Alle Größen, die uns in der Physik und insbesondere in einem ihrer Zweige der Mechanik begegnen, lassen sich in zwei Typen einteilen:

a) Skalare, die durch eine reelle positive oder negative Zahl bestimmt werden. Beispiele für solche Größen sind Zeit, Temperatur;

b) Vektoren, die durch einen gerichteten Raumabschnitt einer Geraden (oder drei Skalargrößen) bestimmt werden und die unten angegebenen Eigenschaften haben.

Beispiele für Vektorgrößen sind Kraft, Geschwindigkeit, Beschleunigung.

Kartesisches Koordinatensystem

Wenn es um gerichtete Segmente geht, sollten Sie das Objekt angeben, in Bezug auf das diese Richtung bestimmt wird. Als solches Objekt wird das kartesische Koordinatensystem angenommen, dessen Komponenten die Achsen sind.

Eine Achse ist eine Gerade, auf der eine Richtung angegeben ist. Drei zueinander senkrechte Achsen, die sich im Punkt O schneiden und entsprechend benannt sind, bilden ein rechtwinkliges kartesisches Koordinatensystem. Das kartesische Koordinatensystem kann rechtshändig (Abb. 1) oder linkshändig (Abb. 2) sein. Diese Systeme sind Spiegelbilder voneinander und können durch keine Bewegung kombiniert werden.

Bei allen weiteren Darstellungen wird durchgehend das rechtshändige Koordinatensystem übernommen. Im rechten Koordinatensystem gilt die positive Bezugsrichtung für alle Winkel entgegen dem Uhrzeigersinn.

Dies entspricht der Richtung, in der die x- und y-Achsen ausgerichtet sind, wenn man sie von der positiven Richtung der Achse aus betrachtet

Kostenlose Vektoren

Ein Vektor, der in einem gegebenen Koordinatensystem nur durch Länge und Richtung gekennzeichnet ist, wird als frei bezeichnet. Ein freier Vektor wird durch ein Segment einer bestimmten Länge und Richtung dargestellt, dessen Anfang an einem beliebigen Punkt im Raum liegt. In der Zeichnung wird der Vektor durch einen Pfeil dargestellt (Abb. 3).

Vektoren werden durch einen fett gedruckten Buchstaben oder zwei Buchstaben gekennzeichnet, die dem Anfang und Ende eines Pfeils mit einem darüber liegenden Strich entsprechen

Der Betrag eines Vektors wird als sein Modul bezeichnet und auf eine der folgenden Arten angegeben

Gleichheit der Vektoren

Da die Hauptmerkmale eines Vektors seine Länge und Richtung sind, werden Vektoren als gleich bezeichnet, wenn ihre Richtungen und Beträge übereinstimmen. Im Einzelfall können gleiche Vektoren entlang einer Geraden gerichtet werden. Gleichheit von Vektoren, zum Beispiel a und b (Abb. 4), wird geschrieben als:

Wenn die Vektoren (a und b) betragsmäßig gleich, aber in der Richtung diametral entgegengesetzt sind (Abb. 5), dann wird dies in der Form geschrieben:

Vektoren mit gleicher oder diametral entgegengesetzter Richtung heißen kollinear.

Multiplizieren eines Vektors mit einem Skalar

Das Produkt aus Vektor a und Skalar K wird Modulvektor genannt, dessen Richtung dem Vektor a gleich ist, wenn K positiv ist, und ihm diametral entgegengesetzt ist, wenn K negativ ist.

Einheitsvektor

Ein Vektor, dessen Modul gleich eins ist und dessen Richtung mit einem gegebenen Vektor a übereinstimmt, wird Einheitsvektor eines gegebenen Vektors oder sein Einheitsvektor genannt. Ort wird mit bezeichnet. Jeder Vektor kann durch seinen Einheitsvektor als dargestellt werden

Einheitsvektoren, die entlang der positiven Richtungen der Koordinatenachsen liegen, werden entsprechend bezeichnet (Abb. 6).

Vektoraddition

Die Regel zum Addieren von Vektoren wird postuliert (die Begründung für dieses Postulat sind Beobachtungen realer Objekte mit Vektornatur). Dieses Postulat besagt, dass es zwei Vektoren gibt

Sie werden an einen beliebigen Punkt im Raum verschoben, sodass ihre Ursprünge zusammenfallen (Abb. 7). Die gerichtete Diagonale eines auf diesen Vektoren aufgebauten Parallelogramms (Abb. 7) wird als Summe der Vektoren bezeichnet; die Addition von Vektoren wird in der Form geschrieben

und heißt Addition nach der Parallelogrammregel.

Die angegebene Regel zum Addieren von Vektoren lässt sich auch folgendermaßen umsetzen: An jedem Punkt im Raum wird ein Vektor weiter abgelegt, ein Vektor wird vom Ende des Vektors abgelegt (Abb. 8). Ein Vektor a, dessen Anfang mit dem Anfang des Vektors und dessen Ende mit dem Ende des Vektors zusammenfällt, ist die Summe der Vektoren

Die letzte Vektoradditionsregel ist praktisch, wenn Sie mehr als zwei Vektoren hinzufügen müssen. Wenn Sie tatsächlich mehrere Vektoren hinzufügen müssen, sollten Sie mit der angegebenen Regel eine gestrichelte Linie konstruieren, deren Seiten die angegebenen Vektoren sind und deren Anfang jedes Vektors mit dem Ende des vorherigen Vektors übereinstimmt. Die Summe dieser Vektoren ergibt einen Vektor, dessen Anfang mit dem Anfang des ersten Vektors und dessen Ende mit dem Ende des letzten Vektors zusammenfällt (Abb. 9). Wenn die gegebenen Vektoren ein geschlossenes Polygon bilden, dann ist die Summe der Vektoren Null.

Aus der Regel zur Bildung der Summe von Vektoren folgt, dass ihre Summe nicht von der Reihenfolge abhängt, in der die Terme genommen werden, oder dass die Addition von Vektoren kommutativ ist. Für zwei Vektoren lässt sich Letzteres wie folgt schreiben:

Vektorsubtraktion

Das Subtrahieren eines Vektors von einem Vektor erfolgt nach folgender Regel: Ein Vektor wird konstruiert und ein Vektor von seinem Ende abgezogen (Abb. 10). Vektor a, dessen Anfang mit dem Anfang zusammenfällt

Vektor und Ende - wobei das Ende des Vektors gleich der Differenz zwischen den Vektoren und ist. Die ausgeführte Operation kann in der Form geschrieben werden:

Vektorzerlegung in Komponenten

Einen gegebenen Vektor zu zerlegen bedeutet, ihn als Summe mehrerer Vektoren darzustellen, die seine Komponenten genannt werden.

Betrachten wir das Problem der Zerlegung des Vektors a, wenn angegeben wird, dass seine Komponenten entlang dreier Koordinatenachsen gerichtet sein sollen. Dazu konstruieren wir ein Parallelepiped, dessen Diagonale der Vektor a ist und dessen Kanten parallel zu den Koordinatenachsen liegen (Abb. 11). Wie aus der Zeichnung ersichtlich ist, ergibt die Summe der Vektoren entlang der Kanten dieses Parallelepipeds den Vektor a:

Projektion eines Vektors auf eine Achse

Die Projektion eines Vektors auf eine Achse ist die Größe eines gerichteten Segments, das durch Ebenen senkrecht zur Achse begrenzt wird, die durch den Anfang und das Ende des Vektors verlaufen (Abb. 12). Die Schnittpunkte dieser Ebenen mit der Achse (A und B) werden als Projektion des Anfangs bzw. Endes des Vektors bezeichnet.

Die Projektion eines Vektors hat ein Pluszeichen, wenn seine Richtungen, gezählt von der Projektion des Anfangs des Vektors bis zur Projektion seines Endes, mit der Richtung der Achse übereinstimmen. Wenn diese Richtungen nicht übereinstimmen, hat die Projektion ein Minuszeichen.

Die Projektionen des Vektors a auf die Koordinatenachsen werden entsprechend bezeichnet

Vektorkoordinaten

Die Komponenten des Vektors a, die durch Vektorprojektionen und Einheitsvektoren parallel zu den Koordinatenachsen liegen, können in der Form geschrieben werden:

Somit:

wo sie den Vektor vollständig definieren und seine Koordinaten genannt werden.

Durch die Winkel, die der Vektor a mit den Koordinatenachsen bildet, können die Projektionen des Vektors a auf die Achsen in der Form geschrieben werden:

Daher haben wir für den Modul des Vektors a den Ausdruck:

Da die Definition eines Vektors durch seine Projektionen eindeutig ist, haben zwei gleiche Vektoren gleiche Koordinaten.

Addition von Vektoren über ihre Koordinaten

Wie aus Abb. 13 ist die Projektion der Summe der Vektoren auf die Achse gleich der algebraischen Summe ihrer Projektionen. Daher aus der Vektorgleichheit:

Es ergeben sich die folgenden drei Skalargleichungen:

oder die Koordinaten des Gesamtvektors sind gleich der algebraischen Summe der Koordinaten der Komponentenvektoren.

Skalarprodukt zweier Vektoren

Das Skalarprodukt zweier Vektoren wird mit a b bezeichnet und wird durch das Produkt ihrer Module und den Kosinus des Winkels zwischen ihnen bestimmt:

Das Skalarprodukt zweier Vektoren kann auch als Produkt des Moduls eines der Vektoren und der Projektion des anderen Vektors auf die Richtung des ersten Vektors definiert werden.

Aus der Definition des Skalarprodukts folgt dies

d.h. es tritt das Kommutativgesetz ein.

Bezogen auf die Addition hat das Skalarprodukt die Verteilungseigenschaft:

was direkt aus der Eigenschaft folgt, dass die Projektion der Summe der Vektoren gleich der algebraischen Summe ihrer Projektionen ist.

Das Skalarprodukt durch Projektionen von Vektoren kann wie folgt geschrieben werden:

Kreuzprodukt zweier Vektoren

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren wird mit axb bezeichnet. Dies ist ein Vektor c, dessen Modul gleich dem Produkt der Moduli der Vektoren multipliziert mit dem Sinus des Winkels zwischen ihnen ist:

Der Vektor c ist senkrecht zu der durch die Vektoren a und b definierten Ebene gerichtet, sodass, wenn man ihn vom Ende des Vektors c aus betrachtet, der erste Vektor ins Positive gedreht werden musste, um den Vektor a so schnell wie möglich mit dem Vektor b auszurichten Richtung (gegen den Uhrzeigersinn; Abb. 14). Ein Vektor, der das Kreuzprodukt zweier Vektoren ist, wird Axialvektor (oder Pseudovektor) genannt. Seine Richtung hängt von der Wahl des Koordinatensystems oder der Bedingung der positiven Richtung der Winkel ab. Die angegebene Richtung des Vektors c entspricht dem rechtshändigen System kartesischer Koordinatenachsen, dessen Wahl zuvor vereinbart wurde.

Wir sind von vielen verschiedenen materiellen Objekten umgeben. Materiell, weil man sie berühren, riechen, sehen, hören und vieles mehr tun kann. Was diese Gegenstände sind, was mit ihnen passiert oder passieren wird, wenn Sie etwas tun: sie werfen, biegen, in den Ofen stellen. Warum passiert ihnen etwas und wie genau passiert es? Ich studiere das alles Physik. Spielen Sie ein Spiel: Wünschen Sie sich einen Gegenstand im Raum, beschreiben Sie ihn in ein paar Worten, und Ihr Freund muss erraten, was es ist. Ich gebe die Eigenschaften des beabsichtigten Objekts an. Adjektive: weiß, groß, schwer, kalt. Hast du es erraten? Das ist ein Kühlschrank. Bei den aufgeführten Spezifikationen handelt es sich nicht um wissenschaftliche Messungen Ihres Kühlschranks. Am Kühlschrank kann man verschiedene Dinge abmessen. Wenn es lang ist, dann ist es groß. Wenn es eine Farbe ist, dann ist es weiß. Wenn Temperatur, dann kalt. Und wenn es Masse hat, dann stellt sich heraus, dass es schwer ist. Stellen Sie sich vor, dass ein Kühlschrank aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet werden kann. Masse, Länge, Temperatur – das ist eine physikalische Größe.

Aber das ist nur eine kleine Eigenschaft des Kühlschranks, die einem sofort in den Sinn kommt. Bevor Sie einen neuen Kühlschrank kaufen, können Sie sich mit einer Reihe physikalischer Größen vertraut machen, anhand derer Sie beurteilen können, ob er besser oder schlechter ist und warum er mehr kostet. Stellen Sie sich vor, wie vielfältig alles um uns herum ist. Und wie vielfältig die Eigenschaften sind.

Bezeichnung einer physikalischen Größe

Alle physikalischen Größen werden üblicherweise mit Buchstaben bezeichnet, meist mit dem griechischen Alphabet. ABER! Ein und dieselbe physikalische Größe kann mehrere Buchstabenbezeichnungen haben (in unterschiedlicher Literatur).

Und umgekehrt kann derselbe Buchstabe unterschiedliche physikalische Größen bezeichnen.

Auch wenn Ihnen ein solcher Buchstabe vielleicht noch nicht begegnet ist, bleibt die Bedeutung einer physikalischen Größe und ihre Beteiligung an Formeln dieselbe.

Vektor- und Skalargrößen

In der Physik gibt es zwei Arten physikalischer Größen: Vektorgrößen und Skalargrößen. Ihr Hauptunterschied besteht darin Vektorphysikalische Größen haben eine Richtung. Was bedeutet es, dass eine physikalische Größe eine Richtung hat? Zum Beispiel nennen wir die Anzahl der Kartoffeln in einer Tüte gewöhnliche Zahlen oder Skalare. Ein weiteres Beispiel für eine solche Größe ist die Temperatur. Andere sehr wichtige Größen in der Physik haben eine Richtung, zum Beispiel die Geschwindigkeit; Wir müssen nicht nur die Bewegungsgeschwindigkeit des Körpers angeben, sondern auch den Weg, auf dem er sich bewegt. Auch Impuls und Kraft haben eine Richtung, genau wie die Verschiebung: Wenn jemand einen Schritt macht, kann man nicht nur erkennen, wie weit er gegangen ist, sondern auch, wo er geht, also die Richtung seiner Bewegung bestimmen. Es ist besser, sich Vektorgrößen zu merken.

Warum zeichnen sie über den Buchstaben einen Pfeil?

Zeichnen Sie einen Pfeil nur über den Buchstaben der vektoriellen physikalischen Größen. Entsprechend ihrer Bedeutung in der Mathematik Vektor! Die Additions- und Subtraktionsoperationen dieser physikalischen Größen werden gemäß den mathematischen Regeln für Operationen mit Vektoren durchgeführt. Der Ausdruck „Geschwindigkeitsmodul“ oder „Absolutwert“ meint genau den „Geschwindigkeitsvektormodul“, also den Zahlenwert der Geschwindigkeit ohne Berücksichtigung der Richtung – das Plus- oder Minuszeichen.

Bezeichnung von Vektorgrößen

Das Wichtigste, woran man sich erinnern sollte

1) Was ist eine Vektorgröße?
2) Wie unterscheidet sich eine Skalargröße von einer Vektorgröße?
3) Vektorphysikalische Größen;
4) Vektorgrößennotation

Skalare und vektorielle Größen

1. Vektorrechnung (z. B. Verschiebung (s), Kraft (F), Beschleunigung (a), Geschwindigkeit (V), Energie (E)).

   Skalare Größen, die durch Angabe ihrer Zahlenwerte (Länge (L), Fläche (S), Volumen (V), Zeit (t), Masse (m) usw.) vollständig bestimmt werden;

2. Skalare Größen: Temperatur, Volumen, Dichte, elektrisches Potenzial, potentielle Energie eines Körpers (z. B. in einem Schwerefeld). Außerdem der Modul eines beliebigen Vektors (z. B. der unten aufgeführten).

   Vektorgrößen: Radiusvektor, Geschwindigkeit, Beschleunigung, elektrische Feldstärke, magnetische Feldstärke. Und viele andere :)

3. Eine Vektorgröße hat einen numerischen Ausdruck und eine Richtung: Geschwindigkeit, Beschleunigung, Kraft, elektromagnetische Induktion, Verschiebung usw., und eine skalare Größe hat nur einen numerischen Ausdruck: Volumen, Dichte, Länge, Breite, Höhe, Masse (nicht zu verwechseln). mit Gewicht), Temperatur
4. Vektor, zum Beispiel Geschwindigkeit (v), Kraft (F), Weg (s), Impuls (p), Energie (E). Über jedem dieser Buchstaben ist ein Pfeilvektor platziert. deshalb sind sie Vektoren. und skalare sind Masse (m), Volumen (V), Fläche (S), Zeit (t), Höhe (h)
5. Vektorbewegungen sind lineare, tangentiale Bewegungen.
   Skalarbewegungen sind geschlossene Bewegungen, die Vektorbewegungen abschirmen.
   Vektorbewegungen werden durch skalare Bewegungen wie durch Vermittler übertragen, genauso wie Strom von Atom zu Atom durch einen Leiter übertragen wird.
6. Skalare Größen: Temperatur, Volumen, Dichte, elektrisches Potenzial, potentielle Energie eines Körpers (z. B. in einem Schwerefeld). Außerdem der Modul eines beliebigen Vektors (z. B. der unten aufgeführten).

   Vektorgrößen: Radiusvektor, Geschwindigkeit, Beschleunigung, elektrische Feldstärke, magnetische Feldstärke. Und viele andere:-

7. Eine skalare Größe (Skalar) ist eine physikalische Größe, die nur eine Eigenschaft hat: einen numerischen Wert.

   Eine skalare Größe kann positiv oder negativ sein.

   Beispiele für skalare Größen: Masse, Temperatur, Weg, Arbeit, Zeit, Periode, Frequenz, Dichte, Energie, Volumen, elektrische Kapazität, Spannung, Strom usw.

   Mathematische Operationen mit skalaren Größen sind algebraische Operationen.

   Vektormenge

   Eine Vektorgröße (Vektor) ist eine physikalische Größe mit zwei Eigenschaften: Modul und Richtung im Raum.

   Beispiele für Vektorgrößen: Geschwindigkeit, Kraft, Beschleunigung, Spannung usw.

   Geometrisch wird ein Vektor als gerichtetes Segment einer geraden Linie dargestellt, dessen Länge auf den Modul des Vektors skaliert wird.

In Physikkursen stoßen wir oft auf Größen, für deren Beschreibung es ausreicht, nur Zahlenwerte zu kennen. Zum Beispiel Masse, Zeit, Länge.

Man nennt Größen, die nur durch einen Zahlenwert charakterisiert sind Skalar oder Skalare.

Neben skalaren Größen werden auch Größen verwendet, die sowohl einen Zahlenwert als auch eine Richtung haben. Zum Beispiel Geschwindigkeit, Beschleunigung, Kraft.

Man nennt Größen, die durch Zahlenwert und Richtung charakterisiert sind Vektor oder Vektoren.

Vektorgrößen werden durch die entsprechenden Buchstaben mit einem Pfeil oben oder in Fettschrift gekennzeichnet. Beispielsweise wird der Kraftvektor mit \(\vec F\) oder bezeichnet F . Der numerische Wert einer Vektorgröße wird Modul oder Länge des Vektors genannt. Der Wert des Kraftvektors wird mit bezeichnet F oder \(\left|\vec F \right|\).

Vektorbild

Vektoren werden durch gerichtete Segmente dargestellt. Der Anfang des Vektors ist der Punkt, von dem aus das gerichtete Segment beginnt (Punkt A in Abb. 1) ist das Ende des Vektors der Punkt, an dem der Pfeil endet (Punkt B in Abb. 1).

Reis. 1.

Die beiden Vektoren werden aufgerufen gleich, wenn sie gleich lang sind und in die gleiche Richtung gerichtet sind. Solche Vektoren werden durch gerichtete Segmente mit gleichen Längen und Richtungen dargestellt. Zum Beispiel in Abb. 2 zeigt die Vektoren \(\vec F_1 =\vec F_2\).

Reis. 2.

Wenn zwei oder mehr Vektoren in einer Zeichnung dargestellt werden, werden die Segmente in einem vorgewählten Maßstab erstellt. Zum Beispiel in Abb. Abbildung 3 zeigt Vektoren, deren Längen \(\upsilon_1\) = 2 m/s, \(\upsilon_2\) = 3 m/s sind.

Reis. 3.

Methode zur Angabe eines Vektors

Auf einer Ebene kann ein Vektor auf verschiedene Arten angegeben werden:

1. Geben Sie die Koordinaten des Anfangs und Endes des Vektors an. Zum Beispiel der Vektor \(\Delta\vec r\) in Abb. 4 ist durch die Koordinaten des Anfangs des Vektors – (2, 4) (m), des Endes – (6, 8) (m) gegeben.

Reis. 4.

2. Geben Sie die Größe des Vektors (seinen Wert) und den Winkel zwischen der Richtung des Vektors und einer vorgewählten Richtung auf der Ebene an. Oft liegt diese Richtung in der positiven Richtung der 0-Achse X. Winkel, die aus dieser Richtung gegen den Uhrzeigersinn gemessen werden, gelten als positiv. In Abb. 5 Der Vektor \(\Delta\vec r\) ist durch zwei Zahlen gegeben B und \(\alpha\) , was die Länge und Richtung des Vektors angibt.

Reis. 5.

Beim Studium verschiedener Teilgebiete der Physik, der Mechanik und der technischen Wissenschaften gibt es Größen, die vollständig durch die Angabe ihrer Zahlenwerte bestimmt werden, genauer gesagt, die vollständig anhand einer Zahl bestimmt werden, die sich aus der Messung einer als Einheit genommenen homogenen Größe ergibt . Solche Größen heißen Skalar oder kurz: Skalare. Skalare Größen sind beispielsweise Länge, Fläche, Volumen, Zeit, Masse, Körpertemperatur, Dichte, Arbeit, elektrische Kapazität usw. Da eine skalare Größe durch eine Zahl (positiv oder negativ) bestimmt wird, kann sie auf der aufgetragen werden entsprechende Koordinatenachse. Beispielsweise werden häufig die Achsen Zeit, Temperatur, Länge (zurückgelegte Strecke) und andere konstruiert.

Neben skalaren Größen gibt es bei verschiedenen Problemen Größen, für die neben ihrem Zahlenwert auch die Kenntnis ihrer Richtung im Raum erforderlich ist. Solche Größen heißen Vektor. Physikalische Beispiele für Vektorgrößen können die Verschiebung eines sich im Raum bewegenden materiellen Punktes, die Geschwindigkeit und Beschleunigung dieses Punktes sowie die auf ihn einwirkende Kraft, die Intensität des elektrischen oder magnetischen Feldes sein. Vektorgrößen werden beispielsweise in der Klimatologie verwendet. Schauen wir uns ein einfaches Beispiel aus der Klimatologie an. Wenn wir sagen, dass der Wind mit einer Geschwindigkeit von 10 m/s weht, dann führen wir einen Skalarwert der Windgeschwindigkeit ein, aber wenn wir sagen, dass der Nordwind mit einer Geschwindigkeit von 10 m/s weht, dann in diesem In diesem Fall wäre die Windgeschwindigkeit bereits eine Vektorgröße.

Vektorgrößen werden durch Vektoren dargestellt.

Zur geometrischen Darstellung vektorieller Größen werden gerichtete Segmente verwendet, also Segmente, die eine feste Richtung im Raum haben. In diesem Fall ist die Länge des Segments gleich dem Zahlenwert der Vektorgröße und seine Richtung stimmt mit der Richtung der Vektorgröße überein. Das gerichtete Segment, das eine gegebene Vektorgröße charakterisiert, wird aufgerufen ein geometrischer Vektor oder nur ein Vektor.

Der Begriff eines Vektors spielt sowohl in der Mathematik als auch in vielen Bereichen der Physik und Mechanik eine wichtige Rolle. Viele physikalische Größen können durch Vektoren dargestellt werden, und diese Darstellung trägt sehr oft zur Verallgemeinerung und Vereinfachung von Formeln und Ergebnissen bei. Oft werden Vektorgrößen und die sie darstellenden Vektoren miteinander identifiziert: Man sagt beispielsweise, dass Kraft (oder Geschwindigkeit) ein Vektor sei.

Elemente der Vektoralgebra werden in folgenden Disziplinen verwendet: 1) elektrische Maschinen; 2) automatisierter Elektroantrieb; 3) elektrische Beleuchtung und Bestrahlung; 4) unverzweigte Wechselstromkreise; 5) Angewandte Mechanik; 6) theoretische Mechanik; 7) Physik; 8) Hydraulik: 9) Maschinenteile; 10) Materialstärke; 11) Management; 12) Chemie; 13) Kinematik; 14) Statik usw.

2. Definition eines Vektors. Ein gerader Linienabschnitt wird durch zwei gleiche Punkte definiert – seine Enden. Aber wir können ein gerichtetes Segment betrachten, das durch ein geordnetes Punktepaar definiert ist. Über diese Punkte ist bekannt, welcher von ihnen der erste (Anfang) und welcher der zweite (Ende) ist.

Unter einem gerichteten Segment versteht man ein geordnetes Punktpaar, von dem der erste – Punkt A – sein Anfang und der zweite – Punkt B – sein Ende genannt wird.

Dann unten Vektor Im einfachsten Fall wird das gerichtete Segment selbst verstanden, und in anderen Fällen sind unterschiedliche Vektoren unterschiedliche Äquivalenzklassen gerichteter Segmente, die durch eine bestimmte Äquivalenzbeziehung bestimmt werden. Darüber hinaus kann die Äquivalenzbeziehung unterschiedlich sein und die Art des Vektors („frei“, „fest“ usw.) bestimmen. Einfach ausgedrückt werden innerhalb einer Äquivalenzklasse alle darin enthaltenen gerichteten Segmente als völlig gleich behandelt und jedes kann gleichermaßen die gesamte Klasse darstellen.

Vektoren spielen eine wichtige Rolle bei der Untersuchung unendlich kleiner Raumtransformationen.

Definition 1. Wir nennen ein gerichtetes Segment (oder, was dasselbe ist, ein geordnetes Punktepaar) Vektor. Die Richtung des Segments wird normalerweise mit einem Pfeil markiert. Beim Schreiben wird über der Buchstabenbezeichnung des Vektors ein Pfeil platziert, zum Beispiel: (in diesem Fall muss der Buchstabe, der dem Anfang des Vektors entspricht, vorne stehen). In Büchern werden Buchstaben, die einen Vektor bezeichnen, oft fett geschrieben, zum Beispiel: A.

Als Vektoren werden wir auch den sogenannten Nullvektor einbeziehen, dessen Anfang und Ende zusammenfallen.

Ein Vektor, dessen Anfang mit seinem Ende zusammenfällt, wird Null genannt. Der Nullvektor wird einfach als 0 bezeichnet.

Der Abstand zwischen Anfang und Ende eines Vektors wird als sein bezeichnet Länge(und auch Modul und absoluter Wert). Die Länge des Vektors wird mit | bezeichnet | oder | |. Die Länge eines Vektors oder der Modul eines Vektors ist die Länge des entsprechenden gerichteten Segments: | | = .

Die Vektoren werden aufgerufen kollinear, wenn sie auf derselben Geraden oder auf parallelen Geraden liegen, kurz gesagt, wenn es eine Gerade gibt, zu der sie parallel sind.

Die Vektoren werden aufgerufen koplanar Wenn es eine Ebene gibt, zu der sie parallel sind, können sie durch Vektoren dargestellt werden, die auf derselben Ebene liegen. Der Nullvektor gilt als kollinear zu jedem Vektor, da er keine bestimmte Richtung hat. Seine Länge ist natürlich Null. Offensichtlich sind zwei beliebige Vektoren koplanar; aber natürlich sind nicht alle drei Vektoren im Raum koplanar. Da zueinander parallele Vektoren parallel zur gleichen Ebene sind, sind kollineare Vektoren noch koplanarer. Das Umgekehrte gilt natürlich nicht: Koplanare Vektoren sind möglicherweise nicht kollinear. Aufgrund der oben angenommenen Bedingung ist der Nullvektor mit jedem Vektor kollinear und mit jedem Vektorpaar koplanar, d. h. Wenn von drei Vektoren mindestens einer Null ist, dann sind sie koplanar.

2) Das Wort „koplanar“ bedeutet im Wesentlichen: „eine gemeinsame Ebene haben“, d. h. „in derselben Ebene liegen“. Da es sich hier aber um freie Vektoren handelt, die beliebig (ohne Längen- und Richtungsänderung) übertragen werden können, müssen wir Vektoren parallel zur gleichen Ebene koplanar nennen, da sie in diesem Fall so übertragen werden können, dass sie sich darin befinden ein Flugzeug.

Um die Rede zu verkürzen, wollen wir uns auf einen Begriff einigen: Wenn mehrere freie Vektoren parallel zur gleichen Ebene sind, dann sagen wir, dass sie koplanar sind. Insbesondere sind zwei Vektoren immer koplanar; Um davon überzeugt zu sein, reicht es aus, sie vom selben Punkt aus aufzuschieben. Es ist weiterhin klar, dass die Richtung der Ebene, in der zwei gegebene Vektoren parallel sind, vollständig definiert ist, wenn diese beiden Vektoren nicht parallel zueinander sind. Wir nennen einfach jede Ebene, zu der diese koplanaren Vektoren parallel sind, die Ebene dieser Vektoren.

Definition 2. Die beiden Vektoren werden aufgerufen gleich Wenn sie kollinear sind, haben sie die gleiche Richtung und die gleiche Länge.

Sie müssen immer bedenken, dass die Gleichheit der Längen zweier Vektoren nicht bedeutet, dass diese Vektoren gleich sind.

Im eigentlichen Sinne der Definition sind zwei Vektoren, die getrennt gleich dem dritten sind, einander gleich. Offensichtlich sind alle Nullvektoren einander gleich.

Aus dieser Definition folgt sofort, dass wir durch die Wahl eines beliebigen Punktes A" (und nur einen) Vektor A" B" konstruieren können, der einem gegebenen Vektor entspricht, oder, wie man sagt, den Vektor auf Punkt A" übertragen können.

Kommentar. Für Vektoren gibt es keine Konzepte von „mehr“ oder „weniger“, d. h. sie sind gleich oder ungleich.

Ein Vektor, dessen Länge gleich eins ist, heißt einzel Vektor und wird mit e bezeichnet. Ein Einheitsvektor, dessen Richtung mit der Richtung des Vektors a übereinstimmt, heißt ortom Vektor und wird mit a bezeichnet.

3. Über eine andere Definition eines Vektors. Beachten Sie, dass sich das Konzept der Gleichheit von Vektoren erheblich vom Konzept der Gleichheit beispielsweise von Zahlen unterscheidet. Jede Zahl ist nur sich selbst gleich, mit anderen Worten, zwei gleiche Zahlen können unter allen Umständen als dieselbe Zahl betrachtet werden. Bei Vektoren ist die Situation, wie wir sehen, anders: Per Definition gibt es verschiedene, aber gleiche Vektoren. Obwohl wir in den meisten Fällen nicht zwischen ihnen unterscheiden müssen, kann es durchaus sein, dass wir uns irgendwann für den Vektor interessieren und nicht für einen anderen, gleichen Vektor A „B“.

Um das Konzept der Gleichheit von Vektoren zu vereinfachen (und einige der damit verbundenen Schwierigkeiten zu beseitigen), wird manchmal die Definition eines Vektors komplizierter. Wir werden diese komplizierte Definition nicht verwenden, aber wir werden sie formulieren. Um Verwirrung zu vermeiden, schreiben wir „Vektor“ (mit einem Großbuchstaben), um das unten definierte Konzept zu kennzeichnen.

Definition 3. Gegeben sei ein gerichtetes Segment. Die Menge aller gerichteten Segmente, die einer gegebenen Eins im Sinne von Definition 2 entsprechen, heißt Vektor.

Somit definiert jedes gerichtete Segment einen Vektor. Es ist leicht zu erkennen, dass zwei gerichtete Segmente genau dann denselben Vektor definieren, wenn sie gleich sind. Für Vektoren bedeutet Gleichheit wie für Zahlen Zufall: Zwei Vektoren sind genau dann gleich, wenn sie derselbe Vektor sind.

Bei der parallelen Raumübertragung bilden ein Punkt und sein Bild ein geordnetes Punktepaar und definieren ein gerichtetes Segment, und alle solchen gerichteten Segmente sind im Sinne von Definition 2 gleich. Daher kann die parallele Raumübertragung mit einem zusammengesetzten Vektor identifiziert werden aller dieser gerichteten Segmente.

Aus dem Physik-Grundkurs ist bekannt, dass eine Kraft durch eine gerichtete Strecke dargestellt werden kann. Es kann jedoch nicht durch einen Vektor dargestellt werden, da Kräfte, die durch gleich gerichtete Segmente dargestellt werden, im Allgemeinen unterschiedliche Wirkungen hervorrufen. (Wirkt eine Kraft auf einen elastischen Körper, so kann das ihn darstellende gerichtete Segment nicht einmal entlang der Geraden, auf der es liegt, übertragen werden.)

Dies ist nur einer der Gründe, warum es notwendig ist, neben Vektoren, also Mengen (oder, wie man sagt, Klassen) gleich gerichteter Segmente, auch einzelne Vertreter dieser Klassen zu berücksichtigen. Unter diesen Umständen wird die Anwendung von Definition 3 durch eine Vielzahl von Qualifikationen erschwert. Wir bleiben bei Definition 1, und im allgemeinen Sinne wird immer klar sein, ob es sich um einen wohldefinierten Vektor handelt oder ob an seiner Stelle ein gleichwertiger Vektor eingesetzt werden kann.

Im Zusammenhang mit der Definition eines Vektors lohnt es sich, die Bedeutung einiger in der Literatur vorkommender Wörter zu erläutern.