Kanonische Gleichungen einer Linie im Raum sind Gleichungen, die eine Linie definieren, die durch einen bestimmten Punkt kollinear zum Richtungsvektor verläuft.

Gegeben seien ein Punkt und ein Richtungsvektor. Ein beliebiger Punkt liegt auf einer Geraden l nur wenn die Vektoren und kollinear sind, d. h. die Bedingung für sie erfüllt ist:

.

Die obigen Gleichungen sind die kanonischen Gleichungen der Geraden.

Zahlen M , N Und P sind Projektionen des Richtungsvektors auf die Koordinatenachsen. Da der Vektor ungleich Null ist, dann alle Zahlen M , N Und P kann nicht gleichzeitig gleich Null sein. Aber ein oder zwei davon können Null sein. In der analytischen Geometrie ist beispielsweise folgende Eingabe erlaubt:

,

was bedeutet, dass die Projektionen des Vektors auf die Achse Oy Und Oz sind gleich Null. Daher stehen sowohl der Vektor als auch die durch die kanonischen Gleichungen definierte Linie senkrecht zu den Achsen Oy Und Oz, also Flugzeuge yOz .

Beispiel 1. Schreiben Sie Gleichungen für eine Linie im Raum senkrecht zu einer Ebene und durch den Schnittpunkt dieser Ebene mit der Achse verläuft Oz .

Lösung. Finden wir den Schnittpunkt dieser Ebene mit der Achse Oz. Da jeder Punkt auf der Achse liegt Oz, hat also Koordinaten , vorausgesetzt in der gegebenen Gleichung der Ebene x = y = 0, wir bekommen 4 z- 8 = 0 oder z= 2 . Daher der Schnittpunkt dieser Ebene mit der Achse Oz hat Koordinaten (0; 0; 2) . Da die gewünschte Linie senkrecht zur Ebene steht, ist sie parallel zu ihrem Normalenvektor. Daher kann der Richtungsvektor der Geraden der Normalenvektor sein gegebenes Flugzeug.

Schreiben wir nun die erforderlichen Gleichungen einer geraden Linie auf, die durch einen Punkt verläuft A= (0; 0; 2) in Richtung des Vektors:

Gleichungen einer Geraden, die durch zwei gegebene Punkte verläuft

Eine Gerade kann durch zwei darauf liegende Punkte definiert werden Und In diesem Fall kann der Richtungsvektor der Geraden der Vektor sein. Dann nehmen die kanonischen Gleichungen der Geraden die Form an

.

Die obigen Gleichungen bestimmen eine Linie, die durch zwei gegebene Punkte verläuft.

Beispiel 2. Schreiben Sie eine Gleichung für eine Gerade im Raum, die durch die Punkte und verläuft.

Lösung. Schreiben wir die erforderlichen Geradengleichungen in der oben in der theoretischen Referenz angegebenen Form auf:

.

Da steht die gewünschte Gerade senkrecht zur Achse Oy .

Gerade wie die Schnittlinie der Ebenen

Eine Gerade im Raum kann als Schnittlinie zweier nichtparalleler Ebenen definiert werden, d. h. als eine Menge von Punkten, die ein System aus zwei linearen Gleichungen erfüllen

Die Gleichungen des Systems werden auch allgemeine Gleichungen einer Geraden im Raum genannt.

Beispiel 3. Stellen Sie kanonische Gleichungen einer Linie im Raum auf, die durch allgemeine Gleichungen gegeben ist

Lösung. Um die kanonischen Gleichungen einer Geraden oder, was dasselbe ist, die Gleichungen einer Geraden, die durch zwei gegebene Punkte verläuft, zu schreiben, müssen Sie die Koordinaten zweier beliebiger Punkte auf der Geraden ermitteln. Sie können beispielsweise die Schnittpunkte einer Geraden mit zwei beliebigen Koordinatenebenen sein yOz Und xOz .

Schnittpunkt einer Geraden und einer Ebene yOz hat eine Abszisse X= 0 . Daher wird in diesem Gleichungssystem davon ausgegangen X= 0, wir erhalten ein System mit zwei Variablen:

Ihre Entscheidung j = 2 , z= 6 zusammen mit X= 0 definiert einen Punkt A(0; 2; 6) die gewünschte Zeile. Dann wird im gegebenen Gleichungssystem angenommen j= 0, wir erhalten das System

Ihre Entscheidung X = -2 , z= 0 zusammen mit j= 0 definiert einen Punkt B(-2; 0; 0) Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene xOz .

Schreiben wir nun die Gleichungen der Geraden auf, die durch die Punkte verlaufen A(0; 2; 6) und B (-2; 0; 0) :

,

oder nach Division der Nenner durch -2:

,

Die Gleichung einer Geraden, die durch einen bestimmten Punkt in einer bestimmten Richtung verläuft. Gleichung einer Geraden, die durch zwei gegebene Punkte verläuft. Der Winkel zwischen zwei Geraden. Der Zustand der Parallelität und Rechtwinkligkeit zweier Geraden. Bestimmen des Schnittpunkts zweier Geraden

1. Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt verläuft A(X 1 , j 1) in einer bestimmten Richtung, bestimmt durch die Neigung k,

j - j 1 = k(X - X 1). (1)

Diese Gleichung definiert ein Bündel von Linien, die durch einen Punkt verlaufen A(X 1 , j 1), das Strahlzentrum genannt wird.

2. Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte geht: A(X 1 , j 1) und B(X 2 , j 2), so geschrieben:

Der Winkelkoeffizient einer Geraden, die durch zwei gegebene Punkte verläuft, wird durch die Formel bestimmt

3. Winkel zwischen Geraden A Und B ist der Winkel, um den die erste Gerade gedreht werden muss A um den Schnittpunkt dieser Linien gegen den Uhrzeigersinn herum, bis er mit der zweiten Linie zusammenfällt B. Wenn zwei Geraden durch Gleichungen mit Steigung gegeben sind

j = k 1 X + B 1 ,

Gegeben seien zwei Punkte M 1 (x 1,y 1) Und M 2 (x 2,y 2). Schreiben wir die Geradengleichung in der Form (5), wobei k noch unbekannter Koeffizient:

Da der Punkt M 2 gehört zu einer gegebenen Linie, dann erfüllen ihre Koordinaten Gleichung (5): . Wenn wir von hier aus ausdrücken und es in Gleichung (5) einsetzen, erhalten wir die erforderliche Gleichung:

Wenn Diese Gleichung kann in eine Form umgeschrieben werden, die sich leichter merken lässt:

(6)

Beispiel. Schreiben Sie die Gleichung einer Geraden auf, die durch die Punkte M 1 (1,2) und M 2 (-2,3) verläuft.

Lösung. . Unter Verwendung der Proportionalitätseigenschaft und Durchführung der erforderlichen Transformationen erhalten wir die allgemeine Gleichung einer Geraden:

Winkel zwischen zwei Geraden

Betrachten Sie zwei gerade Linien l 1 Und l 2:

l 1: , , Und

l 2: , ,

φ ist der Winkel zwischen ihnen (). Aus Abb. 4 ist klar: .

Von hier , oder

Mit Formel (7) können Sie einen der Winkel zwischen Geraden bestimmen. Der zweite Winkel ist gleich.

Beispiel. Zwei Linien werden durch die Gleichungen y=2x+3 und y=-3x+2 gegeben. Finden Sie den Winkel zwischen diesen Linien.

Lösung. Aus den Gleichungen geht klar hervor, dass k 1 =2 und k 2 =-3. Wenn wir diese Werte in Formel (7) einsetzen, finden wir

. Somit ist der Winkel zwischen diesen Linien gleich.

Bedingungen für Parallelität und Rechtwinkligkeit zweier Geraden

Wenn gerade l 1 Und l 2 sind also parallel φ=0 Und tgφ=0. aus Formel (7) folgt das , woher k 2 =k 1. Voraussetzung für die Parallelität zweier Geraden ist also die Gleichheit ihrer Winkelkoeffizienten.

Wenn gerade l 1 Und l 2 stehen also senkrecht φ=π/2, α 2 = π/2+ α 1 . . Die Bedingung für die Rechtwinkligkeit zweier Geraden ist also, dass ihre Winkelkoeffizienten umgekehrt groß und entgegengesetzt im Vorzeichen sind.

Abstand vom Punkt zur Linie

Satz. Wenn ein Punkt M(x 0, y 0) gegeben ist, dann wird der Abstand zur Geraden Ax + Bу + C = 0 bestimmt als

Nachweisen. Der Punkt M 1 (x 1, y 1) sei die Basis einer Senkrechten, die vom Punkt M zu einer gegebenen Geraden fällt. Dann ist der Abstand zwischen den Punkten M und M 1:

Die Koordinaten x 1 und y 1 können durch Lösen des Gleichungssystems ermittelt werden:

Die zweite Gleichung des Systems ist die Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt M 0 senkrecht zu einer gegebenen Geraden verläuft.

Wenn wir die erste Gleichung des Systems in die Form umwandeln:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

dann erhalten wir beim Lösen:

Wenn wir diese Ausdrücke in Gleichung (1) einsetzen, finden wir:

Der Satz ist bewiesen.

Beispiel. Bestimmen Sie den Winkel zwischen den Linien: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2 tanj= ; j = p/4.

Beispiel. Zeigen Sie, dass die Geraden 3x – 5y + 7 = 0 und 10x + 6y – 3 = 0 senkrecht zueinander stehen.

Wir finden: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, daher stehen die Geraden senkrecht.

Beispiel. Gegeben sind die Eckpunkte des Dreiecks A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Finden Sie die Gleichung der Höhe, die vom Scheitelpunkt C aus gezogen wird.

Wir finden die Gleichung der Seite AB: ; 4x = 6y – 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Die erforderliche Höhengleichung hat die Form: Ax + By + C = 0 oder y = kx + b.

k= . Dann ist y = . Weil Geht die Höhe durch den Punkt C, dann erfüllen seine Koordinaten diese Gleichung: woraus b = 17. Gesamt: .

Antwort: 3x + 2y – 34 = 0.

Der Abstand von einem Punkt zu einer Linie wird durch die Länge der Senkrechten bestimmt, die vom Punkt zur Linie gezogen wird.

Wenn die Linie parallel zur Projektionsebene ist (h | | P 1), um dann den Abstand vom Punkt zu bestimmen A zu einer geraden Linie H es ist notwendig, die Senkrechte vom Punkt aus abzusenken A zur Horizontalen H.

Betrachten wir ein komplexeres Beispiel, bei dem die Gerade eine allgemeine Position einnimmt. Lassen Sie es notwendig sein, die Entfernung von einem Punkt zu bestimmen M zu einer geraden Linie A allgemeine Stellung.

Bestimmungsaufgabe Abstände zwischen parallelen Linien wird ähnlich wie das vorherige gelöst. Ein Punkt wird auf einer Linie genommen und von dort aus wird eine Senkrechte auf eine andere Linie gezogen. Die Länge einer Senkrechten ist gleich dem Abstand zwischen parallelen Linien.

Kurve zweiter Ordnung ist eine Linie, die durch eine Gleichung zweiten Grades relativ zu den aktuellen kartesischen Koordinaten definiert wird. Im allgemeinen Fall ist Ax 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0,

wobei A, B, C, D, E, F reelle Zahlen sind und mindestens eine der Zahlen A 2 + B 2 + C 2 ≠0.

Kreis

Kreismitte– Dies ist der geometrische Ort der Punkte in der Ebene, die von einem Punkt in der Ebene C(a,b) gleich weit entfernt sind.

Der Kreis ergibt sich aus der folgenden Gleichung:

Dabei sind x,y die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf dem Kreis und R der Radius des Kreises.

Vorzeichen der Kreisgleichung

1. Der Term mit x,y fehlt

2. Die Koeffizienten für x 2 und y 2 sind gleich

Ellipse

Ellipse wird als geometrischer Ort von Punkten in einer Ebene bezeichnet, deren Summe der Abstände von jeweils zwei gegebenen Punkten dieser Ebene als Brennpunkte (ein konstanter Wert) bezeichnet wird.

Die kanonische Gleichung der Ellipse:

X und y gehören zur Ellipse.

a – große Halbachse der Ellipse

b – kleine Halbachse der Ellipse

Die Ellipse hat 2 Symmetrieachsen OX und OU. Die Symmetrieachsen einer Ellipse sind ihre Achsen, ihr Schnittpunkt ist der Mittelpunkt der Ellipse. Die Achse, auf der sich die Brennpunkte befinden, wird aufgerufen Brennachse. Der Schnittpunkt der Ellipse mit den Achsen ist der Scheitelpunkt der Ellipse.

Kompressions-(Spannungs-)Verhältnis: ε = s/a– Exzentrizität (charakterisiert die Form der Ellipse), je kleiner sie ist, desto weniger dehnt sich die Ellipse entlang der Brennachse aus.

Wenn die Mittelpunkte der Ellipse nicht im Mittelpunkt C(α, β) liegen

Hyperbel

Hyperbel heißt der geometrische Ort von Punkten in einer Ebene, der Absolutwert der Abstandsdifferenz, von der jeder von zwei gegebenen Punkten dieser Ebene, Brennpunkten genannt, ein konstanter Wert ist, der von Null verschieden ist.

Kanonische Hyperbelgleichung

Eine Hyperbel hat zwei Symmetrieachsen:

a – reale Halbachse der Symmetrie

b – imaginäre Halbachse der Symmetrie

Asymptoten einer Hyperbel:

Parabel

Parabel ist der Ort der Punkte in der Ebene, die von einem gegebenen Punkt F, genannt Fokus, und einer gegebenen Linie, genannt Leitlinie, gleich weit entfernt sind.

Die kanonische Gleichung einer Parabel:

У 2 =2ðх, wobei ð der Abstand vom Fokus zur Leitlinie (Parabelparameter) ist

Wenn der Scheitelpunkt der Parabel C (α, β) ist, dann ist die Gleichung der Parabel (y-β) 2 = 2р(x-α)

Nimmt man die Brennachse als Ordinatenachse, dann hat die Parabelgleichung die Form: x 2 =2qу

Definition. Jede gerade Linie in der Ebene kann durch eine Gleichung erster Ordnung angegeben werden

Axt + Wu + C = 0,

Darüber hinaus sind die Konstanten A und B nicht gleichzeitig gleich Null. Diese Gleichung erster Ordnung heißt allgemeine Gleichung einer Geraden. Abhängig von den Werten der Konstanten A, B und C sind folgende Sonderfälle möglich:

C = 0, A ≠0, B ≠ 0 – die Gerade geht durch den Ursprung

A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0) – Gerade parallel zur Ox-Achse

B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – Gerade parallel zur Oy-Achse

B = C = 0, A ≠0 – die Gerade fällt mit der Oy-Achse zusammen

A = C = 0, B ≠0 – die Gerade fällt mit der Ox-Achse zusammen

Die Gleichung einer Geraden kann je nach gegebenen Anfangsbedingungen in verschiedenen Formen dargestellt werden.

Gleichung einer Geraden aus einem Punkt und einem Normalenvektor

Definition. Im kartesischen rechtwinkligen Koordinatensystem steht ein Vektor mit den Komponenten (A, B) senkrecht auf der Geraden, die durch die Gleichung Ax + By + C = 0 gegeben ist.

Beispiel. Finden Sie die Gleichung der Geraden, die durch den Punkt A(1, 2) senkrecht zu (3, -1) verläuft.

Lösung. Mit A = 3 und B = -1 stellen wir die Gleichung der Geraden auf: 3x – y + C = 0. Um den Koeffizienten C zu finden, ersetzen wir die Koordinaten des gegebenen Punktes A in den resultierenden Ausdruck. Wir erhalten: 3 – 2 + C = 0, daher C = -1 . Insgesamt: die erforderliche Gleichung: 3x – y – 1 = 0.

Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte verläuft

Seien zwei Punkte M 1 (x 1, y 1, z 1) und M 2 (x 2, y 2, z 2) im Raum gegeben, dann lautet die Gleichung der Geraden, die durch diese Punkte verläuft:

Wenn einer der Nenner gleich Null ist, sollte der entsprechende Zähler gleich Null sein. In der Ebene wird die Gleichung der oben geschriebenen Geraden vereinfacht:

wenn x 1 ≠ x 2 und x = x 1, wenn x 1 = x 2.

Der Bruch = k heißt Neigung direkt.

Beispiel. Finden Sie die Gleichung der Geraden, die durch die Punkte A(1, 2) und B(3, 4) verläuft.

Lösung. Wenn wir die oben geschriebene Formel anwenden, erhalten wir:

Gleichung einer Geraden aus einem Punkt und einer Steigung

Wenn die Summe Ax + Bu + C = 0 ist, ergibt sich die Form:

und benennen , dann heißt die resultierende Gleichung Gleichung einer Geraden mit Steigungk.

Gleichung einer Geraden aus einem Punkt und einem Richtungsvektor

Analog zur Punktbetrachtung der Gleichung einer Geraden durch einen Normalenvektor können Sie die Definition einer Geraden durch einen Punkt und den Richtungsvektor der Geraden eingeben.

Definition. Jeder Nicht-Null-Vektor (α 1, α 2), dessen Komponenten die Bedingung A α 1 + B α 2 = 0 erfüllen, wird als Richtungsvektor der Geraden bezeichnet

Axt + Wu + C = 0.

Beispiel. Finden Sie die Gleichung einer Geraden mit einem Richtungsvektor (1, -1), die durch Punkt A(1, 2) verläuft.

Lösung. Wir suchen nach der Gleichung der gewünschten Geraden in der Form: Ax + By + C = 0. Gemäß der Definition müssen die Koeffizienten die Bedingungen erfüllen:

1 * A + (-1) * B = 0, d.h. A = B.

Dann hat die Gleichung der Geraden die Form: Ax + Ay + C = 0, oder x + y + C / A = 0. Für x = 1, y = 2 erhalten wir C/ A = -3, d.h. erforderliche Gleichung:

Gleichung einer Geraden in Segmenten

Wenn in der allgemeinen Gleichung der Geraden Ах + Ву + С = 0 С≠0, dann erhalten wir durch Division durch –С: oder

Die geometrische Bedeutung der Koeffizienten ist der Koeffizient A ist die Koordinate des Schnittpunkts der Linie mit der Ox-Achse und B– die Koordinate des Schnittpunkts der Geraden mit der Oy-Achse.

Beispiel. Gegeben ist die allgemeine Gleichung der Geraden x – y + 1 = 0. Finden Sie die Gleichung dieser Geraden in Segmenten.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Normalgleichung einer Geraden

Wenn beide Seiten der Gleichung Ax + By + C = 0 sind, werden sie mit der Zahl multipliziert was heißt Normalisierungsfaktor, dann bekommen wir

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

Normalgleichung einer Geraden. Das Vorzeichen ± des Normierungsfaktors muss so gewählt werden, dass μ * C< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Beispiel. Gegeben ist die allgemeine Gleichung der Geraden 12x – 5y – 65 = 0. Für diese Gerade müssen verschiedene Gleichungstypen geschrieben werden.

Gleichung dieser Geraden in Segmenten:

Gleichung dieser Geraden mit Steigung: (durch 5 dividieren)

; cos φ = 12/13; Sünde φ= -5/13; p = 5.

Es ist zu beachten, dass nicht jede Gerade durch eine Segmentgleichung dargestellt werden kann, beispielsweise Geraden parallel zu Achsen oder durch den Koordinatenursprung.

Beispiel. Die Gerade schneidet gleiche positive Segmente auf den Koordinatenachsen ab. Schreiben Sie eine Geradengleichung, wenn die Fläche des aus diesen Segmenten gebildeten Dreiecks 8 cm 2 beträgt.

Lösung. Die Geradengleichung hat die Form: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Beispiel. Schreiben Sie eine Gleichung für eine gerade Linie, die durch Punkt A(-2, -3) und den Ursprung verläuft.

Lösung. Die Gleichung der Geraden lautet: , wobei x 1 = y 1 = 0; x 2 = -2; y 2 = -3.

Winkel zwischen geraden Linien in einer Ebene

Definition. Wenn zwei Linien gegeben sind y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, dann wird der spitze Winkel zwischen diesen Linien definiert als

.

Zwei Geraden sind parallel, wenn k 1 = k 2. Zwei Geraden stehen senkrecht, wenn k 1 = -1/ k 2.

Satz. Die Linien Ax + Bу + C = 0 und A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 sind parallel, wenn die Koeffizienten A 1 = λA, B 1 = λB proportional sind. Ist auch C 1 = λC, dann fallen die Geraden zusammen. Die Koordinaten des Schnittpunkts zweier Geraden werden als Lösung des Gleichungssystems dieser Geraden ermittelt.

Gleichung einer Geraden, die senkrecht zu einer gegebenen Geraden durch einen gegebenen Punkt verläuft

Definition. Eine Gerade, die durch den Punkt M 1 (x 1, y 1) verläuft und senkrecht zur Geraden y = kx + b steht, wird durch die Gleichung dargestellt:

Abstand vom Punkt zur Linie

Satz. Wenn ein Punkt M(x 0, y 0) gegeben ist, dann wird der Abstand zur Geraden Ax + Bу + C = 0 bestimmt als

.

Nachweisen. Der Punkt M 1 (x 1, y 1) sei die Basis einer Senkrechten, die vom Punkt M zu einer gegebenen Geraden fällt. Dann ist der Abstand zwischen den Punkten M und M 1:

(1)

Die Koordinaten x 1 und y 1 können durch Lösen des Gleichungssystems ermittelt werden:

Die zweite Gleichung des Systems ist die Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt M 0 senkrecht zu einer gegebenen Geraden verläuft. Wenn wir die erste Gleichung des Systems in die Form umwandeln:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

dann erhalten wir beim Lösen:

Wenn wir diese Ausdrücke in Gleichung (1) einsetzen, finden wir:

Der Satz ist bewiesen.

Beispiel. Bestimmen Sie den Winkel zwischen den Linien: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

Beispiel. Zeigen Sie, dass die Geraden 3x – 5y + 7 = 0 und 10x + 6y – 3 = 0 senkrecht zueinander stehen.

Lösung. Wir finden: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, daher stehen die Geraden senkrecht.

Beispiel. Gegeben sind die Eckpunkte des Dreiecks A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Finden Sie die Gleichung der Höhe, die vom Scheitelpunkt C aus gezogen wird.

Lösung. Wir finden die Gleichung der Seite AB: ; 4 x = 6 Jahre – 6;

2 x – 3 Jahre + 3 = 0;

Die erforderliche Höhengleichung hat die Form: Ax + By + C = 0 oder y = kx + b. k = . Dann ist y = . Weil die Höhe geht durch den Punkt C, dann erfüllen seine Koordinaten diese Gleichung: mit b = 17. Gesamt: .

Antwort: 3 x + 2 y – 34 = 0.