Як множити стовпчиком? Як пояснити дитині множення стовпчиком? Множення на однозначне число, двозначне число, тризначне число: алгоритм множення чисел.

Ця стаття навіяна топіком «Як і наскільки швидко ви вважаєте в думці на елементарному рівні?» та покликана поширити прийоми С.А. Рачинського для усного рахунку.
Рачинський був чудовим педагогом, який викладав у сільських школах в XIX столітті і показав на власному досвіді, що розвинути навички швидкого усного рахунку можна. Для його учнів не було особливою проблемою порахувати подібний приклад у думці:

Використовуємо круглі числа

Один з найпоширеніших прийомів усного рахунку полягає в тому, що будь-яке число можна подати у вигляді суми чи різниці чисел, одне або кілька з яких «кругле»:

Т.к. на 10 , 100 , 1000 та ін круглі числа множити швидше, в розумі потрібно зводити все до таких простих операцій, як 18 x 100або 36 x 10. Відповідно, і складати легше, «відщеплюючи» кругле число, а потім додаючи «хвостик»: 1800 + 200 + 190 .
Ще приклад:
31 x 29 = (30 + 1) x (30 - 1) = 30 x 30 - 1 x 1 = 900 - 1 = 899.

Спростимо множення поділом

При усному рахунку буває зручніше оперувати дільником і дільником, ніж цілим числом (наприклад, 5 представляти у вигляді 10:2 , а 50 у вигляді 100:2 ):
68 x 50 = (68 x 100): 2 = 6800: 2 = 3400; 3400: 50 = (3400 x 2): 100 = 6800: 100 = 68.
Аналогічно виконується множення або поділ на 25 адже 25 = 100:4 . Наприклад,
600: 25 = (600: 100) x 4 = 6 x 4 = 24; 24 x 25 = (24 x 100): 4 = 2400: 4 = 600.
Тепер не здається неможливим помножити в думці 625 на 53 :
625 x 53 = 625 x 50 + 625 x 3 = (625 x 100): 2 + 600 x 3 + 25 x 3 = (625 x 100): 2 + 1800 + (20 + 5) x 3 = = (60000 + 2500): 2 + 1800 + 60 + 15 = 30000 + 1250 + 1800 + 50 + 25 = 33000 + 50 + 50 + 25 = 33125.

Зведення у квадрат двозначного числа

Виявляється, щоб просто звести будь-яке двоцифрове число в квадрат, достатньо запам'ятати квадрати всіх чисел від 1 до 25 . Благо, квадрати до 10 ми знаємо з таблиці множення. Інші квадрати можна подивитися в наведеній нижче таблиці:

Прийом Рачинського ось у чому. Для того щоб знайти квадрат будь-якого двозначного числа, треба різницю між цим числом і 25 помножити на 100 і до твору додати квадрат доповнення даного числа до 50 або квадрат надлишку його над 50 -ю. Наприклад,
37 ^ 2 = 12 x 100 + 13 ^ 2 = 1200 + 169 = 1369; 84 ^ 2 = 59 x 100 + 34 ^ 2 = 5900 + 9 x 100 + 16 ^ 2 = 6800 + 256 = 7056;
У загальному випадку ( M- Двозначне число):

Спробуємо застосувати цей трюк при зведенні в квадрат тризначного числа, розбивши його попередньо на дрібніші доданки:
195^2 = (100 + 95)^2 = 10000 + 2 x 100 x 95 + 95^2 = 10000 + 9500 x 2 + 70 x 100 + 45^2 = 10000 + (90+5) x 2 x 100 + + 7000 + 20 x 100 + 5 ^ 2 = 17000 + 19000 + 2000 + 25 = 38025.
Хм, я б не сказала, що це дуже легше, ніж зведення в стовпчик, але, можливо, згодом можна пристосуватися.
І починати тренування, звичайно, слід із зведення в квадрат двоцифрових чисел, а там уже й до дизассемблювання в умі можна дійти.

Розмноження двоцифрових чисел

Цей цікавий прийом був вигаданий 12-річним учнем Рачинського і є одним із варіантів додавання до круглого числа.
Нехай дано два двозначні числа, у яких сума одиниць дорівнює 10:
M = 10m + n, K = 10a + 10 – n.
Склавши їх твір, отримаємо:

Наприклад, обчислимо 77 x 13. Сума одиниць цих чисел дорівнює 10 , т.к. 7 + 3 = 10 . Спочатку ставимо менше перед великим: 77 x 13 = 13 x 77.
Щоб отримати круглі числа, ми забираємо три одиниці від 13 і додаємо їх до 77 . Тепер перемножимо нові числа 80 x 10, а до отриманого результату додамо твір відібраних 3 одиниць на різницю старого числа 77 та нового числа 10 :
13 x 77 = 10 x 80 + 3 x (77 - 10) = 800 + 3 x 67 = 800 + 3 x (60 + 7) = 800 + 3 x 60 + 3 x 7 = 800 + 180 + 21 = 800 + 201 = 1001.
Цей прийом має окремий випадок: все значно спрощується, коли у двох співмножників однакове число десятків. У цьому випадку число десятків множиться на наступне за ним число і до отриманого результату приписується добуток одиниць цих чисел. Подивимося, наскільки елегантний цей прийом на прикладі.
48 x 42. Число десятків 4 , наступне число: 5 ; 4 x 5 = 20 . Добуток одиниць: 8 x 2 = 16 . Значить, 48 х 42 = 2016.
99 x 91. Число десятків: 9 , наступне число: 10 ; 9 x 10 = 90 . Добуток одиниць: 9 x 1 = 09 . Отже, 99 х 91 = 9009.
Ага, тобто, щоб перемножити 95 x 95, достатньо порахувати 9 x 10 = 90і 5 x 5 = 25і відповідь готова:
95 х 95 = 9025.
Тоді попередній приклад можна вирахувати трохи простіше:
195 ^ 2 = (100 + 95) ^ 2 = 10000 + 2 x 100 x 95 + 95 ^ 2 = 10000 + 9500 x 2 + 9025 = 10000 + (90 +5) x 2 x 100 + 9000 + 25 = + 19000 + 1000 + 8000 + 25 = 38 025.

Замість ув'язнення

Здавалося б, навіщо вміти рахувати в думці в 21 столітті, коли можна просто подати голосову команду смартфону? Але якщо замислитись, що буде з людством, якщо воно звалюватиме на машини не лише фізичну роботу, а й будь-яку розумову? Чи не деградує воно? Навіть якщо не розглядати усний рахунок як самоціль, для гарту розуму він цілком підходить.

Використана література:
«1001 завдання розумового рахунку у шкільництві С.А. Рачинського».

Перевагою трьох способів множення двозначних для усного рахунку, описаних в , полягає в тому, що вони універсальні для будь-яких чисел і при гарному навичці усного рахунку, вони можуть дозволити вам досить швидко дійти правильної відповіді. Однак, ефективність множення деяких двоцифрових чисел в розумі може бути вищою за рахунок меншої кількості дій при використанні спеціальних алгоритмів. У цьому уроці ви дізнаєтеся, як можна швидко множити будь-які числа до 30. Тут представлені спеціальні методики, у тому числі і введення у використання опорного числа.

Щоб помножити будь-яке двозначне число на 11, потрібно між першою і другою цифрою числа, що множиться, вписати суму першої і другої цифри. Наприклад: 23*11, пишемо 2 та 3, а між ними ставимо суму (2+3). Або коротше, що 23 * 11 = 2 (2 +3) 3 = 253.

Якщо сума чисел у центрі дає результат більше 10, тоді додаємо одиницю до першої цифри, а замість другої цифри пишемо суму цифр множини мінус 10. Наприклад: 29*11 = 2 (2+9) 9 = 2 (11) 9 = 319 .

Помножувати на 11 у такий спосіб можна будь-які двоцифрові числа. Для наочності наведено приклади:

81 * 11 = 8 (8+1) 1 = 891

68 * 11 = 6 (6+8) 8 = 748

Квадрат суми, квадрат різниці

Для того щоб звести в квадрат двоцифрове число, можна скористатися формулами квадрата суми або різниці. Наприклад:

23 2 = (20+3) 2 = 20 2 + 2*3*20 + 3 2 = 400+120+9 = 529

69 2 = (70-1) 2 = 70 2 - 70*2*1 + 1 2 = 4 900-140+1 = 4 761

Зведення у квадрат чисел, що закінчуються на 5

Щоб звести до квадрата числа, що закінчуються на 5. Алгоритм простий. Число до останньої п'ятірки, множимо на це число плюс одиниця. До числа дописуємо 25.

15 2 = (1*(1+1)) 25 = 225

25 2 = (2*(2+1)) 25 = 625

85 2 = (8*(8+1)) 25 = 7 225

Це вірно і для складніших прикладів:

155 2 = (15*(15+1)) 25 = (15*16)25 = 24 025

Розмноження чисел до 20

1 крок.Наприклад візьмемо два числа - 16 і 18. До одного з чисел додаємо кількість одиниць другого - 16+8=24

2 крок.Отримане число множимо на 10 - 24 * 10 = 240

Методика множення чисел до 20 дуже проста:

Якщо записати коротше, то:

16*18 = (16+8)*10+6*8 = 288

Довести правильність цього методу просто: 16*18 = (10+6)*(10+8) = 10*10+10*6+10*8+6*8 = 10*(10+6+8) +6* 8. Остання вираз і є демонстрацією описаного вище методу.

По суті, цей метод є приватним способом використання опорних чисел (про які буде сказано у ). В даному випадку опорним числом є 10. В останньому доказі видно, що саме на 10 ми множимо дужку. Але як опорне число можна використовувати і будь-які інші числа, з яких найбільш зручними є 20, 25, 50, 100… Докладніше про метод використання опорного числа читайте в наступному уроці.

Опорне число

Подивіться на суть цього методу на прикладі множення 15 і 18. Тут зручно використовувати опорне число 10. 15 більше десяти на 5, а 18 більше десяти на 8. Для того, щоб дізнатися про їхній твір, потрібно здійснити наступні операції:

До будь-якого з множників додати число, на яке другий множник більший за опорний. Тобто додати 8 до 15, або 5 до 18. У першому та другому випадку виходить те саме: 23.
Потім 23 множимо на опорне число, тобто на 10. Відповідь: 230
До 230 додаємо твір 5*8. Відповідь: 270.

Тренування

Якщо ви хочете прокачати свої вміння на тему даного уроку, можете використовувати наступну гру. На бали, які ви отримуєте, впливає правильність ваших відповідей і витрачений на проходження час. Зверніть увагу, що числа щоразу різні.

З найкращою безкоштовною грою навчається дуже швидко. Перевірте це!

Вчити таблицю множення – гра

Спробуйте нашу навчальну електронну гру. Використовуючи її, ви вже завтра зможете вирішувати математичні завдання у класі біля дошки без відповідей, не вдаючись до табличці, щоб помножити числа. Варто тільки почати грати, і вже через 40 хвилин буде відмінний результат. А для закріплення результату тренуйтеся кілька разів, не забуваючи про перерви. В ідеалі – щодня (збережіть сторінку, щоби не втратити). Ігрова форма тренажера підходить як для хлопчиків, так і для дівчаток.

Результат: 0 очк.

· =

Дивіться нижче шпаргалки у повній формі.

Розмноження прямо на сайті (онлайн)

*
Таблиця множення (числа від 1 до 20)

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30	33	36	39	42	45	48	51	54	57	60
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40	44	48	52	56	60	64	68	72	76	80
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	55	60	65	70	75	80	85	90	95	100
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60	66	72	78	84	90	96	102	108	114	120
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70	77	84	91	98	105	112	119	126	133	140
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80	88	96	104	112	120	128	136	144	152	160
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90	99	108	117	126	135	144	153	162	171	180
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	110	120	130	140	150	160	170	180	190	200
11	11	22	33	44	55	66	77	88	99	110	121	132	143	154	165	176	187	198	209	220
12	12	24	36	48	60	72	84	96	108	120	132	144	156	168	180	192	204	216	228	240
13	13	26	39	52	65	78	91	104	117	130	143	156	169	182	195	208	221	234	247	260
14	14	28	42	56	70	84	98	112	126	140	154	168	182	196	210	224	238	252	266	280
15	15	30	45	60	75	90	105	120	135	150	165	180	195	210	225	240	255	270	285	300
16	16	32	48	64	80	96	112	128	144	160	176	192	208	224	240	256	272	288	304	320
17	17	34	51	68	85	102	119	136	153	170	187	204	221	238	255	272	289	306	323	340
18	18	36	54	72	90	108	126	144	162	180	198	216	234	252	270	288	306	324	342	360
19	19	38	57	76	95	114	133	152	171	190	209	228	247	266	285	304	323	342	361	380
20	20	40	60	80	100	120	140	160	180	200	220	240	260	280	300	320	340	360	380	400

Як множити числа стовпчиком (відео з математики)

Щоб потренуватися і швидко вивчити, можна спробувати множити числа стовпчиком.

/ Як швидко множити двоцифрові числа в умі?

Як швидко множити двоцифрові числа в умі?

Вміння миттєво вважати в думці може стати безцінною підмогою в роботі та в умовах швидкісних темпів життя сучасної людини. Точні обчислення без застосування спеціальних пристроїв суттєво економлять час, дозволяють постійно тренувати свою пам'ять і, що приховувати, викликають захоплення у людей, які не мають таких здібностей.

Як швидко множити великі числа, як опанувати такі корисні навички? Більшість викликає труднощі усне перемноження двозначних чисел на однозначні. А про складні арифметичні розрахунки і говорити нема чого. Але за бажання здібності, закладені у кожній людині, можна розвинути. Регулярні тренування, небагато зусиль та застосування, розроблених вченими, ефективних методик дозволять досягти приголомшливих результатів.

Що допоможе у швидкому навчанні

Дотягтися до висот вундеркіндів цілком реально. Особливо якщо грамотно використовувати дані природою здібності.

Непогано, якщо ви наділені логічним мисленням, концентрацією уваги та здатністю виділяти важливі фактори.
Хорошим стартом буде знання ефективних способів складання та віднімання, розуміння алгоритмів.
На якість навчання впливає здатність щодня тренувати пам'ять та увагу, ускладнюючи завдання.

Які ж способи найбільш ефективні, щоб навчитися якнайшвидше множити двозначні числа в умі?

Вибираємо традиційні методи

Перевірені десятиліттями способи перемноження двоцифрових чисел не втрачають своєї актуальності. Найпростіші прийоми допомагають мільйонам звичайних школярів, учнів спеціалізованих ВНЗ та ліцеїв, а також людям, які займаються саморозвитком, удосконалити обчислювальну майстерність.

Розмноження за допомогою розкладання чисел

Найбільш легким способом, як швидко навчитися множити великі числа в умі, є перемноження десятків та одиниць. Спочатку множаться десятки двох чисел, потім по черзі одиниці та десятки. Чотири отримані числа підсумовуються.
Для використання цього методу важливо вміти запам'ятовувати результати перемноження та складати їх в умі.

Наприклад, для множення 38 на 57 необхідно:

розкласти число на (30+8)*(50+7) ;
30*50 = 1500 - Запам'ятати результат;
30*7 + 50*8 = 210 + 400 = 610 - Запам'ятати;
(1500 + 610) + 8*7 = 2110 + 56 = 2166

Природно, потрібно добре знати таблицю множення, оскільки швидко множити в думці цим методом не вдасться без відповідних умінь.

Розмноження в стовпчик в думці

Візуальне подання звичного перемноження в стовпчик багато використовують при розрахунках. Цей метод підійде тим, хто вміє надовго запам'ятовувати допоміжні числа та виконувати з ними арифметичні дії. Але процес значно спрощується, якщо ви навчилися, як швидко множити двоцифрові числа на однозначні. Для перемноження, наприклад, 47*81 потрібно:

47*1 = 47 - Запам'ятати;
47*8 = 376 - Запам'ятовуємо;
376*10 + 47 = 3807.

Запам'ятовувати проміжні результати допоможе проговорити їх вголос з одночасним підсумовуванням. Незважаючи на складність уявних обчислень, після нетривалих тренувань цей метод стане вашим коханим.

Наведені вище способи множення є універсальними. Але знання ефективніших алгоритмів для деяких чисел набагато скоротить кількість розрахунків.

Розмноження на 11

Це, мабуть, найпростіший спосіб, який використовується для множення будь-яких двоцифрових чисел на 11.

Достатньо між цифрами множника вставити їхню суму:
13*11 = 1(1+3)3 = 143

Якщо у дужках виходить число більше 10, то до першої цифри додається одиниця, а із суми у дужках віднімається 10.
28*11 = 2 (2+8) 8 = 308

Примноження великих чисел

Дуже зручно перемножувати числа, близькі до 100 розкладання їх на складові. Наприклад, необхідно помножити 87 на 91.

Кожне число необхідно подати як різницю 100 та ще одного числа:
(100 — 13)*(100 — 9)
Відповідь складатиметься з чотирьох цифр, дві перші з яких - різниця першого множника і віднімається з другої дужки або навпаки - різниця другого множника і віднімається з першої дужки.
87 – 9 = 78
91 – 13 = 78
Другі дві цифри відповіді - результат перемноження віднімаються з двох дужок.
13*9 = 144
У результаті виходять числа 78 і 144. Якщо під час записування остаточного результату виходить число з 5 цифр другу та третю цифру підсумовуємо.
Результат: 87*91 = 7917 .

Це найпростіші способи перемноження. Після багаторазового їх застосування доведення обчислень до автоматизму можна освоювати більш складні техніки. І через деякий час проблема, як швидко помножити двоцифрові числа перестане вас хвилювати, а пам'ять і логіка суттєво покращаться.

Розмноження за допомогою розкладання чисел

Найбільш легким способом, як швидко навчитися множити великі числа в умі, є перемноження десятків та одиниць. Спочатку множаться десятки двох чисел, потім по черзі одиниці та десятки. Чотири отримані числа підсумовуються. Для використання цього методу важливо вміти запам'ятовувати результати перемноження та складати їх в умі.