So berechnen Sie die Quadratwurzel von 100. Quadratwurzel

Bei der Lösung von Problemen werden wir oft mit großen Zahlen konfrontiert, aus denen wir etwas extrahieren müssen Quadratwurzel. Viele Schüler entscheiden, dass dies ein Fehler ist und beginnen, das gesamte Beispiel erneut zu lösen. Auf keinen Fall sollten Sie dies tun! Dafür gibt es zwei Gründe:

In Problemen tauchen durchaus Wurzeln großer Zahlen auf. Besonders in Textform;
Es gibt einen Algorithmus, mit dem diese Wurzeln fast mündlich berechnet werden.

Wir werden diesen Algorithmus heute betrachten. Vielleicht kommt Ihnen manches unverständlich vor. Aber wenn Sie dieser Lektion Aufmerksamkeit schenken, erhalten Sie eine mächtige Waffe dagegen Quadratwurzeln.

Also der Algorithmus:

Beschränken Sie die erforderliche Wurzel oben und unten auf Zahlen, die ein Vielfaches von 10 sind. Daher reduzieren wir den Suchbereich auf 10 Zahlen;
Entfernen Sie aus diesen 10 Zahlen diejenigen, die definitiv keine Wurzeln sein können. Dadurch bleiben 1-2 Nummern übrig;
Quadrieren Sie diese 1-2 Zahlen. Derjenige, dessen Quadrat gleich der ursprünglichen Zahl ist, ist die Wurzel.

Bevor wir diesen Algorithmus in die Praxis umsetzen, schauen wir uns jeden einzelnen Schritt an.

Root-Beschränkung

Zunächst müssen wir herausfinden, zwischen welchen Zahlen unsere Wurzel liegt. Es ist äußerst wünschenswert, dass die Zahlen ein Vielfaches von zehn sind:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Wir erhalten eine Reihe von Zahlen:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Was sagen uns diese Zahlen? Es ist ganz einfach: Wir setzen Grenzen. Nehmen wir zum Beispiel die Zahl 1296. Sie liegt zwischen 900 und 1600. Daher kann ihre Wurzel nicht kleiner als 30 und nicht größer als 40 sein:

[Bildunterschrift]

Das Gleiche gilt für jede andere Zahl, aus der Sie die Quadratwurzel ermitteln können. Zum Beispiel 3364:

[Bildunterschrift]

Somit erhalten wir statt einer unverständlichen Zahl einen ganz bestimmten Bereich, in dem die ursprüngliche Wurzel liegt. Um den Suchbereich weiter einzugrenzen, fahren Sie mit dem zweiten Schritt fort.

Eliminierung offensichtlich unnötiger Zahlen

Wir haben also 10 Zahlen – Kandidaten für die Wurzel. Wir haben sie sehr schnell bekommen, ohne kompliziertes Nachdenken und Multiplizieren in einer Kolumne. Es ist Zeit weiterzugehen.

Ob Sie es glauben oder nicht, wir reduzieren jetzt die Anzahl der Kandidatenzahlen auf zwei – wiederum ohne komplizierte Berechnungen! Es reicht aus, die Sonderregel zu kennen. Hier ist es:

Die letzte Ziffer des Quadrats hängt nur von der letzten Ziffer ab Originalnummer.

Mit anderen Worten: Schauen Sie sich einfach die letzte Ziffer des Quadrats an und wir werden sofort verstehen, wo die ursprüngliche Zahl endet.

An letzter Stelle können nur 10 Ziffern stehen. Versuchen wir herauszufinden, was sie im Quadrat ergeben. Schauen Sie sich die Tabelle an:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Diese Tabelle ist ein weiterer Schritt zur Berechnung der Wurzel. Wie Sie sehen können, erwiesen sich die Zahlen in der zweiten Zeile als symmetrisch zur Fünf. Zum Beispiel:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Wie Sie sehen, ist die letzte Ziffer in beiden Fällen gleich. Das bedeutet, dass beispielsweise die Wurzel von 3364 auf 2 oder 8 enden muss. Andererseits erinnern wir uns an die Einschränkung aus dem vorherigen Absatz. Wir bekommen:

[Bildunterschrift]

Rote Quadrate zeigen an, dass wir diese Zahl noch nicht kennen. Aber die Wurzel liegt im Bereich von 50 bis 60, in dem es nur zwei Zahlen gibt, die auf 2 und 8 enden:

[Bildunterschrift]

Das ist alles! Von allen möglichen Wurzeln haben wir nur zwei Optionen gelassen! Und das ist im schwierigsten Fall, denn die letzte Ziffer kann 5 oder 0 sein. Und dann gibt es nur einen Kandidaten für die Wurzeln!

Endgültige Berechnungen

Wir haben also noch 2 Kandidatennummern übrig. Woher wissen Sie, welches die Wurzel ist? Die Antwort liegt auf der Hand: Quadrieren Sie beide Zahlen. Die Zahl, die quadriert die ursprüngliche Zahl ergibt, ist die Wurzel.

Für die Zahl 3364 haben wir beispielsweise zwei Kandidatenzahlen gefunden: 52 und 58. Quadrieren wir sie:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.

Das ist alles! Es stellte sich heraus, dass die Wurzel 58 ist! Gleichzeitig habe ich zur Vereinfachung der Berechnungen die Formel für die Quadrate von Summe und Differenz verwendet. Dadurch musste ich die Zahlen nicht einmal in einer Spalte multiplizieren! Dies ist eine weitere Optimierungsebene der Berechnungen, aber natürlich völlig optional :)

Beispiele für die Berechnung von Wurzeln

Die Theorie ist natürlich gut. Aber lassen Sie es uns in der Praxis überprüfen.

[Bildunterschrift]

Lassen Sie uns zunächst herausfinden, zwischen welchen Zahlen die Zahl 576 liegt:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Schauen wir uns nun die letzte Zahl an. Es ist gleich 6. Wann passiert das? Nur wenn die Wurzel auf 4 oder 6 endet. Wir erhalten zwei Zahlen:

Jetzt müssen Sie nur noch jede Zahl quadrieren und mit dem Original vergleichen:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Großartig! Es stellte sich heraus, dass das erste Quadrat der ursprünglichen Zahl entsprach. Das ist also die Wurzel.

Aufgabe. Berechnen Sie die Quadratwurzel:
[Bildunterschrift]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Schauen wir uns die letzte Ziffer an:

1369 → 9;
33; 37.

Quadrieren Sie es:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 40 3 + 9 = 1369.

Hier ist die Antwort: 37.

Aufgabe. Berechnen Sie die Quadratwurzel:
[Bildunterschrift]

Wir begrenzen die Anzahl:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Schauen wir uns die letzte Ziffer an:

2704 → 4;
52; 58.

Quadrieren Sie es:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Wir haben die Antwort erhalten: 52. Die zweite Zahl muss nicht mehr quadriert werden.

Aufgabe. Berechnen Sie die Quadratwurzel:
[Bildunterschrift]

Wir begrenzen die Anzahl:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Schauen wir uns die letzte Ziffer an:

4225 → 5;
65.

Wie Sie sehen, gibt es nach dem zweiten Schritt nur noch eine Option: 65. Dies ist die gewünschte Wurzel. Aber lassen Sie es uns trotzdem vergleichen und prüfen:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Alles ist richtig. Wir schreiben die Antwort auf.

Abschluss

Leider nicht besser. Schauen wir uns die Gründe an. Es gibt zwei davon:

In jeder normalen Mathematikprüfung, sei es das Staatsexamen oder das Einheitliche Staatsexamen, ist die Verwendung von Taschenrechnern verboten. Und wer einen Taschenrechner mit in den Unterricht bringt, kann schnell von der Prüfung ausgeschlossen werden.
Seien Sie nicht wie dumme Amerikaner. Die nicht wie Wurzeln sind – sie können nicht zwei Primzahlen addieren. Und wenn sie Brüche sehen, werden sie im Allgemeinen hysterisch.

Das Problem, in der Mathematik eine Wurzel zu finden, ist das umgekehrte Problem der Potenzierung einer Zahl. Es gibt verschiedene Wurzeln: Wurzeln zweiten Grades, Wurzeln dritten Grades, Wurzeln vierten Grades und so weiter. Es hängt davon ab, auf welche Potenz die Zahl ursprünglich erhöht wurde. Die Wurzel wird durch das Symbol angezeigt: √ ist eine Quadratwurzel, also die Wurzel zweiten Grades; wenn die Wurzel einen Grad größer als der zweite hat, wird der entsprechende Grad über dem Wurzelzeichen angegeben. Die Zahl, die unter dem Wurzelzeichen steht, ist ein radikaler Ausdruck. Beim Finden einer Wurzel gibt es mehrere Regeln, die Ihnen helfen, beim Finden der Wurzel keinen Fehler zu machen:

Eine gerade Wurzel (wenn der Grad 2, 4, 6, 8 usw. ist) einer negativen Zahl existiert NICHT. Wenn der Wurzelausdruck negativ ist, aber die Wurzel ungeraden Grades gesucht wird (3, 5, 7 usw.), ist das Ergebnis negativ.
Die Wurzel jeder Potenz von Eins ist immer eins: √1 = 1.
Die Wurzel aus Null ist Null: √0 = 0.

So finden Sie die Wurzel aus 100

Wenn das Problem nicht angibt, welche Wurzel des Grades gefunden werden muss, bedeutet dies normalerweise, dass die Wurzel des zweiten Grades (Quadrats) gefunden werden muss.
Finden wir √100 = ? Wir müssen eine Zahl finden, die in der zweiten Potenz die Zahl 100 ergibt. Offensichtlich ist eine solche Zahl die Zahl 10, denn: 10 2 = 100. Daher ist √100 = 10: die Quadratwurzel von 100 10.

Unter den vielen Kenntnissen, die ein Zeichen der Alphabetisierung sind, steht das Alphabet an erster Stelle. Das nächste, ebenfalls „vorzeichenhafte“ Element sind die Fähigkeiten der Addition-Multiplikation und, daneben, aber in entgegengesetzter Bedeutung, die arithmetischen Operationen der Subtraktion-Division. Die in der fernen Schulkindheit erlernten Fähigkeiten dienen Tag und Nacht treu: Fernsehen, Zeitung, SMS und überall, wo wir lesen, schreiben, zählen, addieren, subtrahieren, multiplizieren. Und sagen Sie mir, mussten Sie in Ihrem Leben oft Wurzeln schlagen, außer auf der Datscha? Zum Beispiel so ein unterhaltsames Problem wie die Quadratwurzel der Zahl 12345... Ist noch Schießpulver in den Flaschen? Können wir damit umgehen? Nichts könnte einfacher sein! Wo ist mein Taschenrechner ... Und ohne ihn ist der Nahkampf schwach?

Lassen Sie uns zunächst klären, was es ist – die Quadratwurzel einer Zahl. Im Allgemeinen bedeutet „Wurzel ziehen“ die umgekehrte arithmetische Operation zur Potenzierung einer Zahl – hier haben Sie die Einheit der Gegensätze in der Lebensanwendung. Nehmen wir an, ein Quadrat ist die Multiplikation einer Zahl mit sich selbst, d. h., wie in der Schule gelehrt, X * X = A oder in einer anderen Schreibweise X2 = A, und in Worten: „X im Quadrat ist gleich A.“ Dann klingt das Umkehrproblem so: Die Quadratwurzel der Zahl A ist die Zahl X, die quadriert gleich A ist.

Ziehe die Quadratwurzel

Aus dem Schulrechenkurs sind Rechenmethoden „in einer Spalte“ bekannt, die dabei helfen, beliebige Berechnungen mit den ersten vier Rechenoperationen durchzuführen. Leider... Für Quadratwurzeln und nicht nur für Quadratwurzeln gibt es solche Algorithmen nicht. Und wie zieht man in diesem Fall die Quadratwurzel ohne Taschenrechner? Basierend auf der Definition der Quadratwurzel gibt es nur eine Schlussfolgerung: Es ist notwendig, den Wert des Ergebnisses durch sequentielles Aufzählen von Zahlen auszuwählen, deren Quadrat sich dem Wert des Wurzelausdrucks nähert. Das ist alles! Bevor eine oder zwei Stunden vergangen sind, können Sie mit der bekannten Methode der Multiplikation in einer „Spalte“ jede Quadratwurzel berechnen. Wenn Sie über die nötigen Fähigkeiten verfügen, dauert dies nur ein paar Minuten. Selbst ein nicht ganz so fortgeschrittener Benutzer eines Rechners oder PCs schafft dies mit einem Schlag – Fortschritt.

Aber im Ernst, die Berechnung der Quadratwurzel erfolgt oft mit der „Artillerie-Gabel“-Technik: Nehmen Sie zunächst eine Zahl, deren Quadrat ungefähr dem Wurzelausdruck entspricht. Es ist besser, wenn „unser Quadrat“ etwas kleiner ist als dieser Ausdruck. Dann passen sie die Zahl entsprechend ihrem eigenen Können und Verständnis an, multiplizieren sie beispielsweise mit zwei und ... quadrieren sie erneut. Wenn das Ergebnis größer als die Zahl unter der Wurzel ist, passen Sie die ursprüngliche Zahl sukzessive an und nähern Sie sich allmählich ihrem „Kollegen“ unter der Wurzel. Wie Sie sehen, gibt es keinen Taschenrechner, nur die Möglichkeit, „in einer Spalte“ zu zählen. Natürlich gibt es viele wissenschaftlich erprobte und optimierte Algorithmen zur Berechnung der Quadratwurzel, aber für den „Heimgebrauch“ bietet die obige Technik 100 % Vertrauen in das Ergebnis.

Ja, ich hätte es fast vergessen, um unsere erhöhte Alphabetisierung zu bestätigen, berechnen wir die Quadratwurzel der zuvor angegebenen Zahl 12345. Wir machen es Schritt für Schritt:

1. Nehmen wir rein intuitiv X=100. Berechnen wir: X * X = 10000. Die Intuition ist vom Feinsten – das Ergebnis ist kleiner als 12345.

2. Versuchen wir, ebenfalls rein intuitiv, X = 120. Dann: X * X = 14400. Und wieder ist die Intuition angebracht – das Ergebnis ist mehr als 12345.

3. Oben haben wir eine „Gabelung“ von 100 und 120 erhalten. Wählen wir neue Zahlen – 110 und 115. Wir erhalten jeweils 12100 und 13225 – die Gabelung wird schmaler.

4. Versuchen wir es mit „vielleicht“ X=111. Wir erhalten X * Das ist alles. Wie versprochen - alles ganz einfach und ohne Taschenrechner.

Nur eine kleine Geschichte...

Die Pythagoräer, Schüler der Schule und Anhänger des Pythagoras, kamen 800 Jahre v. Chr. auf die Idee, Quadratwurzeln zu verwenden. und genau dort „stießen“ wir auf neue Entdeckungen im Bereich der Zahlen. Und woher kam das?

1. Die Lösung des Problems mit dem Extrahieren der Wurzel liefert das Ergebnis in Form von Zahlen einer neuen Klasse. Sie wurden als irrational, also „unvernünftig“ bezeichnet, weil. sie werden nicht als vollständige Zahl geschrieben. Das klassischste Beispiel dieser Art ist die Quadratwurzel aus 2. Dieser Fall entspricht der Berechnung der Diagonale eines Quadrats mit einer Seite gleich 1 – dies ist der Einfluss der pythagoräischen Schule. Es stellte sich heraus, dass in einem Dreieck mit einer ganz bestimmten Einheitsseitenlänge die Hypotenuse eine Größe hat, die durch eine Zahl ausgedrückt wird, die „kein Ende hat“. So erschienen sie in der Mathematik

2. Es ist bekannt, dass diese mathematische Operation einen weiteren Haken enthält: Beim Ziehen der Wurzel wissen wir nicht, welche Zahl, positiv oder negativ, das Quadrat des Wurzelausdrucks ist. Diese Unsicherheit, das doppelte Ergebnis einer Operation, wird auf diese Weise erfasst.

Die Untersuchung von Problemen im Zusammenhang mit diesem Phänomen ist zu einer Richtung in der Mathematik geworden, die als Theorie komplexer Variablen bezeichnet wird und in der mathematischen Physik von großer praktischer Bedeutung ist.

Es ist merkwürdig, dass derselbe allgegenwärtige I. Newton in seiner „Universal Arithmetic“ die Bezeichnung der Wurzel – Radikal – verwendete, und genau die moderne Form der Notation der Wurzel ist seit 1690 aus dem Buch des Franzosen Rolle „Manual“ bekannt der Algebra“.

Heute werden wir auf dieser Seite unserer Website herausfinden, was die Quadratwurzel aus 100 ist. Lassen Sie uns gemeinsam herausfinden, was die Quadratwurzel von 100 ist, da sich 1000 Wissenschaftler seit vielen Jahrzehnten über dieses Thema den Kopf zerbrochen haben und viele aus Berechnungen zwangsläufig zu dem Schluss gekommen sind, dass eine solche Wurzel überhaupt nicht existiert und einfach so ist unmöglich, es zu berechnen. In diesem Fall ist es auch sehr wichtig, genau die richtige Frage zu stellen, um die Quadratwurzel von 100 zu ermitteln. Um genau zu sein, werden wir die arithmetische Quadratwurzel von 100 berechnen, da wir bei der gewöhnlichen Quadratwurzel von 100 am Ende bei zwei landen Zahlen: 10 und - 10.

Die Summe dieser Zahlen, die wir benötigen, können wir mit einer einfachen arithmetischen Technik berechnen, indem wir eine vertikale, bekannte Linie, Zahlen und Wurzeln verwenden, die unten rechts geschrieben sind. Dort finden wir das Einheitenquadrat der benötigten Wurzel, multiplizieren dann die Zehner und ermitteln das Doppelte und nicht das Dreifache des Zehnerprodukts einer beliebigen Wurzel mit Einheiten. Wir müssen einige Zahlen quadrieren, damit die Summe eine zweistellige Zahl ergibt; wenn wir am Ende die Zahl 10 erhalten, dann haben wir bei Ihnen alles richtig gemacht. Das Wichtigste ist, sich zunächst zumindest ein wenig mit der Mathematik und dem mathematischen Fortschritt beim Bilden der Quadratwurzel vertraut zu machen, bevor man mit den Berechnungen beginnt.

Denken Sie an eine einzige und grundlegende Regel: Um die erforderliche Quadratwurzel aus einer beliebigen ganzen Zahl zu ziehen, ziehen wir zunächst jede benötigte Wurzel aus der Anzahl ihrer Summen und Hunderter. Wenn die Zahl gleich oder größer als 100 ist, beginnen wir mit der Suche nach der Wurzel der Hunderter der tatsächlichen Zahlen dieser Hunderter, dann der Zehntausender der tatsächlichen Zahl, insbesondere wenn die gegebene Zahl viel größer als 100 ist , dann ziehen wir zwangsläufig die Wurzel aus der Zahl Hunderttausender, genauer: aus einer Million einer gegebenen Zahl. Es gibt viele Regeln und verschiedene wissenschaftliche Empfehlungen zu diesem Thema; Schulprogramme zum Ziehen der Quadratwurzel aus der Zahl 100 bleiben immer unverändert.

Wenn wir den Fortschritt beim Finden der Wurzel der Zahl 100 betrachten, müssen wir darauf achten, dass die Wurzel so viele Ziffern enthält wie unter einer endlichen Anzahl von Seiten, während die linke Seite nur aus einer bestehen kann Ziffer. Auf dieser Grundlage ist die genaueste Quadratwurzel einer beliebigen Zahl auf dem Planeten Erde die Summe der Zahlen, deren Quadrat bei der Berechnung genau der angegebenen Zahl entspricht. Hier können wir unseren kurzen Kurs zur Berechnung der Quadratwurzel aus 100 beenden, die gleich (10) zehn ist.

Konstantinova Vera

So finden Sie die Wurzel einer Zahl

Das Problem, in der Mathematik eine Wurzel zu finden, ist das umgekehrte Problem der Potenzierung einer Zahl. Es gibt verschiedene Wurzeln: Wurzeln zweiten Grades, Wurzeln dritten Grades, Wurzeln vierten Grades und so weiter. Es hängt davon ab, auf welche Potenz die Zahl ursprünglich erhöht wurde. Die Wurzel wird durch das Symbol bezeichnet: √ ist eine Quadratwurzel, also die Wurzel zweiten Grades; wenn die Wurzel einen Grad größer als der zweite hat, wird der entsprechende Grad über dem Wurzelzeichen angegeben. Die Zahl, die unter dem Wurzelzeichen steht, ist ein radikaler Ausdruck. Beim Finden einer Wurzel gibt es mehrere Regeln, die Ihnen helfen, beim Finden der Wurzel keinen Fehler zu machen:

Eine gerade Wurzel (wenn der Grad 2, 4, 6, 8 usw. ist) einer negativen Zahl existiert NICHT. Wenn der Wurzelausdruck negativ ist, aber die Wurzel ungeraden Grades gesucht wird (3, 5, 7 usw.), ist das Ergebnis negativ.
Die Wurzel jeder Potenz von Eins ist immer eins: √1 = 1.
Die Wurzel aus Null ist Null: √0 = 0.

So finden Sie die Wurzel aus 100

Ich schaute noch einmal auf das Schild... Und los geht's!

Beginnen wir mit etwas Einfachem:

Nur eine Minute. Dies bedeutet, dass wir es so schreiben können:

Habe es? Hier ist das nächste für Sie:

Werden die Wurzeln der resultierenden Zahlen nicht exakt gezogen? Kein Problem – hier einige Beispiele:

Was wäre, wenn es nicht zwei, sondern mehr Multiplikatoren gäbe? Das selbe! Die Formel zum Multiplizieren von Wurzeln funktioniert mit einer beliebigen Anzahl von Faktoren:

Jetzt ganz alleine:

Antworten: Gut gemacht! Stimmen Sie zu, alles ist ganz einfach, Hauptsache man kennt das Einmaleins!

Wurzelteilung

Wir haben die Wurzelmultiplikation geklärt, kommen wir nun zur Eigenschaft der Division.

Ich möchte Sie daran erinnern, dass die allgemeine Formel so aussieht:

Was bedeutet, dass Die Wurzel des Quotienten ist gleich dem Quotienten der Wurzeln.

Schauen wir uns einige Beispiele an:

Das ist alles, was Wissenschaft ist. Hier ist ein Beispiel:

Es ist nicht alles so glatt wie im ersten Beispiel, aber wie Sie sehen, gibt es nichts Kompliziertes.

Was ist, wenn Sie auf diesen Ausdruck stoßen:

Sie müssen die Formel nur in die entgegengesetzte Richtung anwenden:

Und hier ist ein Beispiel:

Möglicherweise stoßen Sie auch auf diesen Ausdruck:

Alles ist beim Alten, nur müssen Sie sich hier merken, wie man Brüche übersetzt (wenn Sie sich nicht erinnern, schauen Sie sich das Thema an und kommen Sie zurück!). Erinnerst du dich? Jetzt lasst uns entscheiden!

Ich bin sicher, dass Sie alles gemeistert haben. Versuchen wir nun, die Wurzeln auf ein gewisses Maß anzuheben.

Potenzierung

Was passiert, wenn die Quadratwurzel quadriert wird? Es ist ganz einfach, erinnern Sie sich an die Bedeutung der Quadratwurzel einer Zahl – das ist eine Zahl, deren Quadratwurzel gleich ist.

Was erhalten wir also, wenn wir eine Zahl quadrieren, deren Quadratwurzel gleich ist?

Nun, natürlich, !

Schauen wir uns Beispiele an:

Es ist einfach, oder? Was ist, wenn die Wurzel in einem anderen Ausmaß vorliegt? Macht nichts!

Folgen Sie der gleichen Logik und merken Sie sich die Eigenschaften und möglichen Aktionen mit Graden.

Lesen Sie die Theorie zum Thema „“ und alles wird Ihnen ganz klar werden.

Hier ist zum Beispiel der folgende Ausdruck:

In diesem Beispiel ist der Grad gerade, aber was ist, wenn er ungerade ist? Wenden Sie erneut die Eigenschaften von Potenzen an und faktorisieren Sie alles:

Damit scheint alles klar zu sein, aber wie zieht man die Wurzel einer Zahl in eine Potenz? Hier ist zum Beispiel das:

Ziemlich einfach, oder? Was ist, wenn der Abschluss mehr als zwei beträgt? Wir folgen der gleichen Logik, indem wir die Eigenschaften von Graden verwenden:

Na, ist alles klar? Dann lösen Sie die Beispiele selbst:

Und hier sind die Antworten:

Eintreten im Zeichen der Wurzel

Was haben wir nicht gelernt, mit Wurzeln umzugehen! Jetzt müssen Sie nur noch üben, die Nummer unter dem Wurzelzeichen einzugeben!

Es ist wirklich einfach!

Nehmen wir an, wir haben eine Nummer aufgeschrieben

Was können wir damit machen? Nun, natürlich verstecken Sie die drei unter der Wurzel und denken Sie daran, dass die drei die Quadratwurzel von ist!

Warum brauchen wir das? Ja, nur um unsere Möglichkeiten beim Lösen von Beispielen zu erweitern:

Wie gefällt Ihnen diese Eigenschaft der Wurzeln? Macht es das Leben viel einfacher? Für mich ist das genau richtig! Nur Wir müssen bedenken, dass wir nur positive Zahlen unter dem Quadratwurzelzeichen eingeben können.

Lösen Sie dieses Beispiel selbst -
Hast du es geschafft? Mal sehen, was Sie bekommen sollten:

Gut gemacht! Sie haben es geschafft, die Nummer unter dem Wurzelzeichen einzugeben! Kommen wir zu etwas ebenso Wichtigem – schauen wir uns an, wie man Zahlen vergleicht, die eine Quadratwurzel enthalten!

Vergleich der Wurzeln

Warum müssen wir lernen, Zahlen zu vergleichen, die eine Quadratwurzel enthalten?

Sehr einfach. Bei großen und langen Ausdrücken, die wir in der Prüfung antreffen, erhalten wir oft eine irrationale Antwort (erinnern Sie sich, was das ist? Wir haben heute bereits darüber gesprochen!)

Wir müssen die erhaltenen Antworten beispielsweise auf der Koordinatenlinie platzieren, um zu bestimmen, welches Intervall für die Lösung der Gleichung geeignet ist. Und hier entsteht das Problem: In der Prüfung gibt es keinen Taschenrechner, und wie kann man sich ohne ihn vorstellen, welche Zahl größer und welche kleiner ist? Das ist es!

Bestimmen Sie beispielsweise, was größer ist: oder?

Das kann man nicht sofort sagen. Nun, nutzen wir die disassemblierte Eigenschaft, eine Zahl unter dem Wurzelzeichen einzugeben?

Fahre fort:

Nun ja, je größer die Zahl unter dem Wurzelzeichen, desto größer ist natürlich auch die Wurzel selbst!

Diese. wenn, dann, .

Daraus schließen wir fest: Und niemand wird uns vom Gegenteil überzeugen!

Wurzeln aus großen Zahlen ziehen

Zuvor haben wir einen Multiplikator unter dem Vorzeichen der Wurzel eingegeben, aber wie kann man ihn entfernen? Sie müssen es nur in Faktoren zerlegen und extrahieren, was Sie extrahieren!

Es war möglich, einen anderen Weg einzuschlagen und auf andere Faktoren auszudehnen:

Nicht schlecht, oder? Jeder dieser Ansätze ist richtig, entscheiden Sie, wie Sie möchten.

Faktorisierung ist sehr nützlich, wenn man solche nicht standardmäßigen Probleme wie dieses löst:

Lasst uns keine Angst haben, sondern handeln! Zerlegen wir jeden Faktor unter der Wurzel in einzelne Faktoren:

Probieren Sie es jetzt selbst aus (ohne Taschenrechner! Es wird nicht in der Prüfung sein):

Ist das das Ende? Lasst uns nicht auf halbem Weg stehen bleiben!

Das ist alles, es ist nicht so gruselig, oder?

Passiert? Gut gemacht, das stimmt!

Probieren Sie nun dieses Beispiel aus:

Aber das Beispiel ist eine schwierige Nuss, sodass man nicht sofort weiß, wie man es angeht. Aber natürlich können wir damit umgehen.

Nun, fangen wir mit dem Factoring an? Beachten wir gleich, dass man eine Zahl durch teilen kann (denken Sie an die Teilbarkeitszeichen):

Probieren Sie es jetzt selbst aus (wieder ohne Taschenrechner!):

Na, hat es funktioniert? Gut gemacht, das stimmt!

Fassen wir es zusammen

Die Quadratwurzel (arithmetische Quadratwurzel) einer nicht negativen Zahl ist eine nicht negative Zahl, deren Quadrat gleich ist.
.
Wenn wir einfach die Quadratwurzel aus etwas ziehen, erhalten wir immer ein nicht negatives Ergebnis.
Eigenschaften einer arithmetischen Wurzel:
Beim Vergleich von Quadratwurzeln ist zu beachten, dass die Wurzel selbst umso größer ist, je größer die Zahl unter dem Wurzelzeichen ist.