Das arithmetische Mittel von Zahlen. Durchschnittswerte in der Statistik

So berechnen Sie den Durchschnitt von Zahlen in Excel

Mit der Funktion können Sie das arithmetische Mittel von Zahlen in Excel ermitteln.

Syntax DURCHSCHNITT

=DURCHSCHNITT(Anzahl1,[Anzahl2],…) – Russische Version

Argumente DURCHSCHNITTLICH

Nummer1– die erste Zahl oder der erste Zahlenbereich zur Berechnung des arithmetischen Mittels;
Nummer2(Optional) – die zweite Zahl oder der zweite Zahlenbereich zur Berechnung des arithmetischen Mittels. Die maximale Anzahl an Funktionsargumenten beträgt 255.

Gehen Sie zur Berechnung wie folgt vor:

Wählen Sie eine beliebige Zelle aus;
Schreiben Sie die Formel hinein =DURCHSCHNITT(
Wählen Sie den Zellbereich aus, für den Sie eine Berechnung durchführen möchten.
Drücken Sie die „Enter“-Taste auf Ihrer Tastatur

Die Funktion berechnet den Durchschnittswert im angegebenen Bereich zwischen den Zellen, die Zahlen enthalten.

So finden Sie den durchschnittlichen gegebenen Text

Wenn der Datenbereich leere Zeilen oder Text enthält, behandelt die Funktion diese als „Null“. Wenn es unter den Daten logische Ausdrücke FALSE oder TRUE gibt, dann nimmt die Funktion FALSE als „Null“ und TRUE als „1“ wahr.

So ermitteln Sie das arithmetische Mittel anhand der Bedingung

Um den Durchschnitt nach Bedingung oder Kriterium zu berechnen, verwenden Sie die Funktion. Stellen Sie sich zum Beispiel vor, wir hätten Daten zu Produktverkäufen:

Unsere Aufgabe ist es, den Durchschnittswert der Stiftverkäufe zu berechnen. Dazu werden wir folgende Schritte unternehmen:

In einer Zelle A13 Schreiben Sie den Namen des Produkts „Stifte“;
In einer Zelle B13 Lassen Sie uns die Formel vorstellen:

=MITTELWENN(A2:A10,A13,B2:B10)

Zellbereich „ A2:A10„gibt eine Liste von Produkten an, in denen wir nach dem Wort „Stifte“ suchen. Argument A13 Dies ist ein Link zu einer Zelle mit Text, den wir in der gesamten Produktliste durchsuchen. Zellbereich „ B2:B10„ist ein Bereich mit Produktverkaufsdaten, unter denen die Funktion „Handles“ findet und den Durchschnittswert berechnet.

Dieser Begriff hat andere Bedeutungen, siehe durchschnittliche Bedeutung.

Arithmetisches Mittel(in der Mathematik und Statistik) Zahlenmengen – die Summe aller Zahlen dividiert durch ihre Zahl. Es ist eines der gebräuchlichsten Maße der zentralen Tendenz.

Es wurde (zusammen mit dem geometrischen Mittel und dem harmonischen Mittel) von den Pythagoräern vorgeschlagen.

Sonderfälle des arithmetischen Mittels sind der Mittelwert (Grundgesamtheit) und der Stichprobenmittelwert (Stichprobe).

Einführung

Bezeichnen wir den Datensatz X = (X 1 , X 2 , …, X N), dann wird der Stichprobenmittelwert normalerweise durch einen horizontalen Balken über der Variablen (x ¯ (\displaystyle (\bar (x)}) angezeigt, ausgesprochen „ X mit einer Linie").

Der griechische Buchstabe μ bezeichnet das arithmetische Mittel der Gesamtbevölkerung. Für eine Zufallsvariable, für die der Mittelwert bestimmt wird, beträgt μ probabilistischer Durchschnitt oder die mathematische Erwartung einer Zufallsvariablen. Wenn das Set X ist eine Sammlung von Zufallszahlen mit einem probabilistischen Mittelwert μ, also für jede Stichprobe X ich aus dieser Menge μ = E( X ich) ist der mathematische Erwartungswert dieser Stichprobe.

In der Praxis besteht der Unterschied zwischen μ und x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) darin, dass μ eine typische Variable ist, da man eine Stichprobe und nicht die gesamte Grundgesamtheit sehen kann. Wenn die Stichprobe daher zufällig dargestellt wird (im Sinne der Wahrscheinlichkeitstheorie), kann x ¯ (\displaystyle (\bar (x)}) (aber nicht μ) als Zufallsvariable mit einer Wahrscheinlichkeitsverteilung auf der Stichprobe behandelt werden ( die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Mittelwerts).

Beide Größen werden auf die gleiche Weise berechnet:

X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)

Wenn X eine Zufallsvariable ist, dann die mathematische Erwartung X kann als arithmetisches Mittel der Werte bei wiederholten Messungen einer Größe betrachtet werden X. Dies ist eine Manifestation des Gesetzes der großen Zahlen. Daher wird der Stichprobenmittelwert zur Schätzung des unbekannten Erwartungswerts verwendet.

In der elementaren Algebra wurde bewiesen, dass der Mittelwert N+ 1 Zahlen über dem Durchschnitt N Zahlen genau dann, wenn die neue Zahl größer als der alte Durchschnitt ist, kleiner genau dann, wenn die neue Zahl kleiner als der Durchschnitt ist, und sich genau dann nicht ändert, wenn die neue Zahl gleich dem Durchschnitt ist. Je mehr N, desto geringer ist die Differenz zwischen dem neuen und dem alten Durchschnitt.

Beachten Sie, dass mehrere andere „Durchschnitte“ verfügbar sind, darunter der Potenzmittelwert, der Kolmogorov-Mittelwert, der harmonische Mittelwert, der arithmetisch-geometrische Mittelwert und verschiedene gewichtete Mittelwerte (z. B. gewichteter arithmetischer Mittelwert, gewichteter geometrischer Mittelwert, gewichteter harmonischer Mittelwert).

Beispiele

Bei drei Zahlen müssen Sie diese addieren und durch 3 dividieren:

x 1 + x 2 + x 3 3 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).)

Bei vier Zahlen müssen Sie diese addieren und durch 4 dividieren:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).)

Oder einfacher: 5+5=10, 10:2. Da wir zwei Zahlen addiert haben, d. h. wie viele Zahlen wir addieren, dividieren wir durch diese Anzahl.

Kontinuierliche Zufallsvariable

Für eine kontinuierlich verteilte Größe f (x) (\displaystyle f(x)) ist das arithmetische Mittel auf dem Intervall [ a ; b ] (\displaystyle ) wird durch ein bestimmtes Integral bestimmt:

F (x) ¯ [ a ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

Einige Probleme bei der Verwendung des Durchschnitts

Mangelnde Robustheit

Hauptartikel: Robustheit in der Statistik

Obwohl arithmetische Mittel häufig als Durchschnittswerte oder zentrale Tendenzen verwendet werden, handelt es sich bei diesem Konzept nicht um eine robuste Statistik, was bedeutet, dass das arithmetische Mittel stark von „großen Abweichungen“ beeinflusst wird. Es ist bemerkenswert, dass bei Verteilungen mit einem großen Schiefekoeffizienten das arithmetische Mittel möglicherweise nicht dem Konzept des „Mittelwerts“ entspricht und die Werte des Mittelwerts aus robusten Statistiken (z. B. der Median) den Zentralwert möglicherweise besser beschreiben Tendenz.

Ein klassisches Beispiel ist die Berechnung des Durchschnittseinkommens. Das arithmetische Mittel kann als Median fehlinterpretiert werden, was zu dem Schluss führen kann, dass es mehr Menschen mit höherem Einkommen gibt, als es tatsächlich gibt. Unter „durchschnittlichem“ Einkommen versteht man, dass die meisten Menschen über ein Einkommen in der Größenordnung dieser Zahl verfügen. Dieses „durchschnittliche“ (im Sinne des arithmetischen Mittels) Einkommen ist höher als das Einkommen der meisten Menschen, da ein hohes Einkommen mit großer Abweichung vom Durchschnitt zu einer starken Schiefe des arithmetischen Mittels führt (im Gegensatz zum Durchschnittseinkommen am Median). „widersteht“ einer solchen Verzerrung). Dieses „durchschnittliche“ Einkommen sagt jedoch nichts über die Anzahl der Menschen in der Nähe des Medianeinkommens aus (und sagt nichts über die Anzahl der Menschen in der Nähe des modalen Einkommens aus). Wenn man jedoch die Begriffe „durchschnittlich“ und „die meisten Menschen“ auf die leichte Schulter nimmt, kann man zu dem falschen Schluss kommen, dass die meisten Menschen über ein höheres Einkommen verfügen, als sie tatsächlich haben. Beispielsweise würde ein Bericht über das „durchschnittliche“ Nettoeinkommen in Medina, Washington, berechnet als arithmetischer Durchschnitt aller jährlichen Nettoeinkommen der Einwohner, aufgrund von Bill Gates eine überraschend große Zahl ergeben. Betrachten Sie die Stichprobe (1, 2, 2, 2, 3, 9). Der arithmetische Mittelwert liegt bei 3,17, allerdings liegen fünf von sechs Werten unter diesem Mittelwert.

Zinseszins

Hauptartikel: Kapitalrendite

Wenn die Zahlen multiplizieren, nicht falten, müssen Sie das geometrische Mittel verwenden, nicht das arithmetische Mittel. Am häufigsten tritt dieser Vorfall bei der Berechnung der Kapitalrendite im Finanzbereich auf.

Wenn eine Aktie beispielsweise im ersten Jahr um 10 % fiel und im zweiten Jahr um 30 % stieg, dann ist es falsch, den „durchschnittlichen“ Anstieg über diese zwei Jahre als arithmetisches Mittel (−10 % + 30 %) / 2 zu berechnen = 10 %; Der korrekte Durchschnitt ergibt sich in diesem Fall aus der durchschnittlichen jährlichen Wachstumsrate, die eine jährliche Wachstumsrate von nur etwa 8,16653826392 % ≈ 8,2 % ergibt.

Der Grund dafür ist, dass Prozentsätze jedes Mal einen neuen Ausgangspunkt haben: 30 % ist 30 % ab einer Zahl, die unter dem Preis zu Beginn des ersten Jahres liegt: Wenn die Aktie bei 30 $ startete und um 10 % fiel, ist sie zu Beginn des zweiten Jahres 27 $ wert. Wenn die Aktie um 30 % steigen würde, wäre sie am Ende des zweiten Jahres 35,1 $ wert. Der arithmetische Durchschnitt dieses Wachstums beträgt 10 %, aber da die Aktie in zwei Jahren nur um 5,1 $ gestiegen ist, ergibt das durchschnittliche Wachstum von 8,2 % ein Endergebnis von 35,1 $:

[30 $ (1 - 0,1) (1 + 0,3) = 30 $ (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 $]. Wenn wir den arithmetischen Durchschnitt von 10 % auf die gleiche Weise verwenden, erhalten wir nicht den tatsächlichen Wert: [30 $ (1 + 0,1) (1 + 0,1) = 36,3 $].

Zinseszins am Ende von 2 Jahren: 90 % * 130 % = 117 %, d. h. die Gesamtsteigerung beträgt 17 %, und der durchschnittliche jährliche Zinseszins beträgt 117 % ≈ 108,2 % (\displaystyle (\sqrt ))\ca. 108,2\%), also ein durchschnittlicher jährlicher Anstieg von 8,2 %.

Wegbeschreibung

Hauptartikel: Zielstatistiken

Bei der Berechnung des arithmetischen Mittels einer Variablen, die sich zyklisch ändert (z. B. Phase oder Winkel), ist besondere Vorsicht geboten. Zum Beispiel wäre der Durchschnitt von 1° und 359° 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180°. Diese Zahl ist aus zwei Gründen falsch.

Erstens werden Winkelmaße nur für den Bereich von 0° bis 360° (oder von 0 bis 2π bei Messung im Bogenmaß) definiert. Das gleiche Zahlenpaar könnte also als (1° und −1°) oder als (1° und 719°) geschrieben werden. Die Durchschnittswerte jedes Paares werden unterschiedlich sein: 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2 ))=0 ^(\circ )) , 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\ Kreis )).
Zweitens ist in diesem Fall ein Wert von 0° (entspricht 360°) ein geometrisch besserer Durchschnittswert, da die Zahlen von 0° weniger abweichen als von jedem anderen Wert (der Wert 0° weist die geringste Varianz auf). Vergleichen:
- die Zahl 1° weicht von 0° nur um 1° ab;
- die Zahl 1° weicht um 179° vom berechneten Mittelwert von 180° ab.

Der nach obiger Formel berechnete Durchschnittswert einer zyklischen Variablen wird gegenüber dem realen Durchschnitt künstlich in die Mitte des Zahlenbereichs verschoben. Aus diesem Grund wird der Durchschnitt auf andere Weise berechnet, nämlich die Zahl mit der geringsten Varianz (der Mittelpunkt) wird als Durchschnittswert ausgewählt. Außerdem wird anstelle der Subtraktion der Modulabstand (also der Umfangsabstand) verwendet. Beispielsweise beträgt der Modulabstand zwischen 1° und 359° 2°, nicht 358° (auf einem Kreis zwischen 359° und 360° ==0° - ein Grad, zwischen 0° und 1° - insgesamt auch 1° - 2°).

4.3. Durchschnittswerte. Das Wesen und die Bedeutung von Durchschnittswerten

Durchschnittliche Größe in der Statistik ist ein allgemeiner Indikator, der das typische Ausmaß eines Phänomens unter bestimmten Orts- und Zeitbedingungen charakterisiert und den Wert eines variierenden Merkmals pro Einheit einer qualitativ homogenen Bevölkerung widerspiegelt. In der wirtschaftlichen Praxis werden verschiedenste Indikatoren verwendet, die als Durchschnittswerte berechnet werden.

Ein allgemeiner Indikator für das Einkommen der Arbeitnehmer einer Aktiengesellschaft (JSC) ist beispielsweise das durchschnittliche Einkommen eines Arbeitnehmers, bestimmt durch das Verhältnis von Lohnfonds und Sozialleistungen für den Betrachtungszeitraum (Jahr, Quartal, Monat). ) zur Anzahl der Mitarbeiter der JSC.

Die Berechnung des Durchschnitts ist eine der gebräuchlichsten Verallgemeinerungstechniken; Der Durchschnittsindikator spiegelt wider, was für alle Einheiten der untersuchten Bevölkerung gemeinsam (typisch) ist, während er gleichzeitig die Unterschiede einzelner Einheiten ignoriert. In jedem Phänomen und seiner Entwicklung gibt es eine Kombination Unfälle Und notwendig. Bei der Berechnung von Durchschnittswerten wird aufgrund der Wirkung des Gesetzes der großen Zahlen die Zufälligkeit aufgehoben und ausgeglichen, sodass von den unwichtigen Merkmalen des Phänomens, von den quantitativen Werten des Merkmals im Einzelfall abstrahiert werden kann . Die Fähigkeit, von der Zufälligkeit einzelner Werte Schwankungen zu abstrahieren, liegt im wissenschaftlichen Wert von Durchschnittswerten verallgemeinernd Merkmale von Populationen.

Bei Bedarf zur Verallgemeinerung führt die Berechnung solcher Merkmale zur Ersetzung vieler verschiedener Einzelwerte des Attributs Durchschnitt ein Indikator, der die Gesamtheit der Phänomene charakterisiert und es ermöglicht, Muster zu erkennen, die gesellschaftlichen Massenphänomenen innewohnen und in einzelnen Phänomenen unsichtbar sind.

Der Durchschnitt spiegelt die charakteristische, typische, reale Ebene der untersuchten Phänomene wider, charakterisiert diese Ebenen und ihre zeitlichen und räumlichen Veränderungen.

Der Durchschnitt ist ein zusammenfassendes Merkmal der Gesetze des Prozesses unter den Bedingungen, unter denen er auftritt.

4.4. Arten von Durchschnittswerten und Methoden zu ihrer Berechnung

Die Wahl des Durchschnittstyps wird durch den wirtschaftlichen Inhalt eines bestimmten Indikators und der Quelldaten bestimmt. Im Einzelfall wird einer der Durchschnittswerte verwendet: Arithmetik, garmonisch, geometrisch, quadratisch, kubisch usw. Die aufgeführten Durchschnittswerte gehören zur Klasse sedieren Durchschnitt.

Neben Leistungsdurchschnitten werden in der statistischen Praxis auch Strukturdurchschnitte verwendet, die als Modus und Median gelten.

Lassen Sie uns näher auf die Leistungsdurchschnitte eingehen.

Arithmetisches Mittel

Die häufigste Art des Durchschnitts ist Durchschnitt Arithmetik. Es wird in Fällen verwendet, in denen das Volumen eines variierenden Merkmals für die gesamte Population die Summe der Merkmalswerte seiner einzelnen Einheiten ist. Soziale Phänomene zeichnen sich durch die Additivität (Gesamtheit) der Volumina eines variierenden Merkmals aus; dies bestimmt den Anwendungsbereich des arithmetischen Durchschnitts und erklärt seine Verbreitung als allgemeiner Indikator, zum Beispiel: Der Gesamtlohnfonds ist die Summe der Löhne Die Bruttoernte aller Arbeiter ist die Summe der Produkte, die während der gesamten Aussaatfläche erzeugt wurden.

Um das arithmetische Mittel zu berechnen, müssen Sie die Summe aller Merkmalswerte durch ihre Anzahl dividieren.

Im Formular wird das arithmetische Mittel verwendet einfacher Durchschnitt und gewichteter Durchschnitt. Die anfängliche, definierende Form ist der einfache Durchschnitt.

Einfaches arithmetisches Mittel gleich der einfachen Summe der Einzelwerte des gemittelten Merkmals geteilt durch die Gesamtzahl dieser Werte (wird in Fällen verwendet, in denen nicht gruppierte Einzelwerte des Merkmals vorhanden sind):

Wo
- einzelne Werte der Variablen (Varianten); M - die Anzahl der Einheiten in der Bevölkerung.

Darüber hinaus werden die Summationsgrenzen in den Formeln nicht angegeben. Sie müssen beispielsweise die durchschnittliche Leistung eines Arbeiters (Mechanikers) ermitteln, wenn Sie wissen, wie viele Teile jeder von 15 Arbeitern produziert hat, d. h. Es werden mehrere Einzelwerte des Merkmals angegeben, Stk.:

21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

Das einfache arithmetische Mittel wird nach Formel (4.1) berechnet, 1 Stk.:

Der Durchschnitt der Optionen, die unterschiedlich oft wiederholt werden oder, wie man sagt, unterschiedliche Gewichtungen haben, nennt man gewichtet. Die Gewichte sind die Anzahl der Einheiten in verschiedenen Bevölkerungsgruppen (identische Optionen werden zu einer Gruppe zusammengefasst).

Arithmetisches Mittel gewichtet- Durchschnitt der gruppierten Werte, - wird nach folgender Formel berechnet:

, (4.2)

Wo
- Gewicht (Häufigkeit der Wiederholung identischer Zeichen);

- die Summe der Produkte aus der Größe von Merkmalen und ihren Häufigkeiten;

- die Gesamtzahl der Bevölkerungseinheiten.

Wir veranschaulichen die Technik der Berechnung des gewichteten arithmetischen Durchschnitts anhand des oben diskutierten Beispiels. Dazu gruppieren wir die Quelldaten und platzieren sie in einer Tabelle. 4.1.

Tabelle 4.1

Verteilung der Arbeitskräfte für die Teilefertigung

Gemäß Formel (4.2) ist das gewichtete arithmetische Mittel gleich, Stk.:

In einigen Fällen werden Gewichte möglicherweise nicht als absolute, sondern als relative Werte (in Prozent oder Bruchteilen einer Einheit) dargestellt. Dann sieht die Formel für den arithmetisch gewichteten Durchschnitt wie folgt aus:

Wo
- Besonderheit, d.h. der Anteil jeder Frequenz an der Gesamtsumme aller

Wenn Häufigkeiten in Brüchen (Koeffizienten) gezählt werden, dann
= 1, und die Formel für den arithmetisch gewichteten Durchschnitt hat die Form:

Berechnung des gewichteten arithmetischen Mittels aus Gruppenmittelwerten durchgeführt nach der Formel:

Wo F-Anzahl der Einheiten in jeder Gruppe.

Die Ergebnisse der Berechnung des arithmetischen Mittels aus den Gruppenmitteln sind in der Tabelle dargestellt. 4.2.

Tabelle 4.2

Verteilung der Arbeitnehmer nach durchschnittlicher Betriebszugehörigkeit

In diesem Beispiel handelt es sich nicht um individuelle Daten zur Betriebszugehörigkeit einzelner Arbeitnehmer, sondern um den Durchschnitt jeder Werkstatt. Waage F sind die Anzahl der Arbeiter in den Geschäften. Daher beträgt die durchschnittliche Berufserfahrung der Arbeitnehmer im gesamten Unternehmen Jahre:

Berechnung des arithmetischen Mittels in Verteilungsreihen

Werden die Werte des zu mittelnden Merkmals in Form von Intervallen („von – bis“) angegeben, d.h. Intervallreihe von Verteilungen, dann werden bei der Berechnung des arithmetischen Mittels die Mittelpunkte dieser Intervalle als Werte von Merkmalen in Gruppen verwendet, was zur Bildung einer diskreten Reihe führt. Betrachten Sie das folgende Beispiel (Tabelle 4.3).

Gehen wir von einer Intervallreihe zu einer diskreten Reihe über, indem wir die Intervallwerte durch ihre Durchschnittswerte/(einfacher Durchschnitt) ersetzen

Tabelle 4.3

Verteilung der JSC-Arbeiter nach monatlichem Lohnniveau

Gruppen von Arbeitern	Anzahl der Arbeiter	Die Mitte des Intervalls
Löhne, reiben.	Menschen, F	reiben., X





900 oder mehr

die Werte offener Intervalle (erstes und letztes) werden bedingt mit den an sie angrenzenden Intervallen (zweite und vorletzte) gleichgesetzt.

Bei dieser Durchschnittsberechnung ist eine gewisse Ungenauigkeit zulässig, da von einer gleichmäßigen Verteilung der Einheiten des Merkmals innerhalb der Gruppe ausgegangen wird. Allerdings ist der Fehler umso kleiner, je schmaler das Intervall und je mehr Einheiten das Intervall enthält.

Nachdem die Mittelpunkte der Intervalle gefunden wurden, werden die Berechnungen auf die gleiche Weise wie in einer diskreten Reihe durchgeführt: Die Optionen werden mit den Häufigkeiten (Gewichten) multipliziert und die Summe der Produkte wird durch die Summe der Häufigkeiten (Gewichte) dividiert. , tausend Rubel:

Das durchschnittliche Lohnniveau für JSC-Arbeiter beträgt also 729 Rubel. pro Monat.

Die Berechnung des arithmetischen Mittels ist oft mit viel Zeit und Arbeitsaufwand verbunden. In einigen Fällen kann das Verfahren zur Berechnung des Durchschnitts jedoch vereinfacht und erleichtert werden, wenn Sie dessen Eigenschaften nutzen. Lassen Sie uns (ohne Beweis) einige grundlegende Eigenschaften des arithmetischen Mittels vorstellen.

Eigentum 1. Wenn alle Einzelwerte eines Merkmals (d. h. alle Optionen) reduzieren oder erhöhen ichMal, dann der Durchschnittswert Die neue Kennlinie nimmt entsprechend ab oder zu icheinmal.

Eigentum 2. Wenn alle Varianten des gemittelten Merkmals reduziert werdennähen oder um Zahl A erhöhen, dann entspricht das arithmetische Mitteltatsächlich um die gleiche Zahl A abnehmen oder erhöhen wird.

Eigentum 3. Wenn die Gewichte aller gemittelten Optionen reduziert werden oder zunehmen Zu mal, dann ändert sich das arithmetische Mittel nicht.

Als Durchschnittsgewichte können Sie anstelle absoluter Indikatoren auch spezifische Gewichte in der Gesamtsumme (Anteile oder Prozentsätze) verwenden. Dies vereinfacht die Berechnung des Durchschnitts.

Um die Berechnung des Durchschnitts zu vereinfachen, gehen sie den Weg, die Werte von Optionen und Häufigkeiten zu reduzieren. Die größte Vereinfachung wird erreicht, wenn, wie A der Wert einer der zentralen Optionen, die die höchste Häufigkeit aufweist, wird als / - der Wert des Intervalls (für Reihen mit gleichen Intervallen) ausgewählt. Die Größe A wird als Referenzpunkt bezeichnet, daher wird diese Methode zur Berechnung des Durchschnitts als „Methode des Zählens vom bedingten Nullpunkt“ oder bezeichnet „im Sinne von Momenten.“

Nehmen wir an, dass alle Optionen vorhanden sind X zuerst um die gleiche Zahl A verringert und dann um verringert ich einmal. Wir erhalten eine neue Variationsreihe der Verteilung neuer Optionen .

Dann neue Optionen wird ausgedrückt:

und ihr neues arithmetisches Mittel , -Moment erster Ordnung-Formel:

Er entspricht dem Durchschnitt der ursprünglichen Optionen, zunächst reduziert um A, und dann rein ich einmal.

Um den realen Durchschnitt zu erhalten, ist ein Moment erster Ordnung erforderlich M 1 , multiplizieren mit ich und hinzufügen A:

Diese Methode zur Berechnung des arithmetischen Mittels aus einer Variationsreihe heißt „im Sinne von Momenten.“ Diese Methode wird in Reihen in gleichen Abständen verwendet.

Die Berechnung des arithmetischen Mittels nach der Momentenmethode wird durch die Daten in der Tabelle veranschaulicht. 4.4.

Tabelle 4.4

Verteilung der Kleinunternehmen in der Region nach Wert des Anlagevermögens (FPF) im Jahr 2000.

Unternehmensgruppen nach OPF-Wert, Tausend Rubel.	Anzahl der Unternehmen F	Mittelpunkte von Intervallen X
14-16 16-18 18-20 20-22 22-24

Den Moment der ersten Bestellung finden

Dann nehmen wir A = 19 und wissen das ich= 2, berechnen X, Tausend Rubel:

Arten von Durchschnittswerten und Methoden zu ihrer Berechnung

Auf der Stufe der statistischen Verarbeitung können vielfältige Forschungsprobleme gestellt werden, zu deren Lösung es notwendig ist, den geeigneten Durchschnitt auszuwählen. In diesem Fall muss man sich an folgender Regel orientieren: Die Größen, die Zähler und Nenner des Durchschnitts darstellen, müssen in einem logischen Zusammenhang zueinander stehen.

Leistungsdurchschnitte;
Strukturdurchschnitte.

Lassen Sie uns die folgenden Konventionen einführen:

Die Mengen, für die der Durchschnitt berechnet wird;

Durchschnitt, wobei der Balken oben anzeigt, dass eine Mittelung der Einzelwerte stattfindet;

Häufigkeit (Wiederholbarkeit einzelner Kennwerte).

Aus der allgemeinen Leistungsdurchschnittsformel werden verschiedene Durchschnittswerte abgeleitet:

(5.1)

wenn k = 1 - arithmetisches Mittel; k = -1 - harmonischer Mittelwert; k = 0 – geometrisches Mittel; k = -2 - quadratischer Mittelwert.

Durchschnittswerte können einfach oder gewichtet sein. Gewichtete Durchschnittswerte werden Mengen genannt, die berücksichtigen, dass einige Varianten von Attributwerten unterschiedliche Zahlen haben können und daher jede Option mit dieser Zahl multipliziert werden muss. Mit anderen Worten, die „Skalen“ sind die Anzahl der Aggregateinheiten in verschiedenen Gruppen, d. h. Jede Option wird nach ihrer Häufigkeit „gewichtet“. Die Frequenz f heißt statistisches Gewicht oder Durchschnittsgewicht.

Arithmetisches Mittel- die häufigste Art von Durchschnitt. Es wird verwendet, wenn die Berechnung für nicht gruppierte statistische Daten durchgeführt wird, bei denen Sie den Durchschnittsterm ermitteln müssen. Das arithmetische Mittel ist der Durchschnittswert eines Merkmals, bei dessen Erlangung das Gesamtvolumen des Merkmals im Aggregat unverändert bleibt.

Arithmetische Mittelformel ( einfach) hat die Form

wobei n die Bevölkerungsgröße ist.

Beispielsweise wird das durchschnittliche Gehalt der Mitarbeiter eines Unternehmens als arithmetischer Durchschnitt berechnet:

Die bestimmenden Indikatoren sind hierbei das Gehalt jedes Mitarbeiters und die Anzahl der Mitarbeiter des Unternehmens. Bei der Berechnung des Durchschnitts blieb die Gesamtlohnhöhe gleich, wurde aber gleichmäßig auf alle Arbeitnehmer verteilt. Sie müssen beispielsweise das Durchschnittsgehalt der Arbeitnehmer in einem kleinen Unternehmen mit 8 Mitarbeitern berechnen:

Bei der Berechnung von Durchschnittswerten können einzelne Werte des gemittelten Merkmals wiederholt werden, sodass der Durchschnittswert anhand gruppierter Daten berechnet wird. In diesem Fall sprechen wir von der Verwendung arithmetisches Mittel gewichtet, das die Form hat

(5.3)

Wir müssen also den durchschnittlichen Aktienkurs einer Aktiengesellschaft beim Börsenhandel berechnen. Es ist bekannt, dass die Transaktionen innerhalb von 5 Tagen (5 Transaktionen) durchgeführt wurden, die Anzahl der zum Verkaufskurs verkauften Aktien verteilte sich wie folgt:

1 - 800 AK. - 1010 Rubel.

2 - 650 AK. - 990 Rubel.

3 - 700 AK. - 1015 Rubel.

4 - 550 AK. - 900 Rubel.

5 - 850 AK. - 1150 Rubel.

Das Ausgangsverhältnis zur Ermittlung des durchschnittlichen Aktienpreises ist das Verhältnis des Gesamtbetrags der Transaktionen (TVA) zur Anzahl der verkauften Aktien (KPA).

Das arithmetische Mittel ist ein statistischer Indikator, der den Durchschnittswert eines bestimmten Datenfelds angibt. Dieser Indikator wird als Bruch berechnet, dessen Zähler die Summe aller Werte im Array ist und dessen Nenner ihre Zahl ist. Das arithmetische Mittel ist ein wichtiger Koeffizient, der in alltäglichen Berechnungen verwendet wird.

Die Bedeutung des Koeffizienten

Das arithmetische Mittel ist ein elementarer Indikator, um Daten zu vergleichen und einen akzeptablen Wert zu ermitteln. Beispielsweise verkaufen verschiedene Geschäfte eine Dose Bier eines bestimmten Herstellers. Aber in einem Geschäft kostet es 67 Rubel, in einem anderen 70 Rubel, in einem dritten 65 Rubel und im letzten 62 Rubel. Es gibt eine recht große Preisspanne, so dass der Käufer an den durchschnittlichen Kosten der Dose interessiert sein wird, damit er beim Kauf eines Produkts seine Kosten vergleichen kann. Der durchschnittliche Preis für eine Dose Bier in der Stadt beträgt:

Durchschnittspreis = (67 + 70 + 65 + 62) / 4 = 66 Rubel.

Wenn Sie den Durchschnittspreis kennen, können Sie leicht feststellen, wo sich der Kauf eines Produkts lohnt und wo Sie zu viel bezahlen müssen.

Das arithmetische Mittel wird in statistischen Berechnungen ständig verwendet, wenn ein homogener Datensatz analysiert wird. Im obigen Beispiel ist dies der Preis einer Dose Bier derselben Marke. Allerdings können wir den Preis von Bier verschiedener Hersteller oder die Preise von Bier und Limonade nicht vergleichen, da in diesem Fall die Streuung der Werte größer wird, der Durchschnittspreis verschwommen und unzuverlässig ist und die eigentliche Bedeutung der Berechnungen verloren geht wird zu einer Karikatur der „durchschnittlichen Temperatur im Krankenhaus“ verzerrt. Zur Berechnung heterogener Datensätze wird ein gewichtetes arithmetisches Mittel verwendet, bei dem jeder Wert einen eigenen Gewichtungskoeffizienten erhält.

Berechnung des arithmetischen Mittels

Die Berechnungsformel ist denkbar einfach:

P = (a1 + a2 + … an) / n,

Dabei ist an der Wert der Menge und n die Gesamtzahl der Werte.

Wofür kann dieser Indikator verwendet werden? Die erste und offensichtliche Verwendung findet sich in der Statistik. Fast jede statistische Studie verwendet das arithmetische Mittel. Dabei kann es sich um das durchschnittliche Heiratsalter in Russland, die durchschnittliche Fachnote eines Schulkindes oder die durchschnittlichen Ausgaben für Lebensmittel pro Tag handeln. Wie oben erwähnt, kann die Berechnung von Durchschnittswerten ohne Berücksichtigung von Gewichten zu seltsamen oder absurden Werten führen.

Beispielsweise gab der Präsident der Russischen Föderation bekannt, dass laut Statistik das durchschnittliche Gehalt eines Russen 27.000 Rubel beträgt. Für die meisten Einwohner Russlands schien diese Gehaltshöhe absurd. Es ist nicht verwunderlich, wenn wir bei der Berechnung einerseits die Einkommen von Oligarchen, Chefs von Industrieunternehmen, Großbankiers und andererseits die Gehälter von Lehrern, Reinigungskräften und Verkäufern berücksichtigen. Sogar die Durchschnittsgehälter in einem Fachgebiet, beispielsweise Buchhalter, werden in Moskau, Kostroma und Jekaterinburg gravierende Unterschiede aufweisen.

So berechnen Sie Durchschnittswerte für heterogene Daten

Bei der Gehaltsabrechnung ist es wichtig, die Gewichtung jedes Werts zu berücksichtigen. Das bedeutet, dass die Gehälter von Oligarchen und Bankern beispielsweise eine Gewichtung von 0,00001 und die Gehälter von Verkäufern eine Gewichtung von 0,12 erhalten würden. Dies sind Zahlen aus heiterem Himmel, aber sie veranschaulichen grob die Verbreitung von Oligarchen und Verkäufern in der russischen Gesellschaft.

Um den Durchschnitt von Durchschnittswerten oder Durchschnittswerten in einem heterogenen Datensatz zu berechnen, ist es daher erforderlich, den arithmetisch gewichteten Durchschnitt zu verwenden. Ansonsten erhalten Sie in Russland ein durchschnittliches Gehalt von 27.000 Rubel. Wenn Sie Ihre Durchschnittsnote in Mathematik oder die durchschnittliche Anzahl an Toren eines ausgewählten Eishockeyspielers herausfinden möchten, dann ist der arithmetische Durchschnittsrechner für Sie geeignet.

Unser Programm ist ein einfacher und komfortabler Rechner zur Berechnung des arithmetischen Durchschnitts. Um die Berechnungen durchzuführen, müssen Sie lediglich die Parameterwerte eingeben.

Schauen wir uns ein paar Beispiele an

Berechnung der durchschnittlichen Punktzahl

Viele Lehrer nutzen die arithmetische Durchschnittsmethode, um die Jahresnote für ein Fach zu ermitteln. Stellen wir uns vor, dass das Kind in Mathematik die folgenden Viertelnoten erhalten hat: 3, 3, 5, 4. Welche Jahresnote wird ihm der Lehrer geben? Lassen Sie uns einen Taschenrechner verwenden und das arithmetische Mittel berechnen. Wählen Sie zunächst die entsprechende Anzahl an Feldern aus und geben Sie die Bewertungswerte in die angezeigten Zellen ein:

(3 + 3 + 5 + 4) / 4 = 3,75

Der Lehrer rundet den Wert zugunsten des Schülers auf und der Schüler erhält für das Jahr ein solides B.

Berechnung der verzehrten Süßigkeiten

Lassen Sie uns einige der Absurditäten des arithmetischen Durchschnitts veranschaulichen. Stellen wir uns vor, Mascha und Wowa hätten 10 Bonbons gehabt. Mascha aß 8 Bonbons und Wowa nur 2. Wie viele Bonbons aß jedes Kind im Durchschnitt? Mit einem Taschenrechner lässt sich leicht berechnen, dass Kinder im Durchschnitt 5 Bonbons gegessen haben, was völlig im Widerspruch zur Realität und zum gesunden Menschenverstand steht. Dieses Beispiel zeigt, dass das arithmetische Mittel für aussagekräftige Datensätze wichtig ist.

Abschluss

Die Berechnung des arithmetischen Mittels ist in vielen wissenschaftlichen Bereichen weit verbreitet. Dieser Indikator ist nicht nur in statistischen Berechnungen beliebt, sondern auch in der Physik, Mechanik, Wirtschaft, Medizin oder Finanzen. Nutzen Sie unsere Rechner als Assistenten zur Lösung von Aufgaben rund um die Berechnung des arithmetischen Mittels.

Die gebräuchlichste Art des Durchschnitts ist das arithmetische Mittel.

Einfaches arithmetisches Mittel

Ein einfaches arithmetisches Mittel ist der Durchschnittsterm, der bestimmt, wie das Gesamtvolumen eines bestimmten Attributs in den Daten gleichmäßig auf alle in der gegebenen Grundgesamtheit enthaltenen Einheiten verteilt ist. Somit ist die durchschnittliche Jahresleistung pro Mitarbeiter die Produktionsmenge, die jeder Mitarbeiter produzieren würde, wenn die gesamte Produktionsmenge gleichmäßig auf alle Mitarbeiter der Organisation verteilt wäre. Der arithmetische Mittelwert wird nach folgender Formel berechnet:

Einfacher arithmetischer Durchschnitt— Entspricht dem Verhältnis der Summe der Einzelwerte eines Merkmals zur Anzahl der Merkmale im Aggregat

Beispiel 1 .

Ein Team von 6 Arbeitern erhält 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 Tausend Rubel pro Monat.
Finden Sie das Durchschnittsgehalt

Lösung: (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 Tausend Rubel.

Arithmetisches Mittel gewichtet

Wenn das Volumen des Datensatzes groß ist und eine Verteilungsreihe darstellt, wird das gewichtete arithmetische Mittel berechnet. So wird der gewichtete Durchschnittspreis pro Produktionseinheit ermittelt: Die Gesamtproduktionskosten (die Summe der Produkte ihrer Menge durch den Preis einer Produktionseinheit) werden durch die Gesamtproduktionsmenge dividiert.

Stellen wir uns das in Form der folgenden Formel vor: Gewichteter arithmetischer Durchschnitt

— gleich dem Verhältnis von (der Summe der Produkte des Wertes eines Merkmals mit der Häufigkeit der Wiederholung dieses Merkmals) zu (der Summe der Häufigkeiten aller Merkmale). Es wird verwendet, wenn Varianten der untersuchten Population auftreten ungleich oft. Beispiel 2

Der Durchschnittslohn lässt sich ermitteln, indem man den Gesamtlohn durch die Gesamtzahl der Arbeitnehmer dividiert:

Antwort: 3,35 Tausend Rubel.

Arithmetisches Mittel für Intervallreihen

Wenn Sie das arithmetische Mittel für eine Intervallvariationsreihe berechnen, bestimmen Sie zunächst den Mittelwert für jedes Intervall als Halbsumme der Ober- und Untergrenze und dann den Mittelwert der gesamten Reihe. Bei offenen Intervallen wird der Wert des unteren bzw. oberen Intervalls durch die Größe der angrenzenden Intervalle bestimmt.

Aus Intervallreihen berechnete Durchschnittswerte sind Näherungswerte.

Beispiel 3. Bestimmen Sie das Durchschnittsalter der Abendstudenten.

Aus Intervallreihen berechnete Durchschnittswerte sind Näherungswerte. Der Grad ihrer Annäherung hängt davon ab, inwieweit sich die tatsächliche Verteilung der Bevölkerungseinheiten innerhalb des Intervalls einer Gleichverteilung annähert.

Bei der Berechnung von Durchschnittswerten können als Gewichte nicht nur absolute, sondern auch relative Werte (Häufigkeit) verwendet werden:

Das arithmetische Mittel hat eine Reihe von Eigenschaften, die sein Wesen besser offenbaren und Berechnungen vereinfachen:

1. Das Produkt des Durchschnitts durch die Summe der Häufigkeiten ist immer gleich der Summe der Produkte der Variante durch die Häufigkeiten, d.h.

2. Das arithmetische Mittel der Summe variierender Größen ist gleich der Summe der arithmetischen Mittel dieser Größen:

3. Die algebraische Summe der Abweichungen einzelner Werte eines Merkmals vom Durchschnitt ist gleich Null:

4. Die Summe der quadrierten Abweichungen der Optionen vom Durchschnitt ist kleiner als die Summe der quadrierten Abweichungen von jedem anderen beliebigen Wert, d. h.

Dieser Begriff hat andere Bedeutungen, siehe durchschnittliche Bedeutung.

Arithmetisches Mittel(in der Mathematik und Statistik) Zahlenmengen – die Summe aller Zahlen dividiert durch ihre Zahl. Es ist eines der gebräuchlichsten Maße der zentralen Tendenz.

Es wurde (zusammen mit dem geometrischen Mittel und dem harmonischen Mittel) von den Pythagoräern vorgeschlagen.

Sonderfälle des arithmetischen Mittels sind der Mittelwert (Grundgesamtheit) und der Stichprobenmittelwert (Stichprobe).

Einführung

Beide Größen werden auf die gleiche Weise berechnet:

X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)

Beispiele

Bei drei Zahlen müssen Sie diese addieren und durch 3 dividieren:

x 1 + x 2 + x 3 3 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).)

Bei vier Zahlen müssen Sie diese addieren und durch 4 dividieren:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).)

Oder einfacher: 5+5=10, 10:2. Da wir zwei Zahlen addiert haben, d. h. wie viele Zahlen wir addieren, dividieren wir durch diese Anzahl.

Kontinuierliche Zufallsvariable

Für eine kontinuierlich verteilte Größe f (x) (\displaystyle f(x)) ist das arithmetische Mittel auf dem Intervall [ a ; b ] (\displaystyle ) wird durch ein bestimmtes Integral bestimmt:

F (x) ¯ [ a ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

Einige Probleme bei der Verwendung des Durchschnitts

Mangelnde Robustheit

Hauptartikel: Robustheit in der Statistik

Zinseszins

Hauptartikel: Kapitalrendite

Wegbeschreibung

Hauptartikel: Zielstatistiken

Erstens werden Winkelmaße nur für den Bereich von 0° bis 360° (oder von 0 bis 2π bei Messung im Bogenmaß) definiert. Das gleiche Zahlenpaar könnte also als (1° und −1°) oder als (1° und 719°) geschrieben werden. Die Durchschnittswerte jedes Paares werden unterschiedlich sein: 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2 ))=0 ^(\circ )) , 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\ Kreis )).
Zweitens ist in diesem Fall ein Wert von 0° (entspricht 360°) ein geometrisch besserer Durchschnittswert, da die Zahlen von 0° weniger abweichen als von jedem anderen Wert (der Wert 0° weist die geringste Varianz auf). Vergleichen:
- die Zahl 1° weicht von 0° nur um 1° ab;
- die Zahl 1° weicht um 179° vom berechneten Mittelwert von 180° ab.

Arten von Durchschnittswerten und Methoden zu ihrer Berechnung

Leistungsdurchschnitte;
Strukturdurchschnitte.

Lassen Sie uns die folgenden Konventionen einführen:

Die Mengen, für die der Durchschnitt berechnet wird;

Durchschnitt, wobei der Balken oben anzeigt, dass eine Mittelung der Einzelwerte stattfindet;

Häufigkeit (Wiederholbarkeit einzelner Kennwerte).

Aus der allgemeinen Leistungsdurchschnittsformel werden verschiedene Durchschnittswerte abgeleitet:

(5.1)

wenn k = 1 - arithmetisches Mittel; k = -1 - harmonischer Mittelwert; k = 0 – geometrisches Mittel; k = -2 - quadratischer Mittelwert.

Arithmetische Mittelformel ( einfach) hat die Form

wobei n die Bevölkerungsgröße ist.

Beispielsweise wird das durchschnittliche Gehalt der Mitarbeiter eines Unternehmens als arithmetischer Durchschnitt berechnet:

(5.3)

1 - 800 AK. - 1010 Rubel.

2 - 650 AK. - 990 Rubel.

3 - 700 AK. - 1015 Rubel.

4 - 550 AK. - 900 Rubel.

5 - 850 AK. - 1150 Rubel.

Das Ausgangsverhältnis zur Ermittlung des durchschnittlichen Aktienpreises ist das Verhältnis des Gesamtbetrags der Transaktionen (TVA) zur Anzahl der verkauften Aktien (KPA):

OSS = 1010·800+990·650+1015·700+900·550+1150·850= 3.634.500;

KPA = 800+650+700+550+850=3550.

In diesem Fall war der durchschnittliche Aktienkurs gleich

Es ist notwendig, die Eigenschaften des arithmetischen Mittels zu kennen, was sowohl für seine Verwendung als auch für seine Berechnung sehr wichtig ist. Wir können drei Haupteigenschaften unterscheiden, die die weit verbreitete Verwendung des arithmetischen Durchschnitts in statistischen und wirtschaftlichen Berechnungen am meisten bestimmt haben.

Eigentum eins (null): Die Summe der positiven Abweichungen einzelner Werte eines Merkmals von seinem Durchschnittswert ist gleich der Summe der negativen Abweichungen. Dies ist eine sehr wichtige Eigenschaft, da sie zeigt, dass alle zufälligen Abweichungen (sowohl + als auch -) sich gegenseitig aufheben.

Nachweisen:

Eigentum zwei (Minimum): Die Summe der quadratischen Abweichungen einzelner Werte eines Merkmals vom arithmetischen Mittel ist kleiner als von jeder anderen Zahl (a), d.h. Es gibt eine Mindestanzahl.

Nachweisen.

Lassen Sie uns die Summe der quadratischen Abweichungen von der Variablen a zusammenstellen:

(5.4)

Um das Extremum dieser Funktion zu finden, muss ihre Ableitung nach a mit Null gleichgesetzt werden:

Von hier aus erhalten wir:

(5.5)

Folglich wird das Extremum der Summe der quadratischen Abweichungen bei erreicht. Dieses Extremum ist ein Minimum, da eine Funktion kein Maximum haben kann.

Eigentum drei: Das arithmetische Mittel eines konstanten Wertes ist gleich dieser Konstante: für a = const.

Neben diesen drei wichtigsten Eigenschaften des arithmetischen Mittels gibt es noch sogenannte Designeigenschaften, die durch den Einsatz elektronischer Computertechnik allmählich an Bedeutung verlieren:

Wenn der individuelle Wert des Attributs jeder Einheit mit einer konstanten Zahl multipliziert oder dividiert wird, erhöht oder verringert sich das arithmetische Mittel um den gleichen Betrag.
das arithmetische Mittel ändert sich nicht, wenn die Gewichtung (Häufigkeit) jedes Attributwerts durch eine konstante Zahl geteilt wird;
Wenn die einzelnen Werte des Attributs jeder Einheit um den gleichen Betrag verringert oder erhöht werden, verringert oder erhöht sich das arithmetische Mittel um den gleichen Betrag.

Harmonisches Mittel. Dieser Durchschnitt wird als inverser arithmetischer Durchschnitt bezeichnet, da dieser Wert verwendet wird, wenn k = -1.

Einfaches harmonisches Mittel wird verwendet, wenn die Gewichte der Attributwerte gleich sind. Seine Formel kann aus der Grundformel durch Einsetzen von k = -1 abgeleitet werden:

Wir müssen zum Beispiel die Durchschnittsgeschwindigkeit zweier Autos berechnen, die denselben Weg, aber mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten zurückgelegt haben: das erste mit einer Geschwindigkeit von 100 km/h, das zweite mit 90 km/h. Mit der harmonischen Mittelwertmethode berechnen wir die Durchschnittsgeschwindigkeit:

In der statistischen Praxis wird häufiger die harmonisch gewichtete Formel verwendet, deren Formel die Form hat

Diese Formel wird in Fällen verwendet, in denen die Gewichte (oder Volumina von Phänomenen) für jedes Attribut nicht gleich sind. Im Ausgangsverhältnis zur Berechnung des Durchschnitts ist der Zähler bekannt, der Nenner jedoch unbekannt.

Bei der Berechnung des Durchschnittspreises müssen wir beispielsweise das Verhältnis der Verkaufsmenge zur Anzahl der verkauften Einheiten heranziehen. Wir kennen nicht die Anzahl der verkauften Einheiten (es handelt sich um verschiedene Waren), aber wir kennen die Verkaufsmengen dieser verschiedenen Waren. Nehmen wir an, Sie müssen den Durchschnittspreis der verkauften Waren ermitteln:

Wir bekommen

Geometrisches Mittel. Am häufigsten findet das geometrische Mittel seine Anwendung bei der Bestimmung durchschnittlicher Wachstumsraten (durchschnittliche Wachstumskoeffizienten), wenn einzelne Werte eines Merkmals in Form von Relativwerten dargestellt werden. Es wird auch verwendet, wenn der Durchschnitt zwischen den minimalen und maximalen Werten eines Merkmals ermittelt werden muss (z. B. zwischen 100 und 1.000.000). Es gibt Formeln für einfache und gewichtete geometrische Mittel.

Für ein einfaches geometrisches Mittel

Für das gewichtete geometrische Mittel

Effektiver Mittelwert. Das Hauptanwendungsgebiet ist die Messung der Variation eines Merkmals im Aggregat (Berechnung der Standardabweichung).

Einfache mittlere quadratische Formel

Gewichtete mittlere quadratische Formel

(5.11)

Als Ergebnis können wir sagen, dass die erfolgreiche Lösung statistischer Forschungsprobleme von der richtigen Wahl der Art des Durchschnittswerts im Einzelfall abhängt. Die Auswahl des Durchschnitts erfolgt in folgender Reihenfolge:

a) Festlegung eines allgemeinen Bevölkerungsindikators;

b) Bestimmung eines mathematischen Mengenverhältnisses für einen gegebenen allgemeinen Indikator;

c) Ersetzen einzelner Werte durch Durchschnittswerte;

d) Berechnung des Durchschnitts unter Verwendung der entsprechenden Gleichung.

Durchschnittswerte und Variation

Durchschnittswert- Dies ist ein allgemeiner Indikator, der eine qualitativ homogene Bevölkerung anhand eines bestimmten quantitativen Merkmals charakterisiert. Beispielsweise das Durchschnittsalter der wegen Diebstahls verurteilten Personen.

In der Justizstatistik werden Durchschnittswerte verwendet, um Folgendes zu charakterisieren:

Durchschnittliche Zeit für die Prüfung von Fällen dieser Kategorie;

Durchschnittliche Anspruchsgröße;

Durchschnittliche Anzahl der Angeklagten pro Fall;

Durchschnittlicher Schaden;

Durchschnittliche Arbeitsbelastung der Richter usw.

Der Durchschnitt ist immer ein benannter Wert und hat die gleiche Dimension wie das Merkmal einer einzelnen Bevölkerungseinheit. Jeder Durchschnittswert charakterisiert die untersuchte Population gemäß einem variierenden Merkmal. Daher liegt hinter jedem Durchschnittswert eine Reihe von Verteilungen von Einheiten dieser Population entsprechend dem untersuchten Merkmal. Die Wahl der Durchschnittsart richtet sich nach dem Inhalt des Indikators und den Ausgangsdaten zur Berechnung des Durchschnittswerts.

Alle in der statistischen Forschung verwendeten Arten von Durchschnittswerten werden in zwei Kategorien unterteilt:

1) Leistungsdurchschnitte;

2) Strukturdurchschnitte.

Die erste Kategorie von Durchschnittswerten umfasst: arithmetisches Mittel, harmonisches Mittel, geometrisches Mittel Und quadratischer Mittelwert . Die zweite Kategorie ist Mode Und mittlere. Darüber hinaus kann jede der aufgeführten Arten von Leistungsdurchschnitten zwei Formen haben: einfach Und gewichtet . Die einfache Form des Durchschnitts wird verwendet, um den Durchschnittswert des untersuchten Merkmals zu ermitteln, wenn die Berechnung anhand nicht gruppierter statistischer Daten durchgeführt wird oder wenn jede Option im Aggregat nur einmal vorkommt. Gewichtete Durchschnitte sind Werte, die berücksichtigen, dass Varianten von Attributwerten unterschiedliche Zahlen haben können und daher jede Variante mit der entsprechenden Häufigkeit multipliziert werden muss. Mit anderen Worten: Jede Option wird nach ihrer Häufigkeit „gewichtet“. Die Häufigkeit wird als statistisches Gewicht bezeichnet.

Einfaches arithmetisches Mittel- die häufigste Art von Durchschnitt. Sie entspricht der Summe der Einzelwerte des Attributs dividiert durch die Gesamtzahl dieser Werte:

Wo x 1 ,x 2 , … ,x N sind die Einzelwerte des variierenden Merkmals (Varianten) und N ist die Anzahl der Einheiten in der Grundgesamtheit.

Arithmetisches Mittel gewichtet Wird in Fällen verwendet, in denen Daten in Form von Verteilungsreihen oder Gruppierungen dargestellt werden. Sie wird als Summe der Produkte von Optionen und ihrer entsprechenden Häufigkeiten dividiert durch die Summe der Häufigkeiten aller Optionen berechnet:

Wo x i- Bedeutung ich-te Varianten des Merkmals; f i– Frequenz ich-te Optionen.

Somit wird jeder Variantenwert anhand seiner Häufigkeit gewichtet, weshalb Häufigkeiten manchmal als statistische Gewichte bezeichnet werden.

Kommentar. Wenn wir von einem arithmetischen Mittel sprechen, ohne seinen Typ anzugeben, meinen wir das einfache arithmetische Mittel.

Tabelle 12.

Lösung. Zur Berechnung verwenden wir die Formel des gewichteten arithmetischen Durchschnitts:

Somit gibt es durchschnittlich zwei Angeklagte pro Strafverfahren.

Wenn die Berechnung des Durchschnittswerts anhand von Daten erfolgt, die in Form von Intervallverteilungsreihen gruppiert sind, müssen Sie zunächst die Mittelwerte jedes Intervalls x"i bestimmen und dann den Durchschnittswert anhand des arithmetischen gewichteten Durchschnitts berechnen Formel, in die x"i anstelle von xi eingesetzt wird.

Beispiel. Daten zum Alter der wegen Diebstahls verurteilten Straftäter sind in der Tabelle aufgeführt:

Tabelle 13.

Bestimmen Sie das Durchschnittsalter der wegen Diebstahls verurteilten Kriminellen.

Lösung. Um das Durchschnittsalter von Kriminellen anhand einer Intervallvariationsreihe zu ermitteln, müssen zunächst die Mittelwerte der Intervalle ermittelt werden. Da eine Intervallreihe mit dem ersten und letzten offenen Intervall gegeben ist, werden die Werte dieser Intervalle gleich den Werten benachbarter geschlossener Intervalle angenommen. In unserem Fall sind die Werte des ersten und letzten Intervalls gleich 10.

Jetzt ermitteln wir das Durchschnittsalter von Kriminellen mithilfe der gewichteten arithmetischen Durchschnittsformel:

Somit liegt das Durchschnittsalter der wegen Diebstahls verurteilten Straftäter bei etwa 27 Jahren.

Mittel harmonisch einfach stellt den Kehrwert des arithmetischen Mittels der Umkehrwerte des Merkmals dar:

wo 1/ x i sind die Umkehrwerte der Optionen und N ist die Anzahl der Einheiten in der Grundgesamtheit.

Beispiel. Um die durchschnittliche jährliche Arbeitsbelastung der Richter eines Bezirksgerichts bei der Behandlung von Strafsachen zu ermitteln, wurde eine Studie zur Arbeitsbelastung von 5 Richtern dieses Gerichts durchgeführt. Die durchschnittliche Zeit, die jeder der befragten Richter für ein Strafverfahren aufgewendet hat, war gleich (in Tagen): 6, 0, 5, 6, 6, 3, 4, 9, 5, 4. Ermitteln Sie die durchschnittlichen Kosten für ein Strafverfahren Strafverfahren und die durchschnittliche jährliche Arbeitsbelastung der Richter eines bestimmten Bezirksgerichts bei der Prüfung von Strafverfahren.

Lösung. Um die durchschnittliche Zeit zu ermitteln, die für ein Strafverfahren aufgewendet wird, verwenden wir die harmonische Durchschnittsformel:

Um die Berechnungen zu vereinfachen, gehen wir im Beispiel davon aus, dass die Anzahl der Tage im Jahr 365 beträgt, einschließlich der Wochenenden (dies hat keinen Einfluss auf die Berechnungsmethode, und bei der Berechnung eines ähnlichen Indikators in der Praxis ist es notwendig, die Anzahl der Arbeitstage zu ersetzen Tage in einem bestimmten Jahr statt 365 Tage). Dann beträgt die durchschnittliche jährliche Arbeitsbelastung für Richter eines bestimmten Bezirksgerichts bei der Behandlung von Strafsachen: 365 (Tage) : 5,56 ≈ 65,6 (Fälle).

Wenn wir die einfache arithmetische Durchschnittsformel verwenden würden, um die durchschnittliche Zeit zu ermitteln, die für einen Straffall aufgewendet wurde, würden wir Folgendes erhalten:

365 (Tage): 5,64 ≈ 64,7 (Fälle), d.h. Es stellte sich heraus, dass die durchschnittliche Arbeitsbelastung der Richter geringer war.

Lassen Sie uns die Gültigkeit dieses Ansatzes überprüfen. Dazu nutzen wir Daten über die Zeit, die jeder Richter für ein Strafverfahren aufgewendet hat, und berechnen die Anzahl der von jedem Richter pro Jahr behandelten Strafverfahren.

Wir bekommen entsprechend:

365(Tage) : 6 ≈ 61 (Fälle), 365(Tage) : 5,6 ≈ 65,2 (Fälle), 365(Tage) : 6,3 ≈ 58 (Fälle),

365(Tage) : 4,9 ≈ 74,5 (Fälle), 365(Tage) : 5,4 ≈ 68 (Fälle).

Berechnen wir nun die durchschnittliche jährliche Arbeitsbelastung der Richter eines bestimmten Bezirksgerichts bei der Prüfung von Strafsachen:

Diese. Die durchschnittliche Jahresbelastung ist dieselbe wie bei Verwendung des harmonischen Mittels.

Daher ist die Verwendung des arithmetischen Durchschnitts in diesem Fall rechtswidrig.

In Fällen, in denen die Varianten eines Merkmals und ihre volumetrischen Werte (das Produkt aus Varianten und Frequenz) bekannt sind, die Frequenzen selbst jedoch unbekannt sind, wird die Formel des gewichteten harmonischen Durchschnitts verwendet:

Wo x i sind die Werte der Attributoptionen und w i sind die volumetrischen Werte der Optionen ( w i = x i f i).

Beispiel. Daten zum Preis einer Einheit des gleichen Produkttyps, die von verschiedenen Institutionen des Strafvollzugssystems hergestellt wird, und zum Volumen ihrer Verkäufe sind in Tabelle 14 aufgeführt.

Tabelle 14

Ermitteln Sie den durchschnittlichen Verkaufspreis des Produkts.

Lösung. Bei der Berechnung des Durchschnittspreises müssen wir das Verhältnis der Verkaufsmenge zur Anzahl der verkauften Einheiten heranziehen. Wir kennen die Anzahl der verkauften Einheiten nicht, aber wir kennen die Menge der verkauften Waren. Um den Durchschnittspreis der verkauften Waren zu ermitteln, verwenden wir daher die Formel für den gewichteten harmonischen Durchschnitt. Wir bekommen

Wenn Sie hier die arithmetische Durchschnittsformel verwenden, können Sie einen Durchschnittspreis erhalten, der unrealistisch ist:

Geometrisches Mittel wird berechnet, indem die Wurzel vom Grad N aus dem Produkt aller Werte der Attributvarianten gezogen wird:

Wo x 1 ,x 2 , … ,x N– Einzelwerte des variierenden Merkmals (Varianten) und

N– Anzahl der Einheiten in der Bevölkerung.

Diese Art von Durchschnitt wird zur Berechnung der durchschnittlichen Wachstumsraten von Zeitreihen verwendet.

Mittleres Quadrat wird zur Berechnung der Standardabweichung verwendet, die ein Indikator für die Variation ist und im Folgenden erläutert wird.

Zur Bestimmung der Bevölkerungsstruktur werden spezielle Durchschnittsindikatoren verwendet, darunter mittlere Und Mode oder die sogenannten Strukturdurchschnitte. Wenn das arithmetische Mittel auf der Grundlage aller Varianten von Attributwerten berechnet wird, charakterisieren Median und Modus den Wert der Variante, die eine bestimmte Durchschnittsposition in der geordneten (geordneten) Reihe einnimmt. Die Einheiten einer statistischen Grundgesamtheit können in aufsteigender oder absteigender Reihenfolge der Varianten des untersuchten Merkmals geordnet werden.

Median (Ich)– Dies ist der Wert, der der Option entspricht, die sich in der Mitte der Rangliste befindet. Der Median ist also die Version der Rangfolge, auf deren beiden Seiten in dieser Reihe die gleiche Anzahl an Bevölkerungseinheiten vorhanden sein sollte.

Um den Median zu ermitteln, müssen Sie zunächst seine fortlaufende Nummer in der Rangfolge mithilfe der Formel ermitteln:

wobei N das Volumen der Reihe ist (die Anzahl der Einheiten in der Grundgesamtheit).

Wenn die Reihe aus einer ungeraden Anzahl von Termen besteht, ist der Median gleich der Option mit der Nummer N Me. Besteht die Reihe aus einer geraden Anzahl von Termen, so ist der Median als arithmetisches Mittel zweier benachbarter, in der Mitte liegender Optionen definiert.

Beispiel. Gegeben sei eine Rangfolge 1, 2, 3, 3, 6, 7, 9, 9, 10. Das Volumen der Reihe beträgt N = 9, was N Me = (9 + 1) / 2 = 5 bedeutet. Daher ist Me = 6, d.h. . fünfte Möglichkeit. Wenn die Zeile 1, 5, 7, 9, 11, 14, 15, 16 ist, d. h. Reihe mit einer geraden Anzahl von Termen (N = 8), dann ist N Me = (8 + 1) / 2 = 4,5. Das bedeutet, dass der Median der Hälfte der Summe der vierten und fünften Option entspricht, d. h. Ich = (9 + 11) / 2 = 10.

In einer diskreten Variationsreihe wird der Median durch die akkumulierten Häufigkeiten bestimmt. Die Häufigkeiten der Option werden, beginnend mit der ersten, summiert, bis der Medianwert überschritten wird. Der Wert der zuletzt summierten Optionen ist der Median.

Beispiel. Ermitteln Sie anhand der Daten in Tabelle 12 die mittlere Anzahl der Angeklagten pro Strafverfahren.

Lösung. In diesem Fall beträgt das Volumen der Variationsreihe N = 154, also N Me = (154 + 1) / 2 = 77,5. Nachdem wir die Häufigkeiten der ersten und zweiten Option zusammengefasst haben, erhalten wir: 75 + 43 = 118, d.h. Wir haben den Durchschnittswert überschritten. Also ich = 2.

In einer Intervallvariationsreihe gibt die Verteilung zunächst das Intervall an, in dem sich der Median befindet. Sie rufen ihn an mittlere . Dies ist das erste Intervall, dessen kumulierte Häufigkeit die Hälfte des Volumens der Intervallvariationsreihe überschreitet. Dann wird der numerische Wert des Medians durch die Formel bestimmt:

Wo x Ich– untere Grenze des Medianintervalls; i – der Wert des Medianintervalls; S Me-1– kumulierte Häufigkeit des Intervalls, das dem Median vorausgeht; Für mich– Häufigkeit des Medianintervalls.

Beispiel. Ermitteln Sie das Durchschnittsalter der wegen Diebstahls verurteilten Straftäter anhand der in Tabelle 13 dargestellten Statistiken.

Lösung. Statistische Daten werden durch eine Intervallvariationsreihe dargestellt, was bedeutet, dass wir zunächst das Medianintervall bestimmen. Das Bevölkerungsvolumen beträgt N = 162, daher ist das mittlere Intervall das Intervall 18-28, weil Dies ist das erste Intervall, dessen kumulierte Häufigkeit (15 + 90 = 105) die Hälfte des Volumens (162: 2 = 81) der Intervallvariationsreihe überschreitet. Nun ermitteln wir den Zahlenwert des Medians mit der obigen Formel:

Somit ist die Hälfte der wegen Diebstahls Verurteilten unter 25 Jahre alt.

Mode (Mo) Sie bezeichnen den Wert eines Merkmals, das am häufigsten in Bevölkerungseinheiten vorkommt. Mode wird verwendet, um den Wert einer Eigenschaft zu identifizieren, die am weitesten verbreitet ist. Bei einer diskreten Serie ist der Modus die Option mit der höchsten Frequenz. Zum Beispiel für die in Tabelle 3 dargestellte diskrete Reihe Mo= 1, da dieser Wert der höchsten Häufigkeit entspricht - 75. Um den Modus der Intervallreihe zu bestimmen, bestimmen Sie zunächst modal Intervall (das Intervall mit der höchsten Häufigkeit). Innerhalb dieses Intervalls wird dann der Wert des Merkmals ermittelt, bei dem es sich um einen Modus handeln kann.

Sein Wert wird mit der Formel ermittelt:

Wo x Mo– untere Grenze des Modalintervalls; i – der Wert des Modalintervalls; f Mo– Häufigkeit des Modalintervalls; f Mo-1– Häufigkeit des Intervalls vor dem modalen Intervall; f Mo+1– Häufigkeit des Intervalls, das auf das Modalintervall folgt.

Beispiel. Ermitteln Sie das Alter der wegen Diebstahls verurteilten Kriminellen. Die Daten dazu sind in Tabelle 13 aufgeführt.

Lösung. Die höchste Frequenz entspricht dem Intervall 18-28, daher sollte der Modus in diesem Intervall liegen. Sein Wert wird durch die obige Formel bestimmt:

Somit sind die meisten wegen Diebstahls verurteilten Straftäter 24 Jahre alt.

Der Durchschnittswert liefert eine allgemeine Charakteristik der Gesamtheit des untersuchten Phänomens. Allerdings können sich zwei Populationen mit gleichen Durchschnittswerten im Grad der Schwankung (Variation) des Wertes des untersuchten Merkmals deutlich voneinander unterscheiden. Beispielsweise wurden in einem Gericht die folgenden Freiheitsstrafen verhängt: 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 12, 12, 15 Jahre und in einem anderen - 5, 5, 6, 6, 7, 7 , 7, 8, 8, 8 Jahre alt. In beiden Fällen beträgt das arithmetische Mittel 6,7 Jahre. Allerdings unterscheiden sich diese Populationen deutlich voneinander in der Streuung der Einzelwerte der zugewiesenen Freiheitsstrafe relativ zum Durchschnittswert.

Und beim ersten Gericht, wo diese Spanne recht groß ist, spiegelt der Durchschnittswert der Freiheitsstrafe nicht die Gesamtbevölkerung wider. Wenn sich also die einzelnen Werte eines Merkmals kaum voneinander unterscheiden, ist das arithmetische Mittel ein ziemlich aussagekräftiges Merkmal der Eigenschaften einer bestimmten Population. Andernfalls wäre das arithmetische Mittel ein unzuverlässiges Merkmal dieser Grundgesamtheit und seine Verwendung in der Praxis wäre unwirksam. Daher ist es notwendig, die Variation der Werte des untersuchten Merkmals zu berücksichtigen.

Variation- Dies sind Unterschiede in den Werten eines Merkmals zwischen verschiedenen Einheiten einer bestimmten Population im gleichen Zeitraum oder zum gleichen Zeitpunkt. Der Begriff „Variation“ ist lateinischen Ursprungs – variatio, was Differenz, Veränderung, Schwankung bedeutet. Sie entsteht dadurch, dass die Einzelwerte eines Merkmals unter dem gemeinsamen Einfluss verschiedener Faktoren (Bedingungen) entstehen, die im Einzelfall unterschiedlich kombiniert sind. Um die Variation eines Merkmals zu messen, werden verschiedene absolute und relative Indikatoren verwendet.

Zu den Hauptindikatoren für Abweichungen gehören die folgenden:

1) Variationsbreite;

2) durchschnittliche lineare Abweichung;

3) Streuung;

4) Standardabweichung;

5) Variationskoeffizient.

Schauen wir uns jeden einzelnen kurz an.

Variationsbreite R ist im Hinblick auf die einfache Berechnung der am besten zugängliche absolute Indikator, der als Differenz zwischen dem größten und kleinsten Wert eines Merkmals für Einheiten einer bestimmten Grundgesamtheit definiert ist:

Die Variationsbreite (Schwankungsbreite) ist ein wichtiger Indikator für die Variabilität eines Merkmals, ermöglicht jedoch nur die Feststellung extremer Abweichungen, was den Anwendungsbereich einschränkt. Um die Variation eines Merkmals anhand seiner Variabilität genauer zu charakterisieren, werden andere Indikatoren verwendet.

Durchschnittliche lineare Abweichung stellt das arithmetische Mittel der Absolutwerte der Abweichungen einzelner Werte eines Merkmals vom Durchschnitt dar und wird durch die Formeln bestimmt:

1) Für nicht gruppierte Daten

2) Für Variationsreihe

Das am weitesten verbreitete Variationsmaß ist jedoch Streuung . Es charakterisiert das Maß der Streuung der Werte des untersuchten Merkmals relativ zu seinem Durchschnittswert. Die Streuung ist definiert als der Durchschnitt der Abweichungen im Quadrat.

Einfache Varianz für nicht gruppierte Daten:

Varianzgewichtet für die Variationsreihe:

Kommentar. In der Praxis ist es besser, die folgenden Formeln zur Berechnung der Varianz zu verwenden:

Für einfache Varianz

Für gewichtete Varianz

Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz:

Die Standardabweichung ist ein Maß für die Zuverlässigkeit des Mittelwerts. Je kleiner die Standardabweichung, desto homogener ist die Population und desto besser spiegelt das arithmetische Mittel die Gesamtpopulation wider.

Die oben diskutierten Streumaße (Variationsspanne, Streuung, Standardabweichung) sind absolute Indikatoren, anhand derer es nicht immer möglich ist, den Grad der Variabilität eines Merkmals zu beurteilen. Bei einigen Problemen ist die Verwendung relativer Streuindizes erforderlich, einer davon ist Variationskoeffizient.

Variationskoeffizient– das Verhältnis der Standardabweichung zum arithmetischen Mittel, ausgedrückt in Prozent:

Der Variationskoeffizient dient nicht nur zur vergleichenden Beurteilung der Variation verschiedener Merkmale oder desselben Merkmals in verschiedenen Populationen, sondern auch zur Charakterisierung der Homogenität der Population. Eine statistische Grundgesamtheit gilt als quantitativ homogen, wenn der Variationskoeffizient 33 % nicht überschreitet (für Verteilungen nahe der Normalverteilung).

Beispiel. Zu den Haftbedingungen von 50 Verurteilten, die zur Verbüßung einer vom Gericht verhängten Strafe in einer Justizvollzugsanstalt des Strafvollzugs verurteilt wurden, liegen folgende Daten vor: 5, 4, 2, 1, 6, 3, 4, 3, 2, 2 , 5, 6, 4, 3 , 10, 5, 4, 1, 2, 3, 3, 4, 1, 6, 5, 3, 4, 3, 5, 12, 4, 3, 2, 4, 6 , 4, 4, 3, 1 , 5, 4, 3, 12, 6, 7, 3, 4, 5, 5, 3.

1. Konstruieren Sie eine Reihe von Verteilungen nach Haftbedingungen.

2. Ermitteln Sie den Mittelwert, die Varianz und die Standardabweichung.

3. Berechnen Sie den Variationskoeffizienten und ziehen Sie eine Schlussfolgerung über die Homogenität oder Heterogenität der untersuchten Population.

Lösung. Um eine diskrete Verteilungsreihe zu erstellen, müssen Optionen und Häufigkeiten bestimmt werden. Die Option in diesem Problem ist die Freiheitsstrafe, und die Häufigkeit ist die Anzahl der einzelnen Optionen. Nach der Berechnung der Häufigkeiten erhalten wir die folgende diskrete Verteilungsreihe:

Lassen Sie uns den Mittelwert und die Varianz ermitteln. Da statistische Daten durch eine diskrete Variationsreihe dargestellt werden, verwenden wir für ihre Berechnung die Formeln für das gewichtete arithmetische Mittel und die Streuung. Wir bekommen:

= = 4,1;

= 5,21.

Jetzt berechnen wir die Standardabweichung:

Ermittlung des Variationskoeffizienten:

Folglich ist die statistische Grundgesamtheit quantitativ heterogen.

Einfaches arithmetisches Mittel

Durchschnittswerte

In der Statistik werden häufig Durchschnittswerte verwendet.

Durchschnittswert- Hierbei handelt es sich um einen allgemeinen Indikator, der die Auswirkungen allgemeiner Bedingungen und Entwicklungsmuster des untersuchten Phänomens zum Ausdruck bringt.

Statistische Durchschnittswerte werden auf der Grundlage von Massendaten aus ordnungsgemäß statistisch organisierten Beobachtungen (kontinuierlich und selektiv) berechnet. Der statistische Durchschnitt ist jedoch objektiv und typisch, wenn er aus Massendaten für eine qualitativ homogene Population (Massenphänomene) berechnet wird. Wenn Sie beispielsweise das Durchschnittsgehalt in Aktiengesellschaften und Staatsunternehmen berechnen und das Ergebnis auf die gesamte Bevölkerung ausdehnen, ist der Durchschnitt fiktiv, da er für eine heterogene Bevölkerung berechnet wurde, und ein solcher Durchschnitt verliert alles Bedeutung.

Mit Hilfe des Durchschnitts werden Unterschiede im Wert eines Merkmals, die aus dem einen oder anderen Grund in einzelnen Beobachtungseinheiten entstehen, geglättet.

Beispielsweise hängt die durchschnittliche Leistung eines einzelnen Verkäufers von vielen Faktoren ab: Qualifikation, Betriebszugehörigkeit, Alter, Dienstform, Gesundheitszustand usw. Die durchschnittliche Produktion spiegelt die allgemeinen Merkmale der gesamten Bevölkerung wider.

Der Durchschnittswert wird in denselben Einheiten wie das Attribut selbst gemessen.

Jeder Durchschnittswert charakterisiert die untersuchte Population anhand eines beliebigen Merkmals. Um anhand einer Reihe wesentlicher Merkmale ein vollständiges und umfassendes Bild der untersuchten Bevölkerung zu erhalten, ist ein System von Durchschnittswerten erforderlich, das das Phänomen aus verschiedenen Blickwinkeln beschreiben kann.

Es gibt verschiedene Arten von Durchschnittswerten:

arithmetisches Mittel;

harmonisches Mittel;

geometrisches Mittel;

mittleres Quadrat;

durchschnittlicher Kubikmeter.

Die Durchschnittswerte aller oben aufgeführten Typen werden wiederum in einfache (ungewichtete) und gewichtete unterteilt.

Schauen wir uns die Arten von Durchschnittswerten an, die in der Statistik verwendet werden.

Das einfache arithmetische Mittel (ungewichtet) ist gleich der Summe der Einzelwerte des Attributs dividiert durch die Anzahl dieser Werte.

Einzelne Werte eines Merkmals heißen Varianten und werden mit x i (
); die Anzahl der Bevölkerungseinheiten wird mit n bezeichnet, der Durchschnittswert des Merkmals wird mit bezeichnet . Daher ist das arithmetische einfache Mittel gleich:

oder

Beispiel 1. Tabelle 1

Daten zur Arbeiterproduktion von Produkt A pro Schicht

In diesem Beispiel ist das variierende Merkmal die Produktion von Produkten pro Schicht.

Die numerischen Werte des Attributs (16, 17 usw.) werden Optionen genannt. Lassen Sie uns die durchschnittliche Leistung der Arbeitnehmer dieser Gruppe ermitteln:

Stk.

Der einfache arithmetische Mittelwert wird in Fällen verwendet, in denen separate Werte eines Merkmals vorliegen, d.h. Die Daten sind nicht gruppiert. Wenn die Daten in Form von Verteilungsreihen oder Gruppierungen dargestellt werden, wird der Durchschnitt anders berechnet.

Lösung: (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 Tausend Rubel.

Der arithmetisch gewichtete Durchschnitt ist gleich der Summe der Produkte jedes einzelnen Werts des Attributs (Variante) mit der entsprechenden Häufigkeit geteilt durch die Summe aller Häufigkeiten.

Die Anzahl identischer Werte eines Merkmals in den Verteilungszeilen wird als Häufigkeit oder Gewicht bezeichnet und mit f i bezeichnet.

Dementsprechend sieht das gewichtete arithmetische Mittel wie folgt aus:

oder

Aus der Formel geht hervor, dass der Durchschnitt nicht nur von den Werten des Attributs abhängt, sondern auch von deren Häufigkeiten, d.h. von der Zusammensetzung des Aggregats, von seiner Struktur.

Beispiel 2. Tabelle 2

Lohndaten der Arbeitnehmer

Aus den Daten der diskreten Verteilungsreihen geht hervor, dass sich dieselben Merkmalswerte (Varianten) mehrmals wiederholen. Somit kommt Option x 1 insgesamt 2 Mal vor, Option x 2 - 6 Mal usw.

Berechnen wir das Durchschnittsgehalt eines Arbeiters:

Der Lohnfonds für jede Arbeitnehmergruppe entspricht dem Produkt aus Optionen und Häufigkeit (
), und die Summe dieser Produkte ergibt den gesamten Lohnfonds aller Arbeiter (
).

Würde die Berechnung nach der einfachen arithmetischen Durchschnittsformel durchgeführt, läge der Durchschnittsverdienst bei 3.000 Rubel. (). Vergleicht man das erhaltene Ergebnis mit den Ausgangsdaten, ist es offensichtlich, dass der Durchschnittslohn deutlich höher sein sollte (mehr als die Hälfte der Arbeitnehmer erhält einen Lohn über 3.000 Rubel). Daher ist die Berechnung mit einem einfachen arithmetischen Mittel in solchen Fällen fehlerhaft.

Durch die Verarbeitung kann statistisches Material nicht nur in Form diskreter Verteilungsreihen, sondern auch in Form von Intervallvariationsreihen mit geschlossenen oder offenen Intervallen dargestellt werden.

Betrachten wir die Berechnung des arithmetischen Mittels für solche Reihen.

Der Durchschnitt beträgt:

Durchschnittswert

Durchschnittswert- numerische Eigenschaften einer Menge von Zahlen oder Funktionen; - eine bestimmte Zahl zwischen dem kleinsten und dem größten ihrer Werte.

1 Grundlegende Informationen
2 Hierarchie der Durchschnittswerte in der Mathematik
3 In Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
4 Siehe auch
5 Notizen

Grundlagen

Ausgangspunkt für die Entwicklung der Durchschnittstheorie war die Proportionslehre der Schule des Pythagoras. Dabei wurde zwischen den Begriffen Durchschnittsgröße und Proportion keine strikte Unterscheidung getroffen. Einen wesentlichen Impuls für die Entwicklung der Proportionstheorie aus arithmetischer Sicht gaben die griechischen Mathematiker Nikomachos von Geras (Ende 1. – Anfang 2. Jahrhundert n. Chr.) und Pappus von Alexandria (3. Jahrhundert n. Chr.). Die erste Stufe in der Entwicklung des Durchschnittsbegriffs ist die Stufe, in der man begann, den Durchschnitt als zentrales Element einer kontinuierlichen Proportion zu betrachten. Der Begriff des Durchschnitts als zentraler Wert einer Progression erlaubt es jedoch nicht, den Begriff des Durchschnitts in Bezug auf eine Folge von n Termen abzuleiten, unabhängig von der Reihenfolge, in der sie aufeinander folgen. Zu diesem Zweck ist es notwendig, auf eine formale Verallgemeinerung der Durchschnittswerte zurückzugreifen. Die nächste Stufe ist der Übergang von kontinuierlichen Proportionen zu Progressionen – arithmetisch, geometrisch und harmonisch.

Zum ersten Mal in der Geschichte der Statistik wird die weit verbreitete Verwendung von Durchschnittswerten mit dem Namen des englischen Wissenschaftlers W. Petty in Verbindung gebracht. W. Petty war einer der ersten, der versuchte, dem Durchschnittswert eine statistische Bedeutung zu geben und ihn mit ökonomischen Kategorien zu verknüpfen. Aber Petty hat das Konzept der Durchschnittsgröße weder beschrieben noch isoliert. A. Quetelet gilt als Begründer der Durchschnittstheorie. Er war einer der ersten, der die Durchschnittstheorie konsequent weiterentwickelte und versuchte, ihr eine mathematische Grundlage zu geben. A. Quetelet unterschied zwei Arten von Durchschnittswerten – tatsächliche Durchschnittswerte und arithmetische Durchschnittswerte. Tatsächlich stellt der Durchschnitt eine Sache dar, eine Zahl, die tatsächlich existiert. Tatsächlich sollten Durchschnittswerte oder statistische Durchschnittswerte aus Phänomenen gleicher Qualität und identischer innerer Bedeutung abgeleitet werden. Arithmetische Mittelwerte sind Zahlen, die die bestmögliche Vorstellung von vielen unterschiedlichen, aber homogenen Zahlen vermitteln.

Jede Durchschnittsart kann entweder in Form eines einfachen oder in Form eines gewichteten Durchschnitts vorliegen. Die richtige Wahl der Mittelform ergibt sich aus der materiellen Beschaffenheit des Untersuchungsgegenstandes. Einfache Durchschnittsformeln werden verwendet, wenn sich die einzelnen Werte des zu mittelnden Merkmals nicht wiederholen. Wenn in der praktischen Forschung einzelne Werte des untersuchten Merkmals in Einheiten der untersuchten Bevölkerung mehrmals vorkommen, dann ist die Häufigkeit der Wiederholungen einzelner Werte des Merkmals in den Berechnungsformeln der Leistungsmittelwerte enthalten. In diesem Fall werden sie als gewichtete Durchschnittsformeln bezeichnet.

Wikimedia-Stiftung. 2010.