Eine der wichtigsten Aufgaben der Differentialrechnung ist die Entwicklung allgemeiner Beispiele für die Untersuchung des Verhaltens von Funktionen.

Wenn die Funktion y=f(x) im Intervall stetig ist und ihre Ableitung im Intervall (a,b) positiv oder gleich 0 ist, dann erhöht sich y=f(x) um (f"(x)0) . Wenn die Funktion y=f (x) auf dem Segment stetig ist und ihre Ableitung auf dem Intervall (a,b) negativ oder gleich 0 ist, dann nimmt y=f(x) um (f"(x)0 ab )

Intervalle, in denen die Funktion nicht abnimmt oder zunimmt, werden als Intervalle der Monotonie der Funktion bezeichnet. Die Natur der Monotonie einer Funktion kann sich nur an den Punkten ihres Definitionsbereichs ändern, an denen sich das Vorzeichen der ersten Ableitung ändert. Die Punkte, an denen die erste Ableitung einer Funktion verschwindet oder eine Diskontinuität aufweist, werden als kritisch bezeichnet.

Satz 1 (1. hinreichende Bedingung für die Existenz eines Extremums).

Die Funktion y=f(x) sei am Punkt x 0 definiert und es gebe eine Umgebung δ>0, so dass die Funktion im Intervall stetig und im Intervall (x 0 -δ,x 0) differenzierbar ist.u( x 0 , x 0 +δ) und seine Ableitung behält in jedem dieser Intervalle ein konstantes Vorzeichen. Wenn dann auf x 0 -δ,x 0) und (x 0 , x 0 +δ) die Vorzeichen der Ableitung unterschiedlich sind, dann ist x 0 ein Extrempunkt, und wenn sie zusammenfallen, dann ist x 0 kein Extrempunkt . Wenn außerdem beim Durchgang durch den Punkt x0 die Ableitung das Vorzeichen von Plus nach Minus ändert (links von x 0 ist f"(x)>0 erfüllt, dann ist x 0 der maximale Punkt; wenn die Ableitung das Vorzeichen von ändert Minus nach Plus (rechts von x 0 ausgeführt f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Die Maximal- und Minimalpunkte werden als Extrempunkte der Funktion bezeichnet, und das Maximum und Minimum der Funktion werden als ihre Extremwerte bezeichnet.

Satz 2 (ein notwendiges Zeichen eines lokalen Extremums).

Wenn die Funktion y=f(x) beim aktuellen x=x 0 ein Extremum hat, dann existiert entweder f’(x 0)=0 oder f’(x 0) nicht.
An den Extrempunkten der differenzierbaren Funktion verläuft die Tangente an ihren Graphen parallel zur Ox-Achse.

Algorithmus zur Untersuchung einer Funktion für ein Extremum:

1) Finden Sie die Ableitung der Funktion.
2) Kritische Punkte finden, d.h. Punkte, an denen die Funktion stetig ist und die Ableitung Null ist oder nicht existiert.
3) Betrachten Sie die Umgebung jedes Punktes und untersuchen Sie das Vorzeichen der Ableitung links und rechts von diesem Punkt.
4) Bestimmen Sie die Koordinaten der Extrempunkte; setzen Sie dazu die Werte der kritischen Punkte in diese Funktion ein. Ziehen Sie unter Verwendung ausreichender Bedingungen für das Extremum die entsprechenden Schlussfolgerungen.

Beispiel 18. Untersuchen Sie die Funktion y=x 3 -9x 2 +24x auf Extremum

Lösung.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Wenn wir die Ableitung mit Null gleichsetzen, finden wir x 1 =2, x 2 =4. In diesem Fall ist die Ableitung überall definiert; Das bedeutet, dass es außer den beiden gefundenen Punkten keine weiteren kritischen Punkte gibt.
3) Das Vorzeichen der Ableitung y"=3(x-2)(x-4) ändert sich je nach Intervall, wie in Abbildung 1 dargestellt. Beim Durchgang durch den Punkt x=2 ändert die Ableitung ihr Vorzeichen von Plus nach Minus. und beim Durchgang durch den Punkt x=4 - von Minus nach Plus.
4) Am Punkt x=2 hat die Funktion ein Maximum y max =20 und am Punkt x=4 - ein Minimum y min =16.

Satz 3. (2. hinreichende Bedingung für die Existenz eines Extremums).

Sei f"(x 0) und am Punkt x 0 existiert f""(x 0). Wenn dann f""(x 0)>0, dann ist x 0 der Minimalpunkt, und wenn f""(x 0)<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Auf einem Segment kann die Funktion y=f(x) entweder an den im Intervall (a;b) liegenden kritischen Punkten der Funktion den kleinsten (y der kleinste) oder den größten (y der höchste) Wert erreichen die Enden des Segments.

Algorithmus zum Ermitteln der größten und kleinsten Werte einer stetigen Funktion y=f(x) auf dem Segment:

1) Finden Sie f"(x).
2) Finden Sie die Punkte, an denen f"(x)=0 oder f"(x) nicht existiert, und wählen Sie daraus diejenigen aus, die innerhalb des Segments liegen.
3) Berechnen Sie den Wert der Funktion y=f(x) an den in Schritt 2) erhaltenen Punkten sowie an den Enden des Segments und wählen Sie den größten und den kleinsten aus ihnen aus: Sie sind jeweils die größten (y der größte) und der kleinste (y der kleinste) Wert der Funktion im Intervall.

Beispiel 19. Finden Sie den größten Wert der stetigen Funktion y=x 3 -3x 2 -45+225 auf dem Segment.

1) Wir haben y"=3x 2 -6x-45 auf dem Segment
2) Die Ableitung y" existiert für alle x. Suchen wir die Punkte, an denen y"=0; wir bekommen:
3x 2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 =-3; x 2 =5
3) Berechnen Sie den Wert der Funktion an den Punkten x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Das Segment enthält nur den Punkt x=5. Der größte der gefundenen Werte der Funktion ist 225 und der kleinste ist die Zahl 50. Also, y max = 225, y min = 50.

Untersuchung einer Funktion auf Konvexität

Die Abbildung zeigt Diagramme zweier Funktionen. Der erste von ihnen ist nach oben konvex, der zweite nach unten.

Die Funktion y=f(x), die auf der Strecke stetig und im Intervall (a;b) differenzierbar ist, heißt auf dieser Strecke konvex nach oben (nach unten), wenn ihr Graph für axb nicht höher (nicht tiefer) als liegt Tangente, die an einem beliebigen Punkt M 0 (x 0 ;f(x 0)) gezogen wird, wobei axb.

Satz 4. Die Funktion y=f(x) habe an jedem inneren Punkt x des Segments eine zweite Ableitung und sei an den Enden dieses Segments stetig. Wenn dann die Ungleichung f""(x)0 auf dem Intervall (a;b) gilt, dann ist die Funktion auf dem Intervall nach unten konvex; gilt die Ungleichung f""(x)0 für das Intervall (a;b), dann ist die Funktion aufwärts konvex.

Satz 5. Wenn die Funktion y=f(x) eine zweite Ableitung auf dem Intervall (a;b) hat und wenn sie beim Durchgang durch den Punkt x 0 das Vorzeichen ändert, dann ist M(x 0 ;f(x 0)). ein Wendepunkt.

Regel zum Finden von Wendepunkten:

1) Finden Sie die Punkte, an denen f""(x) nicht existiert oder verschwindet.
2) Untersuchen Sie das Zeichen f""(x) links und rechts von jedem im ersten Schritt gefundenen Punkt.
3) Ziehen Sie basierend auf Satz 4 eine Schlussfolgerung.

Beispiel 20. Finden Sie die Extrempunkte und Wendepunkte des Graphen der Funktion y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Wir haben f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Offensichtlich ist f"(x)=0, wenn x 1 =0, x 2 =1. Beim Durchgang durch den Punkt x=0 ändert die Ableitung das Vorzeichen von Minus nach Plus, beim Durchgang durch den Punkt x=1 ändert sie das Vorzeichen jedoch nicht. Das bedeutet, dass x=0 der Minimalpunkt ist (y min =12) und es am Punkt x=1 kein Extremum gibt. Als nächstes finden wir . Die zweite Ableitung verschwindet an den Punkten x 1 =1, x 2 =1/3. Die Vorzeichen der zweiten Ableitung ändern sich wie folgt: Auf dem Strahl (-∞;) gilt f""(x)>0, auf dem Intervall (;1) gilt f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Daher ist x= der Wendepunkt des Funktionsgraphen (Übergang von der Konvexität nach unten zur Konvexität nach oben) und x=1 ist auch der Wendepunkt (Übergang von der Konvexität nach oben zur Konvexität nach unten). Wenn x=, dann y=; wenn, dann x=1, y=13.

Algorithmus zum Finden der Asymptote eines Graphen

I. Wenn y=f(x) für x → a, dann ist x=a eine vertikale Asymptote.
II. Wenn y=f(x) für x → ∞ oder x → -∞, dann ist y=A eine horizontale Asymptote.
III. Um die schräge Asymptote zu finden, verwenden wir den folgenden Algorithmus:
1) Berechnen. Wenn der Grenzwert existiert und gleich b ist, dann ist y=b eine horizontale Asymptote; Wenn ja, fahren Sie mit dem zweiten Schritt fort.
2) Berechnen. Wenn dieser Grenzwert nicht existiert, gibt es keine Asymptote; Wenn es existiert und gleich k ist, fahren Sie mit dem dritten Schritt fort.
3) Berechnen. Wenn dieser Grenzwert nicht existiert, gibt es keine Asymptote; Wenn es existiert und gleich b ist, fahren Sie mit dem vierten Schritt fort.
4) Schreiben Sie die Gleichung der schrägen Asymptote y=kx+b auf.

Beispiel 21: Finden Sie die Asymptote für eine Funktion

1)
2)
3)
4) Die Gleichung der schiefen Asymptote hat die Form

Schema zum Studieren einer Funktion und zum Erstellen ihres Graphen

I. Finden Sie den Definitionsbereich der Funktion.
II. Finden Sie die Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit den Koordinatenachsen.
III. Finden Sie Asymptoten.
IV. Finden Sie mögliche Extrempunkte.
V. Finden Sie kritische Punkte.
VI. Untersuchen Sie anhand der Hilfsfigur das Vorzeichen der ersten und zweiten Ableitung. Bestimmen Sie die Anstiegs- und Abfallbereiche der Funktion, ermitteln Sie die Konvexitätsrichtung des Diagramms, Extrempunkte und Wendepunkte.
VII. Erstellen Sie ein Diagramm und berücksichtigen Sie dabei die in den Absätzen 1–6 durchgeführten Untersuchungen.

Beispiel 22: Konstruieren Sie einen Graphen der Funktion gemäß dem obigen Diagramm

Lösung.
I. Der Definitionsbereich einer Funktion ist die Menge aller reellen Zahlen außer x=1.
II. Da die Gleichung x 2 +1=0 keine echten Wurzeln hat, hat der Graph der Funktion keine Schnittpunkte mit der Ox-Achse, sondern schneidet die Oy-Achse im Punkt (0;-1).
III. Lassen Sie uns die Frage nach der Existenz von Asymptoten klären. Lassen Sie uns das Verhalten der Funktion in der Nähe des Diskontinuitätspunkts x=1 untersuchen. Da y → ∞ wie x → -∞, y → +∞ wie x → 1+, dann ist die Gerade x=1 die vertikale Asymptote des Graphen der Funktion.
Wenn x → +∞(x → -∞), dann y → +∞(y → -∞); Daher hat der Graph keine horizontale Asymptote. Weiter aus der Existenz von Grenzen

Wenn wir die Gleichung x 2 -2x-1=0 lösen, erhalten wir zwei mögliche Extrempunkte:
x 1 =1-√2 und x 2 =1+√2

V. Um die kritischen Punkte zu finden, berechnen wir die zweite Ableitung:

Da f""(x) nicht verschwindet, gibt es keine kritischen Punkte.
VI. Untersuchen wir das Vorzeichen der ersten und zweiten Ableitung. Mögliche zu berücksichtigende Extrempunkte: x 1 =1-√2 und x 2 =1+√2, teilen Sie den Existenzbereich der Funktion in Intervalle (-∞;1-√2),(1-√2;1 +√2) und (1+√2;+∞).

In jedem dieser Intervalle behält die Ableitung ihr Vorzeichen: im ersten - Plus, im zweiten - Minus, im dritten - Plus. Die Vorzeichenfolge der ersten Ableitung wird wie folgt geschrieben: +,-,+.
Wir stellen fest, dass die Funktion bei (-∞;1-√2) zunimmt, bei (1-√2;1+√2) abnimmt und bei (1+√2;+∞) wieder zunimmt. Extrempunkte: Maximum bei x=1-√2 und f(1-√2)=2-2√2 Minimum bei x=1+√2 und f(1+√2)=2+2√2. Bei (-∞;1) ist der Graph nach oben konvex und bei (1;+∞) nach unten konvex.
VII Lassen Sie uns eine Tabelle der erhaltenen Werte erstellen

VIII Basierend auf den erhaltenen Daten erstellen wir eine Skizze des Funktionsgraphen

Um die Funktion vollständig zu studieren und ihren Graphen darzustellen, wird das folgende Schema empfohlen:
A) Finden Sie den Definitionsbereich und die Haltepunkte. Untersuchen Sie das Verhalten einer Funktion in der Nähe von Diskontinuitätspunkten (finden Sie die Grenzen der Funktion links und rechts an diesen Punkten). Geben Sie die vertikalen Asymptoten an.
B) Bestimmen Sie, ob eine Funktion gerade oder ungerade ist, und schließen Sie daraus, dass Symmetrie vorliegt. Wenn , dann ist die Funktion gerade und symmetrisch um die OY-Achse; wenn die Funktion ungerade ist, symmetrisch zum Ursprung; und if ist eine Funktion der allgemeinen Form.
C) Finden Sie die Schnittpunkte der Funktion mit den Koordinatenachsen OY und OX (falls möglich) und bestimmen Sie die Intervalle mit konstantem Vorzeichen der Funktion. Die Grenzen von Intervallen mit konstantem Vorzeichen einer Funktion werden durch die Punkte bestimmt, an denen die Funktion gleich Null ist (Funktionsnullstellen) oder nicht existiert, und durch die Grenzen des Definitionsbereichs dieser Funktion. In den Intervallen, in denen sich der Graph der Funktion oberhalb der OX-Achse befindet und wo - unterhalb dieser Achse.
D) Finden Sie die erste Ableitung der Funktion, bestimmen Sie ihre Nullstellen und Intervalle mit konstantem Vorzeichen. In Intervallen, in denen die Funktion zunimmt und in denen sie abnimmt. Machen Sie eine Schlussfolgerung über das Vorhandensein von Extrema (Punkte, an denen eine Funktion und eine Ableitung existieren und beim Durchlaufen das Vorzeichen ändern. Wenn sich das Vorzeichen von Plus nach Minus ändert, hat die Funktion an diesem Punkt ein Maximum, und wenn sie von Minus nach Plus wechselt , dann ein Minimum). Finden Sie die Werte der Funktion an den Extrempunkten.
D) Finden Sie die zweite Ableitung, ihre Nullstellen und Intervalle mit konstantem Vorzeichen. In Abständen wo< 0 график функции выпуклый, а где – вогнутый. Сделать заключение о наличии точек перегиба и найти значения функции в этих точках.
E) Finden Sie geneigte (horizontale) Asymptoten, deren Gleichungen die Form haben ; Wo
.
Bei Der Graph der Funktion hat zwei schräge Asymptoten, und jeder Wert von x bei und kann auch zwei Werten von b entsprechen.
G) Finden Sie zusätzliche Punkte zur Verdeutlichung des Diagramms (falls erforderlich) und erstellen Sie ein Diagramm.

Beispiel 1 Erkunden Sie die Funktion und erstellen Sie ihren Graphen. Lösung: A) Definitionsbereich; die Funktion ist in ihrem Definitionsbereich stetig; – Bruchpunkt, weil ;
. Dann – vertikale Asymptote.
B)
diese. y(x) ist eine Funktion allgemeiner Form.
.
C) Finden Sie die Schnittpunkte des Graphen mit der OY-Achse: setze x=0; dann ist y(0)=–1, d.h. Der Graph der Funktion schneidet die Achse im Punkt (0;-1). Nullstellen der Funktion (Schnittpunkte des Graphen mit der OX-Achse): setze y=0; Dann
Die Diskriminante einer quadratischen Gleichung ist kleiner als Null, was bedeutet, dass es keine Nullstellen gibt. Dann ist die Grenze der Intervalle mit konstantem Vorzeichen der Punkt x=1, in dem die Funktion nicht existiert.

Das Vorzeichen der Funktion in jedem der Intervalle wird durch die Methode der Teilwerte bestimmt:
Aus dem Diagramm geht hervor, dass sich der Graph der Funktion im Intervall unter der OX-Achse und im Intervall oberhalb der OX-Achse befindet.
.
D) Wir ermitteln das Vorhandensein kritischer Punkte.

Wir finden kritische Punkte (wo oder nicht vorhanden) aus den Gleichungen und .

Wir erhalten: x1=1, x2=0, x3=2. Lassen Sie uns eine Hilfstabelle erstellen

(Die erste Zeile enthält kritische Punkte und die Intervalle, in die diese Punkte durch die OX-Achse unterteilt sind; die zweite Zeile gibt die Werte der Ableitung an kritischen Punkten und die Vorzeichen auf den Intervallen an. Die Vorzeichen werden durch den Teilwert bestimmt Die dritte Zeile gibt die Werte der Funktion y(x) an kritischen Punkten an und zeigt das Verhalten der Funktion – steigende oder fallende Werte in den entsprechenden Intervallen der numerischen Achse angegeben.
D) Finden Sie die Konvexitäts- und Konkavitätsintervalle der Funktion.
; Erstellen Sie eine Tabelle wie in Punkt D); Erst in der zweiten Zeile schreiben wir die Zeichen auf und in der dritten geben wir die Art der Konvexität an. Weil ; dann ist der kritische Punkt eins x=1.
Tabelle 2

Der Punkt x=1 ist der Wendepunkt.
E) Finden Sie schräge und horizontale Asymptoten

Dann ist y=x eine schiefe Asymptote.
G) Basierend auf den erhaltenen Daten erstellen wir einen Graphen der Funktion

Beispiel2 Führen Sie eine vollständige Untersuchung der Funktion durch und erstellen Sie ihren Graphen. Lösung.

1). Der Umfang der Funktion.
Es ist offensichtlich, dass diese Funktion auf dem gesamten Zahlenstrahl definiert ist, mit Ausnahme der Punkte „“ und „“, weil An diesen Punkten ist der Nenner gleich Null und daher existiert die Funktion nicht, und die Geraden und sind vertikale Asymptoten.

2). Das Verhalten einer Funktion als Argument strebt gegen Unendlich, die Existenz von Diskontinuitätspunkten und die Prüfung auf das Vorhandensein schräger Asymptoten.
Schauen wir uns zunächst an, wie sich die Funktion verhält, wenn sie sich links und rechts der Unendlichkeit nähert.

Wenn die Funktion also gegen 1 tendiert, d.h. – horizontale Asymptote.
In der Nähe von Unstetigkeitsstellen wird das Verhalten der Funktion wie folgt bestimmt:


Diese. Bei der Annäherung an Diskontinuitätspunkte links nimmt die Funktion unendlich ab, rechts nimmt sie unendlich zu.
Wir bestimmen das Vorhandensein einer schiefen Asymptote, indem wir die Gleichheit berücksichtigen:

Es gibt keine schrägen Asymptoten.

3). Schnittpunkte mit Koordinatenachsen.
Hier müssen zwei Situationen berücksichtigt werden: Finden Sie den Schnittpunkt mit der Ox-Achse und der Oy-Achse. Das Schnittzeichen mit der Ox-Achse ist der Nullwert der Funktion, d.h. es ist notwendig, die Gleichung zu lösen:

Diese Gleichung hat keine Wurzeln, daher hat der Graph dieser Funktion keine Schnittpunkte mit der Ox-Achse.
Das Schnittzeichen mit der Oy-Achse ist der Wert x = 0. In diesem Fall
,
diese. – der Schnittpunkt des Funktionsgraphen mit der Oy-Achse.

4).Bestimmung von Extrempunkten und Anstiegs- und Abfallintervallen.
Um dieses Problem zu untersuchen, definieren wir die erste Ableitung:
.
Setzen wir den Wert der ersten Ableitung mit Null gleich.
.
Ein Bruch ist gleich Null, wenn sein Zähler gleich Null ist, d. h. .
Bestimmen wir die Intervalle der Zunahme und Abnahme der Funktion.

Somit hat die Funktion einen Extrempunkt und existiert nicht an zwei Punkten.
Somit nimmt die Funktion in den Intervallen und zu und in den Intervallen und ab.

5). Wendepunkte und Bereiche der Konvexität und Konkavität.
Dieses Merkmal des Verhaltens einer Funktion wird anhand der zweiten Ableitung bestimmt. Lassen Sie uns zunächst das Vorhandensein von Wendepunkten bestimmen. Die zweite Ableitung der Funktion ist gleich

Wann und die Funktion ist konkav;

wann und die Funktion ist konvex.

6). Eine Funktion grafisch darstellen.
Aus den gefundenen Werten in Punkten erstellen wir schematisch einen Graphen der Funktion:

Beispiel3 Explore-Funktion und erstellen Sie seinen Graphen.

Lösung
Die gegebene Funktion ist eine nichtperiodische Funktion allgemeiner Form. Sein Graph geht durch den Koordinatenursprung, da .
Der Definitionsbereich einer bestimmten Funktion umfasst alle Werte der Variablen mit Ausnahme von und, bei denen der Nenner des Bruchs Null wird.
Folglich sind die Punkte die Unstetigkeitspunkte der Funktion.
Weil ,

Weil ,
, dann ist der Punkt ein Unstetigkeitspunkt zweiter Art.
Die Geraden sind die vertikalen Asymptoten des Funktionsgraphen.
Gleichungen schräger Asymptoten, wobei .
Bei ,
.
Somit hat für und der Graph der Funktion eine Asymptote.
Lassen Sie uns die Intervalle der Zunahme und Abnahme der Funktion und der Extrempunkte ermitteln.
.
Die erste Ableitung der Funktion bei und daher nimmt bei und die Funktion zu.
Wenn also, wenn die Funktion abnimmt.
existiert nicht für , .
, also wann Der Graph der Funktion ist konkav.
Bei , also wann Der Graph der Funktion ist konvex.

Beim Passieren der Punkte , ändert sich das Vorzeichen. Wenn die Funktion nicht definiert ist, hat der Graph der Funktion einen Wendepunkt.
Lassen Sie uns einen Graphen der Funktion erstellen.

Um die Funktion vollständig zu studieren und ihren Graphen darzustellen, wird empfohlen, das folgende Schema zu verwenden:

1) Finden Sie den Definitionsbereich der Funktion;

2) Finden Sie die Diskontinuitätspunkte der Funktion und der vertikalen Asymptoten (falls vorhanden);

3) Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion im Unendlichen und finden Sie horizontale und schräge Asymptoten.

4) Untersuchen Sie die Funktion auf Parität (Seltsamkeit) und Periodizität (für trigonometrische Funktionen);

5) Finden Sie Extrema und Intervalle der Monotonie der Funktion;

6) Bestimmen Sie die Konvexitätsintervalle und Wendepunkte;

7) Finden Sie die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen und, wenn möglich, einige zusätzliche Punkte, die den Graphen verdeutlichen.

Das Studium der Funktion erfolgt gleichzeitig mit der Konstruktion ihres Graphen.

Beispiel 9 Erkunden Sie die Funktion und erstellen Sie ein Diagramm.

1. Definitionsbereich: ;

2. Die Funktion weist an Punkten Diskontinuität auf
,
;

Wir untersuchen die Funktion auf das Vorhandensein vertikaler Asymptoten.

;
,
─ vertikale Asymptote.

;
,
─ vertikale Asymptote.

3. Wir untersuchen die Funktion auf das Vorhandensein schräger und horizontaler Asymptoten.

Gerade
─ schräge Asymptote, wenn
,
.

,
.

Gerade
─ horizontale Asymptote.

4. Die Funktion ist gerade, weil
.

Die Parität der Funktion gibt die Symmetrie des Graphen relativ zur Ordinate an.

5. Finden Sie die Monotonieintervalle und Extrema der Funktion.
;
Finden wir die kritischen Punkte, d.h. Punkte, an denen die Ableitung 0 ist oder nicht existiert:
;

. Wir haben drei Punkte . Diese Punkte unterteilen die gesamte reale Achse in vier Intervalle. Definieren wir die Zeichen

auf jedem von ihnen.
Auf den Intervallen (-∞; -1) und (-1; 0) nimmt die Funktion zu, auf den Intervallen (0; 1) und (1; +∞) ─ ab. Beim Passieren eines Punktes
.

Die Ableitung ändert das Vorzeichen von Plus nach Minus, daher weist die Funktion an diesem Punkt ein Maximum auf

6. Finden Sie die Intervalle der Konvexität und Wendepunkte. Finden wir die Punkte, an denen

ist 0 oder existiert nicht.
,
,

hat keine wirklichen Wurzeln.
Punkte
Und Teilen Sie die reale Achse in drei Intervalle. Definieren wir das Zeichen

in jedem Intervall.
Somit ist die Kurve über die Intervalle
Und
Punkte
konvex nach unten, im Intervall (-1;1) konvex nach oben; Es gibt keine Wendepunkte, da die Funktion an Punkten liegt

nicht definiert.

7. Finden Sie die Schnittpunkte mit den Achsen.
Mit Achse
Der Graph der Funktion schneidet sich im Punkt (0; -1) und mit der Achse

der Graph schneidet sich nicht, weil Der Zähler dieser Funktion hat keine echten Wurzeln.

Der Graph der gegebenen Funktion ist in Abbildung 1 dargestellt.

Abbildung 1 ─ Funktionsgraph

Anwendung des Derivatkonzepts in der Wirtschaftswissenschaft. Elastizitätsfunktion

Um wirtschaftliche Prozesse zu untersuchen und andere angewandte Probleme zu lösen, wird häufig das Konzept der Elastizität einer Funktion verwendet. Definition.
Elastizitätsfunktion heißt Grenze des Verhältnisses des relativen Inkrements der Funktion zum relativen Inkrement der Variablen
bei

, . (VII)
Die Elastizität einer Funktion gibt ungefähr an, um wie viel Prozent sich die Funktion ändert wenn sich die unabhängige Variable ändert

um 1 %.
Die Elastizitätsfunktion wird bei der Analyse von Nachfrage und Verbrauch verwendet. Wenn die Nachfrageelastizität (in absoluten Werten)
, dann gilt die Nachfrage als elastisch, wenn
─ neutral wenn

─ unelastisch im Verhältnis zum Preis (oder Einkommen). Beispiel 10
Berechnen Sie die Elastizität der Funktion = 3.

und ermitteln Sie den Wert des Elastizitätsindex für

Lösung: Nach Formel (VII) beträgt die Elastizität der Funktion:
Sei also x=3

.Das heißt, wenn die unabhängige Variable um 1 % steigt, erhöht sich der Wert der abhängigen Variablen um 1,42 %. Beispiel 11 Lassen Sie die Nachfrage funktionieren bezüglich des Preises
sieht aus wie , Wo

─ konstanter Koeffizient. Finden Sie den Wert des Elastizitätsindikators der Nachfragefunktion zum Preis x = 3 Den. Einheiten

Lösung: Berechnen Sie die Elastizität der Nachfragefunktion mit Formel (VII)
Glauben
. Das bedeutet, dass es seinen Preis hat
Geldeinheiten Eine Preiserhöhung um 1 % führt zu einem Rückgang der Nachfrage um 6 %, d. h. Die Nachfrage ist elastisch.

Heute laden wir Sie ein, mit uns einen Funktionsgraphen zu erkunden und zu erstellen. Nachdem Sie diesen Artikel sorgfältig studiert haben, müssen Sie nicht lange schwitzen, um diese Art von Aufgabe zu erledigen. Es ist nicht einfach, einen Funktionsgraphen zu studieren und zu erstellen. Es ist eine umfangreiche Arbeit, die maximale Aufmerksamkeit und Genauigkeit der Berechnungen erfordert. Um den Stoff verständlicher zu machen, werden wir die gleiche Funktion Schritt für Schritt studieren und alle unsere Aktionen und Berechnungen erklären. Willkommen in der erstaunlichen und faszinierenden Welt der Mathematik! Lass uns gehen!

Definitionsbereich

Um eine Funktion zu untersuchen und grafisch darzustellen, müssen Sie mehrere Definitionen kennen. Funktion ist eines der wichtigsten (Grund-)Konzepte der Mathematik. Es spiegelt die Abhängigkeit zwischen mehreren Variablen (zwei, drei oder mehr) bei Änderungen wider. Die Funktion zeigt auch die Abhängigkeit von Mengen.

Stellen Sie sich vor, wir haben zwei Variablen, die einen bestimmten Änderungsbereich aufweisen. Y ist also eine Funktion von x, vorausgesetzt, dass jeder Wert der zweiten Variablen einem Wert der zweiten entspricht. In diesem Fall ist die Variable y abhängig und wird Funktion genannt. Es ist üblich zu sagen, dass die Variablen x und y in sind. Zur besseren Verdeutlichung dieser Abhängigkeit wird ein Graph der Funktion erstellt. Was ist ein Graph einer Funktion? Dies ist eine Menge von Punkten auf der Koordinatenebene, wobei jeder x-Wert einem y-Wert entspricht. Diagramme können unterschiedlich sein – Gerade, Hyperbel, Parabel, Sinuswelle usw.

Es ist unmöglich, eine Funktion ohne Recherche grafisch darzustellen. Heute lernen wir, wie man Forschung durchführt und einen Graphen einer Funktion erstellt. Es ist sehr wichtig, sich während des Studiums Notizen zu machen. Dadurch wird die Bewältigung der Aufgabe deutlich erleichtert. Der bequemste Forschungsplan:

1. Geltungsbereich der Definition.
2. Kontinuität.
3. Gerade oder ungerade.
4. Periodizität.
5. Asymptoten.
6. Nullen.
7. Zeichenkonstanz.
8. Zunehmend und abnehmend.
9. Extreme.
10. Konvexität und Konkavität.

Beginnen wir mit dem ersten Punkt. Finden wir den Definitionsbereich, also die Intervalle, in denen unsere Funktion existiert: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36). In unserem Fall existiert die Funktion für alle Werte von x, das heißt, der Definitionsbereich ist gleich R. Dies kann wie folgt geschrieben werden: xÎR.

Kontinuität

Jetzt untersuchen wir die Diskontinuitätsfunktion. In der Mathematik entstand der Begriff „Kontinuität“ als Ergebnis der Untersuchung der Bewegungsgesetze. Was ist unendlich? Raum, Zeit, einige Abhängigkeiten (ein Beispiel ist die Abhängigkeit der Variablen S und t bei Bewegungsproblemen), die Temperatur eines erhitzten Objekts (Wasser, Bratpfanne, Thermometer usw.), eine durchgehende Linie (also eine, die kann gezeichnet werden, ohne es vom Blatt abzuheben (Bleistift).

Ein Graph gilt als kontinuierlich, wenn er nicht irgendwann abbricht. Eines der offensichtlichsten Beispiele für einen solchen Graphen ist eine Sinuskurve, die Sie im Bild in diesem Abschnitt sehen können. Eine Funktion ist an einem Punkt x0 stetig, wenn eine Reihe von Bedingungen erfüllt sind:

• eine Funktion ist an einem bestimmten Punkt definiert;
• die rechten und linken Grenzen an einem Punkt sind gleich;
• der Grenzwert ist gleich dem Wert der Funktion am Punkt x0.

Wenn mindestens eine Bedingung nicht erfüllt ist, gilt die Funktion als fehlgeschlagen. Und die Punkte, an denen die Funktion unterbrochen wird, werden normalerweise als Unterbrechungspunkte bezeichnet. Ein Beispiel für eine Funktion, die bei der grafischen Darstellung „abbricht“, ist: y=(x+4)/(x-3). Darüber hinaus existiert y am Punkt x = 3 nicht (da eine Division durch Null unmöglich ist).

In der Funktion, die wir untersuchen (y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)) erwies sich alles als einfach, da der Graph stetig sein wird.

Gerade, ungerade

Untersuchen Sie nun die Funktion auf Parität. Zunächst eine kleine Theorie. Eine gerade Funktion erfüllt die Bedingung f(-x)=f(x) für jeden Wert der Variablen x (aus dem Wertebereich). Beispiele hierfür sind:

• Modul x (der Graph sieht aus wie eine Daw, die Winkelhalbierende des ersten und zweiten Viertels des Graphen);
• x im Quadrat (Parabel);
• Kosinus x (Kosinus).

Beachten Sie, dass alle diese Diagramme symmetrisch sind, wenn sie in Bezug auf die y-Achse (d. h. die y-Achse) betrachtet werden.

Was nennt man dann eine ungerade Funktion? Dies sind jene Funktionen, die die Bedingung f(-x)=-f(x) für jeden Wert der Variablen x erfüllen. Beispiele:

• Hyperbel;
• kubische Parabel;
• Sinusoid;
• Tangente und so weiter.

Bitte beachten Sie, dass diese Funktionen symmetrisch zum Punkt (0:0), also zum Ursprung, sind. Basierend auf dem, was in diesem Abschnitt des Artikels gesagt wurde, müssen eine gerade und eine ungerade Funktion die Eigenschaft haben: x gehört zur Definitionsmenge und auch -x.

Lassen Sie uns die Funktion auf Parität untersuchen. Wir können sehen, dass sie auf keine der Beschreibungen passt. Daher ist unsere Funktion weder gerade noch ungerade.

Asymptoten

Beginnen wir mit einer Definition. Eine Asymptote ist eine Kurve, die möglichst nahe am Graphen liegt, d. h. der Abstand von einem bestimmten Punkt geht gegen Null. Insgesamt gibt es drei Arten von Asymptoten:

• vertikal, also parallel zur y-Achse;
• horizontal, also parallel zur x-Achse;
• geneigt.

Was den ersten Typ betrifft, sollte an einigen Stellen nach diesen Zeilen gesucht werden:

• Lücke;
• Enden des Definitionsbereichs.

In unserem Fall ist die Funktion stetig und der Definitionsbereich ist gleich R. Daher gibt es keine vertikalen Asymptoten.

Der Graph einer Funktion hat eine horizontale Asymptote, wenn er die folgende Anforderung erfüllt: wenn x gegen Unendlich oder minus Unendlich tendiert und der Grenzwert einer bestimmten Zahl entspricht (z. B. a). In diesem Fall ist y=a die horizontale Asymptote. In der von uns untersuchten Funktion gibt es keine horizontalen Asymptoten.

Eine schräge Asymptote existiert nur, wenn zwei Bedingungen erfüllt sind:

• lim(f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

Dann kann es mit der Formel y=kx+b ermittelt werden. Auch in unserem Fall gibt es keine schrägen Asymptoten.

Funktionsnullstellen

Der nächste Schritt besteht darin, den Graphen der Funktion auf Nullstellen zu untersuchen. Es ist auch sehr wichtig zu beachten, dass die Aufgabe, die Nullstellen einer Funktion zu finden, nicht nur beim Studium und Aufbau eines Funktionsgraphen auftritt, sondern auch als eigenständige Aufgabe und als Möglichkeit zur Lösung von Ungleichungen. Möglicherweise müssen Sie die Nullstellen einer Funktion in einem Diagramm finden oder die mathematische Notation verwenden.

Das Ermitteln dieser Werte wird Ihnen helfen, die Funktion genauer darzustellen. Vereinfacht ausgedrückt ist der Nullpunkt einer Funktion der Wert der Variablen x, bei dem y = 0. Wenn Sie in einem Diagramm nach den Nullstellen einer Funktion suchen, sollten Sie auf die Punkte achten, an denen sich das Diagramm mit der x-Achse schneidet.

Um die Nullstellen der Funktion zu finden, müssen Sie die folgende Gleichung lösen: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. Nach Durchführung der notwendigen Berechnungen erhalten wir folgende Antwort:

Zeichenkonstanz

Die nächste Stufe der Forschung und Konstruktion einer Funktion (Graph) besteht darin, Intervalle mit konstantem Vorzeichen zu finden. Das bedeutet, dass wir bestimmen müssen, in welchen Intervallen die Funktion einen positiven Wert und in welchen Intervallen sie einen negativen Wert annimmt. Die im letzten Abschnitt gefundenen Nullfunktionen helfen uns dabei. Wir müssen also eine gerade Linie erstellen (getrennt vom Diagramm) und die Nullstellen der Funktion in der richtigen Reihenfolge vom kleinsten zum größten entlang dieser Linie verteilen. Jetzt müssen Sie bestimmen, welches der resultierenden Intervalle ein „+“-Zeichen und welches ein „-“ hat.

In unserem Fall nimmt die Funktion in Intervallen einen positiven Wert an:

• von 1 bis 4;
• von 9 bis unendlich.

Negativer Wert:

• von minus unendlich bis 1;
• von 4 bis 9.

Das lässt sich ganz einfach feststellen. Setzen Sie eine beliebige Zahl aus dem Intervall in die Funktion ein und sehen Sie, welches Vorzeichen die Antwort hat (Minus oder Plus).

Zunehmende und abnehmende Funktionen

Um eine Funktion zu untersuchen und zu konstruieren, müssen wir wissen, wo der Graph ansteigt (entlang der Oy-Achse nach oben geht) und wo er abfällt (entlang der y-Achse nach unten kriecht).

Eine Funktion nimmt nur dann zu, wenn ein größerer Wert der Variablen x einem größeren Wert von y entspricht. Das heißt, x2 ist größer als x1 und f(x2) ist größer als f(x1). Und wir beobachten ein völlig entgegengesetztes Phänomen mit einer abnehmenden Funktion (je mehr x, desto weniger y). Um die Intervalle der Zunahme und Abnahme zu bestimmen, müssen Sie Folgendes herausfinden:

• Definitionsbereich (wir haben ihn bereits);
• Ableitung (in unserem Fall: 1/3(3x^2-28x+49);
• Lösen Sie die Gleichung 1/3(3x^2-28x+49)=0.

Nach Berechnungen erhalten wir das Ergebnis:

Wir erhalten: Die Funktion nimmt in den Intervallen von minus Unendlich bis 7/3 und von 7 bis Unendlich zu und in dem Intervall von 7/3 bis 7 ab.

Extreme

Die untersuchte Funktion y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) ist stetig und existiert für jeden Wert der Variablen x. Der Extrempunkt zeigt das Maximum und Minimum einer bestimmten Funktion. In unserem Fall gibt es keine, was die Konstruktionsaufgabe erheblich vereinfacht. Ansonsten können sie auch mit der Ableitungsfunktion ermittelt werden. Sobald Sie sie gefunden haben, vergessen Sie nicht, sie auf der Karte zu markieren.

Konvexität und Konkavität

Wir untersuchen die Funktion y(x) weiter. Jetzt müssen wir es auf Konvexität und Konkavität prüfen. Die Definitionen dieser Konzepte sind recht schwer zu verstehen; es ist besser, alles anhand von Beispielen zu analysieren. Zum Test: Eine Funktion ist konvex, wenn sie eine nicht fallende Funktion ist. Stimmen Sie zu, das ist unverständlich!

Wir müssen die Ableitung einer Funktion zweiter Ordnung finden. Wir erhalten: y=1/3(6x-28). Setzen wir nun die rechte Seite mit Null gleich und lösen die Gleichung. Antwort: x=14/3. Wir haben den Wendepunkt gefunden, also den Ort, an dem der Graph von der Konvexität zur Konkavität wechselt oder umgekehrt. Im Intervall von minus Unendlich bis 14/3 ist die Funktion konvex, und von 14/3 bis plus Unendlich ist sie konkav. Es ist außerdem sehr wichtig zu beachten, dass der Wendepunkt im Diagramm glatt und weich sein sollte und keine scharfen Ecken vorhanden sein sollte.

Zusätzliche Punkte definieren

Unsere Aufgabe besteht darin, die Funktion zu untersuchen und einen Graphen zu erstellen. Wir haben die Studie abgeschlossen; die Erstellung eines Graphen der Funktion ist jetzt nicht schwierig. Für eine genauere und detailliertere Wiedergabe einer Kurve oder Geraden auf der Koordinatenebene können Sie mehrere Hilfspunkte finden. Sie sind recht einfach zu berechnen. Nehmen wir zum Beispiel x=3, lösen die resultierende Gleichung und finden y=4. Oder x=5 und y=-5 und so weiter. Sie können so viele zusätzliche Punkte nehmen, wie Sie für den Bau benötigen. Mindestens 3-5 davon werden gefunden.

Zeichnen eines Diagramms

Wir mussten die Funktion (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y untersuchen. Alle notwendigen Markierungen während der Berechnungen wurden auf der Koordinatenebene vorgenommen. Jetzt müssen Sie nur noch ein Diagramm erstellen, also alle Punkte verbinden. Das Verbinden der Punkte sollte reibungslos und genau erfolgen, das ist eine Frage der Geschicklichkeit – ein wenig Übung und Ihr Zeitplan werden perfekt sein.