5. Ermitteln der Oberfläche von Rotationskörpern

Die Kurve AB sei der Graph der Funktion y = f(x) ≥ 0, wobei x [a; b], und die Funktion y = f(x) und ihre Ableitung y" = f"(x) sind auf diesem Segment stetig.

Finden wir die Fläche S der Oberfläche, die durch die Drehung der Kurve AB um die Ox-Achse entsteht (Abb. 8).

Wenden wir Schema II (Differentialmethode) an.

Durch einen beliebigen Punkt x [a; b] Zeichnen Sie eine Ebene P senkrecht zur Ox-Achse. Die Ebene П schneidet die Rotationsfläche in einem Kreis mit dem Radius y – f(x). Die Größe S der Oberfläche des links von der Ebene liegenden Teils der Rotationsfigur ist eine Funktion von x, d. h. s = s(x) (s(a) = 0 und s(b) = S).

Geben wir dem Argument x ein Inkrement Δx = dx. Durch den Punkt x + dx [a; b] zeichnen wir auch eine Ebene senkrecht zur Ox-Achse. Die Funktion s = s(x) erhält ein Inkrement von Δs, in der Abbildung als „Gürtel“ dargestellt.

Finden wir die Differenzfläche ds, indem wir die zwischen den Abschnitten gebildete Figur durch einen Kegelstumpf ersetzen, dessen Erzeugende gleich dl ist und dessen Grundradien gleich y und y + dу sind. Die Fläche seiner Seitenfläche ist gleich: = 2ydl + dydl.

Wenn wir das Produkt dó d1 als Infinitesimal einer höheren Ordnung als ds ablehnen, erhalten wir ds = 2ódl, oder, da d1 = dx.

Integrieren wir die resultierende Gleichheit im Bereich von x = a bis x = b, erhalten wir

Wenn die Kurve AB durch die parametrischen Gleichungen x = x(t), y = y(t), t≤ t ≤ t gegeben ist, dann nimmt die Formel für die Rotationsfläche die Form an

S=2 dt.

Beispiel: Finden Sie die Oberfläche einer Kugel mit dem Radius R.

S=2 =

6. Ermitteln der Arbeit einer variablen Kraft

Variable Kraftarbeit

Lassen Sie den materiellen Punkt M sich entlang der Ox-Achse unter der Wirkung einer variablen Kraft F = F(x) bewegen, die parallel zu dieser Achse gerichtet ist. Die Arbeit, die eine Kraft verrichtet, wenn sie den Punkt M von der Position x = a zur Position x = b (a) bewegt

Wie viel Arbeit muss aufgewendet werden, um die Feder um 0,05 m zu dehnen, wenn eine Kraft von 100 N die Feder um 0,01 m dehnt?

Nach dem Hookeschen Gesetz ist die elastische Kraft, die die Feder dehnt, proportional zu dieser Dehnung x, d.h. F = kх, wobei k der Proportionalitätskoeffizient ist. Gemäß den Bedingungen des Problems dehnt eine Kraft F = 100 N die Feder um x = 0,01 m; daher ist 100 = k 0,01, woraus k = 10000; daher ist F = 10000x.

Der erforderliche Job basierend auf der Formel

A=

Ermitteln Sie die Arbeit, die aufgewendet werden muss, um Flüssigkeit aus einem vertikalen zylindrischen Tank mit der Höhe N m und dem Grundradius R m über den Rand zu pumpen (Abb. 13).

Die Arbeit, die aufgewendet wird, um einen Körper mit dem Gewicht p auf eine Höhe h zu heben, ist gleich p N. Die verschiedenen Flüssigkeitsschichten im Tank befinden sich jedoch in unterschiedlichen Tiefen und die Höhe des Anstiegs (bis zum Rand des Tanks) ist unterschiedlich Schichten sind nicht dasselbe.

Um das Problem zu lösen, wenden wir Schema II (Differentialmethode) an. Lassen Sie uns ein Koordinatensystem einführen.

1) Die Arbeit, die zum Abpumpen einer Flüssigkeitsschicht der Dicke x (0 ≤ x ≤ H) aus einem Reservoir aufgewendet wird, ist eine Funktion von x, d. h. A = A(x), wobei (0 ≤ x ≤ H) (A(0) = 0, A(H) = A 0).

2) Finden Sie den Hauptteil des Inkrements ΔA, wenn sich x um den Betrag Δx = dx ändert, d. h. Wir finden das Differential dA der Funktion A(x).

Aufgrund der Kleinheit von dx gehen wir davon aus, dass sich die „elementare“ Flüssigkeitsschicht in der gleichen Tiefe x (vom Rand des Reservoirs) befindet. Dann ist dA = dðх, wobei dð das Gewicht dieser Schicht ist; es ist gleich g АV, wobei g die Erdbeschleunigung ist, die Dichte der Flüssigkeit ist, dv das Volumen der „elementaren“ Flüssigkeitsschicht ist (in der Abbildung hervorgehoben), d. h. dð = g. Das Volumen der angegebenen Flüssigkeitsschicht ist offensichtlich gleich , wobei dx die Höhe des Zylinders (der Schicht) und die Fläche seiner Basis ist, d. h. dv = .

Somit ist dð = . Und

3) Integrieren wir die resultierende Gleichheit im Bereich von x = 0 bis x = H, finden wir

A

8. Berechnung von Integralen mit dem MathCAD-Paket

Bei der Lösung einiger angewandter Probleme ist es notwendig, die Operation der symbolischen Integration zu verwenden. In diesem Fall kann das MathCad-Programm sowohl in der Anfangsphase (es ist gut, die Antwort im Voraus zu kennen oder zu wissen, dass sie existiert) als auch in der Endphase (es ist gut, das Ergebnis anhand einer Antwort aus einer anderen Quelle zu überprüfen) nützlich sein die Lösung einer anderen Person).

Beim Lösen einer großen Anzahl von Problemen können Sie einige Besonderheiten beim Lösen von Problemen mit dem MathCad-Programm bemerken. Versuchen wir anhand einiger Beispiele zu verstehen, wie dieses Programm funktioniert, analysieren wir die mit seiner Hilfe erhaltenen Lösungen und vergleichen wir diese Lösungen mit Lösungen, die mit anderen Methoden erhalten wurden.

Die Hauptprobleme bei der Verwendung des MathCad-Programms sind folgende:

a) das Programm gibt die Antwort nicht in Form bekannter Elementarfunktionen, sondern in Form spezieller Funktionen, die nicht jedem bekannt sind;

b) in manchen Fällen „verweigert“ eine Antwort, obwohl es eine Lösung für das Problem gibt;

c) Manchmal ist es aufgrund seiner Umständlichkeit unmöglich, das erhaltene Ergebnis zu verwenden;

d) das Problem nicht vollständig löst und die Lösung nicht analysiert.

Um diese Probleme zu lösen, ist es notwendig, die Stärken und Schwächen des Programms auszunutzen.

Mit seiner Hilfe ist es einfach und unkompliziert, Integrale gebrochener rationaler Funktionen zu berechnen. Daher wird empfohlen, die Variablenersetzungsmethode zu verwenden, d. h. Bereiten Sie das Integral für die Lösung vor. Für diese Zwecke können die oben diskutierten Substitutionen verwendet werden. Es ist auch zu berücksichtigen, dass die erhaltenen Ergebnisse auf die Übereinstimmung der Definitionsbereiche der ursprünglichen Funktion und des erhaltenen Ergebnisses untersucht werden müssen. Darüber hinaus erfordern einige der erhaltenen Lösungen zusätzliche Forschung.

Das MathCad-Programm befreit den Studenten oder Forscher von Routinearbeiten, kann ihn jedoch nicht von zusätzlichen Analysen befreien, sowohl bei der Problemstellung als auch bei der Erzielung etwaiger Ergebnisse.

In diesem Artikel wurden die wichtigsten Bestimmungen im Zusammenhang mit der Untersuchung von Anwendungen eines bestimmten Integrals in einem Mathematikkurs untersucht.

– Es wurde eine Analyse der theoretischen Grundlagen zur Lösung von Integralen durchgeführt.

– Das Material wurde systematisiert und verallgemeinert.

Im Rahmen der Absolvierung der Studienarbeit wurden Beispiele praktischer Probleme aus den Bereichen Physik, Geometrie und Mechanik berücksichtigt.

Abschluss

Die oben besprochenen Beispiele praktischer Probleme geben uns eine klare Vorstellung von der Bedeutung des bestimmten Integrals für ihre Lösbarkeit.

Es ist schwierig, ein wissenschaftliches Gebiet zu nennen, in dem die Methoden der Integralrechnung im Allgemeinen und die Eigenschaften des bestimmten Integrals im Besonderen nicht angewendet würden. Deshalb haben wir im Rahmen der Abschlussarbeit Beispiele praktischer Probleme aus den Bereichen Physik, Geometrie, Mechanik, Biologie und Wirtschaftswissenschaften untersucht. Natürlich ist dies keine erschöpfende Liste von Wissenschaften, die die Integralmethode verwenden, um bei der Lösung eines bestimmten Problems und der Feststellung theoretischer Fakten nach einem etablierten Wert zu suchen.

Das bestimmte Integral wird auch zum Studium der Mathematik selbst verwendet. Beispielsweise beim Lösen von Differentialgleichungen, die wiederum einen unersetzlichen Beitrag zur Lösung praktischer Probleme leisten. Wir können sagen, dass ein bestimmtes Integral eine gewisse Grundlage für das Studium der Mathematik darstellt. Daher ist es wichtig zu wissen, wie man sie löst.

Aus alledem wird deutlich, warum die Bekanntschaft mit dem bestimmten Integral im Rahmen der weiterführenden Schule erfolgt, wo die Schüler nicht nur das Konzept des Integrals und seine Eigenschaften, sondern auch einige seiner Anwendungen studieren.

Literatur

1. Volkov E.A. Numerische Methoden. M., Nauka, 1988.

2. Piskunov N.S. Differential- und Integralrechnung. M., Integral-Press, 2004. T. 1.

3. Shipachev V.S. Höhere Mathematik. M., Höhere Schule, 1990.

Grüße, liebe Studierende der Universität Argemona!

Heute werden wir weiterhin lernen, wie man Objekte materialisiert. Beim letzten Mal haben wir flache Figuren gedreht und volumetrische Körper erhalten. Einige davon sind sehr verlockend und nützlich. Ich denke, dass vieles von dem, was ein Zauberer erfindet, in der Zukunft verwendet werden kann.

Heute werden wir Kurven drehen. Es ist klar, dass wir auf diese Weise ein Objekt mit sehr dünnen Kanten erhalten können (einen Kegel oder eine Flasche für Zaubertränke, eine Blumenvase, ein Glas für Getränke usw.), da eine rotierende Kurve genau diese Art von Objekten erzeugen kann. Mit anderen Worten: Durch Drehen der Kurve können wir eine Art Oberfläche erhalten – ob allseitig geschlossen oder nicht. Warum fiel mir gerade jetzt der undichte Becher ein, aus dem Sir Shurf Lonley-Lokley immer trank?

Wir erstellen also eine Schüssel mit Löchern und eine Schüssel ohne Löcher und berechnen die Fläche der erstellten Oberfläche. Ich denke, dass es (die Oberfläche im Allgemeinen) für etwas benötigt wird – zumindest zum Auftragen spezieller Zauberfarbe. Andererseits kann es erforderlich sein, die Bereiche magischer Artefakte zu berechnen, um die auf sie ausgeübten magischen Kräfte oder etwas anderes zu berechnen. Wir werden lernen, es zu finden, und wir werden herausfinden, wo wir es anwenden können.

Ein Stück einer Parabel kann uns also die Form einer Schüssel geben. Nehmen wir das einfachste y=x 2 im Intervall. Man erkennt, dass man, wenn man es um die OY-Achse dreht, nur eine Schüssel erhält. Kein Boden.

Der Zauberspruch zur Berechnung der Rotationsfläche lautet wie folgt:

Hier |y| ist der Abstand von der Drehachse zu jedem Punkt auf der Kurve, der sich dreht. Wie Sie wissen, ist der Abstand eine Senkrechte.
Etwas schwieriger wird es mit dem zweiten Element des Zaubers: ds ist das Bogendifferential. Diese Worte geben uns nichts, also machen wir uns nicht die Mühe, sondern gehen wir zur Sprache der Formeln über, wo dieser Unterschied für alle uns bekannten Fälle klar dargestellt wird:
- Kartesisches Koordinatensystem;
- Aufzeichnen der Kurve in parametrischer Form;
- Polarkoordinatensystem.

In unserem Fall beträgt der Abstand von der Rotationsachse zu jedem Punkt auf der Kurve x. Wir berechnen die Oberfläche der resultierenden löchrigen Schüssel:

Um eine Schüssel mit Boden herzustellen, müssen Sie ein weiteres Stück nehmen, jedoch mit einer anderen Kurve: Auf dem Intervall ist dies die Linie y=1.

Es ist klar, dass der Boden der Schüssel bei einer Drehung um die OY-Achse die Form eines Kreises mit einem Einheitsradius hat. Und wir wissen, wie die Fläche eines Kreises berechnet wird (mit der Formel pi*r^2. In unserem Fall ist die Fläche des Kreises gleich pi), aber berechnen wir sie mit einer neuen Formel – zu überprüfen.
Der Abstand von der Drehachse zu jedem Punkt dieses Kurvenstücks ist ebenfalls gleich x.

Nun, unsere Berechnungen sind korrekt, was eine gute Nachricht ist.

Und jetzt Hausaufgaben.

1. Finden Sie die Oberfläche, die Sie erhalten, indem Sie die gestrichelte Linie ABC, wobei A=(1; 5), B=(1; 2), C=(6; 2), um die OX-Achse drehen.
Beratung. Notieren Sie alle Segmente in parametrischer Form.
AB: x=1, y=t, 2≤t≤5
BC: x=t, y=2, 1≤t≤6
Wie sieht übrigens das resultierende Objekt aus?

2. Nun, lassen Sie sich jetzt selbst etwas einfallen. Ich denke, drei Artikel werden ausreichen.

Rotationsfläche- eine Fläche, die durch Drehung einer beliebigen Linie (gerade, flache oder räumliche Kurve) um eine Gerade (Flächenachse) entsteht. Wenn beispielsweise eine gerade Linie die Rotationsachse schneidet, erhält man bei ihrer Drehung eine konische Oberfläche; wenn sie parallel zur Achse ist, wird sie zylindrisch sein, wenn sie die Achse schneidet, ein einblättriges Hyperboloid Revolution wird erreicht. Die gleiche Oberfläche kann durch Drehen verschiedenster Kurven erhalten werden. Die Fläche der Rotationsfläche, die durch die Drehung einer ebenen Kurve endlicher Länge um eine Achse gebildet wird, die in der Ebene der Kurve liegt, die Kurve aber nicht schneidet, ist gleich dem Produkt aus der Länge der Kurve und der Länge von ein Kreis mit einem Radius, der dem Abstand von der Achse zum Massenmittelpunkt der Kurve entspricht. Diese Aussage wird Gyldens zweiter Satz oder Pappus‘ Schwerpunktsatz genannt.

Die Fläche der Rotationsfläche, die durch die Drehung einer Kurve um eine Achse entsteht, lässt sich mit der Formel berechnen

Für den Fall, dass die Kurve im Polarkoordinatensystem angegeben ist, gilt die Formel

Mechanische Anwendungen des bestimmten Integrals (Kräftearbeit, statische Momente, Schwerpunkt).

Berechnung der Kräftearbeit

Ein materieller Punkt bewegt sich entlang einer stetig differenzierbaren Kurve, während auf ihn eine Kraft einwirkt, die tangential zur Flugbahn in Bewegungsrichtung gerichtet ist. Gesamtarbeit der Kraft F(s):

Wenn die Position eines Punktes auf der Bewegungsbahn durch einen anderen Parameter beschrieben wird, hat die Formel die Form:

Berechnung statischer Momente und Schwerpunkt
Auf der Koordinatenebene Oxy sei eine Masse M mit der Dichte p = p(y) auf einer bestimmten Punktmenge S verteilt (dies kann ein Kurvenbogen oder eine begrenzte flache Figur sein). Bezeichnen wir s(y) – das Maß der angegebenen Menge (Bogenlänge oder Fläche).

Definition 2. Zahl heißt das k-te Moment der Masse M relativ zur Ox-Achse.
Bei k = 0 M 0 = M - Masse,
k = 1 M 1 - statisches Moment,
k = 2 M 2 - Trägheitsmoment.

In ähnlicher Weise werden Momente um die Oy-Achse eingeführt. Im Raum werden die Konzepte der Massenmomente relativ zu Koordinatenebenen auf ähnliche Weise eingeführt.
Wenn p = 1, dann heißen die entsprechenden Momente geometrisch. Die Koordinaten des Schwerpunkts einer homogenen (p - const) flachen Figur werden durch die Formeln bestimmt:

wobei M 1 y, M 1 x die geometrischen statischen Momente der Figur relativ zu den Oy- und Ox-Achsen sind; S ist die Fläche der Figur.

Wenn die Kurve durch parametrische Gleichungen gegeben ist, wird die Oberfläche, die man durch Drehen dieser Kurve um die Achse erhält, durch die Formel berechnet . In diesem Fall ist die „Zeichnungsrichtung“ der Linie, über die in dem Artikel so viele Kopien gebrochen wurden, gleichgültig. Aber wie im vorherigen Absatz ist es wichtig, dass die Kurve lokalisiert wird höher Abszissenachse - andernfalls nimmt die Funktion „Verantwortlich für die Spiele“ negative Werte an und Sie müssen ein „Minus“-Zeichen vor das Integral setzen.

Beispiel 3

Berechnen Sie die Fläche einer Kugel, die Sie durch Drehen eines Kreises um die Achse erhalten.

Lösung: aus dem Artikel über Fläche und Volumen für eine parametrisch definierte Linie Sie wissen, dass die Gleichungen einen Kreis definieren, dessen Mittelpunkt im Ursprung des Radius 3 liegt.

Also Kugel , für diejenigen, die es vergessen haben, das ist die Oberfläche Ball(oder sphärische Oberfläche).

Wir halten uns an das etablierte Lösungsschema. Lassen Sie uns Derivate finden:

Lassen Sie uns die „Formel“-Wurzel zusammenstellen und vereinfachen:

Unnötig zu erwähnen, dass es sich um Süßigkeiten handelte. Schauen Sie sich zum Vergleich an, wie Fichtenholtz mit der Gegend zusammenstieß Ellipsoid der Revolution.

Gemäß der theoretischen Bemerkung betrachten wir den oberen Halbkreis. Es wird „gezeichnet“, wenn sich der Parameterwert innerhalb der Grenzen ändert (das ist leicht zu erkennen). in diesem Intervall), also:

Antwort:

Wenn Sie das Problem in allgemeiner Form lösen, erhalten Sie genau die Schulformel für die Fläche einer Kugel, wo ihr Radius ist.

Es war eine so schmerzlich einfache Aufgabe, dass ich mich sogar schämte ... Ich schlage vor, dass Sie diesen Fehler beheben =)

Beispiel 4

Berechnen Sie die Oberfläche, die Sie durch Drehen des ersten Bogens der Zykloide um die Achse erhalten.

Die Aufgabe ist kreativ. Versuchen Sie, die Formel zur Berechnung der Oberfläche abzuleiten oder intuitiv zu erraten, die Sie durch Drehen einer Kurve um die Ordinatenachse erhalten. Und natürlich ist auch hier der Vorteil parametrischer Gleichungen zu beachten: Sie müssen in keiner Weise geändert werden; Es besteht keine Notwendigkeit, sich um die Suche nach anderen Integrationsgrenzen zu kümmern.

Das Zykloidendiagramm kann auf der Seite angezeigt werden Fläche und Volumen, wenn die Linie parametrisch angegeben wird. Die Oberfläche der Rotation wird … ich weiß nicht einmal, womit ich sie vergleichen soll … etwas Unirdischem ähneln – rund, mit einer spitzen Vertiefung in der Mitte. Für den Fall der Drehung einer Zykloide um eine Achse kam mir sofort eine Assoziation in den Sinn – ein länglicher Rugbyball.

Die Lösung und Antwort finden Sie am Ende der Lektion.

Wir schließen unsere faszinierende Rezension mit dem Fall ab Polarkoordinaten. Ja, nur eine Rezension. Wenn Sie sich Lehrbücher zur mathematischen Analyse (Fichtenholtz, Bokhan, Piskunov und andere Autoren) ansehen, können Sie ein gutes Dutzend (oder sogar viel mehr) Standardbeispiele finden, unter denen Sie möglicherweise das für Sie passende Problem finden brauchen.

Wie berechnet man die Rotationsfläche?
wenn die Linie in einem Polarkoordinatensystem angegeben ist?

Wenn die Kurve angegeben ist Polarkoordinaten Gleichung und die Funktion hat eine stetige Ableitung in einem gegebenen Intervall, dann wird die Oberfläche, die man durch Drehen dieser Kurve um die Polarachse erhält, durch die Formel berechnet , wo sind die Winkelwerte, die den Enden der Kurve entsprechen.

Entsprechend der geometrischen Bedeutung des Problems die Integrandenfunktion , und dies wird nur unter der Bedingung erreicht (und sind offensichtlich nicht negativ). Daher ist es notwendig, Winkelwerte aus dem Bereich zu berücksichtigen, mit anderen Worten, die Kurve sollte lokalisiert werden höher Polarachse und ihre Fortsetzung. Wie Sie sehen, die gleiche Geschichte wie in den beiden vorherigen Absätzen.

Beispiel 5

Berechnen Sie die Oberfläche, die durch Drehen der Niere um die Polachse entsteht.

Lösung: Der Graph dieser Kurve ist in Beispiel 6 der Lektion über zu sehen Polarkoordinatensystem. Die Niere ist symmetrisch zur Polachse, daher betrachten wir ihre obere Hälfte im Intervall (was tatsächlich auf die obige Bemerkung zurückzuführen ist).

Die Rotationsfläche ähnelt einem Bullauge.

Die Lösungstechnik ist Standard. Finden wir die Ableitung nach „phi“:

Lassen Sie uns die Wurzel zusammenstellen und vereinfachen:

Ich hoffe mit regelmäßig trigonometrische Formeln niemand hatte irgendwelche Schwierigkeiten.

Wir verwenden die Formel:

Dazwischen , deshalb: (Ich habe im Artikel ausführlich darüber gesprochen, wie man die Wurzel richtig entfernt Kurvenbogenlänge).

Antwort:

Eine interessante und kurze Aufgabe, die Sie selbst lösen können:

Beispiel 6

Berechnen Sie die Fläche des Kugelgürtels,

Was ist ein Ballgürtel? Legen Sie eine runde, ungeschälte Orange auf den Tisch und nehmen Sie ein Messer zur Hand. Machen Sie zwei parallel schneiden und dabei die Frucht in 3 Teile beliebiger Größe teilen. Nehmen Sie nun die Mitte, an der auf beiden Seiten saftiges Fruchtfleisch freiliegt. Dieser Körper heißt Kugelschicht, und die ihn begrenzende Oberfläche (Orangenschale) – Ballgürtel.

Leser vertraut mit Polarkoordinaten, wir haben uns leicht eine Zeichnung des Problems präsentiert: Die Gleichung gibt einen Kreis an, dessen Mittelpunkt am Pol des Radius liegt, von dem aus Strahlen abgeschnitten weniger Bogen. Dieser Bogen dreht sich um die Polachse und erzeugt so einen Kugelgürtel.

Jetzt können Sie mit gutem Gewissen und leichtem Herzen eine Orange essen, und mit diesem leckeren Hinweis beenden wir die Lektion, verderben Sie sich nicht den Appetit mit weiteren Beispielen =)

Lösungen und Antworten:

Beispiel 2:Lösung : Berechnen Sie die Oberfläche, die durch die Drehung des oberen Zweigs entsteht um die Abszissenachse. Wir verwenden die Formel .
In diesem Fall: ;

Daher:


Antwort:

Beispiel 4:Lösung : Verwenden Sie die Formel . Der erste Bogen der Zykloide wird auf dem Segment definiert .
Lassen Sie uns Derivate finden:

Lassen Sie uns die Wurzel zusammenstellen und vereinfachen:

Somit beträgt die Rotationsfläche:

Dazwischen , Deshalb

Erstes Integralnach Teilen integrieren :

Im zweiten Integral verwenden wirtrigonometrische Formel .


Antwort:

Beispiel 6:Lösung : Verwenden Sie die Formel:


Antwort:

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So berechnen Sie ein bestimmtes Integral
mit der Trapezformel und der Simpson-Methode?

Numerische Methoden machen einen ziemlich großen Teil der höheren Mathematik aus und seriöse Lehrbücher zu diesem Thema umfassen Hunderte von Seiten. In der Praxis wird in Testarbeiten traditionell vorgeschlagen, einige Probleme mithilfe numerischer Methoden zu lösen, und eines der häufigsten Probleme ist die Näherungsberechnung bestimmte Integrale. In diesem Artikel werde ich zwei Methoden zur näherungsweisen Berechnung des bestimmten Integrals betrachten: Trapezmethode Und Simpson-Methode.

Was müssen Sie wissen, um diese Methoden zu beherrschen? Es mag lustig klingen, aber Sie können möglicherweise überhaupt keine Integrale bilden. Und Sie verstehen nicht einmal, was Integrale sind. Aus technischen Gründen benötigen Sie einen Mikrorechner. Ja, ja, es erwarten uns routinemäßige Schulberechnungen. Noch besser: Laden Sie meine herunter halbautomatischer Rechner für die Trapezmethode und die Simpson-Methode. Der Rechner ist in Excel geschrieben und verkürzt den Zeitaufwand für die Lösung und Erledigung von Problemen um das Zehnfache. Für Excel-Dummies liegt eine Videoanleitung bei! Übrigens die erste Videoaufnahme mit meiner Stimme.

Stellen wir uns zunächst die Frage: Warum brauchen wir überhaupt Näherungsberechnungen? Es scheint, dass Sie die Stammfunktion der Funktion finden und die Newton-Leibniz-Formel verwenden können, um den genauen Wert des bestimmten Integrals zu berechnen. Um die Frage zu beantworten, schauen wir uns gleich ein Demo-Beispiel mit Bild an.

Bestimmtes Integral berechnen

Alles wäre in Ordnung, aber in diesem Beispiel wird das Integral nicht genommen – vor Ihnen liegt ein nicht genommenes Integral, das sogenannte Integraler Logarithmus. Existiert dieses Integral überhaupt? Lassen Sie uns in der Zeichnung den Graphen der Integrandenfunktion darstellen:

Alles ist in Ordnung. Integrand kontinuierlich auf dem Segment und das bestimmte Integral ist numerisch gleich der schattierten Fläche. Es gibt nur einen Haken: Das Integral kann nicht gebildet werden. Und in solchen Fällen helfen numerische Methoden. In diesem Fall tritt das Problem in zwei Formulierungen auf:

1) Berechnen Sie näherungsweise das bestimmte Integral , wobei das Ergebnis auf eine bestimmte Dezimalstelle gerundet wird. Zum Beispiel bis zu zwei Dezimalstellen, bis zu drei Dezimalstellen usw. Nehmen wir an, die ungefähre Antwort ist 5,347. Tatsächlich ist es möglicherweise nicht ganz richtig (in Wirklichkeit ist die genauere Antwort beispielsweise 5,343). Unsere Aufgabe ist nur das um das Ergebnis auf drei Dezimalstellen zu runden.

2) Berechnen Sie das bestimmte Integral näherungsweise, mit einer gewissen Genauigkeit. Berechnen Sie beispielsweise ein bestimmtes Integral näherungsweise mit einer Genauigkeit von 0,001. Was bedeutet es? Das heißt, wenn die ungefähre Antwort 5,347 ist, dann Alle Die Zahlen müssen aus Stahlbeton bestehen richtig. Genauer gesagt sollte die Antwort 5,347 im absoluten Wert (in die eine oder andere Richtung) um nicht mehr als 0,001 von der Wahrheit abweichen.

Es gibt mehrere grundlegende Methoden zur näherungsweisen Berechnung des bestimmten Integrals, das bei Problemen auftritt:

Rechteckmethode. Das Integrationssegment wird in mehrere Teile unterteilt und eine Stufenfigur erstellt ( Histogramm), dessen Fläche nahe an der gewünschten Fläche liegt:

Beurteilen Sie nicht streng nach den Zeichnungen, die Genauigkeit ist nicht ideal – sie helfen nur, das Wesentliche der Methoden zu verstehen.

In diesem Beispiel ist das Integrationssegment in drei Segmente unterteilt:
. Offensichtlich ist die Genauigkeit umso höher, je häufiger die Partitionierung erfolgt (mehr kleinere Zwischensegmente). Die Rechteckmethode liefert eine grobe Näherung der Fläche, weshalb sie in der Praxis offenbar sehr selten anzutreffen ist (ich erinnere mich nur an ein praktisches Beispiel). In diesem Zusammenhang werde ich die Rechteckmethode nicht berücksichtigen und nicht einmal eine einfache Formel angeben. Nicht weil ich faul bin, sondern wegen des Prinzips meines Arbeitsbuchs: Was bei praktischen Problemen äußerst selten vorkommt, wird nicht berücksichtigt.

Trapezmethode. Die Idee ist ähnlich. Das Integrationssegment wird in mehrere Zwischensegmente unterteilt und der Graph der Integrandenfunktion nähert sich an gestrichelte Linie Linie:

Somit wird unsere Fläche (blaue Schattierung) durch die Summe der Flächen der Trapeze (rot) angenähert. Daher der Name der Methode. Es ist leicht zu erkennen, dass die Trapezmethode eine viel bessere Näherung liefert als die Rechteckmethode (bei gleicher Anzahl an Partitionssegmenten). Und natürlich ist die Genauigkeit umso höher, je mehr kleinere Zwischensegmente wir berücksichtigen. Die Trapezmethode findet sich von Zeit zu Zeit in praktischen Aufgaben, und in diesem Artikel werden einige Beispiele besprochen.

Simpson-Methode (Parabelmethode). Dies ist eine fortgeschrittenere Methode – der Graph des Integranden wird nicht durch eine gestrichelte Linie, sondern durch kleine Parabeln angenähert. Es gibt ebenso viele kleine Parabeln wie Zwischensegmente. Wenn wir die gleichen drei Segmente nehmen, liefert die Simpson-Methode eine noch genauere Näherung als die Rechteckmethode oder die Trapezmethode.

Ich sehe keinen Sinn darin, eine Zeichnung zu erstellen, da die visuelle Annäherung dem Diagramm der Funktion überlagert wird (die gestrichelte Linie des vorherigen Absatzes – und selbst dann fiel sie fast zusammen).

Das Problem der Berechnung eines bestimmten Integrals mit der Simpson-Formel ist in der Praxis die beliebteste Aufgabe. Und der Parabelmethode wird große Aufmerksamkeit gewidmet.