betrachten wir eine andere Lösung, die den algebraischen Teil vereinfacht, aber die Hauptsache ist, nicht verwirrt zu werden.

Multiplizieren Sie die linke und rechte Seite mit:

Versuchen Sie, die folgende quadratische Ungleichung auf beliebige Weise selbst zu lösen: .

Hast du es geschafft?

Schauen Sie, wie meine Grafik ausgefallen ist:

Antwort: .

Grafische Lösung gemischter Ungleichungen

Kommen wir nun zu komplexeren Ungleichungen!

Wie gefällt dir das:

Es ist gruselig, nicht wahr? Ehrlich gesagt habe ich keine Ahnung, wie ich das algebraisch lösen soll ... Aber es ist nicht notwendig. Grafisch ist daran nichts Kompliziertes! Die Augen haben Angst, aber die Hände tun es!

Als erstes beginnen wir mit der Konstruktion zweier Diagramme:

Ich werde nicht für jedes einzelne eine Tabelle aufschreiben – ich bin mir sicher, dass Sie es perfekt selbst machen können (wow, es gibt so viele Beispiele zu lösen!).

Hast du es gemalt? Erstellen Sie nun zwei Diagramme.

Vergleichen wir unsere Zeichnungen?

Geht es dir auch so? Großartig! Ordnen wir nun die Schnittpunkte an und verwenden wir die Farbe, um zu bestimmen, welches Diagramm theoretisch größer sein sollte. Schauen Sie, was am Ende passiert ist:

Schauen wir uns nun einfach an, wo unser ausgewähltes Diagramm höher ist als das Diagramm? Nehmen Sie gerne einen Bleistift und übermalen Sie diesen Bereich! Sie wird die Lösung für unsere komplexe Ungleichheit sein!

In welchen Abständen entlang der Achse liegen wir höher als? Rechts, . Das ist die Antwort!

Nun können Sie mit jeder Gleichung, jedem System und noch mehr mit jeder Ungleichung umgehen!

KURZ ÜBER DAS WICHTIGSTE

Algorithmus zum Lösen von Gleichungen mithilfe von Funktionsgraphen:

  1. Lassen Sie es uns durch ausdrücken
  2. Definieren wir den Funktionstyp
  3. Lassen Sie uns Diagramme der resultierenden Funktionen erstellen
  4. Suchen wir die Schnittpunkte der Diagramme
  5. Schreiben wir die Antwort richtig (unter Berücksichtigung der ODZ- und Ungleichheitszeichen)
  6. Lassen Sie uns die Antwort überprüfen (setzen Sie die Wurzeln in die Gleichung oder das System ein)

Weitere Informationen zum Erstellen von Funktionsgraphen finden Sie im Thema „“.

In dieser Lektion werden wir uns mit der Lösung von Systemen aus zwei Gleichungen in zwei Variablen befassen. Schauen wir uns zunächst die grafische Lösung eines Systems aus zwei linearen Gleichungen und die Besonderheiten der Menge ihrer Graphen an. Als nächstes werden wir mehrere Systeme mit der grafischen Methode lösen.

Thema: Gleichungssysteme

Lektion: Grafische Methode zur Lösung eines Gleichungssystems

Betrachten Sie das System

Ein Zahlenpaar, das gleichzeitig eine Lösung sowohl der ersten als auch der zweiten Gleichung des Systems ist, wird aufgerufen Lösen eines Gleichungssystems.

Ein Gleichungssystem zu lösen bedeutet, alle seine Lösungen zu finden oder festzustellen, dass es keine Lösungen gibt. Wir haben uns die Diagramme der Grundgleichungen angesehen und kommen nun zur Betrachtung von Systemen.

Beispiel 1. Lösen Sie das System

Lösung:

Dies sind lineare Gleichungen, der Graph jeder von ihnen ist eine gerade Linie. Der Graph der ersten Gleichung verläuft durch die Punkte (0; 1) und (-1; 0). Der Graph der zweiten Gleichung verläuft durch die Punkte (0; -1) und (-1; 0). Die Geraden schneiden sich im Punkt (-1; 0), das ist die Lösung des Gleichungssystems ( Reis. 1).

Die Lösung des Systems ist ein Zahlenpaar, das in jede Gleichung eingesetzt wird, und wir erhalten die richtige Gleichheit.

Wir haben eine einzigartige Lösung für das lineare System erhalten.

Denken Sie daran, dass beim Lösen eines linearen Systems die folgenden Fälle möglich sind:

das System hat eine einzigartige Lösung – die Linien kreuzen sich,

das System hat keine Lösungen - die Linien sind parallel,

Das System hat unendlich viele Lösungen – die Geraden fallen zusammen.

Wir haben einen Sonderfall des Systems betrachtet, bei dem p(x; y) und q(x; y) lineare Ausdrücke von x und y sind.

Beispiel 2. Lösen Sie ein Gleichungssystem

Lösung:

Der Graph der ersten Gleichung ist eine Gerade, der Graph der zweiten Gleichung ist ein Kreis. Lassen Sie uns den ersten Graphen nach Punkten erstellen (Abb. 2).

Der Mittelpunkt des Kreises liegt im Punkt O(0; 0), der Radius ist 1.

Die Graphen schneiden sich im Punkt A(0; 1) und im Punkt B(-1; 0).

Beispiel 3. Lösen Sie das System grafisch

Lösung: Erstellen wir einen Graphen der ersten Gleichung – es ist ein Kreis mit einem Mittelpunkt bei t.O(0; 0) und einem Radius 2. Der Graph der zweiten Gleichung ist eine Parabel. Es ist gegenüber dem Ursprung um 2 nach oben verschoben, d.h. sein Scheitelpunkt ist Punkt (0; 2) (Abb. 3).

Die Graphen haben einen gemeinsamen Punkt – nämlich A(0; 2). Es ist die Lösung des Systems. Setzen wir ein paar Zahlen in die Gleichung ein, um zu überprüfen, ob sie richtig ist.

Beispiel 4. Lösen Sie das System

Lösung: Erstellen wir einen Graphen der ersten Gleichung – dies ist ein Kreis mit einem Mittelpunkt bei t.O(0; 0) und einem Radius 1 (Abb. 4).

Zeichnen wir die Funktion. Dies ist eine gestrichelte Linie (Abb. 5).

Jetzt verschieben wir es entlang der oy-Achse um 1 nach unten. Dies wird der Graph der Funktion sein

Platzieren wir beide Graphen im selben Koordinatensystem (Abb. 6).

Wir erhalten drei Schnittpunkte – Punkt A(1; 0), Punkt B(-1; 0), Punkt C(0; -1).

Wir haben uns die grafische Methode zur Lösung von Systemen angesehen. Wenn Sie für jede Gleichung ein Diagramm zeichnen und die Koordinaten der Schnittpunkte ermitteln können, ist diese Methode völlig ausreichend.

Mit der grafischen Methode ist es jedoch oft möglich, nur eine Näherungslösung des Systems zu finden oder die Frage nach der Anzahl der Lösungen zu beantworten. Daher sind andere, genauere Methoden erforderlich, mit denen wir uns in den folgenden Lektionen befassen.

1. Mordkovich A.G. und andere. Algebra 9. Klasse: Lehrbuch. Für die Allgemeinbildung Institutionen. – 4. Aufl. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 S.: Abb.

2. Mordkovich A.G. und andere. Algebra 9. Klasse: Problembuch für Studierende allgemeinbildender Einrichtungen / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina usw. - 4. Aufl. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 S.: Abb.

3. Makarychev Yu. N. Algebra. 9. Klasse: pädagogisch. für Studierende der Allgemeinbildung. Institutionen / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. – 7. Aufl., rev. und zusätzlich - M.: Mnemosyne, 2008.

4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. Algebra. 9. Klasse. 16. Aufl. - M., 2011. - 287 S.

5. Mordkovich A. G. Algebra. 9. Klasse. In 2 Stunden. Teil 1. Lehrbuch für Studierende allgemeinbildender Einrichtungen / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. – 12. Aufl., gelöscht. - M.: 2010. - 224 S.: Abb.

6. Algebra. 9. Klasse. In 2 Teilen. Teil 2. Problembuch für Studierende allgemeinbildender Einrichtungen / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina und andere; Ed. A. G. Mordkovich. – 12. Auflage, rev. - M.: 2010.-223 S.: Abb.

1. College.ru-Abschnitt über Mathematik ().

2. Internetprojekt „Aufgaben“ ().

3. Bildungsportal „ICH WERDE das Einheitliche Staatsexamen lösen“ ().

1. Mordkovich A.G. und andere. Algebra 9. Klasse: Problembuch für Studierende allgemeinbildender Einrichtungen / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina usw. - 4. Aufl. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 S.: Abb. Nr. 105, 107, 114, 115.

Die Verwendung von Gleichungen ist in unserem Leben weit verbreitet. Sie werden in vielen Berechnungen, beim Bau von Bauwerken und sogar im Sport eingesetzt. Der Mensch benutzte Gleichungen schon in der Antike, und seitdem hat ihre Verwendung nur noch zugenommen. Ein Gleichungssystem ist eine Menge mathematischer Gleichungen, von denen jede eine bestimmte Anzahl von Variablen hat. Es ist üblich, ein System mit einer geschweiften Klammer zu bezeichnen und alles unter dieser Klammer sind die Mitglieder des Systems. Um Systeme dieser Art zu lösen, werden viele verschiedene Methoden eingesetzt.

Ein Gleichungssystem zu lösen bedeutet, alle möglichen Wurzeln zu finden oder zu beweisen, dass sie nicht existieren. Um Gleichungssysteme mit zwei Variablen zu lösen, werden üblicherweise folgende Methoden verwendet: grafische Methode, Substitutionsmethode und Additionsmethode.

Angenommen, wir erhalten ein System, das mit der folgenden Methode grafisch gelöst werden muss:

\[ \left\(\begin(matrix) x^2+y^2-2x+4y-20=0\\ 2x-y=-1 \end(matrix)\right.\]

Um ein Gleichungssystem grafisch zu lösen, benötigen Sie:

* Diagramme von Gleichungen in einem Koordinatensystem erstellen;

* Bestimmen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte dieser Graphen, die die Lösung des Systems darstellen;

Wenn wir vollständige Quadrate auswählen, erhalten wir:

Basierend darauf erhalten wir:

\[\left\(\begin(matrix)(x-1)^2+(y+2)^2)=25\\ 2x-y=-1 \end(matrix)\right.\]

Der Graph der ersten Gleichung \[(x-1)^2+(y+2)^2=25\] ist ein Kreis mit Mittelpunkt \ und Radius 5. Die Graphen der Gleichungen sind in Abbildung 6 dargestellt.

Der Graph der zweiten Gleichung \ ist die Gleichung einer Linie, die durch die Punkte \ und \ verläuft. Wir konstruieren einen Kreis mit dem Radius 5 mit dem Mittelpunkt im Punkt \ und zeichnen eine Linie durch die Punkte \ und \. Diese Linien schneiden sich in zwei Punkten \ Und \

Auf dieser Grundlage lautet die Lösung des Systems: \

Antwort: \[(1;3); (-3;-5);\]

Wo kann ich ein Gleichungssystem online grafisch lösen?

Sie können die Gleichung auf unserer Website https://site lösen. Mit dem kostenlosen Online-Löser können Sie Online-Gleichungen beliebiger Komplexität in Sekundenschnelle lösen. Sie müssen lediglich Ihre Daten in den Solver eingeben. Auf unserer Website können Sie sich auch Videoanleitungen ansehen und erfahren, wie Sie die Gleichung lösen. Und wenn Sie noch Fragen haben, können Sie diese in unserer VKontakte-Gruppe http://vk.com/pocketacher stellen. Treten Sie unserer Gruppe bei, wir helfen Ihnen gerne weiter.

Grafische Methode zur Lösung von Gleichungssystemen

(9. Klasse)

Lehrbuch: Algebra, 9. Klasse, herausgegeben von Telyakovsky S.A.

Unterrichtsart: Unterricht zur integrierten Anwendung von Wissen, Fertigkeiten und Fähigkeiten.

Unterrichtsziele:

Pädagogisch: Entwickeln Sie die Fähigkeit, Wissen auf komplexe Weise selbstständig anzuwenden und auf neue Bedingungen zu übertragen, einschließlich der Arbeit mit einem Computerprogramm, um Funktionsgraphen zu zeichnen und die Anzahl der Wurzeln in gegebenen Gleichungen zu ermitteln.

Entwicklung: Bei den Schülern die Fähigkeit entwickeln, die Hauptmerkmale zu erkennen, Gemeinsamkeiten und Unterschiede festzustellen. Bereichern Sie Ihren Wortschatz. Entwickeln Sie Sprache und erschweren Sie ihre semantische Funktion. Um logisches Denken, kognitives Interesse, Grafikdesignkultur, Gedächtnis und Neugier zu entwickeln.

Pädagogisch: Fördern Sie ein Verantwortungsbewusstsein für die Ergebnisse Ihrer Arbeit. Lernen Sie, sich in die Erfolge und Misserfolge Ihrer Klassenkameraden hineinzuversetzen.

Lernwerkzeuge : Computer, Multimedia-Projektor, Handouts.

Unterrichtsplan:

    Organisatorischer Moment. Hausaufgabe – 2 Min.

    Aktualisierung, Wiederholung, Korrektur von Wissen – 8 Min.

    Neues Material lernen – 10 Min.

    Praktische Arbeit – 20 Min.

    Zusammenfassend – 4 Min.

    Reflexion – 1 Min.

FORTSCHRITT DER LEKTION

    Organisatorischer Moment – ​​2 Min.

Hallo Leute! Heute gibt es eine Lektion zu einem wichtigen Thema: „Gleichungssysteme lösen“.

Es gibt keine Wissensgebiete in den exakten Wissenschaften, in denen dieses Thema nicht angewendet wird. Das Epigraph unserer Lektion besteht aus den folgenden Worten : „Intelligenz liegt nicht nur im Wissen, sondern auch in der Fähigkeit, Wissen in der Praxis anzuwenden.“ " (Aristoteles)

Festlegung des Themas, der Ziele und Zielsetzungen der Lektion.

Der Lehrer informiert die Klasse darüber, was in der Lektion gelernt wird, und stellt die Aufgabe, Gleichungssysteme mit zwei Variablen grafisch lösen zu lernen.

Hausaufgabe (S.18 Nr. 416, 418, 419 a).

    Wiederholung des theoretischen Materials – 8 Min.

A) Mathematiklehrer: Beantworten Sie anhand der vorbereiteten Zeichnungen die Fragen und begründen Sie Ihre Antwort.

1). Finden Sie den Graphen der quadratischen Funktion D =0 (Die Schüler beantworten die Frage und benennen Grafik 3c).

2). Finden Sie den Graphen einer umgekehrt proportionalen Funktion für k >0 (Die Schüler beantworten die Frage, rufen Grafik 3 aufA ).

3). Finden Sie den Graphen eines Kreises mit Mittelpunkt O (-1; -5). (Die Schüler beantworten die Frage, nennen Grafik 1b).

4). Finden Sie den Graphen der Funktion y =3x -2. (Die Schüler beantworten die Frage und benennen Grafik 3b).

5). Finden Sie den Graphen der quadratischen Funktion D >0, a >0. (Die Schüler beantworten die Frage und benennen Grafik 1A ).

Mathematiklehrer: – Um Gleichungssysteme erfolgreich zu lösen, erinnern wir uns an Folgendes:

1). Wie heißt ein Gleichungssystem? (Ein Gleichungssystem besteht aus mehreren Gleichungen, für die es notwendig ist, die Werte der Unbekannten zu finden, die alle diese Gleichungen gleichzeitig erfüllen.)

2). Was bedeutet es, ein Gleichungssystem zu lösen? (Ein Gleichungssystem zu lösen bedeutet, alle Lösungen zu finden oder zu beweisen, dass es keine Lösungen gibt.)

3). Was ist die Lösung eines Gleichungssystems? (Eine Lösung eines Gleichungssystems ist ein Zahlenpaar (x; y), in dem alle Gleichungen des Systems zu echten Gleichheiten werden.)

4) Finden Sie heraus, ob die Lösung des Gleichungssystems lautet
ein Zahlenpaar: a) x = 1, y = 2;(–) b) x = 2, y = 4; (+) c) x = – 2, y = – 4? (+)

III Neues Material – 10 Min.

Absatz 18 des Lehrbuchs wird in der Konversationsmethode präsentiert.

Mathematiklehrer: Im Algebrakurs der 7. Klasse haben wir uns mit Gleichungssystemen ersten Grades befasst. Jetzt beschäftigen wir uns mit der Lösung von Systemen, die aus Gleichungen ersten und zweiten Grades bestehen.

1.Wie heißt ein Gleichungssystem?

2.Was bedeutet es, ein Gleichungssystem zu lösen?

Wir wissen, dass die algebraische Methode es uns ermöglicht, exakte Lösungen des Systems zu finden, und die grafische Methode ermöglicht es uns, klar zu sehen, wie viele Wurzeln das System hat, und diese ungefähr zu finden. Daher werden wir in den folgenden Lektionen weiterhin lernen, wie man Gleichungssysteme zweiten Grades löst, und heute wird das Hauptziel der Lektion die praktische Verwendung eines Computerprogramms zum Zeichnen von Funktionsgraphen und zum Ermitteln der Anzahl der Wurzeln von Systemen sein von Gleichungen.

IV . Praktische Arbeit – 20 Min. Gleichungssysteme grafisch lösen. Bestimmung der Wurzeln von Gleichungen.(Erstellen eines Diagramms auf einem Computer.)

Die Aufgaben werden von den Studierenden am Computer bearbeitet. Lösungen werden während der Ausführung überprüft.

y = 2x 2 + 5x +3

y=4

y = -2x 2 +5x+3

y = -3x + 4

y = -2x 2 -5x-3

y = -4+2x

y = 4x 2 + 5x +3

y=2

j= -4 X 2 +5x+3

y = -3x + 2

y = -4x 2 -5x-3

y = -2+2x

j = 4 X 2 + 5 X+5

y=3

y = -4x 2 +5x+5

y = -x + 3

y = -4x 2 -5x-5

y = -2+3x

Hier sind Diagramme von zwei Gleichungen. Schreiben Sie das durch diese Gleichungen definierte System und seine Lösung auf.

– Welches der folgenden Systeme Kannst du es anhand dieses Bildes lösen?

– Es wurden 4 Systeme vorgegeben, diese mussten mit Diagrammen korreliert werden. Jetzt ist die Aufgabe das Gegenteil: Ja Grafik, sie müssen mit dem System korreliert werden.

    1. Zusammenfassung der Lektion. Benotung – 4 Min.

* Gleichungssysteme lösen. ( Aufgaben mit einem Sternchen*.)

Gleichungen für die 1. Studierendengruppe:

Gleichungen für die 2. Studierendengruppe:

Gleichungen für die 3. Studierendengruppe:

X j = 6

X 2 + j = 4

x 2 + y = 3

x - y + 1= 0

x 2 - y = 3



VERWANDTE ARTIKEL