Lektion und Präsentation zum Thema: „Umfang und Fläche eines Rechtecks“
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Was sind Rechteck und Quadrat?
Rechteck ist ein Viereck mit allen rechten Winkeln. Das bedeutet, dass gegenüberliegende Seiten einander gleich sind.
Quadrat ist ein Rechteck mit gleichen Seiten und gleichen Winkeln. Es wird als regelmäßiges Viereck bezeichnet.
Vierecke, einschließlich Rechtecke und Quadrate, werden mit 4 Buchstaben bezeichnet – den Eckpunkten. Zur Bezeichnung von Eckpunkten werden lateinische Buchstaben verwendet: A, B, C, D...
Beispiel. 
Es liest sich so: Viereck ABCD; Quadrat EFGH.
Wie groß ist der Umfang eines Rechtecks? Formel zur Berechnung des Umfangs
Umfang eines Rechtecks ist die Summe der Längen aller Seiten des Rechtecks oder die Summe aus Länge und Breite multipliziert mit 2.Der Umfang wird durch einen lateinischen Buchstaben angegeben P. Da der Umfang die Länge aller Seiten des Rechtecks ist, wird der Umfang in Längeneinheiten angegeben: mm, cm, m, dm, km.
Beispielsweise wird der Umfang des Rechtecks ABCD als bezeichnet P ABCD, wobei A, B, C, D die Eckpunkte des Rechtecks sind.
Schreiben wir die Formel für den Umfang eines Vierecks ABCD auf:
P ABCD = AB + BC + CD + AD = 2 * AB + 2 * BC = 2 * (AB + BC)
Beispiel.
Gegeben sei ein Rechteck ABCD mit den Seiten AB=CD=5 cm und AD=BC=3 cm.
Definieren wir P ABCD.
Lösung:
1. Zeichnen wir ein Rechteck ABCD mit den Originaldaten. 
2. Schreiben wir eine Formel zur Berechnung des Umfangs eines gegebenen Rechtecks:
P ABCD = 2 * (AB + BC)
P ABCD = 2 * (5 cm + 3 cm) = 2 * 8 cm = 16 cm
Antwort: P ABCD = 16 cm.
Formel zur Berechnung des Umfangs eines Quadrats
Wir haben eine Formel zur Bestimmung des Umfangs eines Rechtecks.P ABCD = 2 * (AB + BC)
Lassen Sie uns damit den Umfang eines Quadrats bestimmen. Wenn wir davon ausgehen, dass alle Seiten des Quadrats gleich sind, erhalten wir:
P ABCD = 4 * AB
Beispiel.
Gegeben sei ein Quadrat ABCD mit einer Seitenlänge von 6 cm. Bestimmen wir den Umfang des Quadrats.
Lösung.
1. Zeichnen wir ein Quadrat ABCD mit den Originaldaten.
2. Erinnern wir uns an die Formel zur Berechnung des Umfangs eines Quadrats:
P ABCD = 4 * AB
3. Setzen wir unsere Daten in die Formel ein:
P ABCD = 4 * 6 cm = 24 cm
Antwort: P ABCD = 24 cm.
Probleme, den Umfang eines Rechtecks zu finden
1. Messen Sie die Breite und Länge der Rechtecke. Bestimmen Sie ihren Umfang. 
2. Zeichnen Sie ein Rechteck ABCD mit den Seitenlängen 4 cm und 6 cm. Bestimmen Sie den Umfang des Rechtecks.
3. Zeichnen Sie ein quadratisches SEOM mit einer Seitenlänge von 5 cm. Bestimmen Sie den Umfang des Quadrats.
Wo wird die Berechnung des Umfangs eines Rechtecks angewendet?
1. Es wurde ein Grundstück zur Verfügung gestellt; es muss mit einem Zaun umgeben sein. Wie lang wird der Zaun sein?
Bei dieser Aufgabe ist es notwendig, den Umfang des Geländes genau zu berechnen, um kein überschüssiges Material für den Zaunbau zu kaufen.
2. Die Eltern beschlossen, das Kinderzimmer zu renovieren. Um die Tapetenmenge richtig berechnen zu können, müssen Sie den Umfang des Raumes und seine Fläche kennen.
Bestimmen Sie die Länge und Breite des Raumes, in dem Sie wohnen. Bestimmen Sie den Umfang Ihres Raumes.
Wie groß ist die Fläche eines Rechtecks?
Quadrat ist ein numerisches Merkmal einer Figur. Die Fläche wird in quadratischen Längeneinheiten gemessen: cm 2, m 2, dm 2 usw. (Zentimeter im Quadrat, Meter im Quadrat, Dezimeter im Quadrat usw.)In Berechnungen wird es mit einem lateinischen Buchstaben bezeichnet S.
Um die Fläche eines Rechtecks zu bestimmen, multiplizieren Sie die Länge des Rechtecks mit seiner Breite. 
Die Fläche des Rechtecks wird berechnet, indem die Länge des AC mit der Breite des CM multipliziert wird. Schreiben wir das als Formel auf.
S AKMO = AK * KM
Beispiel.
Wie groß ist die Fläche des Rechtecks AKMO, wenn seine Seiten 7 cm und 2 cm betragen?
S AKMO = AK * KM = 7 cm * 2 cm = 14 cm 2.
Antwort: 14 cm 2.
Formel zur Berechnung der Fläche eines Quadrats
Die Fläche eines Quadrats lässt sich ermitteln, indem man die Seite mit sich selbst multipliziert.Beispiel. 
In diesem Beispiel wird die Fläche eines Quadrats berechnet, indem die Seite AB mit der Breite BC multipliziert wird. Da sie jedoch gleich sind, ist das Ergebnis die Multiplikation der Seite AB mit AB.
S ABCO = AB * BC = AB * AB
Beispiel.
Bestimmen Sie die Fläche eines quadratischen AKMO mit einer Seitenlänge von 8 cm.
S AKMO = AK * KM = 8 cm * 8 cm = 64 cm 2
Antwort: 64 cm 2.
Probleme, die Fläche eines Rechtecks und eines Quadrats zu finden
1. Gegeben sei ein Rechteck mit den Seitenlängen 20 mm und 60 mm. Berechnen Sie seine Fläche. Schreiben Sie Ihre Antwort in Quadratzentimetern.2. Es wurde ein Datscha-Grundstück mit den Maßen 20 x 30 m gekauft. Bestimmen Sie die Fläche des Datscha-Grundstücks und schreiben Sie die Antwort in Quadratzentimetern.
Definition.
Rechteck ist ein Viereck, bei dem zwei gegenüberliegende Seiten gleich sind und alle vier Winkel gleich sind.Die Rechtecke unterscheiden sich nur im Verhältnis der langen Seite zur kurzen Seite voneinander, alle vier Ecken stehen jedoch rechts, also im 90-Grad-Winkel.
Die lange Seite eines Rechtecks heißt Rechtecklänge, und das kurze - Rechteckbreite.
Die Seiten eines Rechtecks sind auch seine Höhen.
Grundlegende Eigenschaften eines Rechtecks
Ein Rechteck kann ein Parallelogramm, ein Quadrat oder eine Raute sein.
1. Die gegenüberliegenden Seiten des Rechtecks sind gleich lang, also gleich:
AB = CD, BC = AD
2. Gegenüberliegende Seiten des Rechtecks sind parallel:
3. Die angrenzenden Seiten eines Rechtecks stehen immer senkrecht:
AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB
4. Alle vier Ecken des Rechtecks sind gerade:
∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°
5. Die Winkelsumme eines Rechtecks beträgt 360 Grad:
∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°
6. Die Diagonalen eines Rechtecks sind gleich lang:
7. Die Summe der Quadrate der Diagonalen eines Rechtecks ist gleich der Summe der Quadrate der Seiten:
2d 2 = 2a 2 + 2b 2
8. Jede Diagonale eines Rechtecks teilt das Rechteck in zwei identische Figuren, nämlich rechtwinklige Dreiecke.
9. Die Diagonalen des Rechtecks schneiden sich und werden am Schnittpunkt in zwei Hälften geteilt:
| AO=BO=CO=DO= | D | ||
| 2 |
10. Der Schnittpunkt der Diagonalen wird Mittelpunkt des Rechtecks genannt und ist auch Mittelpunkt des Umkreises
11. Die Diagonale eines Rechtecks ist der Durchmesser des Umkreises
12. Sie können immer einen Kreis um ein Rechteck beschreiben, da die Summe der entgegengesetzten Winkel 180 Grad beträgt:
∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°
13. Ein Kreis kann nicht in ein Rechteck eingeschrieben werden, dessen Länge nicht gleich seiner Breite ist, da die Summen der gegenüberliegenden Seiten nicht gleich sind (ein Kreis kann nur im Sonderfall eines Rechtecks – eines Quadrats) eingeschrieben werden. .
Seiten eines Rechtecks
Definition.
Rechtecklänge ist die Länge des längeren Seitenpaares. Rechteckbreite ist die Länge des kürzeren Seitenpaares.Formeln zur Bestimmung der Seitenlängen eines Rechtecks
1. Formel für die Seite eines Rechtecks (Länge und Breite des Rechtecks) durch die Diagonale und die andere Seite:
a = √ d 2 - b 2
b = √ d 2 - a 2
2. Formel für die Seite eines Rechtecks (Länge und Breite des Rechtecks) durch die Fläche und die andere Seite:
| b = dcos | β |
| 2 |
Diagonale eines Rechtecks
Definition.
Diagonales Rechteck Jedes Segment, das zwei Eckpunkte gegenüberliegender Ecken eines Rechtecks verbindet, wird aufgerufen.Formeln zur Bestimmung der Länge der Diagonale eines Rechtecks
1. Formel für die Diagonale eines Rechtecks unter Verwendung zweier Seiten des Rechtecks (über den Satz des Pythagoras):
d = √ a 2 + b 2
2. Formel für die Diagonale eines Rechtecks unter Verwendung der Fläche und einer beliebigen Seite:
4. Formel für die Diagonale eines Rechtecks in Abhängigkeit vom Radius des umschriebenen Kreises:
d = 2R
5. Formel für die Diagonale eines Rechtecks in Abhängigkeit vom Durchmesser des umschriebenen Kreises:
d = D o
6. Formel für die Diagonale eines Rechtecks unter Verwendung des Sinus des Winkels neben der Diagonale und der Länge der diesem Winkel gegenüberliegenden Seite:
8. Formel für die Diagonale eines Rechtecks durch den Sinus des spitzen Winkels zwischen den Diagonalen und der Fläche des Rechtecks
d = √2S: Sünde β
Umfang eines Rechtecks
Definition.
Umfang eines Rechtecks ist die Summe der Längen aller Seiten eines Rechtecks.Formeln zur Bestimmung der Länge des Umfangs eines Rechtecks
1. Formel für den Umfang eines Rechtecks unter Verwendung zweier Seiten des Rechtecks:
P = 2a + 2b
P = 2(a + b)
2. Formel für den Umfang eines Rechtecks unter Verwendung der Fläche und einer beliebigen Seite:
| P= | 2S + 2a 2 | = | 2S + 2b 2 |
| A | B |
3. Formel für den Umfang eines Rechtecks unter Verwendung der Diagonale und einer beliebigen Seite:
P = 2(a + √ d 2 - a 2) = 2(b + √ d 2 - b 2)
4. Formel für den Umfang eines Rechtecks unter Verwendung des Radius des Umkreises und einer beliebigen Seite:
P = 2(a + √4R 2 - eine 2) = 2(b + √4R 2 - b 2)
5. Formel für den Umfang eines Rechtecks unter Verwendung des Durchmessers des Umkreises und einer beliebigen Seite:
P = 2(a + √D o 2 - eine 2) = 2(b + √D o 2 - b 2)
Fläche eines Rechtecks
Definition.
Fläche eines Rechtecks bezeichnet den Raum, der durch die Seiten des Rechtecks begrenzt wird, also innerhalb des Umfangs des Rechtecks.Formeln zur Bestimmung der Fläche eines Rechtecks
1. Formel für die Fläche eines Rechtecks mit zwei Seiten:
S = a b
2. Formel für die Fläche eines Rechtecks unter Verwendung des Umfangs und einer beliebigen Seite:
5. Formel für die Fläche eines Rechtecks unter Verwendung des Radius des Umkreises und einer beliebigen Seite:
S = a √4R 2 - eine 2= b √4R 2 - b 2
6. Formel für die Fläche eines Rechtecks unter Verwendung des Durchmessers des umschriebenen Kreises und einer beliebigen Seite:
S = a √D o 2 - eine 2= b √D o 2 - b 2
Ein um ein Rechteck umschriebener Kreis
Definition.
Ein um ein Rechteck umschriebener Kreis ist ein Kreis, der durch die vier Eckpunkte eines Rechtecks verläuft, dessen Mittelpunkt im Schnittpunkt der Diagonalen des Rechtecks liegt.Formeln zur Bestimmung des Radius eines um ein Rechteck umschriebenen Kreises
1. Formel für den Radius eines Kreises, der durch zwei Seiten um ein Rechteck herum umschrieben wird:
Ein Rechteck ist ein Sonderfall eines Vierecks. Das bedeutet, dass das Rechteck vier Seiten hat. Seine gegenüberliegenden Seiten sind gleich: Wenn beispielsweise eine seiner Seiten 10 cm beträgt, beträgt die gegenüberliegende Seite ebenfalls 10 cm. Ein Sonderfall eines Rechtecks ist ein Quadrat. Ein Quadrat ist ein Rechteck, bei dem alle Seiten gleich sind. Um die Fläche eines Quadrats zu berechnen, können Sie denselben Algorithmus verwenden wie zur Berechnung der Fläche eines Rechtecks.
So ermitteln Sie die Fläche eines Rechtecks basierend auf zwei Seiten
Um die Fläche eines Rechtecks zu ermitteln, müssen Sie seine Länge mit seiner Breite multiplizieren: Fläche = Länge × Breite. Im unten angegebenen Fall gilt: Fläche = AB × BC.
So ermitteln Sie die Fläche eines Rechtecks anhand der Seiten- und Diagonallänge
Bei einigen Problemen müssen Sie die Fläche eines Rechtecks aus der Länge der Diagonale und einer der Seiten ermitteln. Die Diagonale eines Rechtecks teilt es in zwei gleich große rechtwinklige Dreiecke. Daher können wir die zweite Seite des Rechtecks mit dem Satz des Pythagoras bestimmen. Danach reduziert sich die Aufgabe auf den vorherigen Punkt.
So ermitteln Sie die Fläche eines Rechtecks anhand seines Umfangs und seiner Seite
Der Umfang eines Rechtecks ist die Summe aller seiner Seiten. Wenn Sie den Umfang des Rechtecks und eine Seite (z. B. die Breite) kennen, können Sie die Fläche des Rechtecks mit der folgenden Formel berechnen:
Fläche = (Umfang×Breite – Breite^2)/2.
Fläche eines Rechtecks durch den Sinus des spitzen Winkels zwischen den Diagonalen und der Länge der Diagonale
Die Diagonalen in einem Rechteck sind gleich. Um die Fläche basierend auf der Länge der Diagonalen und dem Sinus des spitzen Winkels zwischen ihnen zu berechnen, sollten Sie die folgende Formel verwenden: Fläche = Diagonal^2 × sin(spitzer Winkel zwischen den Diagonalen )/2.
Die Geometrie umfasst die Eigenschaften und Kombinationen zweidimensionaler und räumlicher Figuren. Die numerischen Werte, die solche Strukturen charakterisieren, sind Quadrat und Umfang, dessen Berechnung nach bekannten Formeln erfolgt oder durcheinander ausgedrückt wird.
Anweisungen
1. Rechteck.Problem: berechnen Quadrat ein Rechteck, wenn wir wissen, dass sein Umfang 40 beträgt und seine Länge b 1,5-mal größer als seine Breite a ist.
2. Lösung: Verwenden Sie die berühmte Umfangsformel, sie ist gleich der Summe aller Seiten der Figur. In diesem Fall ist P = 2 a + 2 b. Aus den Anfangsdaten des Problems wissen Sie, dass b = 1,5 a, also P = 2 a + 2 · 1,5 a = 5 a, woraus a = 8. Finden Sie die Länge b = 1,5 · 8 = 12.
3. Schreiben Sie die Formel für die Fläche eines Rechtecks auf: S = a b, Ersetzen Sie die bekannten Größen: S = 8 * 12 = 96.
4. Square.Aufgabe: Entdecken Quadrat Quadrat, wenn der Umfang 36 beträgt.
5. Lösung: Ein Quadrat ist ein Sonderfall eines Rechtecks, bei dem alle Seiten gleich sind, daher beträgt sein Umfang 4 a, woraus a = 8. Bestimmen Sie die Fläche des Quadrats mit der Formel S = a? = 64.
6. Dreieck.Problem: Gegeben sei ein beliebiges Dreieck ABC, dessen Umfang 29 beträgt. Ermitteln Sie den Wert seiner Fläche, wenn bekannt ist, dass die Höhe BH, abgesenkt auf die Seite AC, es in Segmente mit den Längen 3 und 4 cm unterteilt.
7. Lösung: Merken Sie sich zunächst die Flächenformel für ein Dreieck: S = 1/2 c h, wobei c die Basis und h die Höhe der Figur ist. In unserem Fall ist die Basis die Seite AC, die aus der Problembedingung bekannt ist: AC = 3+4 = 7, es bleibt die Höhe BH zu ermitteln.
8. Die Höhe ist eine Senkrechte, die vom gegenüberliegenden Scheitelpunkt zur Seite gezogen wird und daher das Dreieck ABC in zwei rechtwinklige Dreiecke teilt. Wenn Sie diese Eigenschaft kennen, schauen Sie sich das Dreieck ABH an. Erinnern Sie sich an die pythagoräische Formel, nach der: AB? = BH? +AH? = BH? + 9 ? AB = ?(h? + 9). Schreiben Sie im Dreieck BHC nach derselben These: BC? = BH? +HC? = BH? + 16 ? BC = ?(h? + 16).
9. Wenden Sie die Umfangsformel an: P = AB + BC + AC. Ersetzen Sie die als Höhe ausgedrückten Werte: P = 29 = ?(h? + 9) + ?(h? + 16) + 7.
10. Lösen Sie die Gleichung:?(h? + 9) + ?(h? + 16) = 22? [Ersatz t? = h? + 9]:?(t? + 7) = 22 – t, quadrieren beide Seiten der Gleichung:t? + 7 = 484 – 44 t + t? ? t?10,84h? + 9 = 117,5? H? 10.42
11. Entdecken Quadrat Dreieck ABC:S = 1/2 7 10,42 = 36,47.
