Визначення

Піраміда– це багатогранник, складений із багатокутника \(A_1A_2...A_n\) і \(n\) трикутників із загальною вершиною \(P\) (що не лежить у площині багатокутника) і протилежними їй сторонами, що збігаються зі сторонами багатокутника.
Позначення: \(PA_1A_2...A_n\) .
Приклад: п'ятикутна піраміда \(PA_1A_2A_3A_4A_5\).

Трикутники \(PA_1A_2, \PA_2A_3\) і т.д. називаються бічними гранямипіраміди, відрізки (PA_1, PA_2) і т.д. - бічними ребрами, багатокутник \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – основою, точка \ (P \) - вершиною.

Висотапіраміди – це перпендикуляр, опущений із вершини піраміди на площину основи.

Піраміда, в основі якої лежить трикутник, називається тетраедром.

Піраміда називається правильною, якщо в її основі лежить правильний багатокутник і виконано одну з умов:

\((a)\) бічні ребра піраміди рівні;

\((b)\) висота піраміди проходить через центр описаного біля основи кола;

\((c)\) бічні ребра нахилені до площини основи під однаковим кутом.

\((d)\) бічні грані нахилені до площини основи під однаковим кутом.

Правильний тетраедр– це трикутна піраміда, усі грані якої – рівні рівносторонні трикутники.

Теорема

Умови ((a), (b), (c), (d)) еквівалентні.

Доказ

Проведемо висоту піраміди (PH). Нехай \(\alpha\) - площина основи піраміди.

1) Доведемо, що з ((a)) слід ((b)). Нехай \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

Т.к. \(PH\perp \alpha\) , то \(PH\) перпендикулярна будь-якій прямій, що лежить у цій площині, отже, трикутники - прямокутні. Значить, ці трикутники рівні за загальним катетом \(PH\) і гіпотенуз \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Отже, \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Отже, точки \(A_1, A_2, ..., A_n\) знаходяться на однаковій відстані від точки \(H\), отже, лежать на одному колі з радіусом \(A_1H\). Це коло за визначенням і є описане біля багатокутника \(A_1A_2...A_n\) .

2) Доведемо, що з ((b)) слід ((c)).

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)прямокутні та рівні за двома катетами. Отже, рівні та їхні кути, отже, \(\angle PA_1H=\angle PA_2H=...=\angle PA_nH\).

3) Доведемо, що з \((c)\) випливає \((a)\).

Аналогічно першому пункту трикутники \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)прямокутні і по катету та гострому куту. Отже, рівні та його гіпотенузи, тобто \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) Доведемо, що з ((b)) слід ((d)).

Т.к. у правильному багатокутнику збігаються центри описаного та вписаного кола (взагалі кажучи, ця точка називається центром правильного багатокутника), то \(H\) – центр вписаного кола. Проведемо перпендикуляри з точки \(H\) на сторони основи: \(HK_1, HK_2\) і т.д. Це – радіуси вписаного кола (за визначенням). Тоді по ТТП (\(PH\) - перпендикуляр на площину, \(HK_1, HK_2\) і т.д. - проекції, перпендикулярні сторонам) похилі (PK_1, PK_2\) і т.д. перпендикулярні сторонам (A_1A_2, A_2A_3) і т.д. відповідно. Отже, за визначенням \(\angle PK_1H, \angle PK_2H\)рівні кутам між бічними гранями та основою. Т.к. трикутники \(PK_1H, PK_2H, ...\) рівні (як прямокутні за двома катетами), то й кути \(\angle PK_1H, \angle PK_2H, ...\)рівні.

5) Доведемо, що з ((d)) слід ((b)).

Аналогічно четвертому пункту трикутники \(PK_1H, PK_2H, ...\) рівні (як прямокутні за катетом і гострим кутом), отже, рівні відрізки \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) . Значить, за визначенням, (H) – центр вписаної в основу кола. Але т.к. у правильних багатокутників центри вписаного та описаного кола збігаються, то \(H\) – центр описаного кола. Чтд.

Слідство

Бічні грані правильної піраміди – рівні рівнобедрені трикутники.

Визначення

Висота бічної грані правильної піраміди, проведена з її вершини, називається апофемою.
Апофеми всіх бічних граней правильної піраміди рівні між собою і є також медіанами та бісектрисами.

Важливі зауваження

1. Висота правильної трикутної піраміди падає в точку перетину висот (або бісектрис, або медіан) основи (основа – правильний трикутник).

2. Висота правильної чотирикутної піраміди падає в точку перетину діагоналей основи (основа – квадрат).

3. Висота правильної шестикутної піраміди падає в точку перетину діагоналей основи (основа – правильний шестикутник).

4. Висота піраміди перпендикулярна будь-якій прямій, що лежить в основі.

Визначення

Піраміда називається прямокутноїякщо одне її бічне ребро перпендикулярно площині основи.

Важливі зауваження

1. У прямокутної піраміди ребро, перпендикулярне до основи, є висотою піраміди. Тобто (SR) - висота.

2. Т.к. \(SR\) перпендикулярно будь-якій прямій з основи, то \(\triangle SRM, \triangle SRP\)- Прямокутні трикутники.

3. Трикутники \(\triangle SRN, \triangle SRK\)- теж прямокутні.
Тобто будь-який трикутник, утворений цим ребром та діагоналлю, що виходить з вершини цього ребра, що лежить у підставі, буде прямокутним.

\[(\Large(\text(Обсяг та площа поверхні піраміди)))\]

Теорема

Обсяг піраміди дорівнює третині твору площі основи на висоту піраміди: \

Наслідки

Нехай \(a\) - сторона основи, \(h\) - висота піраміди.

1. Об'єм правильної трикутної піраміди дорівнює \(V_(\text(прав.треуг.пір.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. Об'єм правильної чотирикутної піраміди дорівнює \(V_(\text(прав.чотир.пір.))=\dfrac13a^2h\).

3. Об'єм правильної шестикутної піраміди дорівнює \(V_(\text(прав.шест.пір.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. Об'єм правильного тетраедра дорівнює \(V_(\text(прав.тетр.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

Теорема

Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює напівтвору периметра основи на апофему.

\[(\Large(\text(Усічена піраміда)))\]

Визначення

Розглянемо довільну піраміду \(PA_1A_2A_3...A_n\). Проведемо через деяку точку, що лежить на бічному ребрі піраміди, площину паралельно до основи піраміди. Ця площина розіб'є піраміду на два багатогранники, один з яких – піраміда (\(PB_1B_2...B_n\) ), а інший називається усічена піраміда(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).

Усічена піраміда має дві підстави – багатокутники \(A_1A_2...A_n\) і \(B_1B_2...B_n\) , які подібні один до одного.

Висота усіченої піраміди – це перпендикуляр, проведений з якоїсь точки верхньої основи до площини нижньої основи.

Важливі зауваження

1. Усі бічні грані усіченої піраміди – трапеції.

2. Відрізок, що з'єднує центри основ правильної зрізаної піраміди (тобто піраміди, отриманої перерізом правильної піраміди), є висотою.

Визначення. Бічна грань- це трикутник, у якого один кут лежить у вершині піраміди, а протилежна сторона збігається зі стороною основи (багатокутника).

Визначення. Бічні ребра- це спільні сторони бічних граней. У піраміди стільки ребер, скільки кутів у багатокутника.

Визначення. Висота піраміди- Це перпендикуляр, опущений з вершини на основу піраміди.

Визначення. Апофема- Це перпендикуляр бічної грані піраміди, опущений з вершини піраміди до сторони основи.

Визначення. Діагональний переріз- це переріз піраміди площиною, що проходить через вершину піраміди та діагональ основи.

Визначення. Правильна піраміда- це піраміда, в якій основою є правильний багатокутник, а висота опускається до центру основи.

Об'єм та площа поверхні піраміди

Формули. Об'єм пірамідичерез площу основи та висоту:

Властивості піраміди

Якщо всі бічні ребра рівні, навколо основи піраміди можна описати коло, а центр основи збігається з центром кола. Також перпендикуляр, опущений із вершини, проходить через центр основи (кола).

Якщо бічні ребра рівні, всі вони нахилені до площині підстави під однаковими кутами.

Бічні ребра рівні тоді, коли вони утворюють із площиною основи рівні кути або якщо навколо основи піраміди можна описати коло.

Якщо бічні грані нахилені до площини основи під одним кутом, то в основу піраміди можна вписати коло, а вершина піраміди проектується до її центру.

Якщо бічні грані нахилені до поверхні підстави під одним кутом, то апофеми бічних граней рівні.

Властивості правильної піраміди

1. Вершина піраміди рівновіддалена від усіх кутів основи.

2. Усі бічні ребра рівні.

3. Усі бічні ребра нахилені під однаковими кутами до основи.

4. Апофеми всіх бічних граней рівні.

5. Площі всіх бічних граней рівні.

6. Усі грані мають однакові двогранні (плоські) кути.

7. Навколо піраміди можна описати сферу. Центром описаної сфери буде точка перетину перпендикулярів, що проходять через середину ребер.

8. До піраміди можна вписати сферу. Центром вписаної сфери буде точка перетину бісектрис, що виходять із кута між ребром і основою.

9. Якщо центр вписаної сфери збігається з центром описаної сфери, то сума плоских кутів при вершині дорівнює π або навпаки один кут дорівнює π/n , де n - це кількість кутів в основі піраміди.

Зв'язок піраміди зі сферою

Навколо піраміди можна описати сферу тоді, коли в основі піраміди лежить багатогранник навколо якого можна описати коло (необхідна та достатня умова). Центром сфери буде точка перетину площин, що проходять перпендикулярно через середини бічних ребер піраміди.

Навколо будь-якої трикутної чи правильної піраміди можна описати сферу.

У піраміду можна вписати сферу, якщо бісекторні площини внутрішніх двогранних кутів піраміди перетинаються в одній точці (необхідна та достатня умова). Ця точка буде осередком сфери.

Зв'язок піраміди з конусом

Конус називається вписаним у піраміду, якщо їх вершини збігаються, а основа конуса вписана в основу піраміди.

Конус можна вписати до піраміди, якщо апофеми піраміди рівні між собою.

Конус називається описаним навколо піраміди, якщо їх вершини збігаються, а основа конуса описана навколо основи піраміди.

Конус можна описати навколо піраміди, якщо всі бічні ребра піраміди рівні між собою.

Зв'язок піраміди з циліндром

Піраміда називається вписаною в циліндр, якщо вершина піраміди лежить на одній основі циліндра, а основа піраміди вписана в іншу основу циліндра.

Циліндр можна описати навколо піраміди, якщо навколо основи піраміди можна описати коло.

Визначення. Усічена піраміда (пірамідальна призма)- це багатогранник, який знаходиться між основою піраміди та площиною перерізу, паралельною основі. Таким чином піраміда має більшу основу і меншу основу, яка подібна до більшої. Бічні грані є трапецією.

Визначення. Трикутна піраміда (чотиригранник)- це піраміда в якій три грані та основа є довільними трикутниками.

У чотиригранник чотири грані та чотири вершини та шість ребер, де будь-які два ребра не мають спільних вершин але не стикаються.

Кожна вершина складається з трьох граней та ребер, які утворюють тригранний кут.

Відрізок, що з'єднує вершину чотиригранника із центром протилежної грані називається медіаною чотиригранника(GM).

Бімедіаноюназивається відрізок, що з'єднує середини протилежних ребер, які не стикаються (KL).

Усі бімедіани та медіани чотиригранника перетинаються в одній точці (S). При цьому бімедіани діляться навпіл, а медіани щодо 3:1, починаючи з вершини.

Визначення. Похила піраміда- це піраміда в якій одне з ребер утворює тупий кут (β) з основою.

Визначення. Прямокутна піраміда- це піраміда в якій одна з бічних граней перпендикулярна до основи.

Визначення. Гострокутна піраміда- це піраміда в якій апофема більше половини довжини сторони основи.

Визначення. Тупокутна піраміда- це піраміда в якій апофема менше половини довжини сторони основи.

Визначення. Правильний тетраедр- чотиригранник, у якого всі чотири грані - рівносторонні трикутники. Він є одним із п'яти правильних багатокутників. У правильного тетраедра всі двогранні кути (між гранями) та тригранні кути (при вершині) рівні.

Визначення. Прямокутний тетраедрназивається чотиригранник у якого прямий кут між трьома ребрами при вершині (ребра перпендикулярні). Три грані утворюють прямокутний трикутний куті грані є прямокутними трикутниками, а основа є довільним трикутником. Апофема будь-якої межі дорівнює половині боку основи, яку падає апофема.

Визначення. Рівногранний тетраедрназивається чотиригранник у якого бічні грані рівні між собою, а основа – правильний трикутник. У такого тетраедра грані це рівнобедрені трикутники.

Визначення. Ортоцентричний тетраедрназивається чотиригранник, у якого всі висоти (перпендикуляри), що опущені з вершини до протилежної грані, перетинаються в одній точці.

Визначення. Зіркова піраміданазивається багатогранник, у якого основою є зірка.

Визначення. Біпіраміда- багатогранник, що складається із двох різних пірамід (також можуть бути зрізані піраміди), що мають загальну основу, а вершини лежать по різні боки від площини основи.

Поняття піраміди

Визначення 1

Геометрична фігура, утворена багатокутником і точкою, що не лежить у площині, що містить цей багатокутник, з'єднана з усіма вершинами багатокутника називається пірамідою (рис. 1).

Багатокутник, з якого складена піраміда, називається основою піраміди, що отримуються при з'єднанні з точкою трикутники - бічними гранями піраміди, сторони трикутників - сторонами піраміди, а загальна для всіх трикутників точка - вершиною піраміди.

Види пірамід

Залежно від кількості кутів у основі піраміди її можна назвати трикутною, чотирикутною тощо (рис. 2).

Малюнок 2.

Ще один вид пірамід - правильна піраміда.

Введемо та доведемо властивість правильної піраміди.

Теорема 1

Усі бічні грані правильної піраміди є рівнобедреними трикутниками, які рівні між собою.

Доказ.

Розглянемо правильну $n-$вугільну піраміду з вершиною $S$ заввишки $h=SO$. Опишемо навколо основи коло (рис. 4).

Малюнок 4.

Розглянемо трикутник $SOA$. За теоремою Піфагора, отримаємо

Очевидно, що так визначатиметься будь-яке бічне ребро. Отже, всі бічні ребра рівні між собою, тобто всі бічні грані – рівнобедрені трикутники. Доведемо, що вони між собою рівні. Оскільки основа - правильний багатокутник, то основи всіх бічних граней рівні між собою. Отже, всі бічні грані дорівнюють за III ознакою рівності трикутників.

Теорему доведено.

Введемо тепер таке визначення, пов'язане з поняттям правильної піраміди.

Визначення 3

Апофемою правильної піраміди називається висота її бічної грані.

Очевидно, що за теоремою всі апофеми рівні між собою.

Теорема 2

Площа бічної поверхні правильної піраміди визначається як добуток напівпериметра основи апофему.

Доказ.

Позначимо сторону основи $n-$вугільної піраміди через $a$, а апофему через $d$. Отже, площа бічної грані дорівнює

Оскільки, за теоремою 1, всі бічні сторони рівні, то

Теорему доведено.

Ще один вид піраміди - усічена піраміда.

Визначення 4

Якщо через звичайну піраміду провести площину, паралельну до її основи, то постать, утворена між цією площиною та площиною основи називається усіченою пірамідою (рис. 5).

Рисунок 5. Усічена піраміда

Боковими гранями усіченої піраміди є трапеції.

Теорема 3

Площа бічної поверхні правильної зрізаної піраміди визначається як добуток суми напівпериметрів підстав на апофему.

Доказ.

Позначимо сторони основ $n-$вугільної піраміди через $a\ і \ b$ відповідно, а апофему через $d$. Отже, площа бічної грані дорівнює

Оскільки всі бічні сторони рівні, то

Теорему доведено.

Приклад завдання

Приклад 1

Знайти площу бічної поверхні зрізаної трикутної піраміди, якщо вона отримана з правильної піраміди зі стороною основи 4 і апофемою 5 шляхом відсікання площиною, що проходить через середню лінію бічних граней.

Рішення.

По теоремі про середню лінію отримаємо, що верхня основа усіченої піраміди дорівнює $4\cdot \frac(1)(2)=2$, а апофема дорівнює $5\cdot \frac(1)(2)=2,5$.

Тоді, за теоремою 3, отримаємо

З поняттям піраміда учні стикаються задовго до вивчення геометрії. Виною всьому знамениті великі єгипетські чудеса світу. Тому, починаючи вивчення цього чудового багатогранника, більшість учнів вже наочно уявляють її собі. Всі вищезгадані пам'ятки мають правильну форму. Що таке правильна піраміда, і які властивості вона має і йтиметься далі.

Визначення

Визначень піраміди можна зустріти чимало. Починаючи ще з давніх часів, вона мала велику популярність.

Наприклад, Евклід визначав її як тілесну фігуру, що складається з площин, які, починаючи від однієї, сходяться у певній точці.

Герон подав більш точне формулювання. Він наполягав на тому, що це постать, яка має основу та площини у вигляді трикутників,що сходяться в одній точці.

Спираючись на сучасне тлумачення, піраміду представляють як просторовий багатогранник, що складається з певного k-кутника і k плоских фігур трикутної форми, що має одну загальну точку.

Розберемося докладніше, з яких елементів вона складається:

• k-кутник вважають основою фігури;
• фігури 3-кутової форми виступають гранями бічної частини;
• верхня частина, з якої беруть початок бічні елементи, називають вершиною;
• всі відрізки, що з'єднують вершину, називають ребрами;
• якщо з вершини на площину фігури опустити пряму під кутом 90 градусів, то її частина, укладена у внутрішньому просторі - висота піраміди;
• в будь-якому бічному елементі до нашого багатогранника можна провести перпендикуляр, званий апофемою.

Число ребер обчислюється за формулою 2*k де k – кількість сторін k-кутника. Скільки граней такого багатогранника, як піраміда, можна визначити за допомогою виразу k+1.

Важливо!Пірамідою правильної форми називають стереометричну фігуру, площину основи якої є k-кутник з рівними сторонами.

Основні властивості

Правильна піраміда має безліч властивостей,які властиві лише їй. Перерахуємо їх:

1. Основа – фігура правильної форми.
2. Ребра піраміди, що обмежують бічні елементи, мають рівні числові значення.
3. Бічні елементи – рівнобедрені трикутники.
4. Основа висоти фігури потрапляє в центр багатокутника, при цьому він одночасно є центральною точкою, вписаною та описаною .
5. Усі бічні ребра нахилені до площини основи під однаковим кутом.
6. Усі бічні поверхні мають однаковий кут нахилу по відношенню до основи.

Завдяки всім перерахованим властивостям виконання обчислень елементів набагато спрощується. Виходячи з наведених властивостей, звертаємо увагу на дві ознаки:

1. У тому випадку, коли багатокутник вписується в коло, бічні грані матимуть з основою рівні кути.
2. При описі кола біля багатокутника всі ребра піраміди, що виходять з вершини, матимуть рівну довжину і рівні кути з основою.

В основі лежить квадрат

Правильна чотирикутна піраміда – багатогранник, у якого в основі лежить квадрат.

У неї чотири бічні грані, які за своїм виглядом є рівностегновими.

На площині квадрат зображають , але ґрунтуються на всіх властивостях правильного чотирикутника.

Наприклад, якщо потрібно зв'язати сторону квадрата з його діагоналлю, то застосовують таку формулу: діагональ дорівнює добутку сторони квадрата на квадратний корінь з двох.

В основі лежить правильний трикутник

Правильна трикутна піраміда – багатогранник, в основі якого лежить правильний трикутник.

Якщо основа є правильним трикутником, а бічні ребра дорівнюють ребрам основи, то така фігура називається тетраедром.

Усі грані тетраедра є рівносторонніми 3-кутниками. В даному випадку необхідно знати деякі моменти та не витрачати на них час при обчисленнях:

• кут нахилу ребер до будь-якої основи дорівнює 60 градусів;
• величина всіх внутрішніх граней також становить 60 градусів;
• будь-яка грань може виступити основою;
• , проведені усередині фігури, це рівні елементи

Переріз багатогранника

У будь-якому багатограннику розрізняють кілька видів перерізуплощиною. Найчастіше у шкільному курсі геометрії працюють із двома:

• осьове;
• паралельне основі.

Осьовий переріз отримують при перетині площиною багатогранника, яка проходить через вершину, бічні ребра та вісь. У разі віссю є висота, проведена з вершини. Поверхня площина обмежується лініями перетину з усіма гранями, в результаті отримуємо трикутник.

Увага!У правильній піраміді осьовим перетином є рівнобедрений трикутник.

Якщо січна площина проходить паралельно до основи, то в результаті отримуємо другий варіант. У цьому випадку маємо в розрізі фігуру, подібну до основи.

Наприклад, якщо в основі лежить квадрат, то перетин паралельно основі також буде квадратом, тільки менших розмірів.

При вирішенні завдань за такої умови використовують ознаки та властивості подібності фігур, засновані на теоремі Фалеса. Насамперед необхідно визначити коефіцієнт подібності.

Якщо площина проведена паралельно основі, і вона відсікає верхню частину багатогранника, то нижній частині отримують правильну усічену піраміду. Тоді кажуть, що основи багатогранника є подібними багатокутниками. І тут бічні грані є рівнобокими трапеціями. Осьовим перетином також є рівнобока.

Для того щоб визначити висоту зрізаного багатогранника, необхідно провести висоту в осьовому перерізі, тобто в трапеції.

Площі поверхонь

Основні геометричні завдання, які доводиться вирішувати у шкільному курсі геометрії, це знаходження площ поверхні та обсягу у піраміди.

Значення площі поверхні розрізняють двох видів:

• площі бічних елементів;
• площі всієї поверхні.

Із самої назви зрозуміло, про що йдеться. Бічна поверхня включає лише бічні елементи. З цього випливає, що для її знаходження необхідно просто скласти площі бічних площин, тобто площі рівнобедрених трикутників. Спробуємо вивести формулу площі бічних елементів:

1. Площа рівнобедреного трикутника дорівнює Sтр=1/2(aL), де а – сторона основи, L – апофема.
2. Кількість бічних площин залежить від виду k-го косинця в основі. Наприклад, правильна чотирикутна піраміда має чотири бічні поверхні. Отже, необхідно скласти площі чотирьох фігур Sбок=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4а*L. Вираз спрощено у такий спосіб оскільки значення 4а=Росн, де Росн – периметр основи. А вираз 1/2*Росн є її напівпериметром.
3. Отже, робимо висновок, що площа бічних елементів правильної піраміди дорівнює добутку напівпериметра основи апофему: Sбок = Росн * L.

Площа повної поверхні піраміди складається з суми площ бічних площин і основи: Sп.п. = Sбок + Sосн.

Що стосується площі основи, то тут формула використовується відповідно до виду багатокутника.

Об'єм правильної пірамідидорівнює добутку площі площини підстави на висоту, розділену на три: V = 1/3 * Sосн * Н, де Н - висота багатогранника.

Що таке правильна піраміди в геометрії

Властивості правильної чотирикутної піраміди

Цей відеоурок допоможе користувачам отримати уявлення про тему Піраміда. Правильна піраміда. У цьому занятті ми познайомимося з поняттям піраміди, дамо їй визначення. Розглянемо, що таке правильна піраміда і які властивості вона має. Потім доведемо теорему про бічній поверхні правильної піраміди.

У цьому занятті ми познайомимося з поняттям піраміди, дамо їй визначення.

Розглянемо багатокутник А 1 А 2...А n, який лежить у площині α, та точку P, яка не лежить у площині (рис. 1). З'єднаємо точку Pз вершинами А 1, А 2, А 3, … А n. Отримаємо nтрикутників: А 1 А 2 Р, А 2 А 3 Рі таке інше.

Визначення. Багатогранник РА 1 А 2 …А n, складений з n-кутника А 1 А 2...А nі nтрикутників РА 1 А 2, РА 2 А 3 …РА n А n-1 n-вугільною пірамідою. Мал. 1.

Мал. 1

Розглянемо чотирикутну піраміду PABCD(Рис. 2).

Р- Вершина піраміди.

ABCD- основа піраміди.

РА- Бокове ребро.

АВ- ребро основи.

З точки Ропустимо перпендикуляр РНна площину основи АВСD. Проведений перпендикуляр є висотою піраміди.

Мал. 2

Повна поверхня піраміди складається з поверхні бічної, тобто площі всіх бічних граней, і площі основи:

S повн = S бік + S осн

Піраміда називається правильною, якщо:

• її основа - правильний багатокутник;
• відрізок, що з'єднує вершину піраміди з центром основи є її висотою.

Пояснення на прикладі правильної чотирикутної піраміди

Розглянемо правильну чотирикутну піраміду PABCD(Рис. 3).

Р- Вершина піраміди. Заснування піраміди АВСD- правильний чотирикутник, тобто квадрат. Крапка Про, точка перетину діагоналей є центром квадрата. Значить, РВ- Це висота піраміди.

Мал. 3

Пояснення: у правильному n-кутник центр вписаного і центр описаного кола збігається. Цей центр називається центром багатокутника. Іноді кажуть, що вершина проектується до центру.

Висота бічної грані правильної піраміди, проведена з її вершини, називається апофемоюі позначається h а.

1. всі бічні ребра правильної піраміди рівні;

2. бічні грані є рівними рівнобедреними трикутниками.

Доказ цих властивостей наведемо з прикладу правильної чотирикутної піраміди.

Дано: РАВСD- правильна чотирикутна піраміда,

АВСD- Квадрат,

РВ- Висота піраміди.

Довести:

1. РА = РВ = РС = РD

2.∆АВР = ∆ВCР =∆СDР =∆DAP Див. 4.

Мал. 4

Доказ.

РВ- Висота піраміди. Тобто, пряма РВперпендикулярна до площини АВС, А значить, і прямим АТ, ВО, СОі DО, що лежить у ньому. Отже, трикутники РОА, РІВ, РІС, РОD- Прямокутні.

Розглянемо квадрат АВСD. З властивостей квадрата випливає, що АТ = ВО = СО = ДО.

Тоді у прямокутних трикутників РОА, РІВ, РІС, РОDкатет РВ- загальний та катети АТ, ВО, СОі DОрівні, отже, ці трикутники рівні за двома катетами. З рівності трикутників випливає рівність відрізків, РА = РВ = РС = РD.Пункт 1 доведено.

Відрізки АВі НДрівні, оскільки є сторонами одного квадрата, РА = РВ = РС. Отже, трикутники АВРі ВРР -рівнобедрені та рівні по трьох сторонах.

Аналогічно отримуємо, що трикутники АВР, ВCР, СDР, DAPрівнобедрені та рівні, що й потрібно було довести у пункті 2.

Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку периметра основи апофему:

Для підтвердження виберемо правильну трикутну піраміду.

Дано: РАВС- правильна трикутна піраміда.

АВ = ВС = АС.

РВ- Висота.

Довести: . Див. Рис. 5.

Мал. 5

Доказ.

РАВС- правильна трикутна піраміда. Тобто АВ= АС = НД. Нехай Про- центр трикутника АВСтоді РВ- Це висота піраміди. В основі піраміди лежить рівносторонній трикутник АВС. Зауважимо, що .

Трикутники РАВ, РВС, РСА- рівні рівнобедрені трикутники (за якістю). У трикутної піраміди три бічні грані: РАВ, РВС, РСА. Значить площа бічної поверхні піраміди дорівнює:

S бік = 3S РАВ

Теорему доведено.

Радіус кола, вписаного в основу правильної чотирикутної піраміди, дорівнює 3 м, висота піраміди дорівнює 4 м. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди.

Дано: правильна чотирикутна піраміда АВСD,

АВСD- Квадрат,

r= 3 м,

РВ- Висота піраміди,

РВ= 4 м-коду.

Знайти: S бік. Див. Рис. 6.

Мал. 6

Рішення.

По доведеній теоремі, .

Знайдемо спочатку бік основи АВ. Нам відомо, що радіус кола, вписаного в основу правильної чотирикутної піраміди, дорівнює 3 м.

Тоді м.

Знайдемо периметр квадрата АВСDзі стороною 6 м:

Розглянемо трикутник BCD. Нехай М- середина сторони DC. Оскільки Про- середина BD, то (М).

Трикутник DPC- рівнобедрений. М- середина DC. Тобто, РМ- медіана, а значить, і висота у трикутнику DPC. Тоді РМ- Апофема піраміди.

РВ- Висота піраміди. Тоді, пряма РВперпендикулярна до площини АВС, а значить, і прямий ОМ, що лежить у ньому. Знайдемо апофему РМіз прямокутного трикутника РОМ.

Тепер можемо знайти бічну поверхню піраміди:

Відповідь: 60 м 2 .

Радіус кола, описаного біля основи правильної трикутної піраміди, дорівнює м. Площа бічної поверхні дорівнює 18 м 2 . Знайдіть довжину апофеми.

Дано: АВСP- правильна трикутна піраміди,

АВ = ВС = СА,

R= м,

S бік = 18 м 2 .

Знайти: . Див. Рис. 7.

Мал. 7

Рішення.

У правильному трикутнику АВСдано радіус описаного кола. Знайдемо бік АВцього трикутника за допомогою теореми синусів.

Знаючи бік правильного трикутника (м), знайдемо його периметр.

По теоремі про площу бічної поверхні правильної піраміди , де h а- Апофема піраміди. Тоді:

Відповідь: 4 м.

Отже, ми розглянули, що таке піраміда, що таке правильна піраміда, довели теорему про бічну поверхню правильної піраміди. На наступному уроці ми познайомимося з усіченою пірамідою.

Список литературы

1. Геометрія. 10-11 клас: підручник для учнів загальноосвітніх установ (базовий та профільний рівні) / І. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-те вид., Випр. та дод. – К.: Мнемозіна, 2008. – 288 с.: іл.
2. Геометрія. 10-11 клас: Підручник для загальноосвітніх навчальних закладів / Шаригін І. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: іл.
3. Геометрія. 10 клас: Підручник для загальноосвітніх закладів з поглибленим та профільним вивченням математики /Е. В. Потоскуєв, Л. І. Звалич. - 6-те вид., стереотип. – М.: Дрофа, 008. – 233 с.: іл.

1. Інтернет портал «Яклас» ()
2. Інтернет портал «Фестиваль педагогічних ідей «Перше вересня» ()
3. Інтернет портал «Slideshare.net» ()

Домашнє завдання

1. Чи може правильний багатокутник бути основою неправильної піраміди?
2. Доведіть, що ребра правильної піраміди, що не перетинаються, перпендикулярні.
3. Знайдіть величину двогранного кута при стороні основи правильної чотирикутної піраміди, якщо апофема піраміди дорівнює стороні її основи.
4. РАВС- правильна трикутна піраміда. Побудуйте лінійний кут двогранного кута на основі піраміди.