Платоновы тела в жизни. Построение графических примитивов

ПЛАТОНОВЫ ТЕЛА [П. - от греч. Platon (427–347 гг. до н. э. / Т. - происх. см. ТЕЛО), совокупность всех правильных многогранников [т. е. объемных (трехмерных) тел, ограниченных равными правильными многоугольниками] трехмерного Мира, впервые описанных Платоном (им также посвящена заключительная, XIII-я книга «Начал» Платонова ученика Евклида); // при всём бесконечном многообразии правильных многоугольников (двумерных геометрических фигур, ограниченных равными сторонами, смежные пары которых попарно образуют равные между собой углы), существует всего пять объемных П.т. (см. Табл. 6), в соответствие которым со времен Платона ставятся пять стихий Мироздания; любопытна связь, существующая между гексаэдром и октаэдром, а также между додекаэдром и икосаэдром: геометрические центры граней каждого первого являются вершинами каждого второго.

Человек проявляет интерес к многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности - от двухлетнего ребенка, играющего деревянными кубиками, до зрелого математика. Некоторые из правильных и полуправильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие - в виде вирусов, которые можно рассмотреть с помощью электронного микроскопа. Что же такое многогранник? Для ответа на этот вопрос напомним, что собственно геометрию определяют иногда как науку о пространстве и пространственных фигурах - двумерных и трехмерных. Двумерную фигуру можно определить как множество отрезков прямых, ограничивающих часть плоскости. Такая плоская фигура называется многоугольником. Из этого следует, что многогранник можно определить как множество многоугольников, ограничивающих часть трехмерного пространства. Многоугольники, образующие многогранник, называются его гранями.

Издавна ученые интересовались "идеальными" или правильными многоугольниками, то есть многоугольниками, имеющими равные стороны и равные углы. Простейшим правильным многоугольником можно считать равносторонний треугольник, поскольку он имеет наименьшее число сторон, которое может ограничить часть плоскости. Общую картину интересующих нас правильных многоугольников наряду с равносторонним треугольником составляют: квадрат (четыре стороны), пентагон (пять сторон), гексагон (шесть сторон), октагон (восемь сторон), декагон (десять сторон) и т.д. Очевидно, что теоретически нет каких-либо ограничений на число сторон правильного многоугольника, то есть число правильных многоугольников бесконечно.

Что же такое правильный многогранник? Правильным называется такой многогранник, все грани которого равны (или конгруэнтны) между собой и при этом являются правильными многоугольниками. Сколько же существует правильных многогранников? На первый взгляд ответ на этот вопрос очень простой - столько же, сколько существует правильных многоугольников. Однако это не так. В "Началах Евклида" мы находим строгое доказательство того, что существует только пять правильных многогранников, а их гранями могут быть только три типа правильных многоугольников: треугольники, квадраты и пентагоны.

Наименование Кол-во граней Стихия
Тетраэдр 4 Огонь
Гексаэдр/Куб 6 Земля
Октаэдр 8 Воздух
Икосаэдр 10 Вода
Додекаэдр 12 Эфир

Платоновы тела

Мир звездчатых многогранников

Мир наш исполнен симметрии. С древнейших времен с ней связаны наши представления о красоте. Наверное, этим объясняется непреходящий интерес человека к удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание множества выдающихся мыслителей, от Платона и Евклида до Эйлера и Коши.

Впрочем, многогранники отнюдь не только объект научных исследований. Их формы – завершенные и причудливые, широко используются в декоративном искусстве.

Звездчатые многогранники очень декоративны, что позволяет широко применять их в ювелирной промышленности при изготовлении всевозможных украшений. Применяются они и в архитектуре. Многие формы звездчатых многогранников подсказывает сама природа. Снежинки - это звездчатые многогранники. С древности люди пытались описать все возможные типы снежинок, составляли специальные атласы. Сейчас известно несколько тысяч различных типов снежинок.

Звездчатый додекаэдр

Большой звездчатый додекаэдр принадлежит к семейству тел Кеплера-Пуансо, то есть правильных невыпуклых многогранников. Грани большого звездчатого додекаэдра – пентаграммы, как и у малого звездчатого додекаэдра. У каждой вершины соединяются три грани. Вершины большого звездчатого додекаэдра совпадают с вершинами описанного додекаэдра.

Большой звездчатый додекаэдр был впервые описан Кеплером в 1619 г. Это последняя звездчатая форма правильного додекаэдра.

ПЛАТОНОВЫ ТЕЛА С ПОДРОБНЫМ ИХ ОПИСАНИЕМ

Мир звездчатых многогранников

Звездчатый додекаэдр

Додекаэдр

Древние мудрецы говорили: "Чтобы познать невидимое, смотри внимательно на видимое". В плане сакральных сил додекаэдр самый мощный многогранник. Не зря Сальвадор Дали для своей "Тайной вечере" выбрал эту фигуру. В ней от двенадацати пятиугольников - тоже сильной фигуре, силы концентрируются в одной точке - на Иисусе Христе.

Додекаэдр (от греческого dodeka – двенадцать и hedra – грань) это правильный многогранник, составленный из двенадцати равносторонних пятиугольников.

Додекаэдр имеет 20 вершин и 30 ребер.
Вершина додекаэдра является вершиной трех пятиугольников, таким образом, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324°.
Сумма длин всех ребер 30а.
Додекаэдр имеет центр симметрии и 15 осей симметрии.

Каждая из осей проходит через середины противолежащих параллельных ребер. Додекаэдр имеет 15 плоскостей симметрии. Любая из плоскостей симметрии проходит в каждой грани через вершину и середину противоположного ребра.

Правильные многогранники привлекают совершенством своих форм, полной симметричностью. Некоторые из правильных и полуправильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие - в виде вирусов, простейших микроорганизмов.
Кристаллы - тела, имеющие многогранную форму. Вот один из примеров таких тел: кристалл пирита (сернистый колчедан FeS) - природная модель додекаэдра.
Вирус полиомиелита имеет форму додекаэдра. Он может жить и размножаться только в клетках человека и приматов. Это, в частности, означает, что заразиться полиомиелитом можно только от людей. Кроме того, многие вирусы передаются через переносчиков, роль которых нередко выполняют членистоногие (например, клещи). Такие вирусы могут иметь широкий спектр хозяев, включающий как позвоночных, так и беспозвоночных животных.

Водоросль вольвокс - один из простейших многоклеточных организмов - представляет собой сферическую оболочку, сложенную в основном семиугольными, шестиугольными и пятиугольными клетками (то есть клетками, имеющими семь, шесть или пять соседних; в каждой «вершине» сходятся три клетки).

Бывают экземпляры, у которых есть и четырехугольные, и восьмиугольные клетки, но биологи заметили, что если таких «нестандартных» клеток (менее, чем с пятью и более, чем с семью) сторонами нет, то пятиугольных клеток всегда ровно на двенадцать больше, чем семиугольных (всего клеток может быть несколько сотен и даже тысяч). Это утверждение следует из известной формулы Эйлера.
Фуллерены – одна из форм углерода. Они были открыты при попытке моделировать процессы, происходящие в космосе. Позже ученым в земных лабораториях удалось синтезировать и исследовать многочисленные производные этих шарообразных молекул. Возникла химия фуллеренов. Некоторые соединения включения в кристаллическую решетку фуллерена С60 оказались «горячими сверхпроводниками» с критической температурой до 117 К.
Ведутся попытки создать на основе фуллеренов материалы для зарождающейся молекулярной электроники. Все это интересно и важно. Но фуллерены, как выяснилось, есть и в земных породах. Сейчас с наличием в шунгитах фуллеренов некоторые энтузиасты связывают целебное действие открытых в 1714 г. марциальных вод, которыми лечился Петр Великий. А последние открытия геохимиков заставляют вернуться к проблеме происхождения фуллеренов. Возможно, что новые химические исследования земных фуллеренов приоткроют другие страницы богатой истории планеты Земля!
В алхимии обычно говорится только об этих элементах: огонь, земля, воздух и вода; редко упоминается эфир,потому что это настолько священно. В Пифагорейской школе, стоило бы вам только лишь упомянуть за стенами школы слово «додекаэдр», как вас убили бы на месте. Настолько священной считалась эта фигура. О ней даже не говорили. Спустя двести лет, при жизни Платона, о ней говорили, но только очень осторожно. Почему? Потому, что додекаэдр расположен у внешнего края вашего энергетического поля и является высшей формой сознания. Когда вы достигаете 55-футового предела своего энергетического поля, то оно будет иметь форму сферы. Но самая близкая к сфере внутренняя фигура – это додекаэдр (в действительности, додекаэдро-икосаэдральная взаимосвязь). Вдобавок к этому, мы живём внутри большого додекаэдра, который содержит в себе вселенную. Когда ваш ум достигает предела пространства космоса – а предел тут есть – то он натыкается на додекаэдр, замкнутый в сфере. Додекаэдр есть завершающая фигура геометрии и она очень важна.
На микроскопическом уровне, додекаэдр и икосаэдр являются относительными параметрами ДНК, по которым построена вся жизнь. Можно увидеть также, что молекула ДНК представляет собой вращающийся куб. При повороте куба последовательно на 72 градуса по определённой модели, получается икосаэдр, который, в свою очередь, составляет пару додекаэдру.
Таким образом, двойная нить спирали ДНК построена по принципу двухстороннего соответствия: за икосаэдром следует додекаэдр, затем опять икосаэдр, и так далее. Это вращение через куб создаёт молекулу ДНК.
В основе структуры ДНК лежит священная геометрия, хотя, могут обнаружиться ещё и другие скрытые взаимосвязи.
В книге Дана Уинтера «Математика Сердца» (Dan Winter, Heartmath) показано, что молекула ДНК составлена из взаимоотношений двойственности додекаэдров и икосаэдров.

Названия пяти выпуклых правильных многогранников:тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Многогранники названы по имени Платона, к рый в соч. Тимей (4 в. до н. э.) придавал им мистич. смысл; были известны до Платона … Математическая энциклопедия

То же, что правильные Многогранники … Большая советская энциклопедия

- … Википедия

Федон, или О бессмертии души названный по имени ученика Сократа, Федона (см.), диалог Платона, один из самых выдающихся. Это единственный диалог Платона, который называет Аристотель, и один из немногих, которые признаются подлинными по… …

Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Один из лучших в художественном и философском отношении диалогов Платона, признаваемый подлинным по единогласному приговору как древности, так и современной науки. В новейшей платоновской критике спорили лишь о времени его написания: одни ставили … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Философские идеи в сочинениях Платона - кратко Философское наследие Платона обширно, Оно составляет 34 произведения, которые почти.целиком сохранились и дошли до нас. Эти произведения написаны в основном в форме диалога, а главным действующим лицом в них по большей части является… … Малый тезаурус мировой философии

Додекаэдр Правильный многогранник, или Платоново тело это выпуклый многогранник с максимально возможной симметрией. Многогранник называется правильным, если: он выпуклый все его грани являются равными правильными многоугольниками в каждой его… … Википедия

Тела Платона, выпуклые многогранники, все грани к рых суть одинаковые правильные многоугольники и все многогранные углы при вершинах правильные и равные (рис. 1a 1д). В евклидовом пространстве Е 3 существуют пять П. м., данные о к рых приведены в … Математическая энциклопедия

ДУША - [греч. ψυχή], вместе с телом образует состав человека (см. статьи Дихотомизм, Антропология), будучи при этом самостоятельным началом; Д. человека заключает образ Божий (по мнению одних отцов Церкви; по мнению других образ Божий заключен во всем… … Православная энциклопедия

Книги

Тимей (изд. 2011 г.) , Платон. Платоновский Тимей является единственным систематическим очерком космологии Платона, которая до сих пор выступала у него только в разбросанном и случайном виде. Это создало славу Тимею по…
Дискуссионные вопросы о душе. Исследования 6 , Аквинский Ф.. Жанр`дискуссионных вопросов`(quaestiones disputatae) представляет собой особый схоластический жанр, используемый в средневековых университетах.`Дискуссионные вопросы о душе`являются одним из…

Суворов Михаил, ученик 10 класс

Данная работа посвящена описанию взглядов древнегреческого философа Платона на строение Вселенной, через использование правильных многоугольников, таких как тетраэдр, октаэдр, гексаэдр (куб), додекаэдр и икосаэдр. В современной математике эти тела получили название Платоновых.

Также в работе находит отражение вопрос о том, как используются в современных естественнонаучных теориях Платоновы тела.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Исследовательская работа по геометрии. Тема: «Платоновы тела» Подготовили презентацию: суворовец Суворов Михаил Преподаватель математики Харькова Марина Валерьевна

Платон (427–347 до н.э.) – великий древнегреческий философ, ученик Сократа, основатель Академии. Главная заслуга Платона в истории математики заключается в том, что он признавал, что знание математики необходимо каждому образованному человеку. Вклад Платона в математику незначителен. Однако его идеи относительно структуры и методов математики чрезвычайно ценны. Он ввел традицию давать безукоризненные определения и определять, какие положения в математических соображениях можно принимать без доказательства. Платон первым обосновал метод доказательства от противного, который теперь широко применяется в геометрии. В школе Платона особое внимание уделялось решению задач на построение. Благодарю этому в ней сформировалось понятие о геометрическом месте точек, а также была разработана методика решения задач на построение. Выпуклые правильные многогранники - тетраэдр, октаэдр, гексаэдр (куб), додекаэдр и икосаэдр - принято называть Платоновыми телами.

Определение: ПЛАТОНОВЫ ТЕЛА- от греч. Platon 427-347 гг. до н.э. – совокупность всех правильных многогранников [ т. е. объёмных тел, ограниченных равными правильными многоугольниками ] трёхмерного Мира, впервые описанных Платоном.

Правильным многоугольником называется: ограниченная прямыми плоская фигура с равными сторонами и равными внутренними углами. Аналогом правильного многоугольника в трехмерном пространстве служит правильный многогранник: пространственная фигура с одинаковыми гранями, имеющими форму правильных многоугольников, и одинаковыми многогранными углами при вершинах. Существует лишь пять правильных выпуклых многогранников: правильный тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.

История создания Платоновых тел. Четыре многогранника олицетворяли в ней четыре сущности или «стихии». Тетраэдр символизировал Огонь, так как его вершина устремлена вверх; Икосаэдр - Воду, так как он самый «обтекаемый» многогранник; Куб - Землю, как самый «устойчивый» многогранник; Октаэдр - Воздух, как самый «воздушный» многогранник. Пятый многогранник, Додекаэдр, воплощал в себе «все сущее»

Тетраэдр Древние греки дали многограннику имя по числу граней. «Тетра» означает четыре, « хедра » - означает грань (тетраэдр – четырехгранник).Многогранник относится к правильным многогранникам и является одним из пяти платоновых тел. Тетраэдр имеет следующие характеристики: Тип грани – правильный треугольник; Число сторон у грани – 3; Общее число граней – 4; Число рёбер примыкающих к вершине – 3; Общее число вершин – 4; Общее число рёбер – 6 ; Правильный тетраэдр составлен из четырех равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°. Тетраэдр не имеет центра симметрии, но имеет 3 оси симметрии и 6 плоскостей симметрии.

Гексаэдр (более привычное название - куб) Древние греки дали многограннику имя по числу граней. « Гексо » означает шесть, « хедра » - означает грань (Гексаэдр – шестигранник).Многогранник относится к правильным многогранникам и является одним из пяти платоновых тел. Гексаэдр имеет следующие характеристики: Число сторон у грани – 4; Общее число граней – 6; Число рёбер примыкающих к вершине – 3; Общее число вершин – 8; Общее число рёбер – 12 ; Гексаэдр составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трех квадратов. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 270°. Гексаэдр не имеет центра симметрии, но имеет 3 оси симметрии и 6 плоскостей симметрии.

Икосаэдр Древние греки дали многограннику имя по числу граней. « Икоси » означает двадцать, « хедра » - означает грань (Икосаэдр – двадцатигранник). Многогранник относится к правильным многогранникам и является одним из пяти платоновых тел. Икосаэдр имеет следующие характеристики: Тип грани – правильный треугольник; Число сторон у грани – 3; Общее число граней – 20; Число рёбер примыкающих к вершине – 5; Общее число вершин – 12; Общее число рёбер – 30 ; Правильный икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 270°. Икосаэдр имеет центр симметрии - центр икосаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии.

Октаэдр Древние греки дали многограннику имя по числу граней. «Окто» означает восемь, « хедра » - означает грань (октаэдр – восьмигранник).Многогранник относится к правильным многогранникам и является одним из пяти платоновых тел. Октаэдр имеет следующие характеристики: Тип грани – правильный треугольник; Число сторон у грани – 3; Общее число граней – 8; Число рёбер примыкающих к вершине – 4; Общее число вершин – 6; Общее число рёбер – 12 ; Правильный октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырех треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 240°. Октаэдр имеет центр симметрии - центр октаэдра, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии.

Додекаэдр Древние греки дали многограннику имя по числу граней. « Додека » означает двенадцать, « хедра » - означает грань (додекаэдр – двенадцатигранник). Многогранник относится к правильным многогранникам и является одним из пяти платоновых тел. Додекаэдр имеет следующие характеристики: Тип грани – правильный пятиугольник; Число сторон у грани – 5; Общее число граней – 12; Число рёбер примыкающих к вершине – 3; Общее число вершин – 20; Общее число рёбер – 30 ; Правильный додекаэдр составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трех правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324°. Додекаэдр имеет центр симметрии - центр додекаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии.

Применение платоновых тел в науке Иоганн Кеплер (1571-1630 г.) – немецкий астроном. Открыл законы движения планет. В 1596 Кеплер предположил правило, по которому вокруг сферы Земли описывается додекаэдр, а в нее вписывается икосаэдр. Р асстояние между орбитами планет можно получить на основании Платоновых тел, вложенных друг в друга. Расстояния вычисленные при помощи этой модели, были достаточно близки к истинным.

В. Макаров и В. Морозов считают что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла оказывающего развитие всех природных взаимодействий и процессов идущих на планете. Силовое поле этого растущего кристалла обуславливает икосаэдро - додекаэдрическую структуру Земли (ИДСЗ). Эти многогранники вписаны друг в друга. Все природные аномалии, а также очаги развития цивилизаций соответствуют вершинам и рёбрам этих фигур.

Примеры: Некоторые из правильных многогранников встречаются в природе в виде кристаллических вирусов. Вирус полиомиелита имеет форму додекаэдра. Он может жить и размножаться только в клетках человека или примата. На микроскопическом уровне додекаэдр и икосаэдр является относительными параметрами ДНК, по которым построена вся жизнь. Можно увидеть, что молекула ДНК представляет собой вращающийся в куб.

Применение в кристаллографии Тела Платона нашли широкое применение в кристаллографии, так как многие кристаллы имеют форму правильных многогранников. Например, куб - монокристалл поваренной соли (NaCl), октаэдр - монокристалл алюмокалиевых квасцов, одна из форм кристаллов алмаза – октаэдр.

http:// www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02320031.htm http:// www.mnogogranniki.ru/stati/129-svojstva-platonovyh-tel.html stepanov.lk.net http://www.goldenmuseum.com/0213Solids_rus.html

Еще в далекой древности люди заметили, что некоторые объемные фигуры обладают особыми свойствами. Это так называемые правильные многогранники - все грани у них одинаковые, все углы при вершинах равны. Каждая из этих фигур обладает устойчивостью и может быть вписана в сферу. При всем многообразии различных форм существуют всего лишь 5 видов правильных многогранников (рис. 1).

Тетраэдр - правильный четырехгранник, грани представляют собой равносторонние треугольники (рис. 1а).

Куб - правильный шестигранник, грани представляют собой квадраты (рис. 1б).

Октаэдр - правильный восьмигранник, грани представляют собой равносторонние треугольники (рис. 1в).

Додекаэдр - правильный двенадцатигранник, грани представляют собой правильные пятиугольники (рис. 1г).

Икосаэдр - правильный двадцатигранник, грани представляют собой равносторонние треугольники (рис. 1д).

Древнегреческий философ Платон полагал, что каждый из правильных многогранников соответствует одному из 5 первичных элементов. Согласно Платону, куб соответствует земле, тетраэдр - огню, октаэдр - воздуху, икосаэдр - воде, додекаэдр - эфиру. Кроме этого греческие философы выделяли еще один первоэлемент - пустоту. Ему соответствует геометрическая форма сферы, в которую могут быть вписаны все платоновы тела.

Все шесть первоэлементов являются строительными блоками Вселенной. Некоторые из них встречаются часто - земля, вода, огонь и воздух. Сегодня доподлинно известно, что правильные многогранники, или платоновы тела, составляют основу строения кристаллов, молекул различных химических веществ.

Энергетическая оболочка человека также представляет собой пространственную конфигурацию. Внешняя граница энергетического поля человека - сфера, самая близкая к ней фигура додекаэдр. Затем фигуры энергетического поля сменяют друг друга в определенном порядке, повторяясь в разных циклах. Например, в молекуле ДНК чередуются икосаэдры и додекаэдры.

Обнаружено, что платоновы тела способны оказывать благотворное воздействие на человека. Эти формы обладают свойством видоизменять, организовывать энергию в чакрах человеческого тела. Причем каждая кристаллическая форма благотворно воздействует на ту чакру, первоэлементу которой она соответствует.

Дисбаланс энергий в Муладхаре исчезает при использовании куба (элемент земля), Свадхистхана реагирует на воздействие икосаэдра (элемент вода), на Манипуру благотворно влияет тетраэдр (элемент огонь), функции Анахаты восстанавливаются с помощью октаэдра (элемент воздух). Эта же фигура способствует нормальной работе Вишудхи. Обе верхние чакры - Адж-на и Сахасрара - поддаются коррекции додекаэдром.

Для того чтобы использовать свойства платоновых тел, необходимо изготовить из медной проволоки эти фигуры (размер от 10 до 30 см в поперечнике). Можно нарисовать их на бумаге или склеить из картона, но каркасы из медной проволоки действуют эффективнее. Модели платоновых тел нужно прикрепить на проекции соответствующих чакр и полежать немного в глубоком расслаблении.