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Im schulischen Lehrplan für einen Stereometriekurs beginnt das Studium dreidimensionaler Figuren meist mit einem einfachen geometrischen Körper – dem Polyeder eines Prismas. Die Rolle seiner Basen übernehmen zwei gleiche Polygone, die in parallelen Ebenen liegen. Ein Sonderfall ist ein regelmäßiges viereckiges Prisma. Seine Grundflächen sind zwei identische regelmäßige Vierecke, zu denen die Seiten senkrecht stehen und die Form von Parallelogrammen (oder Rechtecken, wenn das Prisma nicht geneigt ist) haben.

Wie sieht ein Prisma aus?

Ein regelmäßiges viereckiges Prisma ist ein Sechseck, dessen Grundflächen zwei Quadrate sind und dessen Seitenflächen durch Rechtecke dargestellt werden. Ein anderer Name für diese geometrische Figur ist ein gerades Parallelepiped.

Unten ist eine Zeichnung dargestellt, die ein viereckiges Prisma zeigt.

Kann man auch auf dem Bild sehen die wichtigsten Elemente, aus denen ein geometrischer Körper besteht. Dazu gehören:

Bei Geometrieproblemen kann man manchmal auf das Konzept eines Abschnitts stoßen. Die Definition wird so klingen: Ein Abschnitt sind alle Punkte eines volumetrischen Körpers, die zu einer Schnittebene gehören. Der Schnitt kann senkrecht sein (schneidet die Kanten der Figur in einem Winkel von 90 Grad). Für ein rechteckiges Prisma wird auch ein diagonaler Abschnitt berücksichtigt (die maximale Anzahl der konstruierbaren Abschnitte beträgt 2), der durch 2 Kanten und die Diagonalen der Basis verläuft.

Wird der Schnitt so gezeichnet, dass die Schnittebene weder zu den Grundflächen noch zu den Seitenflächen parallel ist, entsteht ein Prismenstumpf.

Um die reduzierten prismatischen Elemente zu finden, werden verschiedene Beziehungen und Formeln verwendet. Einige davon sind aus dem Planimetriekurs bekannt (um beispielsweise die Grundfläche eines Prismas zu ermitteln, reicht es aus, sich an die Formel für die Fläche eines Quadrats zu erinnern).

Oberfläche und Volumen

Um das Volumen eines Prismas anhand der Formel zu bestimmen, müssen Sie die Fläche seiner Grundfläche und Höhe kennen:

V = Sbas h

Da die Grundfläche eines regelmäßigen tetraedrischen Prismas ein Quadrat mit einer Seite ist A, Sie können die Formel detaillierter schreiben:

V = a²·h

Wenn es sich um einen Würfel handelt – ein regelmäßiges Prisma mit gleicher Länge, Breite und Höhe – berechnet sich das Volumen wie folgt:

Um zu verstehen, wie man die Mantelfläche eines Prismas ermittelt, muss man sich dessen Entwicklung vorstellen.

Aus der Zeichnung ist ersichtlich, dass die Seitenfläche aus 4 gleichen Rechtecken besteht. Seine Fläche wird als Produkt aus dem Umfang der Basis und der Höhe der Figur berechnet:

Sside = Posn h

Berücksichtigen Sie, dass der Umfang des Quadrats gleich ist P = 4a, Die Formel hat die Form:

Sside = 4a h

Für Würfel:

Sseite = 4a²

Um die Gesamtoberfläche des Prismas zu berechnen, müssen Sie zur Seitenfläche 2 Grundflächen addieren:

Sfull = Sside + 2Smain

Bezogen auf ein viereckiges regelmäßiges Prisma sieht die Formel wie folgt aus:

Gesamt = 4a h + 2a²

Für die Oberfläche eines Würfels:

Sfull = 6a²

Wenn Sie das Volumen oder die Oberfläche kennen, können Sie die einzelnen Elemente eines geometrischen Körpers berechnen.

Prismenelemente finden

Oft gibt es Probleme, bei denen das Volumen angegeben ist oder der Wert der Mantelfläche bekannt ist, bei denen es notwendig ist, die Seitenlänge der Basis oder die Höhe zu bestimmen. In solchen Fällen können die Formeln abgeleitet werden:

• Basisseitenlänge: a = Sside / 4h = √(V / h);
• Höhe bzw. Seitenrippenlänge: h = Sside / 4a = V / a²;
• Grundfläche: Sbas = V/h;
• Seitenfläche: Seite gr = Seite / 4.

Um zu bestimmen, wie groß die Fläche des Diagonalabschnitts ist, müssen Sie die Länge der Diagonale und die Höhe der Figur kennen. Für ein Quadrat d = a√2. Daraus folgt:

Sdiag = ah√2

Um die Diagonale eines Prismas zu berechnen, verwenden Sie die Formel:

dprize = √(2a² + h²)

Um zu verstehen, wie man die gegebenen Zusammenhänge anwendet, können Sie einige einfache Aufgaben üben und lösen.

Beispiele für Probleme mit Lösungen

Hier finden Sie einige Aufgaben aus staatlichen Abschlussprüfungen in Mathematik.

Aufgabe 1.

Sand wird in einen Kasten gegossen, der die Form eines regelmäßigen viereckigen Prismas hat. Die Höhe seiner Wasserwaage beträgt 10 cm. Wie hoch wird die Sandwaage sein, wenn Sie sie in einen Behälter derselben Form, aber mit doppelt so langem Boden, stellen?

Es sollte wie folgt begründet werden. Die Sandmenge im ersten und zweiten Behälter hat sich nicht verändert, d. h. das Volumen darin ist gleich. Sie können die Länge der Basis mit bezeichnen A. In diesem Fall beträgt das Volumen des Stoffes für das erste Kästchen:

V₁ = ha² = 10a²

Für die zweite Box beträgt die Länge der Basis 2a, aber die Höhe des Sandspiegels ist unbekannt:

V₂ = h (2a)² = 4ha²

Seit V₁ = V₂, wir können die Ausdrücke gleichsetzen:

10a² = 4ha²

Nachdem wir beide Seiten der Gleichung um a² reduziert haben, erhalten wir:

Dadurch entsteht ein neuer Sandspiegel h = 10 / 4 = 2,5 cm.

Aufgabe 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ ist ein korrektes Prisma. Es ist bekannt, dass BD = AB₁ = 6√2. Finden Sie die Gesamtoberfläche des Körpers.

Um leichter zu verstehen, welche Elemente bekannt sind, können Sie eine Figur zeichnen.

Da es sich um ein regelmäßiges Prisma handelt, können wir daraus schließen, dass sich an der Basis ein Quadrat mit einer Diagonale von 6√2 befindet. Die Diagonale der Seitenfläche ist gleich groß, daher hat die Seitenfläche auch die Form eines Quadrats gleich der Grundfläche. Es stellt sich heraus, dass alle drei Dimensionen – Länge, Breite und Höhe – gleich sind. Wir können daraus schließen, dass ABCDA₁B₁C₁D₁ ein Würfel ist.

Die Länge einer beliebigen Kante wird durch eine bekannte Diagonale bestimmt:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Die Gesamtoberfläche wird mit der Formel für einen Würfel ermittelt:

Sfull = 6a² = 6 6² = 216

Aufgabe 3.

Das Zimmer wird renoviert. Es ist bekannt, dass sein Boden die Form eines Quadrats mit einer Fläche von 9 m² hat. Die Raumhöhe beträgt 2,5 m. Was kostet das Tapezieren eines Raums am wenigsten, wenn 1 m² 50 Rubel kostet?

Da Boden und Decke Quadrate, also regelmäßige Vierecke, sind und seine Wände senkrecht zu horizontalen Flächen stehen, können wir daraus schließen, dass es sich um ein regelmäßiges Prisma handelt. Es ist notwendig, die Fläche seiner Seitenfläche zu bestimmen.

Die Länge des Raumes beträgt a = √9 = 3 M.

Der Bereich wird mit Tapeten abgedeckt Seitenteil = 4 3 2,5 = 30 m².

Die niedrigsten Tapetenkosten für diesen Raum betragen 50·30 = 1500 Rubel

Um Probleme mit einem rechteckigen Prisma zu lösen, reicht es daher aus, die Fläche und den Umfang eines Quadrats und eines Rechtecks ​​berechnen zu können sowie die Formeln zur Ermittlung des Volumens und der Oberfläche zu kennen.

So finden Sie die Fläche eines Würfels

Die Mantelfläche des Prismas. Hallo! In dieser Veröffentlichung werden wir eine Gruppe von Problemen der Stereometrie analysieren. Betrachten wir eine Kombination von Körpern – ein Prisma und einen Zylinder. Dieser Artikel vervollständigt derzeit die gesamte Artikelreihe zur Betrachtung von Aufgabentypen in der Stereometrie.

Sollten neue in der Aufgabenbank auftauchen, dann wird es in Zukunft natürlich auch Ergänzungen zum Blog geben. Aber was bereits vorhanden ist, reicht völlig aus, um im Rahmen der Prüfung zu lernen, wie man alle Aufgaben mit einer kurzen Antwort löst. Es wird für die nächsten Jahre genügend Material geben (das Mathematikprogramm ist statisch).

Bei den vorgestellten Aufgaben geht es um die Berechnung der Fläche eines Prismas. Ich stelle fest, dass wir im Folgenden ein gerades Prisma (und dementsprechend einen geraden Zylinder) betrachten.

Ohne irgendwelche Formeln zu kennen, verstehen wir, dass die Seitenfläche eines Prismas alle seine Seitenflächen umfasst. Ein gerades Prisma hat rechteckige Seitenflächen.

Die Fläche der Seitenfläche eines solchen Prismas ist gleich der Summe der Flächen aller seiner Seitenflächen (also der Rechtecke). Wenn wir von einem regelmäßigen Prisma sprechen, in das ein Zylinder eingeschrieben ist, dann ist klar, dass alle Flächen dieses Prismas GLEICHE Rechtecke sind.

Formal lässt sich die Mantelfläche eines regelmäßigen Prismas wie folgt widerspiegeln:

27064. Ein regelmäßiges viereckiges Prisma wird um einen Zylinder herum beschrieben, dessen Basisradius und Höhe gleich 1 sind. Ermitteln Sie die Mantelfläche des Prismas.

Die Mantelfläche dieses Prismas besteht aus vier flächengleichen Rechtecken. Die Höhe der Fläche beträgt 1, die Kante der Basis des Prismas beträgt 2 (das sind zwei Radien des Zylinders), daher ist die Fläche der Seitenfläche gleich:

Seitenfläche:

73023. Finden Sie die Mantelfläche eines regelmäßigen dreieckigen Prismas, das um einen Zylinder herum beschrieben wird, dessen Basisradius √0,12 und dessen Höhe 3 beträgt.

Die Fläche der Seitenfläche eines gegebenen Prismas ist gleich der Summe der Flächen der drei Seitenflächen (Rechtecke). Um die Fläche der Seitenfläche zu ermitteln, müssen Sie deren Höhe und die Länge der Basiskante kennen. Die Höhe beträgt drei. Lassen Sie uns die Länge der Basiskante ermitteln. Betrachten Sie die Projektion (Draufsicht):

Wir haben ein regelmäßiges Dreieck, in das ein Kreis mit dem Radius √0,12 eingeschrieben ist. Aus dem rechtwinkligen Dreieck AOC können wir AC finden. Und dann AD (AD=2AC). Per Definition der Tangente:

Dies bedeutet AD = 2AC = 1,2. Somit ist die Mantelfläche gleich:

27066. Finden Sie die Mantelfläche eines regelmäßigen sechseckigen Prismas, das um einen Zylinder herum beschrieben wird, dessen Basisradius √75 und dessen Höhe 1 beträgt.

Die erforderliche Fläche ist gleich der Summe der Flächen aller Seitenflächen. Ein regelmäßiges sechseckiges Prisma hat Seitenflächen, die gleiche Rechtecke sind.

Um die Fläche einer Fläche zu ermitteln, müssen Sie deren Höhe und die Länge der Basiskante kennen. Die Höhe ist bekannt, sie ist gleich 1.

Lassen Sie uns die Länge der Basiskante ermitteln. Betrachten Sie die Projektion (Draufsicht):

Wir haben ein regelmäßiges Sechseck, in das ein Kreis mit dem Radius √75 eingeschrieben ist.

Betrachten Sie das rechtwinklige Dreieck ABO. Wir kennen das Bein OB (das ist der Radius des Zylinders). Wir können auch den Winkel AOB bestimmen, er beträgt 300 (Dreieck AOC ist gleichseitig, OB ist eine Winkelhalbierende).

Verwenden wir die Definition der Tangente in einem rechtwinkligen Dreieck:

AC = 2AB, da OB der Median ist, das heißt, er teilt AC in zwei Hälften, was AC = 10 bedeutet.

Somit beträgt die Fläche der Seitenfläche 1∙10=10 und die Fläche der Seitenfläche beträgt:

76485. Finden Sie die Mantelfläche eines regelmäßigen dreieckigen Prismas, das in einen Zylinder eingeschrieben ist, dessen Basisradius 8√3 und dessen Höhe 6 beträgt.

Die Fläche der Seitenfläche des angegebenen Prismas aus drei gleich großen Flächen (Rechtecken). Um die Fläche zu ermitteln, müssen Sie die Länge der Kante der Basis des Prismas kennen (wir kennen die Höhe). Wenn wir die Projektion betrachten (Draufsicht), haben wir ein regelmäßiges Dreieck, das in einen Kreis eingeschrieben ist. Die Seite dieses Dreiecks wird als Radius ausgedrückt als:

Details dieser Beziehung. Es wird also gleich sein

Dann beträgt die Fläche der Seitenfläche: 24∙6=144. Und die benötigte Fläche:

245354. Ein regelmäßiges viereckiges Prisma wird um einen Zylinder herum beschrieben, dessen Basisradius 2 beträgt. Die Mantelfläche des Prismas beträgt 48. Ermitteln Sie die Höhe des Zylinders.

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Definition. Prisma ist ein Polyeder, dessen Eckpunkte alle in zwei parallelen Ebenen liegen, und in diesen beiden Ebenen liegen zwei Flächen des Prismas, die gleiche Polygone mit entsprechend parallelen Seiten sind, und alle Kanten, die nicht in diesen Ebenen liegen, sind parallel.

Es werden zwei gleiche Gesichter aufgerufen Prismenbasen(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Alle anderen Flächen des Prismas werden aufgerufen Seitenflächen(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Alle Seitenflächen bilden sich Seitenfläche des Prismas .

Alle Seitenflächen des Prismas sind Parallelogramme .

Die Kanten, die nicht an den Basen liegen, werden Seitenkanten des Prismas genannt ( AA 1, BB 1, CC 1, TT 1, EE 1).

Prismendiagonale ist ein Segment, dessen Enden zwei Eckpunkte eines Prismas sind, die nicht auf derselben Fläche liegen (AD 1).

Die Länge des Segments, das die Basen des Prismas verbindet und gleichzeitig senkrecht zu beiden Basen steht, wird als bezeichnet Prismenhöhe .

Bezeichnung:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Zuerst werden in der Reihenfolge der Durchquerung die Scheitelpunkte einer Basis angegeben und dann in derselben Reihenfolge die Scheitelpunkte einer anderen; die Enden jeder Seitenkante werden mit denselben Buchstaben bezeichnet, nur die Scheitelpunkte, die in einer Basis liegen, werden bezeichnet nach Buchstaben ohne Index und zum anderen - mit Index)

Der Name des Prismas ist mit der Anzahl der Winkel in der Figur verbunden, die an seiner Basis liegen. In Abbildung 1 befindet sich beispielsweise ein Fünfeck an der Basis, daher wird das Prisma genannt fünfeckiges Prisma. Aber weil Ein solches Prisma hat also 7 Flächen Heptaeder(2 Flächen – die Basen des Prismas, 5 Flächen – Parallelogramme, – seine Seitenflächen)

Unter den geraden Prismen sticht ein besonderer Typ hervor: regelmäßige Prismen.

Ein gerades Prisma heißt richtig, wenn seine Basen regelmäßige Vielecke sind.

Bei einem regelmäßigen Prisma sind alle Seitenflächen gleiche Rechtecke. Ein Sonderfall eines Prismas ist ein Parallelepiped.

Parallelepiped

Parallelepiped ist ein viereckiges Prisma, an dessen Basis ein Parallelogramm (ein geneigtes Parallelepiped) liegt. Rechter Parallelepiped- ein Parallelepiped, dessen Seitenkanten senkrecht zu den Ebenen der Basis stehen.

Rechteckiges Parallelepiped- ein rechtwinkliges Parallelepiped, dessen Grundfläche ein Rechteck ist.

Eigenschaften und Theoreme:

Einige Eigenschaften eines Parallelepipeds ähneln den bekannten Eigenschaften eines Parallelogramms. Ein rechteckiges Parallelepiped mit gleichen Abmessungen wird genannt Würfel .Alle Flächen eines Würfels sind gleiche Quadrate. Das Quadrat der Diagonale ist gleich der Summe der Quadrate seiner drei Dimensionen

,

wobei d die Diagonale des Quadrats ist;
a ist die Seite des Quadrats.

Eine Vorstellung von einem Prisma ergibt sich aus:

• verschiedene architektonische Strukturen;
• Kinderspielzeug;
• Verpackungskartons;
• Designerartikel usw.

Die Fläche der Gesamt- und Seitenfläche des Prismas

Gesamtoberfläche des Prismas ist die Summe der Flächen aller seiner Flächen Seitenfläche heißt die Summe der Flächen seiner Seitenflächen. Die Grundflächen des Prismas sind gleiche Polygone, daher sind ihre Flächen gleich. Deshalb

S voll = S Seite + 2S Haupt,

Wo S voll- Gesamtfläche, S-Seite-Seitenfläche, S-Basis- Grundfläche

Die Mantelfläche eines geraden Prismas ist gleich dem Produkt aus dem Umfang der Basis und der Höhe des Prismas.

S-Seite= P basisch * h,

Wo S-Seite-Fläche der Seitenfläche eines geraden Prismas,

P main - Umfang der Basis eines geraden Prismas,

h ist die Höhe des geraden Prismas, gleich der Seitenkante.

Prismenvolumen

Das Volumen eines Prismas ist gleich dem Produkt aus Grundfläche und Höhe.