Функція називається зростаючою на інтервалі
, якщо для будь-яких точок

виконується нерівність
(Більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції).

Аналогічно, функція
називається спадає на інтервалі
, якщо для будь-яких точок
з цього інтервалу під час виконання умови
виконується нерівність
(Більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції).

Зростають на інтервалі
та спадають на інтервалі
функції називаються монотонними на інтервалі
.

Знання похідної функції, що диференціюється, дозволяє знаходити інтервали її монотонності.

Теорема (достатня умова зростання функції).
функції
позитивна на інтервалі
, то функція
монотонно зростає у цьому інтервалі.

Теорема (достатня умова зменшення функції).Якщо похідна диференціюється на інтервалі
функції
негативна на інтервалі
, то функція
монотонно зменшується на цьому інтервалі.

Геометричний зміст цих теорем у тому, що у інтервалах зменшення функції дотичні до графіку функції утворюють з віссю
тупі кути, але в інтервалах зростання – гострі (див. рис. 1).

Теорема (необхідна умова монотонності функції).Якщо функція
диференційована та
(
) на інтервалі
, то вона не зменшується (не зростає) на цьому інтервалі.

Алгоритм знаходження інтервалів монотонності функції
:

приклад.Знайти інтервали монотонності функції
.

Крапка називається точкою максимуму функції

таке, що для всіх , що задовольняють умові
, виконано нерівність
.

Максимум функції – це значення функції у точці максимуму.

На рис 2 показаний приклад графіка функції, що має максимуми в точках
.

Крапка називається точкою мінімуму функції
якщо існує деяке число
таке, що для всіх , що задовольняють умові
, виконано нерівність
. Нарис. 2 функція має мінімум у точці .

Для максимумів та мінімумів є загальна назва – екстремуми . Відповідно точки максимуму та точки мінімуму називаються точками екстремуму .

Функція, визначена на відрізку, може мати максимум і щонайменше тільки в точках, що знаходяться всередині цього відрізка. Не можна також плутати максимум і мінімум функції з її максимальним і меншим значенням на відрізку - це поняття принципово різні.

У точках екстремуму похідна має особливі властивості.

Теорема (необхідна умова екстремуму).Нехай у точці функція
має екстремум. Тоді або
не існує, або
.

Ті точки з області визначення функції, в яких
не існує або в яких
, називаються критичними точками функції .

Отже, точки екстремуму лежать серед критичних точок. У випадку критична точка має бути точкою екстремуму. Якщо похідна функції у певній точці дорівнює нулю, це ще означає, що у цій точці функція має екстремум.

приклад.Розглянемо
. Маємо
, але точка
не є точкою екстремуму (рис. 3).

Теорема (перша достатня умова екстремуму).Нехай у точці функція
безперервна, а похідна
при переході через точку змінює знак. Тоді - точка екстремуму: максимуму, якщо знак змінюється з "+" на "-", і мінімуму, якщо з "-" на "+".

Якщо під час переходу через точку похідна не змінює знак, то в точці екстремуму немає.

Теорема (друга достатня умова екстремуму).Нехай у точці похідна двічі диференційованої функції
дорівнює нулю (
), а її друга похідна в цій точці відмінна від нуля (
) і безперервна в деякій околиці точки . Тоді - Точка екстремуму
; при
це точка мінімуму, а при
це точка максимуму.

Алгоритм знаходження екстремумів функції за допомогою першої достатньої умови екстремуму:

Знайти похідну.

Знайти критичні точки функції.

Дослідити знак похідної ліворуч та праворуч від кожної критичної точки та зробити висновок про наявність екстремумів.

Знайти екстремальні значення функції.

Алгоритм знаходження екстремумів функції за допомогою другої достатньої умови екстремуму:

приклад.Знайти екстремуми функції
.

Монотонна функція- це функція, прирістякої не змінює знака, тобто завжди невід'ємне, або завжди непозитивне. Якщо на додаток збільшення не дорівнює нулю, то функція називається строго монотонної. Монотонна функція - це функція, що змінюється в тому самому напрямку.

Функція зростає, якщо більше значення аргументу відповідає більше значення функції. Функція зменшується, якщо більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції.

Нехай дана функція Тоді

(Строго) зростаюча або спадна функція називається (строго) монотонною.

Визначення екстремуму

Функція y = f(x) називається зростаючою (зменшує) в деякому інтервалі, якщо при x1< x2 выполняется неравенство (f(x1) < f(x2) (f(x1) >f(x2)).

Якщо функція, що диференціюється, y = f(x) на відрізку зростає (зменшується), то її похідна на цьому відрізку f "(x) > 0

(f "(x)< 0).

Точка xо називається точкою локального максимуму (мінімуму) функції f(x), якщо існує околиця точки xо, для всіх точок якої правильна нерівність f(x) ≤ f(xо) (f(x) ≥ f(xо)).

Точки максимуму та мінімуму називаються точками екстремуму, а значення функції у цих точках - її екстремумами.

Крапки екстремуму

Необхідні умови екстремуму. Якщо точка xо є точкою екстремуму функції f(x), то або f "(xо) = 0, або f(xо) не існує. Такі точки називають критичними, причому сама функція в критичній точці визначена. Екстремуми функції слід шукати серед її критичних точок.

Перша достатня умова. Нехай xо – критична точка. Якщо f " (x) при переході через точку xо змінює знак плюс на мінус, то в точці xо функція має максимум, в іншому випадку - мінімум. Якщо при переході через критичну точку похідна не змінює знак, то в точці xо екстремуму немає.

Друга достатня умова. Нехай функція f(x) має похідну f"(x) в околиці точки xо і другу похідну в самій точці xо. Якщо f"(xо) = 0,>0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же=0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.

На відрізку функція y = f(x) може досягати найменшого чи найбільшого значення або критичних точках, або кінцях відрізка .

7. Інтервали опуклості, увігнутості функції .Точки перегину.

Графік функції y=f(x)називається опуклимна інтервалі (a; b), якщо він розташований нижче за будь-яку свою дотичну на цьому інтервалі. Графік функції y=f(x)називається увігнутимна інтервалі (a; b)якщо він розташований вище будь-якої своєї дотичної на цьому інтервалі. На малюнку показана крива, опукла на (a; b)і увігнута на (b; c). приклади. Розглянемо достатню ознаку, що дозволяє встановити, чи графік функції у цьому інтервалі опуклим чи увігнутим. Теорема. Нехай y=f(x)диференційована на (a; b). Якщо у всіх точках інтервалу (a; b)друга похідна функції y = f(x)негативна, тобто. f""(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f""(x) > 0 – увігнутий. Доказ. Припустимо для певності, що f""(x) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым. Візьмемо на графіку функції y = f(x)довільну точку M 0 з абсцисою x 0  (a; b) і проведемо через точку M 0 дотичну. Її рівняння. Ми повинні показати, що графік функції на (a; b)лежить нижче від цієї дотичної, тобто. при тому самому значенні xордината кривої y = f(x)буде менше ординату дотичної.

Точка перегину функції

Цей термін має й інші значення, див. Точка перегину.

Точка перегину функції внутрішня точка області визначення, Така що безперервна в цій точці, існує кінцева або певного знака нескінченна похідна в цій точці, і є одночасно кінцем інтервалу суворої опуклості вгору і початком інтервалу суворої опуклості вниз, або навпаки.

Неофіційне

У цьому випадку точка є точкою перегинуграфіка функції, тобто графік функції у точці «перегинається» через дотичнудо нього в цій точці: при дотична лежить під графіком, а над графіком (або навпаки)

Зростання, спадання та екстремуми функції

Знаходження інтервалів зростання, спадання та екстремумів функції є як самостійним завданням, так і найважливішою частиною інших завдань, зокрема, повного дослідження функції. Початкові відомості про зростання, спадання та екстремуми функції дано в теоретичного розділу про похідну, яку я настійно рекомендую до попереднього вивчення (або повторення)- ще й з тієї причини, що нижченаведений матеріал базується на самій суті похідної,будучи гармонійним продовженням цієї статті. Хоча, якщо часу обмаль, то можливе і чисто формальне відпрацювання прикладів сьогоднішнього уроку.

А сьогодні в повітрі витає дух рідкісної одностайності, і я прямо відчуваю, що всі присутні горять бажанням навчитися досліджувати функцію за допомогою похідної. Тому на екранах ваших моніторів негайно з'являється розумна добра вічна термінологія.

Навіщо? Одна з причин найпрактичніша: щоб було зрозуміло, що від вас взагалі потрібно в тому чи іншому завданні!

Монотонність функції. Точки екстремуму та екстремуми функції

Розглянемо деяку функцію. Спрощено вважаємо, що вона безперервнана всій числовій прямій:

Про всяк випадок відразу позбавимося можливих ілюзій, особливо це стосується тих читачів, хто нещодавно ознайомився з інтервалами знакостійності функції. Зараз нас НЕ ІНТЕРЕСУЄ, як розташований графік функції щодо осі (вище, нижче, де перетинає вісь). Для переконливості подумки зітріть осі та залиште один графік. Тому що інтерес саме у ньому.

Функція зростаєна інтервалі, якщо для будь-яких двох точок цього інтервалу, пов'язаних ставленням, справедлива нерівність. Тобто, більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції, і її графік йде «знизу нагору». Демонстраційна функція зростає на інтервалі.

Аналогічно, функція зменшуєтьсяна інтервалі, якщо для будь-яких двох точок даного інтервалу, таких, що , справедлива нерівність . Тобто, більшому значенню аргументу відповідає найменше значення функції, і її графік йде «згори донизу». Наша функція зменшується на інтервалах .

Якщо функція зростає чи зменшується на інтервалі, її називають суворо монотонноїна даному інтервалі. Що таке монотонність? Розумійте в буквальному значенні – одноманітність.

Також можна визначити незниженуфункцію (пом'якшена умова в першому визначенні) та незростаючуфункцію (пом'якшена умова у 2-му визначенні). Незменшуючу або незростаючу функцію на інтервалі називають монотонною функцією на даному інтервалі (Строга монотонність - окремий випадок «просто» монотонності).

Теорія розглядає й інші підходи до визначення зростання/зменшення функції, у тому числі на напівінтервалах, відрізках, але щоб не виливати на вашу голову масло-масло-олійне, домовимося оперувати відкритими інтервалами з категоричними визначеннями – це чіткіше, і для вирішення багатьох практичних завдань цілком достатньо.

Таким чином, у моїх статтях за формулюванням «монотонність функції» майже завжди приховуватимуться інтервалисуворої монотонності(Строгого зростання або строгого зменшення функції).

Околиця точки. Слова, після яких студенти розбігаються, хто куди може, і з жахом ховаються по кутках. …Хоча після посту Межі по Кошівже, напевно, не ховаються, а лише злегка здригаються =) Не турбуйтеся, зараз не буде доказів теорем математичного аналізу - околиці мені знадобилися, щоб сформулювати визначення точок екстремуму. Згадуємо:

Околицею точкиназивають інтервал, який містить цю точку, при цьому для зручності інтервал часто вважають симетричним. Наприклад, точка та її стандартна - околиця:

Власне, визначення:

Крапка називається точкою суворого максимуму, якщо існуєїї -околиця, для всіхзначень якої крім самої точки виконано нерівність . У нашому конкретному прикладі це точка.

Крапка називається точкою суворого мінімуму, якщо існуєїї -околиця, для всіхзначень якої крім самої точки виконано нерівність . На кресленні – точка "а".

Примітка : вимога симетричності околиці зовсім не обов'язкова Крім того, важливий сам факт існуванняоколиці (хоч малесенькій, хоч мікроскопічній), що задовольняє зазначеним умовам

Крапки називають точками строго екстремумуабо просто точками екстремумуфункції. Тобто це узагальнений термін точок максимуму та точок мінімуму.

Як розуміти слово екстремум? Так само безпосередньо, як і монотонність. Екстремальні точки американських гірок.

Як і у випадку з монотонністю, теоретично мають місце і навіть більше поширені несуворі постулати (Під які, природно, підпадають розглянуті суворі випадки!):

Крапка називається точкою максимуму, якщо існуєїї околиця, така, що для всіх
Крапка називається точкою мінімуму, якщо існуєїї околиця, така, що для всіхзначень даної околиці виконано нерівність.

Зауважте, що згідно з останніми двома визначеннями, будь-яка точка функції-константи (або «рівної ділянки» якоїсь функції) вважається як точкою максимуму, так і точкою мінімуму! Функція , до речі, одночасно є і незростаючою і незнищувальною, тобто монотонною. Однак залишимо ці міркування теоретикам, оскільки на практиці ми майже завжди споглядаємо традиційні пагорби і западини з унікальним царем гори або принцесою болота. Як різновид, зустрічається вістря, спрямоване вгору чи вниз, наприклад, мінімум функції точці .

Так, до речі, про королівські особи:
– значення називають максимумомфункції;
– значення називають мінімумомфункції.

Загальна назва – екстремумифункції.

Будь ласка, будьте обережні в словах!

Крапки екстремуму- Це «іксові» значення.
Екстремуми- «Ігрові» значення.

! Примітка : іноді перерахованими термінами називають точки «ікс-гравець», що лежать безпосередньо на ГРАФІКУ функції.

Скільки може бути екстремумів у функції?

Жодного, 1, 2, 3, … і т.д. до нескінченності. Наприклад, у синуса безліч мінімумів і максимумів.

ВАЖЛИВО!Термін "максимум функції" не тотожнийтерміну "максимальне значення функції". Легко помітити, що значення максимально лише в локальній околиці, а зліва вгорі є і «крутіше товариші». Аналогічно, "мінімум функції" - не те ж саме, що "мінімальне значення функції", і на кресленні ми бачимо, що значення мінімальне тільки на певній ділянці. У зв'язку з цим точки екстремуму також називають точками локального екстремуму, а екстремуми – локальними екстремумами. Ходять-блукають неподалік і глобальніпобратими. Так, будь-яка парабола має у своїй вершині глобальний мінімумабо глобальний максимум. Далі я не розрізнятиму типи екстремумів, і пояснення озвучено більше в загальноосвітніх цілях – додаткові прикметники «локальний»/«глобальний» не повинні зненацька заставляти.

Підсумуємо наш невеликий екскурс у теорію контрольним пострілом: що передбачає завдання «знайдіть проміжки монотонності та точки екстремуму функції»?

Формулювання спонукає знайти:

– інтервали зростання/зменшення функції (набагато рідше фігурує незменшення, незростання);

– точки максимуму та/або точки мінімуму (якщо такі є). Ну і від незаліку подалі краще знайти самі мінімуми/максимуми;-)

Як це все визначити?За допомогою похідної функції!

Як знайти інтервали зростання, спадання,
точки екстремуму та екстремуми функції?

Багато правил, по суті, вже відомі та зрозумілі з уроку про сенс похідної.

Похідна тангенса несе бадьору звістку про те, що функція зростає на всій області визначення.

З котангенсом та його похідною ситуація рівно протилежна.

Арксинус на інтервалі зростає – похідна тут позитивна: .
При цьому функція визначена, але не диференційована. Однак у критичній точці існує правостороння похідна та правостороння дотична, а на іншому краю – їх лівосторонні візаві.

Думаю, вам не складе особливих труднощів провести схожі міркування для арккосинусу і його похідної.

Всі перелічені випадки, багато з яких є табличні похідні, нагадую, слідують безпосередньо з визначення похідної.

Навіщо досліджувати функцію за допомогою похідної?

Щоб краще дізнатися, як виглядає графік цієї функції: де він йде "знизу вгору", де "згори вниз", де досягає мінімумів максимумів (якщо взагалі досягає). Не всі функції такі прості – у більшості випадків у нас взагалі немає жодного уявлення про графік тієї чи іншої функції.

Настав час перейти до більш змістовних прикладів і розглянути алгоритм знаходження інтервалів монотонності та екстремумів функції:

Приклад 1

Знайти інтервали зростання/зменшення та екстремуми функції

Рішення:

1) На першому кроці потрібно знайти область визначення функції, а також взяти на замітку точки розриву (якщо вони існують). В даному випадку функція безперервна на всій числовій прямій, і дана дія певною мірою формально. Але в ряді випадків тут розгоряються неабиякі пристрасті, тому поставимося до абзацу без зневаги.

2) Другий пункт алгоритму обумовлений

необхідною умовою екстремуму:

Якщо в точці є екстремум, то значення не існує.

Бентежить кінцівка? Екстремум функції «модуль ікс» .

Умова необхідна, але мало, І зворотне твердження справедливо які завжди. Так, з рівності ще не випливає, що функція досягає максимуму або мінімуму в точці . Класичний приклад вже засвітився вище – це кубічна парабола та її критична точка.

Але як би там не було, необхідна умова екстремуму диктує необхідність знайти підозрілі точки. Для цього слід знайти похідну і вирішити рівняння:

На початку першої статті про графіки функціїя розповідав, як швидко побудувати параболу на прикладі : «…беремо першу похідну та прирівнюємо її до нуля: …Отже, рішення нашого рівняння: – саме в цій точці і знаходиться вершина параболи…». Тепер, думаю, всім зрозуміло, чому вершина параболи знаходиться саме в цій точці =) Взагалі, варто було б почати зі схожого прикладу і тут, але він занадто простий (навіть для чайника). До того ж, аналог є наприкінці уроку про похідної функції. Тому підвищимо ступінь:

Приклад 2

Знайти проміжки монотонності та екстремуми функції

Це приклад самостійного рішення. Повне рішення та зразковий чистовий зразок оформлення завдання наприкінці уроку.

Настав довгоочікуваний момент зустрічі з дрібно-раціональними функціями:

Приклад 3

Дослідити функцію за допомогою першої похідної

Зверніть увагу, як варіативно можна переформулювати практично одне й те завдання.

Рішення:

1) Функція зазнає нескінченних розривів у точках .

2) Детектуємо критичні точки. Знайдемо першу похідну та прирівняємо її до нуля:

Розв'яжемо рівняння. Дроб дорівнює нулю, коли його чисельник дорівнює нулю:

Таким чином, отримуємо три критичні точки:

3) Відкладаємо на числовій прямій ВСІ виявлені точки та методом інтерваліввизначаємо знаки ВИРОБНИЧОЇ:

Нагадую, що необхідно взяти якусь точку інтервалу, обчислити в ній значення похідної та визначити її знак. Вигідніше навіть не рахувати, а «прикинути» усно. Візьмемо, наприклад, точку , що належить інтервалу , і виконаємо підстановку: .

Два "плюси" і один "мінус" дають "мінус", тому, а значить, похідна негативна і на всьому інтервалі.

Дію, як ви розумієте, потрібно провести для кожного із шести інтервалів. До речі, зверніть увагу, що множник чисельника та знаменник суворо позитивні для будь-якої точки будь-якого інтервалу, що суттєво полегшує завдання.

Отже, похідна повідомила нам, що САМА ФУНКЦІЯ зростає на і зменшується на . Однотипні інтервали зручно скріплювати значком об'єднання.

У точці функція досягає максимуму:
У точці функція досягає мінімуму:

Подумайте, чому можна знову не перераховувати друге значення;-)

При переході через точку похідна не змінює знак, тому у функції там немає екстремуму - вона як спадала, так і залишилася спадною.

! Повторимо важливий момент: точки не вважаються критичними – у них функція не визначено. Відповідно, тут екстремумів не може бути в принципі(навіть якщо похідна змінює знак).

Відповідь: функція зростає на і зменшується на точці досягається максимум функції: , а точці – мінімум: .

Знання інтервалів монотонності та екстремумів разом із встановленими асимптотамидає вже дуже гарне уявлення про зовнішній вигляд графіка функції. Людина середнього рівня підготовки здатна усно визначити, що графік функції має дві вертикальні асимптоти і похила асимптота . Ось наш герой:

Намагайтеся ще раз співвіднести результати дослідження з графіком цієї функції.
У критичній точці екстремуму немає, але існує перегин графіка(що, як правило, і буває у подібних випадках).

Приклад 4

Знайти екстремуми функції

Приклад 5

Знайти інтервали монотонності, максимуми та мінімуми функції

…прямо якесь Свято «ікса в кубі» сьогодні виходить.
Таааку, хто там на гальорці запропонував за це випити? =)

У кожній задачі є змістовні нюанси та технічні тонкощі, які закоментовані наприкінці уроку.

зростаючоюна проміжку \(X\) , якщо для будь-яких \(x_1, x_2\in X\) , таких що \(x_1

Функція називається невпадаючою

\(\blacktriangleright\) Функція \(f(x)\) називається спадаючоюна проміжку \(X\) , якщо для будь-яких \(x_1, x_2\in X\) , таких що \(x_1 f(x_2)\) .

Функція називається незростаючоюна проміжку \(X\) , якщо для будь-яких \(x_1, x_2\in X\) , таких що \(x_1

\(\blacktriangleright\) Зростаючі та спадні функції називають суворо монотонними, а незростаючі та невтратні - просто монотонними.

\(\blacktriangleright\) Основні властивості:

I.Якщо функція \(f(x)\) - строго монотонна на \(X\) , то з рівності \(x_1=x_2\) (\(x_1,x_2\in X\) ) слід \(f(x_1)= f(x_2)\), і навпаки.

Приклад: функція \(f(x)=\sqrt x\) є строго зростаючою при всіх \(x\in \), тому рівняння \(x^2=9\) має на цьому проміжку не більше одного рішення, а точніше одне: \ (x = -3 \).

функція \(f(x)=-\dfrac 1(x+1)\) є строго зростаючою при всіх \(x\in (-1;+\infty)\) , тому рівняння \(-\dfrac 1(x +1)=0\) має у цьому проміжку трохи більше рішення, а точніше жодного, т.к. чисельник лівої частини ніколи не може дорівнювати нулю.

ІІІ.Якщо функція \(f(x)\) - не убуває (незростає) і безперервна на відрізку \(\) , причому на кінцях відрізка вона набуває значення \(f(a)=A, f(b)=B\) , то при \(C\in \) (\(C\in \) ) рівняння \(f(x)=C\) завжди має хоча б одне рішення.

Приклад: функція \(f(x)=x^3\) є строго зростаючою (тобто строго монотонною) і безперервною при всіх \(x\in\mathbb(R)\) , тому при будь-якому \(C\in ( -\infty;+\infty)\) рівняння \(x^3=C\) має рівно одне рішення: \(x=\sqrt(C)\) .

Завдання 1 #3153

Рівень завдання: Легше ЄДІ

має рівно два корені.

Перепишемо рівняння у вигляді: \[(3x^2)^3+3x^2=(x-a)^3+(x-a)\]Розглянемо функцію \(f(t)=t^3+t\) . Тоді рівняння перепишеться у вигляді: Досліджуємо функцію (f(t)). \ Отже, функція \(f(t)\) зростає при всіх \(t\). Отже, кожному значенню функції \(f(t)\) відповідає одно значення аргументу \(t\) . Отже, для того, щоб рівняння мало коріння, потрібно: \ Щоб отримане рівняння мало два корені, потрібно, щоб його дискримінант був позитивним: \

Відповідь:

\(\left(-\infty;\dfrac1(12)\right)\)

Завдання 2 #2653

Рівень завдання: дорівнює ЄДІ

Знайдіть усі значення параметра \(a\) , при яких рівняння \

має два корені.

(Завдання від передплатників.)

Зробимо заміну: \(ax^2-2x=t\) , \(x^2-1=u\) . Тоді рівняння набуде вигляду: \ Розглянемо функцію \(f(w)=7^w+\sqrtw\) . Тоді наше рівняння набуде вигляду: \

Знайдемо похідну \ Зауважимо, що з усіх \(w\ne 0\) похідна \(f"(w)>0\) , тому що \(7^w>0\) , \(w^6>0\) . Зауважимо також, що сама функція \(f(w)\) визначена при всіх \(w\) . (w)\) зростає на всьому \(\mathbb(R)\).
Отже, рівність \(f(t)=f(u)\) можлива тоді і лише тоді, коли \(t=u\) . Повернемося до початкових змінних і розв'яжемо отримане рівняння:

\ Для того, щоб дане рівняння мало два корені, воно має бути квадратним і його дискримінант має бути позитивним:

\[\begin(cases) a-1\ne 0\\ 4-4(a-1)>0\end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases)a\ne1\\a<2\end{cases}\]

Відповідь:

\((-\infty;1)\cup(1;2)\)

Завдання 3 #3921

Рівень завдання: дорівнює ЄДІ

Знайдіть усі позитивні значення параметра \(a\) , при яких рівняння

має як мінімум (2) рішення.

Перенесемо всі доданки, що містять \(ax\) , вліво, а що містять \(x^2\) - вправо, і розглянемо функцію
\

Тоді вихідне рівняння набуде вигляду:
\

Знайдемо похідну:
\

Т.к. \((t-2)^2 \geqslant 0, \ e^t>0, \ 1+\cos(2t) \geqslant 0\), то \(f"(t)\geqslant 0\) за будь-яких \(t\in \mathbb(R)\) .

Причому \(f"(t)=0\) , якщо \((t-2)^2=0\) і \(1+\cos(2t)=0\) одночасно, що не виконується за жодних \ (t\) .Отже, \(f"(t)> 0\) при будь-яких \(t\in \mathbb(R)\) .

Таким чином, функція \(f(t)\) строго зростає при всіх \(t\in \mathbb(R)\).

Отже, рівняння \(f(ax)=f(x^2)\) рівносильне рівнянню \(ax=x^2\) .

Рівняння \(x^2-ax=0\) при \(a=0\) має один корінь \(x=0\) , а при \(a\ne 0\) має два різні корені \(x_1=0 \) та \(x_2=a\) .
Нам потрібно знайти значення \(a\) , при яких рівняння матиме не менше двох коренів, враховуючи також те, що \(a>0\) .
Отже, відповідь: (a in (0; + infty)) .

Відповідь:

\((0;+\infty)\) .

Завдання 4 #1232

Рівень завдання: дорівнює ЄДІ

Знайдіть усі значення параметра \(a\) , при кожному з яких рівняння \

має єдине рішення.

Домножимо праву та ліву частини рівняння на \(2^(\sqrt(x+1))\) (т.к. \(2^(\sqrt(x+1))>0\) ) і перепишемо рівняння у вигляді : \

Розглянемо функцію \(y=2^t\cdot \log_(\frac(1)(9))((t+2))\)при \(t\geqslant 0\) (бо \(\sqrt(x+1)\geqslant 0\) ).

Похідна \(y"=\left(-2^t\cdot \log_9((t+2))\right)"=-\dfrac(2^t)(\ln9)\cdot \left(\ln 2\cdot \ln((t+2))+\dfrac(1)(t+2)\right)\).

Т.к. \(2^t>0, \ dfrac(1)(t+2)>0, \ ln((t+2))>0\)за всіх \(t\geqslant 0\) , то \(y"<0\) при всех \(t\geqslant 0\) .

Отже, при \(t\geqslant 0\) функція \(y\) монотонно зменшується.

Рівняння можна розглядати у вигляді \(y(t)=y(z)\) , де \(z=ax, t=sqrt(x+1)\) . З монотонності функції випливає, що рівність можлива тільки в тому випадку, якщо (t = z).

Отже, рівняння рівносильне рівнянню: \(ax=\sqrt(x+1)\) , яке у свою чергу рівносильне системі: \[\begin(cases) a^2x^2-x-1=0\\ ax \geqslant 0 \end(cases)\]

При \(a=0\) система має одне рішення \(x=-1\), яке задовольняє умову \(ax\geqslant 0\).

Розглянемо випадок \(a\ne 0\) . Дискримінант першого рівняння системи \(D=1+4a^2>0\) за всіх \(a\) . Отже, рівняння завжди має два корені \(x_1\) і \(x_2\), причому вони різних знаків (т.к. за теоремою Вієта) \(x_1\cdot x_2=-\dfrac(1)(a^2)<0\) ).

Це означає, що за \(a<0\) условию \(ax\geqslant 0\) подходит отрицательный корень, при \(a>0\) умові підходить позитивний корінь. Отже система завжди має єдине рішення.

Значить, \(a\in \mathbb(R)\) .

Відповідь:

\(a\in \mathbb(R)\) .

Завдання 5 #1234

Рівень завдання: дорівнює ЄДІ

Знайдіть усі значення параметра \(a\) , при кожному з яких рівняння \

має хоча б один корінь із відрізка \([-1;0]\) .

Розглянемо функцію \(f(x)=2x^3-3x(ax+x-a^2-1)-3a-a^3\)при деякому фіксованому (a) . Знайдемо її похідну: \(f"(x)=6x^2-6ax-6x+3a^2+3=3(x^2-2ax+a^2+x^2-2x+1)=3((x-a)^2 +(x-1)^2)\).

Зауважимо, що \(f"(x)\geqslant 0\) при всіх значеннях \(x\) і \(a\) , причому дорівнює \(0\) тільки при \(x=a=1\). при \(a=1\):
\(f"(x)=6(x-1)^2 \Rightarrow f(x)=2(x-1)^3 \Rightarrow\)рівняння \(2(x-1)^3=0\) має єдиний корінь \(x=1\), що не задовольняє умові. Отже, \(a\) не може дорівнювати \(1\) .

Отже, за всіх \(a\ne 1\) функція \(f(x)\) є строго зростаючою, отже, рівняння \(f(x)=0\) може мати не більше одного кореня. Враховуючи властивості кубічної функції, графік \(f(x)\) при деякому фіксованому \(a\) виглядатиме таким чином:

Отже, щоб рівняння мало корінь з відрізка \([-1;0]\) , необхідно: \[\begin(cases) f(0)\geqslant 0\\f(-1)\leqslant 0 \end(cases) \Rightarrow \begin(cases) a(a^2+3)\leqslant 0\\ ( a+2)(a^2+a+4)\geqslant 0 \end(cases) \Rightarrow \begin(cases) a\leqslant 0\\ a\geqslant -2 \end(cases) \Rightarrow -2\leqslant a\leqslant 0\]

Отже, \(a\in [-2;0]\) .

Відповідь:

\ (a \ in [-2; 0] \) .

Завдання 6 #2949

Рівень завдання: дорівнює ЄДІ

Знайдіть усі значення параметра \(a\) , при кожному з яких рівняння \[(\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6)\cdot (\sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^2))=0\]

має коріння.

(Завдання від передплатників)

ОДЗ рівняння: \(2x-2x^2\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad x\in \). Отже, для того, щоб рівняння мало коріння, потрібно щоб хоча б одне з рівнянь \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad (\small(\text(або)))\quad \sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^ 2) = 0 \]мало рішення на ОДЗ.

1) Розглянемо перше рівняння \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &sin x=2a+ 2 \\\x=3\ \end(aligned) \end(gathered)\right. \quad\Leftrightarrow\quad \sin x=2a+2\]Дане рівняння повинно мати коріння на \(\). Розглянемо коло:

Таким чином, ми бачимо, що для будь-яких \(2a+2\in [\sin 0;\sin 1]\) рівняння матиме одне рішення, а для всіх інших - не матиме рішень. Отже, при \(a\in \left[-1;-1+\sin 1\right]\)рівняння має розв'язки.

2) Розглянемо друге рівняння \[\sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^2)=0 \quad\Leftrightarrow\quad 8x\sqrt(x-x^2)=-a\]

Розглянемо функцію \(f(x)=8x\sqrt(x-x^2)\). Знайдемо її похідну: \ На ОДЗ похідна має один нуль: \(x=\frac34\) , який є точкою максимуму функції \(f(x)\) .
Зауважимо, що \(f(0)=f(1)=0\) . Отже, схематично графік (f(x)) виглядає так:

Отже, щоб рівняння мало розв'язання, потрібно, щоб графік \(f(x)\) перетинався з прямою \(y=-a\) (на малюнку зображено один з відповідних варіантів). Тобто потрібно, щоб \ . При цих (x) :

Функція \(y_1=sqrt(x-1)\) є строго зростаючою. Графіком функції \(y_2=5x^2-9x\) є парабола, вершина якої знаходиться в точці \(x=\dfrac(9)(10)\). Отже, за всіх \(x\geqslant 1\) функція \(y_2\) також строго зростає (права гілка параболи). Т.к. сума строго зростаючих функцій є строго зростаюча, то (f_a(x)) - строго зростає (константа (3a + 8) не впливає на монотонність функції).

Функція \(g_a(x)=\dfrac(a^2)(x)\) при всіх \(x\geqslant 1\) є частиною правої гілки гіперболи і є строго спадаючою.

Вирішити рівняння \(f_a(x)=g_a(x)\) - означає знайти точки перетину функцій \(f\) і \(g\). З їхньої протилежної монотонності випливає, що рівняння може мати не більше одного кореня.

При \(x\geqslant 1\) \(f_a(x)\geqslant 3a+4, \ \ \ 0 . Отже, рівняння матиме єдине рішення у тому випадку, якщо:

\\cup

Відповідь:

\(a\in (-\infty;-1]\cup виконуються умови теореми Лагранжа, тому

де , тобто. належить проміжку, у якому похідна позитивна, звідки випливає, що та права частина рівності позитивна. Звідси і

Аналогічно доводиться інша теорема.

Теорема (достатня умова зменшення функції).Якщо похідна функції, що диференціюється, негативна всередині деякого проміжку X, то вона зменшується на цьому проміжку.

Геометрична інтерпретація умови монотонності функції наведена малюнку 7.

Якщо дотичні до кривої у певному проміжку спрямовані під гострими кутами до осі абсцис (рис. 7а), то функція зростає, якщо під тупими (рис. 7 б), то зменшується.

Малюнок 7 – Геометрична інтерпретація умови монотонності функції

Приклад 1 у = х 2 – 4х + 3.

Рішення.Маємо Очевидно при х> 2і у"< 0 при х< 2, тобто. функція зменшується на інтервалі та зростає на інтервалі де х 0 = 2 - абсцису вершини параболи.

Зауважимо, що необхідна умова монотонності слабша. Якщо функція зростає (зменшується) на деякому проміжку X, можна лише стверджувати, що похідна неотрицательна (непозитивна) у цьому проміжку: тобто. в окремих точках похідна монотонної функції може дорівнювати нулю.

Приклад 2. Знайти інтервали монотонності функції у = х 3 .

Рішення.Знайдемо похідну Очевидно, що у> 0 за . При х= 0 похідна перетворюється на нуль. Функція ж монотонно зростає по всій числовій осі.

Екстремум функції

Визначення 1.Крапка х 0 називається точкою максимумуфункції f(хх 0 виконується нерівність

Визначення 2.Крапка х 1 , називається точкою мінімумуфункції f(х), якщо в деякій околиці точки х 1 ,виконується нерівність

Значення функції у точках х 0 та х 1 , називаються відповідно максимумом та мінімумом функції.

Максимум і мінімум функції поєднуються загальною назвою екстремуму функції.

Екстремум функції часто називають локальним екстремумом,підкреслюючи той факт, що поняття екстремуму пов'язане лише з досить малою околицею точки х n. Так що на одному проміжку функція може мати кілька екстремумів, причому може статися, що мінімум в одній точці більше максимуму в іншій, наприклад, на рис.

Наявність максимуму (або мінімуму) в окремій точці проміжку Xзовсім не означає, що в цій точці функція f(х) приймає найбільше (найменше) значення на цьому проміжку (або, як кажуть, має глобальний максимум (мінімум)).

Необхідна умова екстремуму:Для того, щоб функція у = f(х) мала екстремум у точці х 0 необхідно, щоб її похідна в цій точці дорівнювала нулю ( )чи не існувала.

Крапки, у яких виконано необхідну умову екстремуму, тобто. похідна дорівнює нулю або не існує, називаються критичними (або стаціонарними ).

Таким чином, якщо в будь-якій точці є екстремум, ця точка критична. Дуже важливо, однак, зауважити, що зворотне твердження неправильне. Критична точка зовсім не обов'язково є точкою екстремуму.

Рисунок 8 – Екстремуми функції f(х)

Приклад 1. Знайти критичні точки функції та переконатися у наявності чи відсутності екстремуму у цих точках.