Якось лисиця, черепаха та мураха вирушили подорожувати.

Ішли вони всі троє і з одного боку дороги побачили розсипане просо. Постояли вони і подумали: Що нам робити з цим просом? Раніше за всіх додумалася лисиця і сказала:

Давайте візьмемо його та посіємо! Коли зберемо врожай, поділимо його порівну! Черепаха та мураха погодилися з лисицею і зібрали просо.

Тепер для посіву ми маємо відшукати відповідне поле! - сказала черепаха. І всі три супутники вирушили шукати поле для сівби.

Ось тут треба посіяти просо! - зупиняючись, сказав мураха. Лисиця і черепаха погодилися з мурахою, і всі вони взялися до справи.

Трохи попрацювавши, лисиця раптом подивилася на пагорб і сказала:

Ой, друзі, цей пагорб може впасти на наше поле і знищити нашу працю! Давайте зробимо так: ви орайте землю, я ж стоятиму і підтримуватиму пагорб.

Сказала так лисиця, пішла за пагорб і спокійнісінько лягла спати.

Увечері, закінчивши оранку поля, черепаха і мураха пішли шукати собі місце для відпочинку і в цей час помітили лисицю. Лисиця теж помітила їх і, охая і ахая, стала вдаряти кетменем і сказала: .

Вчасно я пішла, горб уже почав перекидатися на наше поле: і робота наша зникла б, і самі б ми загинули!

Черепаха та мураха повірили лисиці. Другого дня вони посіяли просо і стали чекати на врожай.

Настала осінь. Як і раніше - удвох, мураха з черепахою, стиснули стигле-простигле просо. Але в цей час звідкись узялася лисиця. Вона з захопленням оглянула золотисту гору проса, пройшла навколо нього і сказала:

Приятелі, не так багато зібрали врожаю, не варто нам його ділити. Давайте посперечаємось, хто виграє, тому й дістанеться врожай.

На що ж ми посперечаємось? – спитала черепаха.

Хто з нас трьох вибіжить одночасно геть з-під того карагача і раніше добіжить до проса, той отримає весь урожай!

Черепаха з мурахою змушені були погодитись і пішли з лисицею під карагач.

Приготуйтеся! - крикнула лисиця. Черепаха з мурахою приготувалися до бігу.

Побігли! - скомандувала лисиця і сама раніше за всіх побігла на весь Дух-Муравей, не гаючи часу, одразу вчепився в хвіст лисиці. Лисиця перша підбігла до просу, тихесенько поклала на нього свій пухнастий хвісті крикнула голосно:

Ось і став урожай моїм!-крикнула так лисиця і самовдоволено розреготалася.

Гей, лисице, підніми свій хвіст, а то мене розчавиш! - Раптом несподівано для лисиці крикнула мурашка. - Моє, кажеш? Ні, я давно вже прибіг сюди!

Хіба міг ти прибігти сюди раніше за мене? Я ніколи не повірю, щоб ти міг бігти швидше за мене!

Лисиця порушила скандал. Тут приповзла й черепаха. Вона встала на бік мурашки і сказала:

Дорогий друже, перестань скандалити! Хіба ти не знаєш, що тебе шукають два мисливські собаки? Вони мене зустріли і причепилися, щоб я вказала їм твій дім. Але я не стала видавати тебе і сказала «не знаю», а за це собаки так сильно покусали мене!.. Ось чуєш їх гавкіт? Собаки знову біжать у цей бік...

Почувши про собак, лисиця повірила черепахі і зі страху одразу втекла. Так черепаха з мурахою позбулися хитрої лисиці, розділили між собою врожай проса і на всю зиму забезпечили себе їжею.

Завдання з фізики - 149

2014-05-31
У кутах квадрата $ABCD$ зі стороною $l$ знаходяться черепахи a,b,c,d. У деякий момент часу вони починають рухатися з постійними за величиною швидкістю $v$ і так, що в будь-який момент швидкість черепахи спрямована до тієї точки площини, де в цей момент знаходиться черепаха b, швидкість черепахи спрямована до тієї точки площини де в цей момент знаходиться черепаха з і т. д. Скільки часу пройде від початку руху до зустрічі черепах? Розмірами черепах знехтувати.

Рішення:

В силу симетрії завдання траєкторії всіх черепах матимуть однакову форму і при повороті біля центру вихідного квадрата на кути, кратні $90^(\circ)$, усіма своїми точками буде накладатися один на одного. Оскільки черепахи рухаються вздовж своїх траєкторій з однаковою швидкістю, то у будь-який момент часу t, що відраховується від моменту початку руху, вони будуть знаходитися у вершинах деякого квадрата $A^(\prime)B^(\prime)C^(\prime)D ^(\prime)$ зі стороною $l^(\prime)
Позначимо через $r(t)$ відстань $OA^(\prime)$ черепахи від центру квадрата в довільний час t. Вектор її швидкості $\bar(v(t))$ і цей момент спрямований вздовж сторони $A^(\prime)B^(\prime)$ квадрата $A^(\prime)B^(\prime)C^( \prime)D^(\prime)$. За умовою задачі довжина вектора $ bar (v (t)) $ є величина постійна, яка не залежить від t і дорівнює v.
$ | \ bar (v (t)) | = v = const $.
Проекція вектора $\bar(v(t))$ на лінію, спрямовану до центру квадрата, дорівнює
$v_(r)(t) = |\bar(v(t))|\cos \frac(\pi)(4)= \frac(v)(\sqrt(2))$.
Таким чином, ця проекція є постійною величиною. Відстань $r(t)$ черепахи від центру з часом змінюється згідно із законом
$r(t) = r_(0) - v_(r)t = \frac(l)(\sqrt(2)) - \frac(vt)(\sqrt(2))$. (1)
Тут $ r_ (0) = OA = l / \ sqrt (2) $ - початкова відстань черепахи а від центру. У час $t=T$, коли черепахи зустрічаються, $r = 0$. Вважаючи (1) $t = T$ і $r(T) = 0$, отримуємо рівняння
$\frac(l-vT)(\sqrt(2))=0$,
Вирішуючи яке, знаходимо $T = l/v$.

Уздовж бетонованого шосе тяглася кромка густої висохлої трави, і стеблинки її хилилися до землі. вона забрала його щетинки на своїй шубі. Спляче життя чекало, коли його розвіють, рознесуть на всі боки, і кожне насіння було озброєне особливим пристосуванням для такої подорожі: ніжкою, схожою на вигнуту дротик, парашутом, маленьким списом або крихітною колючкою, — і все це чекало на тварини чи на вітер. чоловічих штанах або подолу жіночої спідниці — чекало терпляче, але насторожено, чекало спокійно, тихо, але в повній готовності до пересування.

Промені сонця падали на траву і гріли її, а в тіні між стеблами снували комахи — мурахи і мурашині леви, що їх підстерігали, метушливі, схожі на маленьких армадилл, сороконіжки, коники, які раз у раз здіймалися в повітря, звірячи. А вздовж дороги, повертаючи голову то праворуч, то ліворуч, волочила по траві свій опуклий панцир черепаха. Її жорсткі лапи з жовтими кігтями повільно ступали по траві, точніше, продиралися крізь траву, тягнучи на собі важкий панцир. Ячмінне насіння ковзало по ньому, ворсинки конюшини падали на нього і скочувалися на землю. Роговий дзьоб у черепахи був трохи відкритий, очі пронизливим, глузливим поглядом дивилися на дорогу через жорсткі надбрівні дуги. Позаду неї залишалася смуг; прим'ятої трави, попереду вставав дорожній насип, що здавався їй високим пагорбом. Вона зупинилася, піднявши голову, примружилася, подивилася вгору, потім униз і рушила далі. Передні пазурі витяглися одна за одною, але черепаха відразу ж прибрала їх. Заробили вадні, панцир подався вгору, з трави на гравій. Чим крутіше насип, тим різкіше ставали рухи черепахи. Задні лапи ковзали, обривалися, підштовхуючи панцир, довга шия з лускатою головою була витягнута до краю. Мало-помалу панцир здолав дорожній насип і підібрався впритул до бетонного борту заввишки чотири дюйми, який перетинав йому шлях. Задні лапи, немов діючи незалежно від усього тіла, посунули його вище. Шия витяглася, і черепаха зазирнула через борт на широку гладь шосе. Потім на борт лягли передні лапи, вони напружилися, і панцир повільно підтягнувся догори. Черепаха відпочивала. Руда мураха пробралася між панцирем і нижнім щитком, лоскотнула ніжну шкіру, і раптом голова і ноги черепахи сховалися, лускатий хвіст пішов убік, під панцир. Руда мураха лежала, розчавлена, між лапою і черевцем. А колос вовсюга, що пристав до передньої лапи, теж опинився під панцирем. Довгий часчерепаха лежала нерухомо, потім з-під верхнього щитка з'явилася довга шия, глузливі старечі очі подивилися на всі боки, а потім виглянули назовні ноги і хвіст. Задні ноги почали рухатися, напружилися, як у слона, і ось панцир подався догори, так що передні ноги відірвалися від борту шосе. Але задні підштовхували панцир все вище і вище, центр ваги перемістився. передня частина тулуба ковзнула вниз, пазурі подряпнули бетоном, і черепаха стала на шосе. А колос вівсюга, що обвівся довкола її передніх лап, так і застряг там.

Тепер йти було легше, і за роботу взялися всі чотири ноги; панцир рухався вперед, погойдуючись з боку на бік. На шосе показалася машина, за кермом якої сиділа літня жінка. Вона помітила черепаху і круто звернула праворуч. Шини зойкнули, піднявши хмару пилу. Два колеса на секунду відірвалися від землі і відразу повернулися. Машина пішла далі, але вже набагато повільніше. Черепаха, що сховала голову й ноги, тепер поспішила, бо розпечений бетон обпікав се, наче вогнем.

Через хвилину-другу попереду з'явилася невелика вантажівка, і коли вона під'їхала ближче, шофер побачив черепаху і звернув прямо на неї. Переднє колесо чиркнуло по краю панцира, підкинуло черепаху вгору, мов кістяну фішку, закрутило, мов монету, і скинуло з шосе. А вантажівка знову виїхала на правий бікдороги. Черепаха довго лежала на спині, не висовуючи назовні ні голови, ні ніг. Нарешті ноги витяглися у повітря, шукаючи опори. Передня намацала шматок кварцу, і помалу черепаха перекинулася спиною догори. Колос вовсюга відчепився від лап, і з нього випало три гострі насіння. А черевний щит черепахи, що спускався тепер униз насипом, прикрив їх шаром землі. Черепаха вибралася на путівець і шкутильгала по м'якому шару пилу, залишаючи за собою хвилястий слід. Насміливі старечі очі дивилися прямо вперед, роговий дзьоб був напіввідкритий. Лапи з жовтими кігтями трохи роз'їжджалися в пилюці.

Чи зрозумілий вам парадокс "мурашки на гумовому тросі"? June 20th, 2017

Як ми вже з вами обговорювали вже такий парадокс, який називають або "Ахіллес і черепаха", або жучок і гумка, але прочитавши коментарі до того посту я зрозумів, що мало хто усвідомив це і взагалі повірив цьому.

Що ми маємо за умовою?

На старті мураха знаходиться на одному кінці гумового джгута. Другий прив'язаний до автомобіля. І мураха, і автомобіль починають рухатися одночасно. Машина їде зі швидкістю кілометр на секунду. Мураха повзе зі швидкістю один сантиметр за секунду. Чи дістанеться мурашка до машини? Це здається абсолютно неможливим - гума розтягується швидше, ніж рухається мураха.

Значить мурашка не дістанеться машини? Чи дістанеться?

Блогер biglebowsky нагадав тоді таку історію.

Спогади академіка Л.Б. Окуня. «Три епізоди», журнал "Природа", 1990 №8, стор.119.

"Великому фізику акад. А.Д. Сахарову належить неофіційний рекорд швидкості вирішення цього завдання.
21 липня 1976 р. Ресторан «Арагві» у Тбілісі, де відбувається урочиста вечеря учасників міжнародної конференції з фізики високих енергій(XVIII у серії про Рочестерських конференцій). Багато довгих столів. За одним із них я опинився поблизу Андрія Дмитровича. Загальна розмова стохастично змінювала напрямок. Якоїсь миті заговорили про завдання на кмітливість. І тут я запропонував Андрію Дмитровичу завдання про жучку на ідеальній гумі. Суть її така.

Гумовий шнур завдовжки 1 км одним кінцем прикріплений до стіни, інший у руці. Жучок починає повзти по шнуру від стіни до вас зі швидкістю 1 см/сек. Коли він проповзає перший сантиметр, ви подовжуєте гуму на 1 км, коли він проповзає другий сантиметр - ще на 1 км, і так щосекунди. Питається: чи доповзе жучок до вас, і якщо доповзе, то за який час?

І до, і після цього вечора я давав завдання різним людям. Одним для її вирішення потрібно близько години, іншим добу, третя залишалася твердо переконана, що жучок не доповзе, а питання для часу задається, щоб навести на хибний слід.

Андрій Дмитрович перепитав умову завдання та попросив шматочок паперу. Я дав йому свій запрошення на банкет, і він тут же без жодних коментарів написав на звороті рішення завдання. На все пішло близько хвилини.

У статті була фотографія того самого запрошення з рішенням Сахарова.

Ну, а як би простими словамищось пояснити?

Ось що пропонував тоді блогер mischa_poet :

Давайте спочатку доведемо, що швидкість мурашки на різних ділянкахстрічки буде різною. Для простоти припустимо, що мураха взагалі не рухається.

Ситуація 1. Мураха сидить на кінці стрічки, відстань за ним 0 м, перед ним 1 метр. Машина проїхала 1 метр. Відстань за мурахою 0 м, перед мурахою 2 метри. Швидкість його нуль

Ситуація 2. Мураха сидить на центрі стрічки, відстань за ним 0,5 метра, перед ним 0,5 метра. Машина проїхала 1 метр. Довжина стрічки стала 2 метри, але центр залишився там же, при цьому відстань за мурахою 1 метр і перед мурахою 1 метр. Хоча спочатку за ним було 0,5 метри. Тобто. за секунду він подолав 0,5 метри.

І т.д., ви бачите, що знаходячись на різних ділянках стрічки швидкість мурашки буде різною, чим ближче до машини, тим вища його швидкість.

Давайте полегшимо завдання і перенесемо центр системи координат на мурахи.

Візьмемо знову ж таки центр для простоти. Тільки тепер мурашка рухається.

0 секунд. Машина щодо мурахи буде на відстані 50 см

1 секунда. Тепер відстань буде (50-1) * коефіцієнт розтягування. Коефіцієнт розтягування це цифра, яка показує у скільки разів збільшується шматок шнура. Шнур був 1 метр, став через секунду 2 метри, відповідно коефіцієнт розтягу став рівний двом.
Отже відстань до машини тепер (50-1)*2 чи 98

2 секунди. Тепер відстань буде [(50-1)*2-1]*коефіцієнт розтягування. Шнур був 2 метри, став 3 метри => коефіцієнт розтягування тепер дорівнюватиме 1,5
Отже відстань до машини тепер [(50-1)*2-1]*1,5 чи 145,5

І ось тут той момент, який вас бентежить, відстань дійсно збільшується 50, потім 98, потім 145,5. Але ви не враховуєте прискорення цього збільшення, а воно негативне. Різниця між першим і другим значенням дорівнює 48, тоді як між третім та другим вона вже 47,5. Далі буде те саме, додаток до збільшення відстані між машиною і мурахою буде постійно зменшаться, поки не стане менше 1см, в цей момент, відстань між машиною і мурахою почне зменшуватися.

Або ось так ще з прикладу про Ахіллеса та черепаху:
Нехай вона спочатку сидить у середині стрічки (дамо їй фору) і за кожну секунду долає рівно половину частини стрічки (всі виміри робляться в частках від довжини стрічки, яку тому можна умовно вважати рівною 1, незважаючи на те, що щодо «нерухомого спостерігача») стрічка постійно подовжується). Через секунду черепаха буде на позначці 3/4 поточної довжини стрічки (яка буде на той момент дорівнює 11 метрам), ще через секунду — на 7/8 і т. д. Видно, що черепаха неухильно наближається до кінця стрічки.

Ну а тепер підсумок:

Ну як вам, зрозумілішим став парадокс чи все ще не віриться, що мурашка наздожене машину?

February 22nd, 2014 , 07:00 am

Знайшов у мережі ось такий пост. Нічого не зрозумів. Може хтось дасть зрозумілу відповідь з приводу написаного тут...

Парадокс мурахи на канаті показує, що будь-яку відстань можна подолати. Але необов'язково швидко. Уявимо, що мураха знаходиться на самому кінці гумового каната завдовжки один метр, інший кінець каната прив'язаний до автомобіля. Мураха починає рухатися - і автомобіль теж починає рухатися в той же момент. Мураха рухається зі швидкістю один сантиметр за секунду, а автомобіль - зі швидкістю один кілометр за секунду. Здається неможливим, що нещасна мураха одного разу дістанеться до протилежного кінця каната, тому що канат розтягується швидше, ніж рухається мураха.

Ну так, нормальна мурашка і справді дійти не змогла б. Але в нас мурашка буде безсмертною, запас палива - нескінченним, канат - теж нескінченним, ну, а Всесвіт, само собою, нескінченний і без будь-яких припущень. За таких умов мурашка рано чи пізно дійде до кінця.

Рішення здається неможливим, тому що ми уявляємо, що мураха і мотузка рухаються незалежно один від одного. Але прийміть до уваги, що та частина каната, яка знаходиться позаду мурашки (він все ще рухається, не забувайте), розтягується так само, як і та частина каната, яка поки що попереду. Математика тут складна, але уявіть собі мурашки та канат, як щось нероздільне.

На нульовій секунді мурашка знаходиться на першому кінці каната, а перед ним – ще 100% шляху. На першій секунді відстань, яка має подолати мурашку, збільшується, це правда, але перед ним залишилося вже не 100% шляху, а менше. І чим більший шлях у відсотках пройде мурашка, тим менше йому залишиться - знову ж таки у відсотках. Рано чи пізно відсоток шляху буде дорівнювати нулю.

Підраховано, що мураха обере щастя, дійшовши до кінця, після 2,8 1043,429 секунд. Тож прагну до світла, маленька мураха!