Konstruksi ikosahedron. Bagaimana cara membuat ikosahedron dari kertas? Panduan Implementasi

Mari kita pertimbangkan algoritme untuk membuat model geometris dari benda paling umum, yang sering digunakan sebagai elemen dasar saat membuat model yang lebih kompleks.

4.4.1. Konstruksi polihedra biasa

Polihedra beraturan (Padatan Platonis) adalah polihedra cembung sehingga semua permukaannya merupakan poligon beraturan dan semua sudut polihedral pada titik sudutnya sama besar.

Tepatnya ada 5 polihedra beraturan: tetrahedron beraturan, heksahedron (kubus), oktahedron, dodecahedron, dan ikosahedron. Karakteristik utama mereka diberikan dalam tabel berikut. 4.2.

Polihedra beraturan dan sifat-sifatnya				Tabel 4.2
Polihedra beraturan dan sifat-sifatnya

Nama
polihedron
Segi empat
Pigur berenam segi

Pigura berduabelas segi
Icosahedron

Wajah, tepi, dan simpul dihubungkan satu sama lain melalui persamaan Hei-

G + B = P + 2.

Untuk mendeskripsikan secara lengkap polihedron beraturan karena konveksitasnya, cukup menunjukkan metode untuk menemukan semua simpulnya. Sebuah kubus (hexahedron) sangat mudah dibuat. Mari kita tunjukkan bagaimana bagian tubuh lainnya dibangun.

Untuk membuat tetrahedron, pertama-tama buatlah sebuah kubus yang menyilangkan diagonal-diagonalnya pada sisi-sisi yang berlawanan. Jadi, simpul-simpul suatu tetrahedron adalah setiap 4 simpul suatu kubus yang tidak berdekatan berpasangan dengan salah satu rusuknya (Gbr. 4.1).

segi empat

Beras. 4.1. Konstruksi kubus, tetrahedron, dan oktahedron

Untuk membuat segi delapan, pertama-tama dibuat kubus. Titik-titik sudut pada segi delapan adalah pusat gravitasi permukaan kubus (Gbr. 4.1), yang berarti bahwa setiap titik sudut pada segi delapan adalah rata-rata aritmatika dari koordinat-koordinat bernama sama dari empat simpul yang membentuk permukaannya. kubus.

4.4.2. Konstruksi ikosahedron

Icosahedron dan dodecahedron juga dapat dibuat menggunakan kubus. Namun, ada cara yang lebih sederhana untuk membuatnya:

- dua lingkaran berjari-jari satuan dibangun pada jarak h=1;

- Masing-masing lingkaran dibagi menjadi 5 bagian yang sama besar, seperti ditunjukkan pada Gambar. 4.2.











Beras. 4.2. Konstruksi ikosahedron

- bergerak sepanjang lingkaran berlawanan arah jarum jam, kita memberi nomor pada 10 titik yang dipilih sesuai dengan peningkatan sudut rotasi dan kemudian secara berurutan, sesuai dengan penomoran, menghubungkan titik-titik ini dengan segmen lurus;

- kemudian, dengan mengencangkan titik-titik yang dipilih pada masing-masing lingkaran dengan tali busur, kita memperoleh sabuk 10 segitiga beraturan;

- Untuk menyelesaikan konstruksi ikosahedron, kita memilih dua titik pada sumbu Z sehingga panjang sisi sisi piramida pentagonal dengan simpul pada titik-titik tersebut dan alasnya bertepatan dengan segi lima yang dibangun sama dengan panjang sisi-sisinya. sabuk segitiga. Tidak sulit untuk melihat bahwa hal ini memerlukan

Kami memiliki poin dengan penerapan ± 5 2.

Sebagai hasil dari konstruksi yang dijelaskan, kami memperoleh 12 poin. Sebuah polihedron cembung dengan simpul pada titik-titik ini akan memiliki 20 sisi, yang masing-masing merupakan segitiga beraturan, dan semua sisinya

sudut polihedral pada titik-titiknya akan sama besar satu sama lain. Jadi, hasil konstruksi yang dijelaskan adalah ikosahedron.

4.4.3. Konstruksi dodecahedron dan bola

Untuk membuat dodecahedron, kita akan menggunakan sifat dualitas: simpul dodecahedron adalah pusat (gravitasi) dari permukaan segitiga ikosahedron. Artinya, koordinat masing-masing titik sudut dodecahedron dapat dicari dengan menghitung rata-rata aritmatika dari koordinat titik-titik permukaan ikosahedron yang bersesuaian.

Untuk membuat model bola, kita menggunakan ikosahedron yang telah dibuat sebelumnya. Perhatikan bahwa ikosahedron sudah menjadi model bola: semua simpul terletak pada permukaannya, semua permukaannya adalah segitiga sama sisi. Satu-satunya kelemahannya adalah sedikitnya jumlah permukaan segitiga untuk menunjukkan permukaan bola yang halus. Untuk meningkatkan tingkat detail model, digunakan prosedur rekursif berikut:

setiap muka segitiga dibagi menjadi empat bagian, diambil simpul baru di tengah-tengah sisi muka, seperti ditunjukkan pada Gambar 4.3.;

Beras. 4.3. Wajah ikosahedron

simpul baru diproyeksikan ke permukaan bola; untuk ini, sinar ditarik dari pusat bola melalui titik tersebut dan titik tersebut dipindahkan ke titik perpotongan sinar dengan permukaan bola;

Langkah-langkah ini diulangi hingga tingkat detail permukaan bola yang diperlukan diperoleh.

Algoritma yang dipertimbangkan memungkinkan kita memperoleh parameter model geometris utama. Dengan cara yang sama, Anda dapat membuat model silinder, torus, dan benda lainnya.

4.5. Bentuk representasi parametrik polinomial

Model poligonal memiliki satu kelemahan signifikan: untuk mendapatkan model benda yang realistis dengan bentuk yang kompleks, diperlukan puluhan ribu poligon. Pemandangan realistis sudah memiliki ratusan ribu poligon. Salah satu cara untuk mendapatkan model berkualitas tinggi dengan pengurangan komputasi yang signifikan adalah dengan menggunakan bentuk parametrik polinomial, yang menggunakan jaring poligonal hanya untuk mendapatkan titik kontrol.

4.5.1. Bentuk representasi kurva dan permukaan

Ada tiga bentuk utama representasi matematis kurva dan permukaan: eksplisit, implisit, parametrik.

Bentuk eksplisit dari penunjukan kurva dalam ruang dua dimensi adalah persamaan, di sisi kirinya adalah variabel terikat, dan di sisi kanan adalah fungsi, yang argumennya adalah variabel bebas.

Bentuk implisit dalam ruang dua dimensi f(x , y) =0. Dalam bentuk parametrik dalam ruang tiga dimensi:

persamaan kurva – x = x(u), y = y(u), z = z(u);

persamaan permukaan – x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v).

Salah satu keuntungan utama representasi bentuk parametrik (PF) adalah keseragamannya dalam ruang dua dan tiga dimensi. PF, pertama, paling fleksibel, dan kedua, tahan terhadap segala variasi bentuk dan orientasi objek, yang membuatnya sangat nyaman dalam dukungan matematis sistem grafik komputer.

Kurva dan permukaan polinomial parametrik

Ada banyak cara untuk merepresentasikan objek, tetapi kita akan fokus pada cara polinomial, yaitu. semua fungsi parameter u saat mendeskripsikan kurva atau parameter u dan v saat mendeskripsikan permukaan adalah polinomial.

Perhatikan persamaan kurva:

p (u) = [ x (u) y (u) z (u)] T.

saya = 0 j = 0

Kurva parametrik polinomial berderajat n adalah (OpenGL sering menggunakan istilah "urutan" suatu polinomial, yang mempunyai nilai 1 lebih besar dari derajat polinomialnya)


p(u) = ∑ uk ck ,
k= 0

di mana c k memiliki komponen independen x, y, z, yaitu. ck = cxk		c zk

Matriks (c k), terdiri dari n +1 kolom, menggabungkan koefisien polinomial untuk komponen p; ini berarti kita mempunyai 3(n +1) derajat kebebasan dalam memilih koefisien untuk kurva p tertentu.

Kurva dapat ditentukan pada setiap interval perubahan parameter u, tetapi tanpa kehilangan penilaian umum, kita dapat berasumsi bahwa 0 ≤ u ≤ 1, yaitu. segmen kurva ditentukan.

Permukaan polinomial parametrik digambarkan dengan persamaan berikut:

x(kamu, v)

p(u, v) = y(u, v) = ∑∑ n m cij ui v j .

z(kamu, v)

Jadi, untuk menentukan permukaan tertentu p (u,v), perlu ditentukan koefisien 3(n +1)(m +1). Selama analisis, Anda dapat mengambil n=m, dan mengubah parameter u dan v pada interval 0 ≤ u, v ≤ 1 dan menentukan bagian permukaan (patch permukaan) yang ditunjukkan pada Gambar. 4.4.

Beras. 4.4. Definisi sebagian permukaan

Luas permukaan yang didefinisikan dengan cara ini dapat dianggap sebagai batas kecenderungan sekumpulan kurva, yang terbentuk ketika salah satu parameter u atau v melewati nilai dalam intervalnya, sedangkan parameter lainnya tetap konstan.

arti yang jelas. Di masa depan, pertama-tama kita akan mendefinisikan kurva polinomial dan kemudian menggunakannya untuk membentuk permukaan dengan karakteristik serupa.

Mari kita perhatikan keuntungan menggunakan bentuk representasi parametrik polinomial:

kemampuan untuk mengontrol bentuk suatu benda secara lokal;

kelancaran dan kesinambungan dalam arti matematis;

kemungkinan perhitungan analitis derivatif;

resistensi terhadap gangguan kecil;

kemampuan untuk menggunakan metode pengencangan yang relatif sederhana, dan karenanya berkecepatan tinggi.

4.5.2. Kurva kubik yang ditentukan secara parametrik

Jika Anda menggunakan polinomial derajat sangat tinggi, akan ada lebih banyak “kebebasan”, tetapi diperlukan lebih banyak perhitungan saat menghitung koordinat titik. Selain itu, seiring dengan meningkatnya derajat kebebasan, bahaya terjadinya kurva bergelombang juga meningkat. Di sisi lain, memilih polinomial dengan derajat yang terlalu rendah akan memberikan parameter yang terlalu sedikit dan tidak akan mampu mereproduksi bentuk kurva. Solusi - kurva dibagi menjadi segmen-segmen yang digambarkan oleh polinomial derajat rendah.

Kurva polinomial kubik dapat digambarkan sebagai berikut:

p(u) = c0 + c1 u + c2 u2 + c3 u3 = ∑ uk ck = uT c,

		k= 0

dimana c = [c 0 c 1 c 2c 3 ],	kamu = 1 kamu	ck = cxk	c yk c zk

Dalam ekspresi ini, c mewakili matriks koefisien polinomial. Hal inilah yang perlu dihitung dari kumpulan titik acuan tertentu. Selanjutnya, kita akan mempertimbangkan berbagai kelas kurva kubik, yang berbeda dalam sifat perbandingannya dengan titik acuan. Untuk setiap jenis, sistem yang terdiri dari 12 persamaan dengan 12 hal yang tidak diketahui akan dihasilkan, tetapi karena fungsi parametrik untuk komponen x, y, z adalah independen, 12 persamaan ini akan dibagi menjadi tiga kelompok yang terdiri dari 4 persamaan dengan 4 hal yang tidak diketahui.

Perhitungan nilai koefisien jenis kurva kubik tertentu dilakukan dengan menggunakan kumpulan titik referensi tertentu yang sesuai dengan nilai tertentu dari parameter independen

kamu. Data ini dapat berupa batasan yang mengharuskan kurva melewati beberapa titik tertentu dan berada di sekitar titik lainnya. Selain itu, data ini memberlakukan kondisi tertentu pada kelancaran kurva, misalnya kontinuitas turunan pada titik konjugasi segmen individu tertentu. Kurva kelas berbeda yang dibentuk pada titik acuan yang sama dapat berbeda secara signifikan.

4.5.3. Interpolasi

Misalkan ada empat titik acuan dalam ruang tiga dimensi: p 0, p 1, p 2 dan p 3. Setiap titik diwakili oleh tiga kali lipat koordinatnya:

p k = [ x k y k z k ] T .

Mari kita cari elemen matriks koefisien c sedemikian rupa sehingga polinomial p(u)=u T c akan melewati empat titik acuan yang diberikan.

Larutan. Ada empat poin, kita membuat 12 persamaan dengan 12 yang tidak diketahui - elemen matriks c. Diasumsikan bahwa nilai u k (k= 0,1,2,3) terdistribusi secara merata pada interval tersebut, yaitu kamu= 0,1/3.2/3.1. Kami mendapatkan persamaan:

P (0) = c 0 ,

c 3,

hal 3 = hal (1) = c 0 + c 1 + c 2 + c 3.

Mari kita tulis persamaan ini dalam bentuk matriks: p=AC,

p = [ p 0 p 1 p 2 p 3 ] T






			(2 3 )				(2 3 )

Mari kita menganalisis matriks A. Jika kita mengartikan p dan c sebagai matriks kolom 12 elemen, maka aturan perkalian matriks tidak akan diikuti. Namun kita dapat menganggap p dan c sebagai matriks kolom yang terdiri dari 4 elemen, yang masing-masing merupakan matriks baris. Kemudian, sebagai hasil perkaliannya, kita memperoleh suatu elemen yang berjenis sama dengan elemen-elemen matriks kolom p. Matriksnya tidak tunggal, dapat dibalik dan diperoleh basisnya

matriks terpolasi:



M Saya = SEBUAH − 1 = − 5.5		− 4.5
	− 22.5		− 4.5
		− 13.5
− 4.5		− 13.5

Memiliki nilai M I, Anda dapat menghitung nilai koefisien yang diperlukan c= M I /p.

Jika kurva ditentukan bukan dengan 4, tetapi dengan m titik acuan, maka kurva tersebut dapat direpresentasikan dengan polinomial interpolasi orde (m -1) (hitung koefisien 3 × m menggunakan teknik serupa). Anda dapat melakukannya secara berbeda - anggap kurva ini terdiri dari beberapa segmen, yang masing-masing ditentukan oleh kelompok 4 titik lainnya. Kontinuitas dapat dipastikan dengan mempertimbangkan titik dukungan terakhir dari kelompok sebelumnya menjadi titik dukungan pertama dari kelompok berikutnya. Matriks M I pada setiap segmen akan sama, karena kamu. Namun dalam hal ini, fungsi turunan terhadap pa-

meteran akan mengalami putus pada titik persimpangan.

4.5.4. Fungsi pencampuran (fungsi pembobotan polinomial dari titik kontrol)

Mari kita menganalisis kelancaran kurva polinomial interpolasi. Untuk melakukan ini, kita menulis ulang relasi yang diturunkan sebelumnya dalam bentuk yang sedikit dimodifikasi:

p(u) = uT с = uT M I p .

Hubungan ini dapat ditulis sebagai: p(u) = b(u) T p,

b(kamu) = M I T kamu ,

ada matriks kolom empat fungsi pencampuran polinomial

vania (pencampuran polinomial):

b (u) = [b 0 (u) b 1 (u) b 2 (u) b 3 (u)] T.

Dalam setiap fungsi pencampuran, polinomialnya adalah kubik. Menyatakan p(u) sebagai jumlah dari polinomial pencampuran, kita memperoleh:

p (u) = b 0 (u) p 0 + b 1 (u) p 1 + b 2 (u) p 2 + b 3 (u) p 3 = ∑ b i (u) pi.

saya= 0

Dari hubungan ini dapat disimpulkan bahwa fungsi pencampuran polinomial mencirikan kontribusi yang diberikan oleh setiap titik acuan, dan dengan demikian memungkinkan untuk memperkirakan seberapa besar perubahan posisi titik acuan tertentu akan mempengaruhi bentuk kurva akhir. Ekspresi analitis untuk mereka:

b 0 (u ) = − 9 2 (u − 1 3 )(u − 2 3 )(u − 1), b 1 (u ) = 27 2 u (u − 2 3 )(u − 1),

b 2 (u ) = − 27 2 u (u − 1 3 )(u − 1), b 3 (u ) = 9 2 (u − 1 3 )(u − 2 3 ) .

Karena Semua angka nol dari fungsi terletak pada interval, maka nilainya dapat berubah secara signifikan pada interval ini, dan fungsinya sendiri tidak monoton (Gbr. 4.5.). Karakteristik ini mengikuti fakta bahwa kurva interpolasi harus melewati titik referensi, dan bukan di sekitar titik referensi tersebut. Kehalusan kurva yang buruk dan kurangnya kontinuitas turunan pada titik persimpangan segmen menjelaskan mengapa kurva polinomial interpolasi jarang digunakan dalam CG. Namun dengan menggunakan teknik analisis yang sama, Anda dapat menemukan jenis kurva yang lebih sesuai.


		b1(kamu)	b2(kamu)

				b3(kamu)
				b3(kamu)



Beras. 4.5. Fungsi Pencampuran Polinomial
	untuk kasus interpolasi kubik

Bagian permukaan interpolasi kubik

Persamaan permukaan bikubik dapat ditulis sebagai berikut:

p(u, v) = ∑∑ ui v j cij .

saya = 0 j = 0

Di sini c ij adalah matriks kolom tiga komponen, yang elemen-elemennya merupakan koefisien pangkat yang sama dari variabel bebas dalam persamaan komponen x, y, z. Mari kita definisikan matriks C 4x4 sedemikian rupa sehingga elemen-elemennya adalah matriks kolom tiga komponen:

C = [cij].

Maka sebagian permukaannya dapat digambarkan sebagai berikut: p(u,v) = u T Cv,


v = 1vv

Bagian tertentu dari permukaan bikubik ditentukan oleh 48 nilai elemen matriks C - 16 vektor tiga dimensi.

Misalkan ada 16 titik acuan tiga dimensi p ij, i= 0,..,3, j= 0,..,3 (Gbr. 4.6.). Kami berasumsi bahwa data ini digunakan untuk interpolasi dengan langkah yang sama untuk parameter independen u dan v, yang mengambil nilai 0, 1/3, 2/3, 1. Oleh karena itu

kita mendapatkan tiga set yang terdiri dari 16 persamaan dengan masing-masing 16 persamaan yang tidak diketahui. Jadi, untuk u=v= 0 kita peroleh

hal 00 = [ 1 0 0 0] C 0 0 = c 00 .0

Beras. 4.6. Bagian permukaan interpolasi

Anda tidak harus menyelesaikan semua persamaan ini. Jika kita menetapkan v = 0, maka dengan mengubah u diperoleh kurva yang melalui p 00, p 10, p 20, p 30. Dengan menggunakan hasil yang diperoleh pada bagian sebelumnya, kita dapat menulis hubungan berikut untuk kurva ini:


p (kamu ,0) = kamu T M
p (kamu ,0) = kamu T M				UTC.

Untuk nilai v= 1/3, 2/3, 1, tiga kurva interpolasi lainnya dapat didefinisikan, yang masing-masing dapat dijelaskan dengan cara yang sama. Menggabungkan persamaan untuk semua kurva, kita memperoleh sistem 16 persamaan yang menarik bagi kita:

uT M I P = uT KUCING,

dimana A adalah invers matriks dari M I . Solusi persamaan ini akan menjadi matriks koefisien yang diinginkan:

C = M I PM I T .

Menggantikannya ke dalam persamaan permukaan, kita akhirnya mendapatkan p (u,v) = u T M I PM I T v .

Hasil ini dapat ditafsirkan dengan cara yang berbeda. Oleh karena itu, pertama, hasil yang diperoleh dari analisis kurva dapat diperluas ke permukaan yang bersangkutan. Kedua, teknik penggunaan fungsi pencampuran polinomial dapat diperluas ke permukaan:

p(u, v) = ∑∑ bi (u) bj (v ) pij .

saya = 0 j = 0

4.5.5. Bentuk representasi kurva dan permukaan Hermite

Misalkan ada titik p 0, p 3 dan segmen tersebut sesuai dengan interval u, yaitu. poin yang tersedia sesuai dengan u =0 dan u =1. Mari kita tuliskan

dua kondisi:

p (0) = p 0 = c 0,

p (1) = p 3 = c 0 + c 1 + c 2 + c 3.

Dua kondisi lain diperoleh dengan menentukan nilai turunan fungsi pada titik ekstrem segmen u =0 dan u =1:

p "(u) = c 1 + 2uc 2 + 3u 2 c 3, maka

p " 0 = p " (0) = c 1 ,

hal " 3 = hal " (1) = c 1 + 2 c 2 + 3 c 3.

Mari kita tulis persamaan ini dalam bentuk matriks:






hal" 3
Dilambangkan dengan q vektor data
q = [p0	hal " 0	p " 3 ] T ,

persamaannya dapat ditulis sebagai:

c = M H q ,

dimana MH disebut matriks geometri Hermite umum.





−3		−2	−1
	−2
	−2

Hasilnya, kami memperoleh representasi kurva polinomial dalam bentuk Hermite:

p(u) = uT M H q.

Kita akan menggunakan bentuk Hermite untuk mewakili segmen kurva majemuk, seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 4.7. Titik konjugasinya sama untuk kedua segmen, dan sebagai tambahan, turunan kurva di titik konjugasi kedua segmen juga sama. Hasilnya, kita memperoleh kurva komposit yang kontinu sepanjang turunan pertama sepanjang keseluruhannya.

p(0) p(1)=q(0)

Beras. 4.7. Menerapkan formulir Hermite untuk menggabungkan segmen

Kemungkinan memperoleh kurva yang lebih halus saat menggunakan bentuk representasi Hermite dapat dibenarkan secara matematis sebagai berikut. Mari kita tulis polinomialnya dalam bentuk

p(u) = b(u) Tq,

di mana fungsi pencampuran baru berada



b(u) = M T u =	− 2 kamu 3 + 3 kamu 2 .
		−2 kamu 2 +kamu
		kamu 3 − kamu 2
		kamu 3 − kamu 2

Angka nol dari keempat polinomial ini terletak di luar interval , dan oleh karena itu fungsi pencampurannya jauh lebih lancar dibandingkan polinomial interpolasi.

Seseorang dapat mendefinisikan sebagian permukaan dalam bentuk Hermite sebagai berikut:

p (u , v ) = ∑∑ b saya (u ) b j (v) q ij ,

saya = 0 j = 0

dimana Q =[ q ij ] adalah sekumpulan data yang mewakili sebagian permukaan dengan cara yang sama seperti q mewakili segmen kurva. Empat elemen Q mewakili nilai fungsi p(u,v) pada titik sudut permukaan, dan empat elemen lainnya harus mewakili turunan permukaan pada titik sudut tersebut. Dalam aplikasi interaktif, pengguna diharapkan untuk menentukan bukan data turunan, tetapi koordinat titik, dan oleh karena itu, tanpa merumuskan ekspresi analitik untuk data ini, kita tidak akan dapat memperoleh turunan.

Jika pada titik konjugasi nilai ketiga komponen parametrik vektor p dan q adalah sama, maka kontinuitas parametrik kelas C 0.

Kurva yang kondisi kontinuitasnya terpenuhi baik untuk nilai maupun turunan pertamanya memiliki kontinuitas parametrik kelas C 1.

Jika nilai komponen turunannya sebanding, maka terdapat kontinuitas geometri kelas G 1.

Ide-ide ini dapat digeneralisasikan ke turunan tingkat tinggi.

Bentuk kurva kontinuitas geometri kelas G 1 bergantung pada koefisien proporsionalitas panjang garis singgung ruas-ruas pada titik konjugasi. Pada Gambar 4.8. Terlihat bahwa bentuk ruas-ruas kurva yang berimpit pada titik-titik ujung dan mempunyai vektor singgung proporsional pada titik-titik tersebut sangat berbeda. Properti ini sering digunakan dalam program pembuatan plot grafis.

p"(0) q(u) p"(1)

Beras. 4.8. Pengaruh panjang vektor singgung terhadap bentuk ruas

4.5.6. Kurva dan permukaan Bezier

Perbandingan kurva dalam bentuk Hermite dan dalam bentuk polinomial interpolasi tidak mungkin dilakukan, karena digunakan untuk pembentukannya

kumpulan data yang sifatnya berbeda. Mari kita coba menggunakan kumpulan titik referensi yang sama untuk menentukan polinomial interpolasi dan secara tidak langsung mendefinisikan kurva dalam bentuk Hermite. Hasilnya adalah kurva berbentuk Bezier yang merupakan perkiraan yang baik dari kurva berbentuk Hermite dan dapat dibandingkan dengan polinomial interpolasi yang dibentuk pada kumpulan titik yang sama. Selain itu, prosedur ini ideal untuk konstruksi interaktif objek melengkung dalam sistem CG dan CAD, karena Mendefinisikan kurva dalam bentuk Bezier tidak memerlukan penentuan turunan.

Kurva Bezier

Misalkan ada empat titik acuan dalam ruang tiga dimensi: p 0, p 1, p 2 dan p 3. Titik akhir kurva yang dihasilkan p (u) harus bertepatan dengan titik acuan p 0, p 1:

p 0 = p (0), p 3 = p (1).

Bezier mengusulkan menggunakan dua titik referensi lain p 1 dan p 2 untuk menentukan turunan pada titik ekstrim segmen u = 0 dan u = 1. Re-

Untuk ini kami menggunakan pendekatan linier (Gbr. 4.9).
p"(0) =	hal 1 − hal 0	3(hal − hal ),	p"(1) =	hal 3 − hal 2	3(hal − hal
p"(0) =		3(hal − hal ),	p"(1) =		3(hal − hal

Beras. 4.9. Perkiraan vektor singgung

Menerapkan pendekatan ini pada garis singgung di dua titik ekstrim kurva polinomial parametrik p (u) = u T c, kita memperoleh dua kondisi:

3 hal 1 − 3 hal 0 = c 1,

3 hal 3 − 3 hal 2 = c 1 + 2 c 2 + 3 c 3.

Mari kita tambahkan ke kondisi yang ada untuk kebetulan kurva di titik akhir:

p (0) = p 0 = c 0 ,

p (1) = p 3 = c 0 + c 1 + c 2 + c 3 .

Jadi, kita kembali mempunyai tiga himpunan yang masing-masing terdiri dari empat persamaan dengan empat persamaan yang belum diketahui. Menyelesaikannya menggunakan metode yang sama seperti pada bagian sebelumnya, kita mendapatkan:

c = M B p ,

dimana M B disebut matriks geometri Bezier:



= − 3
		−6
	−1		−3
	−1		−3

Hasilnya, kami memperoleh representasi kurva polinomial dalam bentuk Bezier:

p(u) = uT M B p .

Rumus ini dapat digunakan untuk menghasilkan kurva komposit yang segmennya merupakan polinomial interpolasi. Jelasnya, kurva komposit yang dibangun menggunakan metode Bezier pada kumpulan titik kontrol yang berubah-ubah termasuk dalam kelas C 0, tetapi tidak memenuhi persyaratan kelas C 1, karena garis singgung ke kanan dan kiri titik konjugasi diperkirakan menggunakan rumus yang berbeda.

Mari kita menganalisis sifat-sifat kurva menggunakan fungsi blending. Mari kita tulis polinomialnya dalam bentuk:

p(u) = b(u) T p,

dimana fungsi pencampuran baru berbentuk (Gbr. 4.10):

		−kamu)
		−kamu)
b(u) = M T u = 3 u (1 − u ) 2
	3u 2	(1− kamu)

Keempat polinomial ini merupakan kasus khusus Polinomial Bernstein:

b kd (kamu ) = k !(d d − ! k )! kamu k (1− kamu )d − k .

Sifat-sifat polinomial Bernstein:

1) semua angka nol di titik kamu= 0 atau kamu= 1;

2) p(u) harus terletak di dalam kulit poligonal cembung yang dibentuk oleh empat titik tertentu, seperti ditunjukkan pada Gambar. 4.11. Jadi, meskipun kurva Bezier tidak melewati semua titik kontrol yang ditentukan, kurva tersebut tidak pernah melampaui area yang dibatasi oleh titik-titik tersebut. Ini sangat nyaman untuk desain visual interaktif.






		Beras. 4.11. Lambung cembung dan
Beras. 4.10. Fungsi polinomial		Beras. 4.11. Lambung cembung dan

Bagian permukaan dalam bentuk Bezier

Bagian permukaan Bezier dapat dibentuk menggunakan fungsi blending. Jika P = [ p ij ] adalah larik titik kendali dengan di-

berukuran 4x4, maka bagian permukaan yang sesuai dalam bentuk Bezier dijelaskan dengan hubungan:


p(kamu, v ) = ∑∑ B Saya( kamu ) B J(ay) P aku j= kamu T M B PM. BT ay .
Saya = 0	J = 0

Sebagian permukaan melewati titik sudut P00 , P03 , P30 Dan P33 dan tidak melampaui poligon cembung yang simpulnya menjadi titik acuan. Dua belas titik kontrol dari 16

dapat diartikan sebagai data yang menentukan arah turunan terhadap berbagai parameter pada titik sudut bagian permukaan yang terbentuk.

4.6. Contoh membangun model poligonal

Masalah yang sedang dipertimbangkan - representasi model geometris yang ditentukan oleh jerat poligonal - dapat dibagi menjadi beberapa tahap berikut:

1) pengembangan model (struktur data) untuk merepresentasikan pemandangan;

2) pengembangan format file untuk menyimpan model;

3) menulis program untuk melihat adegan yang dibuat;

4) menulis program untuk menghasilkan model objek poligonal sesuai dengan pilihan tugas.

4.6.1. Pengembangan struktur data model poligonal

Elemen model berikut dapat dibedakan: titik, poligon, model objek individual, pemandangan (sekumpulan objek dengan lokasi tertentu relatif satu sama lain).

1) Suatu titik digambarkan oleh tiga koordinat:

2) Poligon, secara umum, adalah poligon cembung sembarang. Kami akan menggunakan kasus khusus - segitiga. Pilihan kami dibenarkan oleh fakta bahwa algoritma peneduh berikutnya dengan Z-buffer, yang berbentuk segitiga akan diperlukan untuk pekerjaannya

tepi dan poligon yang semakin kompleks perlu dipecah.

typedef struct Poligon (

int Poin; //indeks dari tiga simpul yang membentuk //poligon, simpul-simpul tersebut disimpan dalam daftar simpul model

3) Model suatu objek individu adalah daftar titik dan daftar simpul:

typedef struct Model3D (

Poligon Poligon; //array poligon

4) Adegan adalah sekumpulan objek dengan lokasi tertentu relatif satu sama lain. Dalam kasus paling sederhana, Anda dapat menggunakannya

daftar (array) objek, misalnya,

4.6.2. Pengembangan format file untuk menyimpan model

Untuk menyimpan dan memproses adegan dan model, akan lebih mudah menggunakan file teks yang terdiri dari berbagai bagian. Bagian dapat dipisahkan berdasarkan kata kunci, yang memudahkan membaca dan mengedit file, dan juga memungkinkan Anda menentukan hanya sebagian informasi untuk model. Contoh yang bagus adalah format DXF, yang digunakan untuk bertukar gambar antar sistem CAD. Mari kita lihat contoh sederhana:

dimana angka pertama adalah jumlah model dalam file adegan N. Berikutnya adalah N model. Angka pertama pada deskripsi model adalah jumlah simpul K. Kemudian koordinatnya dicantumkan secara berurutan

x,y,z dari semua K simpul. Setelah itu muncul angka G, yang menentukan jumlah wajah dalam model. Ini diikuti oleh garis G, yang masing-masing berisi indeks dari tiga simpul yang membentuk permukaan segitiga.

4.6.3. Lihat adegan yang dibuat

Untuk melihat pemandangan yang dibuat dalam proyeksi ortografis, program berikut telah dikembangkan:

#termasuk #termasuk #termasuk #termasuk

konstan ke dalam MAX_MODEL_COUNT = 3; // Maks. jumlah model dalam adegan const int MAX_POINT_COUNT =100; // Maks. jumlah poin dalam model const int MAX_POLY_COUNT =100; // Maks. jumlah wajah dalam model

typedef struct Titik ( ganda x, y, z;

typedef struct Poligon (

int Poin; //indeks dari tiga simpul yang membentuk poligon

typedef struct Model3D (

int PolygonCount;//jumlah poligon dalam model

Poligon Poligon; //array poligon

Model Model3D; //rangkaian model

//fungsi membaca adegan dari file

void LoadScene(Scene3D & adegan, const char * nama file)

if ((f = fopen(nama file, "rt")) == NULL)

fprintf(stderr, "Tidak dapat membuka file masukan.\n"); keluar(1);

//baca jumlah model dalam file fscanf(f, "%d", &scene.ModelsCount);

untuk(int m = 0; m< scene.ModelsCount; ++m)

Model3D *model = &adegan.Model[m]; //memuat daftar titik model fscanf(f, "%d", &model->PointCount);

untuk(int saya = 0; saya< model->Jumlah Poin; ++saya)

fscanf(f, "%lf%lf%lf", &p.x, &p.y, &p.z); model->Poin[i] = p;

Poligon *p = &(model->Poligon[i]); fscanf(f, "%d%d%d", &(p->Poin),

&(p->Poin), &p->Poin);

//menampilkan wireframe //model dalam proyeksi ortografis

//kerugian - semua sisi digambar dua kali void DrawWireFrameScene(const Scene3D &scene)

untuk(int m = 0; m< scene.ModelsCount; ++m)

const Model3D *model = &adegan.Model[m]; untuk(int saya = 0; saya< model->Jumlah Poligon; ++saya)

const Poligon *poli = &model->Poligon[i];


			&model->Poin;
			&model->Poin;
			&model->Poin;
baris(320 + p1->x,

baris(320 + p2->x,

baris(320 + p3->x,

//inisialisasi mode grafis void InitGraphMode(void)

int gdriver = DETEKSI, gmode, kode kesalahan; initgraph(&gdriver, &gmode, "");

kode kesalahan = hasil grafik();

if (kode kesalahan != grOk) //terjadi kesalahan

printf("Kesalahan grafis: %s\n", grapherrormsg(kode kesalahan));

printf("Tekan sembarang tombol untuk berhenti :");

	//mengembalikan kode kesalahan
	//mengembalikan kode kesalahan

Adegan adegan 3D; LoadScene(adegan, "model.dat"); InitGraphMode(); DrawWireFrameScene(adegan); dapatkan();

Contoh di atas memungkinkan Anda memuat adegan yang ditentukan dalam format yang dijelaskan dan menampilkannya dalam proyeksi ortografis. Ini menunjukkan prinsip dasar bekerja dengan model poligonal.

Namun karena penyederhanaan untuk meningkatkan kejelasan, hal ini memiliki kelemahan signifikan sebagai berikut:

1) jumlah simpul, wajah, model ditentukan langsung dalam program, dan memori dinamis harus digunakan, misalnya, array satu dimensi dinamis, memori yang akan dialokasikan saat memuat adegan.

2) jika terdapat beberapa model identik yang hanya berbeda posisi dan orientasinya dalam ruang, maka data yang menggambarkan geometrinya akan terduplikasi, misalnya beberapa model bola. Disarankan untuk membagi model menjadi dua komponen: geometris, yang menyimpan deskripsi permukaan dan simpul, dan topologi, yaitu. contoh spesifik dari suatu objek yang terletak di luar angkasa.

3) deskripsi struktur data dan metode yang mendukungnya harus dipisahkan menjadi modul tersendiri, kemudian dapat digunakan, misalnya pada program generasi primitif

Dengan demikian, model geometri poligonal saat ini mendominasi. Hal ini disebabkan oleh kesederhanaan representasi perangkat lunak dan perangkat kerasnya. Karena pertumbuhan peluang yang konstan

teknologi komputasi di satu sisi dan persyaratan kualitas model di sisi lain, penelitian intensif sedang dilakukan pada model jenis baru.

Soal tes dan latihan

1. Apa perbedaan model geometris dengan jenis model lainnya?

2. Sebutkan komponen utama model geometri.

3. Apa perbedaan model koordinat dengan model analitik?

4. Jenis model geometris apa yang ada?

5. Mengapa model poligonal tersebar luas?

6. Metode mendefinisikan model poligonal apa yang Anda ketahui?

7. Apa kekurangan dan keterbatasan yang dimiliki model poligonal?

8. Menerapkan algoritma untuk membangun model poligonal dodecahedron, icosahedron, dan bola.

9. Usulkan algoritma untuk membangun model poligonal torus.

10. Bagaimana cara mengurangi jumlah data yang disimpan?

Vmemori komputer, dengan penggunaan berulang-ulang model poligonal yang identik?

Banyak desainer mengembangkan kebiasaan mengubah secara mental objek dan struktur yang ada di tangan atau mata mereka, untuk mencari solusi yang lebih rasional atau sekadar karena penasaran: apa yang akan terjadi? Contoh di bawah mengilustrasikan jenis latihan-hiburan bagi desainer.

Pada Gambar 1, garis padat menunjukkan pemindaian yang terdiri dari dua puluh segitiga sama sisi yang identik.

Jika Anda menggambar pola di atas kertas tebal, guntinglah, potong kertas dengan pisau yang tidak terlalu tajam di sepanjang garis yang memisahkan segitiga satu sama lain dan dari kaki, tekuk pola di sepanjang garis ini ke satu arah, rekatkan ujungnya. dari strip yang terdiri dari segitiga 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, dan dari segitiga 1, 5, 9, 13, 17 dan 3, 7, 11, 15, 19, lem dua piramida pentagonal, maka Anda akan diberi imbalan penuh atas pekerjaan Anda. Di tangan Anda, Anda akan menemukan tubuh dengan kesempurnaan bentuk yang luar biasa - ikosahedron bersisi dua puluh biasa, memiliki dua puluh sisi identik - segitiga sama sisi, tiga puluh tepi identik, dan dua belas tonjolan yang terdiri dari piramida pentagonal. Tiba-tiba, alih-alih dua piramida yang direkatkan, ada enam pasang piramida dengan enam sumbu yang melewati pasangan tersebut. Icosahedron simetris pada keenam sumbunya. Bagian atas masing-masing dari dua belas piramida dan tiga sudut setiap permukaannya menyentuh permukaan bola. Titik-titik wajah lainnya dekat dengannya. Dibandingkan dengan permukaan polihedra beraturan lainnya, permukaan ikosahedron paling dekat dengan permukaan bola yang dibatasi, jumlah permukaannya paling banyak, dan bentuknya paling dekat dengan bentuk bola. Hal ini memunculkan kemungkinan untuk membuat, misalnya, peta planet dalam dua puluh segitiga sama sisi, memproyeksikan titik-titik bola menggunakan jari-jarinya pada permukaan ikosahedron yang tertulis. Kemungkinan penggunaan metode ini dapat diperjelas dengan analisis yang lebih mendalam.

Sekarang mari kita bayangkan bahwa ikosahedron bukanlah cangkang, melainkan benda padat. Kami akan mengubah bentuknya secara mental, secara bertahap dan merata memotong bagian atas semua piramida dengan bidang yang tegak lurus terhadap sumbunya. Dua belas muka baru akan muncul dalam bentuk segi lima beraturan, dan sudut-sudut muka segitiga sebelumnya akan terpotong, akan berubah menjadi segi enam dengan tiga sisi kecil baru, bukan sudut yang dipotong. Dengan pemotongan lebih lanjut dari piramida, pentahedron bertambah, dan sisi pendek segi enam bertambah, sisi panjang memendek, dan akhirnya diperoleh bentuk polihedron baru yang menarik, terdiri dari dua belas segi lima sama sisi dan dua puluh segi enam sama sisi. Bola sepak dibuat dari pola ini.

Jika Anda memotong piramida lebih jauh, luas segi lima terus bertambah, dan segi enam menjadi tidak sama, sisi lamanya akan menjadi lebih pendek dari sisi baru, dan ini akan terus berlanjut hingga sisi lama menghilang dan sisi baru mendekat. segitiga. Kami mendapatkan bentuk polihedron baru yang menarik, terdiri dari dua belas segi lima beraturan dan dua puluh segitiga sama sisi. Dengan pemotongan material lebih lanjut dari bidang pentahedron, material tersebut akan berubah menjadi decahedron, dan ukuran segitiga akan mengecil. Akan tiba saatnya ketika sisi-sisi yang tidak sama dari decahedron adalah sama dan bentuk baru diperoleh - dua belas dekagon sama sisi dan dua puluh segitiga sama sisi kecil. Melanjutkan menghilangkan material dari bidang dekagon, pada akhirnya kita akan kembali mendapatkan dua belas pentagon sama sisi, dan segitiga tersebut akan hilang. Ini akan menjadi bentuk dodecahedron pentagon-dode-caedron yang terkenal. Dari dua belas lempengan ini, tetapi diekstrusi menjadi sebuah bola, sebuah panji Soviet dibuat dan dikirim ke Bulan. Gambar tersebut menunjukkan perkembangannya (Gbr. 2).

Ketika dua puluh sudut segitiga terpotong, kita mendapatkan dua puluh segitiga, dan permukaan segi lima berubah menjadi segi sepuluh. Jika kita melanjutkan operasi ini lebih jauh, kita akan mendapatkan bentuk yang sama seperti ketika memotong sudut-sudut ikosahedron, tetapi dalam urutan terbalik dan pada akhirnya kita akan mendapatkan kembali ikosahedron, tetapi dimensinya jauh lebih kecil.

Penerapan praktis bentuk-bentuk yang dibahas di sini cukup terbatas; bentuk-bentuk tersebut hanya dapat digunakan untuk memotong batu mulia.

Jauh lebih menarik untuk mempelajari ikosahedron bukan sebagai benda padat, tetapi sebagai cangkang. Dalam hal ini adalah volume tertutup, misalnya bejana untuk cairan dan gas, terbuat dari lembaran datar. Tulang rusuk memberi kekakuan pada cangkang. Tulang rusuk dapat diganti dengan batang atau benang, dan kemudian muncul variasi lain: keranjang keras atau jaring lunak dengan sel besar.

Kami akan membuat variasi lebih lanjut dengan sapuan (Gbr. 1), modifikasi yang terkadang menghasilkan hasil yang tidak diharapkan.

Mari kita tambahkan empat segitiga lagi ke dalam pengembangan, seperti yang ditunjukkan oleh garis putus-putus pada Gambar 1. Enam segitiga sama sisi di setiap sisi pita tidak lagi ditekuk menjadi piramida, tetapi akan masuk ke dalam segi enam datar beraturan dan dapat diganti dengan segitiga tersebut. pada pengembangan. Setelah direkatkan, kita mendapatkan drum yang terdiri dari cangkang dua belas sisi dan dua bagian bawah heksagonal (Gbr. 3).

Drum serupa dapat diperoleh dari ikosahedron jika dua piramida pentagonal yang berlawanan diganti dengan alas pentagonal.

Sekarang mari kita potong segitiga 17-20 dari perkembangannya. Dari segitiga yang tersisa 1-16 kita memperoleh segi enam dengan dua piramida tetrahedral dan satu sumbu memanjang (Gbr. 4).

Jika kita memotong piramida tetrahedral dan menggantinya dengan sisi persegi, kita mendapatkan decahedron yang terdiri dari delapan sisi segitiga dan dua sisi persegi (Gbr. 5).

Sekarang mari kita potong empat sisi lagi dari pengembangan (Gbr. 1). Segitiga yang tersisa 1-12 secara tak terduga membentuk segi enam karena setiap pasangan segitiga membentuk satu sisi berbentuk berlian (Gbr. 6).

Ini adalah dodecahedron belah ketupat, sebut saja “belah ketupat”, yang seperti kubus, memiliki enam sisi, delapan sudut segitiga, dan dua belas rusuk. Jika Anda meletakkannya di salah satu sisinya, maka mudah untuk mengenalinya sebagai kubus yang miring secara diagonal. Jika belah ketupat tersebut dibuat dari dua belas batang, bukan rusuk, yang dihubungkan secara engsel pada sudut-sudutnya, maka bila direntangkan sepanjang sumbu memanjang, batang-batang tersebut akan membentuk tongkat yang terdiri dari tiga batang di ujung dan enam batang di tengah. Bila tongkat ini dikompres memanjang, mula-mula batang-batang itu akan menyimpang menjadi belah ketupat memanjang, kemudian menjadi kubus, kemudian menjadi belah ketupat pipih, dan akhirnya masuk ke dalam satu bidang berbentuk segi enam beraturan. Inilah ide untuk seorang desainer - bangku dan payung yang dapat dilipat menjadi bentuk tongkat.

Varian belah ketupat, yang sangat memanjang sepanjang porosnya (Gbr. 7, pindaian 8), menjadi perhatian khusus.

Benda dengan rasio aspek besar λ = 1/d (yaitu, dengan rasio panjang 1 terhadap ketebalan d yang besar), diorientasikan selama penerbangan sehingga sumbunya diarahkan sepanjang penerbangan, dan bergerak dengan kecepatan sama dengan atau lebih besar dari kecepatan suara, mungkin akan memiliki hambatan paling kecil dibandingkan benda lain dengan perpanjangan yang sama, karena rusuk depan dan belakang benda diarahkan sepanjang aliran, dan enam rusuk tengah membentuk sudut lancip dengan aliran. Pernyataan ini memerlukan pembuktian atau verifikasi lebih lanjut melalui eksperimen.

Dengan memotong kedua piramida trihedral dari belah ketupat (Gbr. 6) (yang mana semua belah ketupat harus dipotong menjadi dua), kita kembali secara tak terduga mendapatkan oktahedron beraturan yang terkenal - oktahedron (Gbr. 9). Perkembangannya terdiri dari segitiga 1, 2, 4, 6, 8, 10, 11, 12. Terdapat hubungan “berhubungan” antara segi delapan dan kubus, mirip dengan hubungan antara ikosahedron dan Pentagon-dodecahedron.

Dengan memotong sudut yang pertama, yang kedua diperoleh melalui tetragon perantara.

Dari suatu perkembangan yang terdiri dari segitiga 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, sebuah decahedron beraturan direkatkan, terdiri dari dua buah limas pentahedral yang dilipat pada alasnya. Dari segitiga 2, 4, 6, 8, 10, 12 kita peroleh perkembangan segi enam beraturan, yaitu dua buah tetrahedron yang saling menempel, dan perkembangan tetrahedron - tetrahedron beraturan - terdiri dari segitiga 2, 4, 6 , 8 (Gbr. 10).

Menarik untuk dicatat bahwa tetrahedron memiliki empat muka dan empat tonjolan, oleh karena itu, dari tetrahedron, memotong sudut trihedral, kita kembali memperoleh tetrahedron melalui oktahedron perantara dengan muka segitiga dan heksagonal.

Terakhir, Anda juga dapat merekatkan “badan” dari dua segitiga, tetapi itu akan menjadi segitiga datar, bersisi dua, yaitu benda yang tidak memiliki volume.

Jadi, ternyata polihedra beraturan dapat direkatkan dari segitiga sama sisi yang jumlahnya genap. Dalam hal ini, keduanya menghasilkan “benda tanpa volume”. Dari dua belas segitiga diperoleh belah ketupat, yaitu segi enam dengan tepi belah ketupat atau badan tanpa volume berupa dua segi enam beraturan yang direkatkan. Dari dua puluh empat segitiga kita memperoleh segitiga bersisi empat belas, yang memiliki dua sisi - segi enam beraturan. Dalam perjalanannya, sebuah tugas diajukan kepada pembaca: apakah mungkin merekatkan bangun tertutup dengan cara yang berbeda dari empat belas, delapan belas dan dua puluh dua segitiga sama sisi?

Mari pertimbangkan kemungkinan lain untuk memvariasikan pemindaian yang ditunjukkan pada Gambar. 1. Jika kita membuang gigi atas dan bawah dan hanya menyisakan pita yang terdiri dari segitiga genap, kemudian melipat beberapa pita tersebut dengan tepi sampingnya, kita akan memperoleh perkembangan yang ditunjukkan pada Gambar 11.

Perkembangan diberikan untuk dua belas segitiga di setiap pita. Setelah menggambar dan memotong perkembangan ini, tekuk sepanjang garis miring di satu arah, dan sepanjang garis horizontal di arah lain. Ketika direkatkan, kita mendapatkan gambar yang mirip dengan silinder bundar, tetapi dengan permukaan samping bersegi. Angka ini kaku dalam torsi, lentur, kompresi longitudinal dan memiliki kekakuan lokal pada dinding samping. Variasi ini mungkin akan sangat berguna dalam penerapan praktisnya. Hal ini dapat menjadi cetak biru struktur bangunan yang ringan, kuat, kaku dan tahan gempa. Pembuatannya tidak terlalu sulit dan dapat diterapkan baik pada versi dinding maupun pada versi rangka, jika rusuknya diganti dengan batang. Dalam kasus kedua, terdiri dari segitiga, maka akan dapat didefinisikan secara statis.

(dalam biologi)

Banyak orang suka membuat barang palsu dari kertas, dan ini sama sekali tidak bergantung pada usia mereka; baik anak-anak maupun orang dewasa rentan terhadap aktivitas ini. Satu-satunya perbedaan adalah orang dewasa suka membuat bentuk yang lebih kompleks. Untuk beberapa alasan, bentuk geometris sering kali dibuat. Dalam artikel kami, kami akan memberi tahu Anda cara membuat ikosahedron dari kertas. Ini adalah nama yang diberikan untuk poligon beraturan kompleks, yang memiliki dua puluh sisi segitiga dan tiga puluh tepi. Seperti yang mungkin telah Anda ketahui, tampilan angka ini cukup rumit. Bahkan jika Anda baru mengenal origami, metode kami tidak akan terasa rumit dan Anda dapat dengan mudah merekatkannya dari kertas.

Di antara berbagai bahan yang digunakan untuk membuatnya, Anda dapat mengambil yang berikut ini: kertas bergelombang, kertas timah, kertas untuk membungkus kado atau untuk bunga. Dengan bantuan berbagai bahan lainnya, Anda dapat memperbaiki bentuk tubuh dan menghiasinya. Jangan batasi imajinasi Anda dalam hal ini, dan itu akan membantu Anda.

Sebelum memulai, Anda perlu mempersiapkannya. Untuk ini, Anda mungkin menemukan materi berikut berguna:

Gambar kosong yang perlu dipindahkan ke bahan gambar kita.
Lem. Yang terbaik adalah menggunakan PVA - PVA mengering cukup lama sehingga Anda dapat memperbaiki kesalahan saat menempel.
Gunting.
Penggaris.

Setelah Anda mendapatkan semua komponen yang diperlukan, Anda dapat mulai bekerja. Sekarang kami akan menyajikan diagram dimana gambar ini dapat dibuat:

Jadi, patung kita sudah siap dan sekarang Anda bisa mulai mendekorasinya. Itu bisa dicat dengan cat atau pensil, atau digantung pada tali. Berbagai kilauan dan butiran hujan juga sempurna. Seringkali hiasan seperti itu dapat digunakan sebagai hiasan pohon Tahun Baru. Selain itu, Anda juga dapat melakukan hal yang sangat menyenangkan dengan menggunakan ikosahedron, yaitu bola sepak yang bentuknya terpotong. Jika Anda memeriksanya dengan cermat, Anda akan melihat bahwa itu terdiri dari dua belas segi lima dan dua puluh segi enam, yang ukurannya sama. Patung yang dicat akan terlihat bagus, dan warna elemen sederhana yang berbeda akan semakin menunjukkan perbedaannya.

Jika ide ini membuat Anda penasaran, maka di bawah ini kami sajikan perkembangan yang dapat Anda gunakan untuk membuat bola:

Seperti yang Anda lihat, pembuatan figur kertas adalah proses yang sangat menarik. Setelah Anda mempelajari cara membuat ikosahedron, Anda dapat beralih ke bentuk geometris lain yang lebih kompleks. Hal ini sangat berguna bagi anak-anak yang dapat mengembangkan pemikiran spasial, mempelajari geometri, dan meningkatkan keterampilan motorik halus sejak usia dini. Jika anak masih sangat kecil, maka bantuan orang tua mungkin diperlukan, namun dia akan dengan senang hati bermain sendiri dengan mainan yang sudah jadi. Meskipun demikian, kegiatan ini juga bermanfaat bagi orang dewasa - ini adalah hobi bagus yang dapat membantu Anda bersantai atau sekadar menghabiskan waktu. Jika Anda menyukai pekerjaan yang tidak melelahkan dan membutuhkan perhatian, maka aktivitas inilah yang Anda butuhkan.

Kami berharap artikel kami tentang cara membuat ikosahedron dari kertas menarik bagi Anda. Mungkin dengan gambar inilah Anda akan mulai membuat kerajinan kertas. Semoga sukses dan sukses dalam semua usaha Anda!

Pelajaran video

Sebelum memulai, Anda perlu mempersiapkannya. Untuk ini, Anda mungkin menemukan materi berikut berguna:

Gambar kosong yang perlu dipindahkan ke bahan gambar kita.
Lem. Yang terbaik adalah menggunakan PVA - PVA mengering cukup lama sehingga Anda dapat memperbaiki kesalahan saat menempel.
Gunting.
Penggaris.

Setelah Anda mendapatkan semua komponen yang diperlukan, Anda dapat mulai bekerja. Sekarang kami akan menyajikan diagram dimana gambar ini dapat dibuat:

Jika ide ini membuat Anda penasaran, maka di bawah ini kami sajikan perkembangan yang dapat Anda gunakan untuk membuat bola:

Pelajaran video

Membuat kerajinan tangan dengan tangan Anda sendiri menarik tidak hanya untuk anak-anak, tetapi juga untuk orang dewasa. Namun, cukup banyak model yang telah ditemukan untuk orang dewasa, yang berbeda dalam kompleksitas implementasi dan waktu yang dihabiskan untuk pembuatannya. Belakangan ini, orang dewasa dan anak-anak menjadi tertarik untuk membuat bentuk geometris yang kompleks. Jenis bangun ini termasuk ikosahedron, yang merupakan poligon beraturan dan merupakan salah satu padatan Platonis - polihedra beraturan. Gambar ini mempunyai 20 sisi segitiga (segitiga sama sisi), 30 sisi dan 12 titik sudut, yang merupakan persimpangan dari 5 sisi. Merakit ikosahedron yang benar dari kertas cukup sulit, namun menarik. Jika Anda menyukai origami, maka membuat ikosahedron kertas dengan tangan Anda sendiri tidak akan sulit bagi Anda. Terbuat dari kertas berwarna bergelombang, foil, dan kertas kado bunga. Dengan menggunakan berbagai bahan, Anda dapat menambahkan keindahan dan efektivitas yang lebih besar pada ikosahedron Anda. Semuanya hanya bergantung pada imajinasi penciptanya dan bahan yang tersedia di atas meja.

Kami menawarkan kepada Anda beberapa pilihan pengembangan ikosahedron, yang dapat dicetak, dipindahkan ke kertas tebal dan karton, dilipat sepanjang garis dan direkatkan.

Cara membuat ikosahedron dari kertas: diagram

Untuk merakit ikosahedron dari selembar kertas atau karton, Anda harus menyiapkan bahan-bahan berikut terlebih dahulu:

tata letak ikosahedron;
lem PVA;
gunting;
penggaris.

Saat membuat ikosahedron, penting untuk memberikan perhatian khusus pada proses menekuk semua bagian: untuk menekuk kertas secara merata, Anda dapat menggunakan penggaris biasa.

Patut dicatat bahwa ikosahedron juga dapat ditemukan dalam kehidupan sehari-hari. Misalnya, bola sepak dibuat berbentuk ikosahedron terpotong (polihedron yang terdiri dari 12 segi lima dan 20 segi enam beraturan). Hal ini terutama terlihat jika Anda mewarnai ikosahedron yang dihasilkan dalam warna hitam dan putih, seperti bola itu sendiri.

Anda dapat membuat bola sepak sendiri dengan terlebih dahulu mencetak scan icosahedron terpotong dalam 2 salinan:

Membuat icosahedron dengan tangan Anda sendiri adalah proses menarik yang membutuhkan perhatian, kesabaran, dan banyak kertas. Namun, hasil akhirnya akan memanjakan mata dalam waktu yang lama. Icosahedron dapat diberikan kepada seorang anak untuk dimainkan jika ia telah mencapai usia tiga tahun. Dengan bermain dengan sosok geometris yang begitu kompleks, ia tidak hanya akan mengembangkan pemikiran imajinatif dan keterampilan spasial, tetapi juga mengenal dunia geometri. Jika orang dewasa memutuskan untuk membuat ikosahedron sendiri, maka proses kreatif membuat ikosahedron akan memungkinkan dia untuk menghabiskan waktu dan juga menunjukkan kepada orang yang dicintainya kemampuannya untuk membuat bentuk yang kompleks.