Що таке екстремум функції та яка необхідна умова екстремуму?
Екстремумом функції називається максимум і мінімум функції.
Необхідна умова максимуму і мінімуму (екстремуму) функції таке: якщо функція f(x) має екстремум у точці х = а, то цій точці похідна або дорівнює нулю, або нескінченна, або немає.
Ця умова необхідна, але не достатня. Похідна в точці х = а може звертатися в нуль, у нескінченність або не існувати без того, щоб функція мала екстремум у цій точці.
Яка достатня умова екстремуму функції (максимум або мінімум)?
Перша умова:
Якщо в достатній близькості від точки х = а похідна f? максимум
Якщо в достатній близькості від точки х = а похідна f? мінімумза умови, що функція f(x) тут безперервна.
Натомість можна скористатися другою достатньою умовою екстремуму функції:
Нехай у точці х = а перша похідна f?(x) перетворюється на нуль; якщо у своїй друга похідна f??(а) негативна, то функція f(x) має у точці x = a максимум, якщо позитивна - то мінімум.
Що таке критична точка функції та як її знайти?
Це значення аргументу функції, у якому функція має екстремум (тобто максимум чи мінімум). Щоб його знайти, потрібно знайти похіднуфункції f?(x) і, прирівнявши її до нуля, вирішити рівняння f?(x) = 0. Коріння цього рівняння, і навіть ті точки, у яких немає похідна цієї функції, є критичними точками, т. е. значеннями аргументу, у яких може бути екстремум. Їх можна легко визначити, поглянувши на графік похідної: нас цікавлять ті значення аргументу, за яких графік функції перетинає вісь абсцис (вісь Ох) і ті, за яких графік зазнає розривів.
Наприклад знайдемо екстремум параболи.
Функція y(x) = 3x2 + 2x – 50.
Похідна функції: y? (x) = 6x + 2
Вирішуємо рівняння: y? (x) = 0
6х + 2 = 0, 6х = -2, х = -2/6 = -1/3
У разі критична точка - це х0=-1/3. Саме при цьому значенні аргументу функція має екстремум. Щоб його знайти, підставляємо для функції замість «х» знайдене число:
y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.
Як визначити максимум і мінімум функції, тобто. її найбільше та найменше значення?
Якщо знак похідної під час переходу через критичну точку х0 змінюється з «плюсу» на «мінус», то х0 є точка максимуму; якщо ж знак похідної змінюється з мінуса на плюс, то х0 є точка мінімуму; якщо знак не змінюється, то у точці х0 ні максимуму, ні мінімуму немає.
Для розглянутого прикладу:
Беремо довільне значення аргументу ліворуч від критичної точки: х = -1
При х = -1 значення похідної буде у? (-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (тобто знак - "мінус").
Тепер беремо довільне значення аргументу праворуч від критичної точки: х = 1
При х = 1 значення похідної буде у (1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (тобто знак - плюс).
Як бачимо, похідна під час переходу через критичну точку змінила знак із мінуса на плюс. Отже, за критичного значення х0 ми маємо точку мінімуму.
Найбільше та найменше значення функції на інтервалі(на відрізку) знаходять за такою ж процедурою тільки з урахуванням того, що, можливо, не всі критичні точки лежатимуть усередині зазначеного інтервалу. Ті критичні точки, які перебувають за межею інтервалу, слід виключити з розгляду. Якщо всередині інтервалу знаходиться лише одна критична точка – у ній буде або максимум, або мінімум. У цьому випадку для визначення найбільшого та найменшого значень функції враховуємо також значення функції на кінцях інтервалу.
Наприклад, знайдемо найбільше та найменше значення функції
y(x) = 3sin(x) - 0,5х
на інтервалах:
Отже, похідна функції -
y?(x) = 3cos(x) - 0,5
Вирішуємо рівняння 3cos(x) - 0,5 = 0
cos(x) = 0,5/3 = 0,16667
х = ± arccos (0,16667) + 2πk.
Знаходимо критичні точки на інтервалі [-9; 9]:
х = arccos (0,16667) - 2π * 2 = -11,163 (не входить в інтервал)
х = -arccos (0,16667) - 2π * 1 = -7,687
х = arccos (0,16667) - 2π * 1 = -4,88
x = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403
x = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403
x = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88
x = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687
х = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (не входить до інтервалу)
Знаходимо значення функції при критичних значеннях аргументу:
y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885
y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398
y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256
y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256
y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398
y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885
Видно, що на інтервалі [-9; 9] найбільше значення функція має за x = -4,88:
x = -4,88, у = 5,398,
а найменше – при х = 4,88:
x = 4,88, у = -5,398.
На інтервалі [-6; -3] маємо лише одну критичну точку: х = -4,88. Значення функції при х = -4,88 дорівнює у = 5,398.
Знаходимо значення функції на кінцях інтервалу:
y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838
y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077
На інтервалі [-6; -3] маємо найбільше значення функції
у = 5,398 при x = -4,88
найменше значення -
у = 1,077 при x = -3
Як знайти точки перегину графіка функції та визначити сторони опуклості та увігнутості?
Щоб знайти всі точки перегину лінії y = f(x), треба знайти другу похідну, прирівняти її до нуля (вирішити рівняння) і випробувати всі значення х, для яких друга похідна дорівнює нулю, нескінченна або не існує. Якщо при переході через одне з цих значень друга похідна змінює знак, графік функції має в цій точці перегин. Якщо ж не змінює, то перегину немає.
Коріння рівняння f? (x) = 0, а також можливі точки розриву функції та другої похідної розбивають область визначення функції на ряд інтервалів. Випуклість на кожному їх інтервалі визначається знаком другої похідної. Якщо друга похідна в точці на досліджуваному інтервалі позитивна, лінія y = f(x) звернена тут увігнутістю догори, і якщо негативна - то донизу.
Як знайти екстремуми функції двох змінних?
Щоб знайти екстремуми функції f(x,y), що диференціюється в області її завдання, потрібно:
1) знайти критичні точки, а для цього вирішити систему рівнянь
fх? (x, y) = 0, f? (x, y) = 0
2) для кожної критичної точки Р0(a;b) дослідити, чи залишається незмінним знак різниці
всім точок (х;у), досить близьких до Р0. Якщо різницю зберігає позитивний знак, то точці Р0 маємо мінімум, якщо негативний - то максимум. Якщо різницю не зберігає знака, то точці Р0 екстремуму немає.
Аналогічно визначають екстремуми функції за більшої кількості аргументів.
Де в Інтернеті знайти офіційний сайт Державної інспекції праці у Брянській області
www.rostrud.ru - офіційний сайт Роструда - Федеральна служба з праці та зайнятості Довідкова Роструда - 8-800-707-88-41 Надіслати електронний звернення до Роструду (адреса електронної пошти: [email protected]) git77.rostrud.ru &mda
Де можна знайти інформацію про іспанський футбол
Прімера Дивізіон (ісп. Primera División) - професійна футбольна ліга Іспанії (ісп. Liga de Futbol Profesional, LFP), відома також просто як Прімера, або Ла Ліга (ісп. La Liga), є професійним футбольним турніром
Яка офіційна валюта Росії
Назва країни Назва - грошей/розмінної монети Австралія Австралійський долар/цент Австрія Австрійський шилінг/грош — євро Азербайджан Манат Албанія Лек/кіндарка Алжир Алжирський динар/сантимо Аргентина Аргентинський аустраль/сентаво Афганістан/пул Бангладеш Така/пайс Бельгія євро Болгарія Лев/стотинка
Які відомі особи померли 2 листопада
2 листопада - 306-й день року (307-й у високосні роки) у григоріанському календарі. До кінця року залишається 59 днів. Свята 2 листопада Національні: Віргінські Острови (США) – День свободи; Білорусь - Діди (День пам'яті); Ліберія - День подяки; Мексика, Польща, По
Які є нульові формоутворюючі суфікси
Що таке нульовий суфікс Нульовим називається суфікс, не виражений звуками у мові та літерами на листі, але за допомогою якого утворюються нові слова. Спосіб утворення слів за допомогою нульового суфікса називається в одних посібниках безсуфіксним, в інших - нульова суфіксація. Нульовий суфікс графічно позначається знаком Osla
Хто такий якірний орендар
Якірний орендар - головний орендар у торговому центрі, який приваблює покупців. Однією з найважливіших ознак «якоря» вважають його впізнаваність серед покупців, що передбачає розкрученість бренду та існування у форматі окремого магазину – street retail, наприклад, як Zara, М-відео
Який офіційний сайт Російської економічної академії ім. Г.В. Плеханова (РЕА)
Нижче наведено офіційні сайти основних державних вузів Москви: Московський державний університет імені М.В. Ломоносова Академія Генеральної прокуратури Російської Федерації Академія Державної протипожежної служби МНС Росії Академія народного господарства при Уряді РФ (АНХ) Академія праці та соціальних відносин (АТіСО) Акад
Які свята відзначають 16 травня
16 травня - 136-й день року (137-й у високосні роки) у григоріанському календарі. До кінця року залишається 229 днів. Події та свята, які відзначають 16 травня: Всесвітній день пам'яті людей, які померли від СНІДу; День біографів; Апара Екадаші в Індії. Релігійні події Православ'я: День преподобного Феодосія Печерського; Від
Яка географія поширення бур'янів амброзія
Амброзія полиннолистна Однорічна, пізня яра. Біологія та морфологія. Стебло 20-200 см заввишки, пряме, нагорі метельчато гіллясте кутасте, зі слабким або досить сильним притиснутим щетинистим опушенням. Корінь стрижневий, проникає у ґрунт на глибину – 4м. Листя довжиною 4-15 см, зверху темно-зелені, майже голі, знизу сіро-зелені, густощетинистоопушені; верхні
Хто такі пойкілотермні тварини
Пойкілотермні тварини - холоднокровні тварини, тварини з непостійною внутрішньою температурою тіла, що змінюється в залежності від температури зовнішнього середовища. До пойкілотермних тварин відносяться всі безхребетні, а з хребетних - риби, земноводні та плазуни. Температура тіла пойкілотермних тварин зазвичай всього на 1-20С вище температури навколишнього середовища
Як правильно робити підтягування
Підтягування - базова вправа для м'язів рук, спини та грудей. Підтягування є ключовою вправою, що розвиває силу. Підтягування можна робити завжди і практично скрізь, для них не потрібні якісь особливі тренажери або ходьба до спортивної зали, що дуже важливо. Підтягування на перекладині - найефективніша вправа на
Функції зовсім необов'язково знати про наявність першої і другої похідної і розуміти їх фізичний зміст. Для початку потрібно усвідомити таке:
- екстремуми функції максимізують або, навпаки, мінімізують значення функції в скільки завгодно малої околиці;
- у точці екстремуму не повинно бути розриву функції.
А тепер те саме, тільки простою мовою. Подивіться на кінчик стрижня кулькової ручки. Якщо ручку розташувати вертикально, що пише кінцем вгору, то сама середина кульки буде екстремумом - найвищою точкою. І тут говорять про максимум. Тепер, якщо повернути ручку пишучим кінцем вниз, то на середі кульки вже буде мінімум функції. За допомогою малюнка, наведеного тут же, можна подати перераховані маніпуляції для канцелярського олівця. Отже, екстремуми функції – це завжди критичні точки: її максимуми чи мінімуми. Прилегла ділянка графіка може бути як завгодно гострим або плавним, але він повинен існувати з обох сторін, тільки в цьому випадку точка є екстремумом. Якщо графік присутній лише з одного боку, точка ця екстремумом не буде навіть у тому випадку, якщо з одного її боку умови екстремуму виконуються. Тепер вивчимо екстремуми функції з наукового погляду. Щоб точка могла вважатися екстремумом, необхідно і достатньо, щоб:
- перша похідна дорівнювала нулю чи існувала у точці;
- перша похідна змінювала свій знак у цій точці.
Умова трактується трохи інакше з погляду похідних вищого порядку: для функції, що диференціюється в точці, достатньо, щоб існувала похідна непарного порядку, нерівна нулю, при тому, що всі похідні нижчого порядку повинні існувати і дорівнювати нулю. Але для звичайнісіньких людей варто пояснити цей момент прикладом. За основу береться звичайна парабола. Відразу обмовимося, у нульовій точці вона має мінімум. Зовсім небагато математики:
- перша похідна (X2) | = 2X, для нульової точки 2Х = 0;
- друга похідна (2Х) | = 2 для нульової точки 2 = 2.
Таким нехитрим чином проілюстровані умови, що визначають екстремуми функції для похідних першого порядку, і для похідних вищого порядку. Можна до цього додати, що друга похідна якраз є тією самою похідною непарного порядку, нерівною нулю, про яку йшлося трохи вище. Коли йдеться про екстремуми функції двох змінних, умови повинні виконуватися обох аргументів. Коли відбувається узагальнення, то йдуть приватні похідні. Тобто необхідно для наявності екстремуму в точці, щоб обидві похідні першого порядку дорівнювали нулю, або хоча б одна з них не існувала. Для достатності наявності екстремуму досліджується вираз, що є різницею твору похідних другого порядку і квадрата змішаної похідної другого порядку функції. Якщо це вираз більше нуля, отже, екстремум має місце, а якщо є рівність нулю, то питання залишається відкритим, і потрібно проводити додаткові дослідження.
Звернемося до графіка функції у = х 3 - 3х2. Розглянемо околицю точки x = 0, тобто. деякий інтервал, що містить цю точку. Логічно, що існує така околиця точки х = 0, що найбільше значення функція у = х 3 – 3х 2 у цій околиці приймає в точці х = 0. Наприклад, на інтервалі (-1; 1) найбільше значення, що дорівнює 0, функція набуває у точці х = 0. Точку х = 0 називають точкою максимуму цієї функції.
Аналогічно, точка х = 2 називається точкою мінімуму функції х 3 - 3х 2, так як у цій точці значення функції не більше її значення в іншій точці околиці точки х = 2, наприклад, околиці (1,5; 2,5).
Таким чином, точкою максимуму функції f(х) називається точка х 0 якщо існує околиця точки х 0 – така, що виконується нерівність f(х) ≤ f(х 0) для всіх х з цієї околиці.
Наприклад, точка х 0 = 0 – це точка максимуму функції f(х) = 1 – х 2 , оскільки f(0) = 1 і вірна нерівність f(х) ≤ 1 при всіх значеннях х.
Точкою мінімуму функції f(х) називається точка х 0 якщо існує така околиця точки х 0 що виконується нерівність f(х) ≥ f(х 0) для всіх х з цієї околиці.
Наприклад, точка х 0 = 2 – це точка мінімуму функції f(х) = 3 + (х – 2) 2 так як f(2) = 3 і f(х) ≥ 3 при всіх х.
Точками екстремуму називаються точки мінімуму та точки максимуму.
Звернемося до функції f(х), яка визначена в околиці точки х 0 і має в цій точці похідну.
Якщо х 0 – точка екстремуму функції, що диференціюється f(х), то f "(х 0) = 0. Це твердження називають теоремою Ферма.
Теорема Ферма має наочний геометричний зміст: у точці екстремуму дотична паралельна осі абсцис і тому її кутовий коефіцієнт
f "(х 0) дорівнює нулю.
Наприклад, функція f(х) = 1 - 3х2 має в точці х 0 = 0 максимум, її похідна f "(х) = -2х, f "(0) = 0.
Функція f(х) = (х - 2) 2 + 3 має мінімум у точці х 0 = 2, f "(х) = 2 (х - 2), f "(2) = 0.
Зазначимо, якщо f "(х 0) = 0, цього недостатньо, щоб стверджувати, що х 0 – це обов'язково точка екстремуму функції f(х).
Наприклад, якщо f(х) = х 3 то f "(0) = 0. Однак точкою екстремуму точка х = 0 не є, так як на всій числовій осі функція х 3 зростає.
Отже, точки екстремуму функції, що диференціюється, необхідно шукати лише серед коренів рівняння.
f "(х) = 0, але корінь цього рівняння не завжди є точкою екстремуму.
Стаціонарними точками називають точки, у яких похідна функції дорівнює нулю.
Таким чином, для того щоб точка х 0 була точкою екстремуму, необхідно, щоб вона була стаціонарною точкою.
Розглянемо достатні умови те, що стаціонарна точка є точкою екстремуму, тобто. умови, у виконанні яких стаціонарна точка є точкою мінімуму чи максимуму функції.
Якщо похідна лівіше стаціонарної точки позитивна, а правіше – негативна, тобто. похідна змінює знак "+" на знак "-" при переході через цю точку, то ця стаціонарна точка - це точка максимуму.
Справді, у разі лівіше стаціонарної точки функція зростає, а правіше – зменшується, тобто. Ця точка – це точка максимуму.
Якщо похідна змінює знак «–» на знак «+» під час переходу через стаціонарну точку, це стаціонарна точка є точкою мінімуму.
Якщо похідна знак не змінює під час переходу через стаціонарну точку, тобто. ліворуч і праворуч від стаціонарної точки похідна позитивна чи негативна, то ця точка не є точкою екстремуму.
Розглянемо одне із завдань. Знайти точки екстремуму функції f(х) = х4 – 4х3.
Рішення.
1) Знайдемо похідну: f "(х) = 4х3 - 12х2 = 4х2 (х - 3).
2) Знайдемо стаціонарні точки: 4х2 (х - 3) = 0, х1 = 0, х2 = 3.
3) Методом інтервалів встановлюємо, що похідна f "(х) = 4х 2 (х - 3) позитивна при х> 3, негативна при х< 0 и при 0 < х < 3.
4) Оскільки при переході через точку х 1 = 0 знак похідної не змінюється, то ця точка не є точкою екстремуму.
5) Похідна змінює знак «–» на знак «+» під час переходу через точку х 2 = 3. Тому х 2 = 3 – точка мінімуму.
сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.
Важливим поняттям математики є функція. З її допомогою можна наочно уявити багато процесів, що відбуваються в природі, відобразити з використанням формул, таблиць та зображень на графіку взаємозв'язок між певними величинами. Прикладом може бути залежність тиску шару рідини на тіло від глибини занурення, прискорення - від на об'єкт певної сили, збільшення температури - від енергії, що передається, і багато інших процесів. Дослідження функції передбачає побудова графіка, з'ясування її властивостей, області визначення та значень, проміжків зростання та спадання. Важливим моментом у цьому процесі є знаходження точок екстремуму. Про те, як правильно це робити, і йтиметься далі.
Про поняття на конкретному прикладі
У медицині побудова графіка функції може розповісти про перебіг розвитку хвороби в організмі пацієнта, наочно відбиваючи його стан. Припустимо, по осі ОХ відкладається час на добу, а по осі ОУ – температура тіла людини. На малюнку добре видно, як цей показник різко здіймається, а потім падає. Неважко помітити також особливі точки, що відображають моменти, коли функція, що раніше зростає, починає зменшуватися, і навпаки. Це точки екстремуму, тобто критичні значення (максимальні та мінімальні) в даному випадку температури хворого, після яких настають зміни у його стані.
Кут нахилу
Легко можна визначити за малюнком, як змінюється похідна функції. Якщо прямі лінії графіка з часом йдуть вгору, вона позитивна. І чим вони крутіші, тим більше значення набуває похідна, оскільки росте кут нахилу. У періоди спадання ця величина набуває негативних значень, в точках екстремуму звертаючись у нуль, а графік похідної в останньому випадку малюється паралельно осі ОХ.
Будь-який інший процес слід розглядати аналогічним чином. Але найкраще про це поняття може розповісти рух різних тіл, наочно показане на графіках.
Рух
Припустимо, деякий об'єкт рухається прямою, рівномірно набираючи швидкість. У цей період зміна координати тіла графічно є якоюсь кривою, яку математик назвав би гілкою параболи. У цьому функція постійно зростає, оскільки показники координати з кожною секундою змінюються дедалі швидше. Графік швидкості демонструє поведінку похідної, значення якої також зростає. Отже, рух немає критичних точок.
Так би й тривало нескінченно довго. Але якщо тіло раптом вирішить загальмувати, зупинитися та почати рухатися в іншому напрямку? У разі показники координати почнуть зменшуватися. А функція перейде критичне значення і зі зростаючої перетвориться на спадну.
На цьому прикладі знову можна зрозуміти, що точки екстремуму на графіку функції з'являються в моменти, коли вона перестає бути монотонною.
Фізичний зміст похідної
Описане раніше наочно показало, що похідна насправді є швидкістю зміни функції. У цьому уточненні і укладено її фізичний зміст. Крапки екстремуму – це критичні області на графіку. Їх можна з'ясувати і виявити, обчисливши значення похідної, яка виявляється рівною нулю.
Існує й інша ознака, яка є достатньою умовою екстремуму. Похідна в таких місцях перегину змінює свій знак: з + на "-" в області максимуму і з "-" на "+" в районі мінімуму.
Рух під впливом сили тяжіння
Уявімо ще одну ситуацію. Діти, граючи в м'яч, кинули його в такий спосіб, що він почав рухатися під кутом до горизонту. У початковий момент швидкість даного об'єкта була найбільшою, але під дією сили тяжіння почала зменшуватися, причому з кожною секундою на одну й ту саму величину, що дорівнює приблизно 9,8 м/с 2 . Це значення прискорення, що виникає під впливом гравітації земної при вільному падінні. На Місяці воно було б приблизно в шість разів менше.
Графіком, що описує рух тіла, є парабола з гілками, спрямованими вниз. Як знайти точки екстремуму? В даному випадку це вершина функції, де швидкість тіла (м'яча) набуває нульового значення. Похідна функції стає рівною нулю. У цьому напрям, отже, і значення швидкості, змінюється на протилежне. Тіло летить вниз з кожною секундою все швидше, причому прискорюється на ту саму величину - 9,8 м/с2.
Друга похідна
У попередньому випадку графік модуля швидкості змальовується як пряма. Ця лінія виявляється спочатку спрямована вниз, оскільки значення цієї величини постійно зменшується. Досягши нуля в один із моментів часу, далі показники цієї величини починають зростати, а напрямок графічного зображення модуля швидкості кардинально змінюється. Тепер лінія спрямована нагору.
Швидкість, похідна від координати за часом, теж має критичну точку. У цій галузі функція, спочатку спадаючи, починає зростати. Це місце точки екстремуму похідної функції. В даному випадку кут нахилу дотичної стає рівним нулю. А прискорення, будучи другою похідною від координати за часом, змінює знак із «-» на «+». І рух із рівноуповільненого стає рівноприскореним.
Графік прискорення
Тепер розглянемо чотири малюнки. На кожному з них відображено графік зміни з часом такої фізичної величини, як прискорення. У разі «А» значення його залишається позитивним та постійним. Це означає, що швидкість тіла, як і його координата постійно збільшується. Якщо уявити, що об'єкт рухатиметься таким чином нескінченно довго, функція, що відображатиме залежність координати від часу, виявиться постійно зростаючою. Із цього випливає, що вона не має критичних областей. Точки екстремуму на графіку похідної, тобто лінійно змінної швидкості, також відсутні.
Те саме стосується і випадку «Б» з позитивним і прискоренням, що постійно збільшується. Щоправда, графіки для координати та швидкості тут будуть дещо складнішими.
Коли прискорення прагне нуля
Розглядаючи малюнок "В", можна спостерігати зовсім іншу картину, що характеризує рух тіла. Швидкість його графічно зображуватиметься параболою з гілками, спрямованими вниз. Якщо продовжити лінію, що описує зміна прискорення до перетину її з віссю ОХ, і далі, можна уявити, що до цього критичного значення, де прискорення виявиться рівним нулю, швидкість об'єкта буде збільшуватися все повільніше. Точка екстремуму похідної від функції координати виявиться якраз у вершині параболи, після чого тіло кардинально змінить характер руху та почне рухатися в іншому напрямку.
У разі, «Г», характер руху точно визначити неможливо. Тут відомо тільки, що прискорення за деякий період відсутній. Отже, об'єкт може залишатися дома або рух відбувається з постійної швидкістю.
Завдання на складання координат
Перейдемо до завдань, які часто зустрічаються щодо алгебри у шкільництві та пропонуються на підготовку до ЄДІ. На малюнку, що представлений нижче, зображено графік функції. Потрібно обчислити суму точок екстремуму.
Зробимо це осі ординат, визначивши координати критичних областей, де спостерігається зміна характеристик функції. Простіше кажучи, знайдемо значення осі ОХ для точок перегину, а потім перейдемо до складання отриманих членів. За графіком очевидно, що вони набувають таких значень: -8; -7; -5; -3; -2; 1; 3. У сумі це становить -21, що є відповіддю.
Оптимальне рішення
Не варто пояснювати, наскільки виявиться важливим у виконанні практичних завдань вибір оптимального рішення. Адже шляхів досягнення мети буває багато, а найкращий вихід, як правило, лише один. Це дуже необхідно, наприклад, при конструюванні судів, космічних кораблів і літаків, архітектурних споруд перебування оптимальної форми даних рукотворних об'єктів.
Швидкохідність засобів пересування багато в чому залежить від грамотного відомості до мінімуму опору, який вони відчувають при переміщенні по воді та повітрі, від навантажень, що виникають під дією гравітаційних сил та багатьох інших показників. Кораблю на морі необхідні такі якості, як стійкість під час шторму, для річкового судна важлива мінімальна осадка. При розрахунках оптимальної конструкції точки екстремуму на графіку наочно можуть дати уявлення про найкраще вирішення складної проблеми. Завдання такого плану часто вирішуються в економіці, у господарських галузях, у багатьох інших життєвих ситуацій.
З античної історії
Завдання на екстремум займали навіть давніх мудреців. Грецькі вчені успішно розгадали таємницю площ і обсягів шляхом математичних обчислень. Це вони першими зрозуміли, що на площині з різноманітних фігур, що мають один і той же периметр, найбільшу площу завжди має коло. Аналогічним чином шар наділений максимальним обсягом серед інших предметів у просторі з однаковою величиною поверхні. Вирішенню таких завдань присвятили себе такі найвідоміші особистості, як Архімед, Евклід, Аристотель, Аполлоній. Знайти точки екстремуму чудово вдавалося Герону, який, вдавшись до розрахунків, споруджував хитромудрі пристрої. До них належали автомати, що переміщаються за допомогою пари, що працюють за тим самим принципом насоси та турбіни.
Будівництво Карфагену
Існує легенда, сюжет якої побудований на вирішенні одного з екстремальних завдань. Результатом ділового підходу, який продемонструвала фінікійська царівна, яка звернулася за допомогою до мудреців, стало будівництво Карфагену. Земельна ділянка для цього стародавнього та уславленого міста подарувала Дідоні (так звали правительку) вождь одного з африканських племен. Площа наділу не здалася йому спочатку дуже великою, оскільки за договором мала покриватися волов'ячою шкірою. Але царівна наказала своїм воїнам розрізати її на тонкі смуги і скласти їх ремінь. Він вийшов настільки довгим, що охопив ділянку, де вмістилося ціле місто.
Витоки математичного аналізу
А тепер перенесемося з античних часів у пізнішу епоху. Цікаво, що до усвідомлення основ математичного аналізу підштовхнула Кеплера XVII столітті зустріч із продавцем вина. Торговець був настільки обізнаний у своїй професії, що легко міг визначити обсяг напою, що знаходиться в бочці, просто опускаючи туди залізний джгут. Розмірковуючи над подібним курйозом, знаменитий учений зумів вирішити собі цю дилему. Виявляється, майстерні бочари тих часів призвичаїлися виготовляти судини таким чином, щоб при певній висоті і радіусі кола скріплюючих кілець вони мали максимальну місткість.
Це стало для Кеплера приводом для подальших роздумів. Бочарі дійшли оптимального рішення методом тривалого пошуку, помилок та нових спроб, передаючи свій досвід із покоління до покоління. Але Кеплер хотів прискорити процес і навчитися робити те саме в короткий термін шляхом математичних обчислень. Усі його напрацювання, підхоплені колегами, перетворилися на відомі нині теореми Ферма та Ньютона – Лейбніца.
Завдання на перебування максимальної площі
Уявимо, що ми маємо дріт, довжина якого дорівнює 50 см. Як скласти з нього прямокутник, який має найбільшу площу?
Починаючи рішення, слід виходити з простих і відомих будь-яких істин. Зрозуміло, що периметр нашої фігури становитиме 50 см. Він складається з подвоєних довжин обох сторін. Це означає, що, позначивши за «Х» одну з них, іншу можна виразити як (25 – Х).
Звідси отримуємо площу, що дорівнює Х(25 - Х). Дане вираз можна як функцію, приймає безліч значень. Розв'язання задачі вимагає знайти максимальне з них, а значить слід дізнатися точки екстремуму.
Для цього знаходимо першу похідну та прирівнюємо її нулю. В результаті виходить просте рівняння: 25 – 2Х = 0.
З нього ми дізнаємося, що одна із сторін Х = 12,5.
Отже, інша: 25 – 12,5 = 12,5.
Виходить, що розв'язанням задачі буде квадрат зі стороною 12,5 см.
Як знайти максимальну швидкість
Розглянемо ще один приклад. Припустимо, що існує тіло, прямолінійний рух якого описується рівнянням S = - t 3 + 9t 2 - 24t - 8, де пройдена відстань виражається в метрах, а час у секундах. Потрібно знайти максимальну швидкість. Як це зробити? Скачала знаходимо швидкість, тобто першу похідну.
Отримуємо рівняння: V = - 3t 2 + 18t - 24. Тепер для вирішення задачі знову потрібно знайти точки екстремуму. Зробити це необхідно тим самим способом, що й у попередній задачі. Знаходимо першу похідну від швидкості та прирівнюємо її до нуля.
Отримуємо: - 6t + 18 = 0. Звідси t = 3 с. Це час, коли швидкість тіла набуває критичного значення. Підставляємо отримане дане рівняння швидкості і отримуємо: V = 3 м/с.
Але як зрозуміти, що це саме максимальна швидкість, адже критичними точками функції можуть бути найбільші чи найменші значення? Для перевірки потрібно знайти другу похідну від швидкості. Вона виражається числом 6 зі знаком мінус. Це означає, що знайдена точка є максимумом. А у разі позитивного значення другої похідної був би мінімум. Отже, знайдене рішення виявилося правильним.
Наведені як приклад завдання є лише частиною тих, які можна вирішити, вміючи знаходити точки екстремуму функції. Насправді їх значно більше. А такі знання відкривають перед людською цивілізацією необмежені можливості.
© БДЕУ Лекція №2 | проф. Димков М. П. | |||||
Примітка 1. Зворотне твердження звучить дещо інакше. Якщо |
||||||
функція зростає на проміжку, то f ′ (x 0 )≥ 0 чи немає. | ||||||
приклад 1. | y = x3 | зростає на | всієї числової | |||
відповідно | f(x)> 0 , але в точці | x = 0 похідна | f(0) = 0. | |||
Приклад 2 . Функція | x ≥ 0 , | не має похідної в точці | х = 0 |
|||
x< 0 |
||||||
(ліва і права похідна різні), проте вона зростає при всіх значеннях х, у тому числі і в точках = 0.
Примітка 2. Маючи більш «м'які» умови, можна сформулювати пряму теорему: якщо похідна функції, безперервної на проміжку, неотрицательна, то функція цьому проміжку немає. Тоді пряма та зворотна теореми формалізованою мовою звучать так:
для того, | щоб безперервна на проміжку функція y = f(x) була |
|||
невпадаючою | цьому проміжку, необхідно | і достатньо, щоб |
||
f '(x0)≥0. | ||||
Поняття екстремуму | ||||
Визначення. | x0 називається точкою | локального максимуму |
||
функції f (x), якщо існує така околиця точки x0, що для всіх х з цієї околиці f(x) ≤ f(x0).
Визначення. Точка x0 називається точкою локального мінімуму функції f(x), якщо існує така околиця точки x0, що для всіх х з цієї околиці f(x) ≥ f(x0).
Значення функції у точці максимуму називається локальним максимумом, значення функції у точці мінімуму - локальним мінімумом цієї функції. Максимум та мінімум функції називаються її локальними екстремумами
(Extremum - крайній).
Визначення. Точка x0 називається точкою суворого локального максимуму (мінімуму) функції y= f(x) , якщо для всіх х з околиці точки x0 вірна сувора нерівність f(x)< f(x0 ) (соответственно
f(x) > f(x0)).
Зауваження. У наведеному визначенні локального екстремуму ми передбачаємо безперервності функції у точці x 0 .
X ≠ 0 , | |||||
розривна в точці | х = 0, але має в цій |
||||
Функція y = | x = 0 |
||||
точці максимум, оскільки існує околиця точки х = 0, в якій f(x)< f (x 0 ).
Найбільше (найменше) значення функції на проміжку називається глобальний екстремум.Глобальний екстремум може досягатися або в точках локального екстремуму або на кінцях відрізка.
Необхідна умова екстремуму
Теорема 2. (Про необхідну умову екстремуму).
Якщо функція y = f(x) має екстремум у точці x0 то її похідна f′ (x0 ) у цій точці або дорівнює нулю, або не існує.
◄Якщо в точці x 0 функція має екстремум і диференційована, то в
деякої околиці цієї точки виконані умови теореми Ферма, отже, похідна функції у цій точці дорівнює нулю.
Але функція y = f (x) може мати екстремум і не бути диференційованою в цій точці. Достатньо вказати приклад. Прикладом може
служити функція y = | яка має мінімум у точці | x = 0, | проте не |
||||||||||||||||||||||||||
диференційована у цій точці. | |||||||||||||||||||||||||||||
Зауваження | Геометричну | ||||||||||||||||||||||||||||
ілюстрацію теореми дає рис.1. Функція | |||||||||||||||||||||||||||||
y = f(x), графік якої представлений на цьому | |||||||||||||||||||||||||||||
y = f(x) | |||||||||||||||||||||||||||||
малюнку, має екстремуми в точках x 1 x 3 x 4 | |||||||||||||||||||||||||||||
похідна | |||||||||||||||||||||||||||||
існує, | вона дорівнює нулю, в | ||||||||||||||||||||||||||||
звертається | нескінченність. | ||||||||||||||||||||||||||||
точках x 2 | функція екстремуму не має, | ||||||||||||||||||||||||||||
причому в точці x 2 похідна звертається до | |||||||||||||||||||||||||||||
нескінченність, у точці x 5 | похідна дорівнює | ||||||||||||||||||||||||||||
Зауваження 2. Точки, в яких виконується необхідна умова |
|||||||||||||||||||||||||||||
екстремуму для безперервної функції, називаються критичними | |||||||||||||||||||||||||||||
Вони визначаються з рівняння | f (x) = 0 | (стаціонарні |
|||||||||||||||||||||||||||
точки) або f | (x) = ∞. | ||||||||||||||||||||||||||||
3 . Не у кожній своїй критичній точці функція обов'язково має максимум чи мінімум.
Приклад 4. Розглянемо функцію y = x3. Критичної для цієї функції
є точка х = 0, що випливає з рівняння f ′ (x) = 3x 2 = 0. Однак ця функція при всіх є зростаючою і екстремуму не має.
© БДЕУ Лекція №2 | Дослідження функцій з допомогою похідних проф. Димков М. П. | ||||||||
Теорема 3. | (Про достатні умови екстремуму). | ||||||||
Нехай для | y = f(x) виконані такі умови: | ||||||||
1) y = f(x) | безперервна в околиці точки x0; | ||||||||
(x) = 0 | f(x) = ∞ | ||||||||
змінює свій знак. | |||||||||
(x) при переході через точку x0 | |||||||||
Тоді в точці x = x0 функція y = f (x) має екстремум: | |||||||||
мінімум, якщо при переході через точку x0 | похідна змінює свій знак |
||||||||
з мінусу на плюс; | |||||||||
максимум, якщо при переході через точку | x0 похідна змінює свій |
||||||||
знак із плюсом на мінус. | f(x) при переході через точку x0 не змінює свого |
||||||||
Якщо похідна |
|||||||||
знака, екстремуму в точці x = x0 немає. | |||||||||
Умови теореми можна звести до наступної таблиці | |||||||||
Знак похідної | Екстремум | ||||||||
Максимум | |||||||||
Оскільки за умовою f (x )< 0 приx < x 0 , то на левом относительно точки |
|||||||||
x 0 інтервалі функція | зменшується. Так як f(x) > 0 при x > x 0 , | ||||||||
y = f(x) |
|||||||||
щодо точки | інтервалі | функція f (x) збільшується. |
|||||||
Отже, | f (x0) | є найменше значення функції f (x) в околиці |
|||||||
x 0 а це означає, що f (x 0 ) | є локальний мінімум функції | f(x) . |
|||||||
Якщо при переході з лівого інтервалу на правий функція продовжує зменшуватися, то в точці x 0 не буде досягатися мінімальне значення функції
(Екстремуму немає).
Аналогічно доводиться існування максимуму.
На рис. 2 a-h представлені можливі випадки наявності або відсутності екстремуму безперервної функції, похідна якої в критичній точці дорівнює нулю або перетворюється на нескінченність.
© БДЕУ Лекція №2 | Дослідження функцій за допомогою похідних | проф. Димков М. П. | ||||||||
Зауваження. | Якщо умова безперервності функції в | |||||||||
не виконано, то питання про наявність | ||||||||||
екстремуму залишається відкритим. | ||||||||||
Приклад 5. | ||||||||||
Розглянемо | розривну | |||||||||
X + 1, | x ≤ 0, | (Рис.3). Похідна | цієї функції змінює знак | ||||||||||||||||||||||
f(x) = | x > 0 | ||||||||||||||||||||||||
переході через точку x 0 = 0 , | однак функція в точці | x 0 = 0 | екстремуму не | ||||||||||||||||||||||
Приклад 6. Нехай дана функція | |||||||||||||||||||||||||
X ≠ 0, | |||||||||||||||||||||||||
(Рис.4). Як видно з малюнка, | f(x) | ||||||||||||||||||||||||
f(x) = | x = 0 | ||||||||||||||||||||||||
має локальний максимум у точці | x 0 = 0 | Однак функція | |||||||||||||||||||||||
має розрив у точці x 0 = 0. | |||||||||||||||||||||||||
Зауваження | функція має в точці x 0 екстремум, наприклад, | ||||||||||||||||||||||||
мінімум, то необов'язково зліва від точки | x 0 функція монотонно зменшується, а | ||||||||||||||||||||||||
праворуч від x0 монотонно зростає. | |||||||||||||||||||||||||
Приклад 7. Нехай дана функція | |||||||||||||||||||||||||
2 − cos | X ≠ 0, | ||||||||||||||||||||||||
f(x) = | |||||||||||||||||||||||||
x = 0 | y = 3 x2 | y = x | |||||||||||||||||||||||
Можна показати, що в | х = 0 | ||||||||||||||||||||||||
безперервна | |||||||||||||||||||||||||
Похідна функції | |||||||||||||||||||||||||
f(x) = 2 x | − sin | у будь-якій околиці | |||||||||||||||||||||||
точки х = 0 змінює знак нескінченно багато разів. Тому функція f (x) не
є монотонно спадною чи зростаючою ні зліва, ні праворуч від точки х = 0.
Схема дослідження функції на екстремум:
1) знайти похідну f '(x);
2) визначити критичні точки, тобто. такі значеннях , в яких f '(x) = 0 або
f '(x) = ∞;
3) дослідити знак похідної зліва і праворуч від кожної критичної
© БДЕУ Лекція №2 | Дослідження функцій за допомогою похідних | проф. Димков М. П. | ||||
точки. Якщо під час переходу через критичну точку | похідна f(x) | |||||
свій знак із плюса на мінус, то в точці x 0 | f(x) | має максимум, якщо |
||||
знак f(x) | змінюється з мінусу на плюс, | то в точці x 0 | функція f(x) | |||
Якщо при переході через критичну точку x 0 знак f | (x) не |
|||||
змінюється, то точці x 0 функціяf (x ) немає ні максимуму, ні мінімуму; 4) визначити значення функції в екстремальних точках.
Теорема 4. (2-а достатня умова екстремуму). Нехай для функції y = f (x) виконані такі умови:
1. y = f (x) безперервна в околиці точки x 0,
2. f '(x) = 0 у точці x 0
3. f ′′ (x )≠ 0 у точці x 0 .
Тоді, у точці x 0 | досягається екстремум, причому: | якщо f ′′ (x 0 )> 0, то в точці |
|||||||||||||||||||||
x = x0 | y = f(x) | має мінімум, | f ′′ (x 0 )< 0 , то | x = x0 |
|||||||||||||||||||
функція y = f (x) має максимум. | |||||||||||||||||||||||
◄ За визначенням 2-ї похідноїf | f ′ (x) − f′ (x0 ) | ||||||||||||||||||||||
) = lim | |||||||||||||||||||||||
− x | |||||||||||||||||||||||
x→ x0 | |||||||||||||||||||||||
Але за умовою f | ) = lim | ||||||||||||||||||||||
(x) = 0. | − x | (x)> 0, то |
|||||||||||||||||||||
x→ x0 | |||||||||||||||||||||||
f ′ (x) | у деякій | околиці | x = x. | x< x | |||||||||||||||||||
x − x0 | |||||||||||||||||||||||
x > x0 | дріб позитивний, | за умови |
|||||||||||||||||||||
позитивна, якщо f(x)< 0 . | |||||||||||||||||||||||
f (x ) при переході через точку | x = x0 | змінює знак, |
|||||||||||||||||||||
f(x) > 0 . Отже, | |||||||||||||||||||||||
тому є екстремум. Знак похідної змінюється з мінусу на плюс, отже, це мінімум. Аналогічно доводиться випадок f (x 0 )< 0 .
Приклад 8 . Дослідити на екстремум функцію y = x 2 + 2x + 3. Знаходимо похідну y = 2x + 2 .
1) Знаходимо критичні точки, для чого прирівнюємо похідну до нуля: y = 2x + 2 = 0, → x 0 = - 1.
2) Вивчаємо знак похідної зліва та праворуч від цієї точки (рис. 6).
Оскільки знак похідної змінюється з мінуса на плюс, точка х = − 1 досягається мінімум.
3) Знаходимо величину мінімуму: ymin (−1) = 2.
f′ (x) - | ||||||||||
Дослідити на екстремум функцію y = 3 | ||||||||||
1) Знаходимо похідну y = | . | |||||||||
