Знайдіть периметр трапеції. Привіт! У цій публікації ми з вами розглянемо рішення типових завдань, що входять до складу іспиту з математики. Потрібно обчислити периметр трапеції. Можна сміливо сказати, що це завдання усних обчислень, вони прості. Перед рішенням рекомендую переглянути статтю «». Розглянемо завдання:

27834. У рівнобедреній трапеції основи дорівнюють 12 і 27, гострий кут дорівнює 60 0 . Знайдіть її периметр.

Для того, щоб знайти периметр, нам необхідно обчислити бічну сторону. З вершин меншої основи опустимо висоти:

AD є гіпотенузою у прямокутному трикутнику ADF. Її ми можемо обчислити, скориставшись визначенням косинуса:

AF ми можемо обчислити:

Отже:

Таким чином, периметр дорівнює 12+27+15+15=69.

*При вирішенні задачі також можна було скористатися властивістю катета, що лежить проти кута 30°. Подивіться:

∠ADF дорівнює 30°, катет AF дорівнює половині гіпотенузи AD. AF=7,5 отже AD дорівнюватиме 15.

27835. Пряма, проведена паралельно бічній стороні трапеції через кінець меншої основи, що дорівнює 4, відсікає трикутник, периметр якого дорівнює 15. Знайдіть периметр трапеції.

Хід рішення очевидний! Давайте подивимося на ескіз: AD і AE це частина периметра, DE = CB – протилежні сторони паралелограма. Тобто

Залишається додати DC та EB. За умови сказано, що DC=4. Так DC і EB є протилежними сторонами паралелограма, вони рівні:

Таким чином, периметр дорівнює 15+4+4=23.

На цьому все, успіху вам!

З повагою Олександр Крутицьких.

Трапеція – чотирикутник з двома паралельними основами та не паралельними бічними сторонами. Прямокутна трапеція має прямий кут з одного боку.

Інструкція

1. Периметрпрямокутної трапеціїдорівнює сумі довжин сторін 2-х підстав та 2-х бічних сторін. Завдання 1. Виявіть периметр прямокутної трапеції, якщо відомі довжини всіх його сторін. Для цього складіть всі чотири значення: P (периметр) = a + b + c + d. Це найпримітивніший варіант знаходження периметра, завдання з іншими вихідними даними, у фінальному висновку зводяться до неї. Розглянемо варіанти.

2. Завдання 2. Виявіть периметр прямокутної трапеціїякщо знаменита нижня основа AD = a, не перпендикулярна йому бічна сторона CD = d, а кут при цій бічній стороні ADC дорівнює Альфа.Рішення.Проведіть висоту трапеціїз вершини C на більшу основу отримаємо відрізок CE, трапеція розділилася на дві фігури - прямокутник ABCE і прямокутний трикутник ECD. Гіпотенуза трикутника – це вести нам бічний бік трапеції CD, один з катетів дорівнює перпендикулярній бічній стороні трапеції(за правилом прямокутника дві паралельні сторони рівні – AB = CE), а інший – відрізок, довжина якого дорівнює різниці основ трапеції ED = AD - BC.

3. Виявіть катети трикутника: за присутніми формулами CE = CD*sin(ADC) і ED = CD*cos(ADC). (Альфа). Дізнайтеся довжину перпендикулярної бічної сторони – AB = CE = d*sin (Альфа). Виходить, ви отримали довжини всіх сторін прямокутної сторони трапеції .

4. Складіть отримані значення, це і буде прямокутний периметр трапеції😛 = AB + BC + CD + AD = d * sin (Альфа) + (a - d * cos (Альфа)) + d + a = 2 * a + d * (sin (Альфа) - cos (Альфа) + 1 ).

5. Завдання 3. Виявіть периметр прямокутної трапеціїякщо вестими довжини його основ AD = a, BC = c, довжина перпендикулярної бічної сторони AB = b і гострий кут при іншій бічній стороні ADC = Альфа.Рішення. Проведіть перпендикуляр CE, отримайте прямокутник ABCE і трикутник CED. CD = AB/sin(ADC) = b/sin(Альфа).Виходить, ви отримали довжини всіх сторін.

6. Складіть отримані значення: P = AB + BC + CD + AD = b + c + b/sin(Альфа) + a = a + b*(1+1/sin(Альфа) + с.

Про те, що таке периметр, кожен із нас дізнався ще у молодших класах. Знаходженням сторін квадрата при вестимом периметрі завдань зазвичай не виникає навіть у тих, хто завершив школу давно і встиг забути курс математики. Втім вирішити аналогічне завдання щодо прямокутника чи прямокутного трикутника виходить без підказки не кожному.

Інструкція

1. Як розв'язати задачу з геометрії, за умови якої наведено лише периметр та кути? Безперечно, якщо йдеться про гострокутному трикутнику або багатокутнику, то таке завдання без уміння довжини однієї зі сторін вирішити неможливо. Втім, якщо йдеться про прямокутний трикутник або прямокутник, то по заданому периметру можна виявити його сторони. Прямокутник має довжинуі ширину. Якщо провести діагональ прямокутника, можна визначити, що вона розбиває прямокутник на два прямокутні трикутники. Діагональ є гіпотенузою, а довжина та ширина – катетами цих трикутників. У квадрата, що є окремим випадком прямокутника, діагональ є гіпотенузою прямокутного рівнобедреного трикутника.

2. Уявимо, що є прямокутний трикутник зі сторонами a, b і c, у якого один із кутів дорівнює 30 , а 2-й 60. На малюнку видно, що a = c * sin?, а b = c * cos?. Знаючи, що периметр будь-якої фігури, в тому числі і трикутника, дорівнює сумі всіх його сторін, отримуємо: a + b + c = c * sin? + c * cos + c = p З цього виразу можна виявити незнайому сторону c, яка є гіпотенузою для трикутника. Бо кут? = 30, пізніше реформування отримаємо: c * sin ? + c * cos ? p/,b=c*cos ?=p*sqrt(3)/

3. Як вже сказано вище, діагональ прямокутника ділить його на два прямокутні трикутники з кутами 30 і 60 градусів. Від того, що периметр прямокутника дорівнює p=2(a + b), ширину a і довжину b прямокутника можна виявити, виходячи з того, що діагональ є гіпотенузою прямокутних трикутників: a = p-2b/2=p/2b= p-2a/2=p/2Ці два рівняння виражені через периметр прямокутника. За ними обчислюються довжина і ширина цього прямокутника з урахуванням кутів при проведенні його діагоналі.

Відео на тему

Зверніть увагу!
Як виявити довжину прямокутника, якщо відомий периметр і ширина? Відняти з периметра подвоєну ширину, тоді отримаємо подвоєну довжину. Потім поділяємо її навпіл, щоб знайти довжину.

Корисна порада
Ще з початкової школи багато хто пам'ятає, як виявити периметр будь-якої геометричної фігури: досить дізнатися довжину всіх її сторін і виявити їхню суму. Відомо, що у такій фігурі, як прямокутник, довжини сторін рівні попарно. Якщо ширина і висота прямокутника мають ідентичну довжину, він називається квадратом. Зазвичай довжиною прямокутника називають найбільшу зі сторін, а завширшки – найменшу.

Периметр(Р) - сума довжин всіх сторін фігури, а у чотирикутника їх чотири. Отже, щоб знайти периметр чотирикутника, потрібно просто скласти довжини всіх його сторін. Але вести такі фігури, як прямокутник, квадрат, ромб, тобто позитивні чотирикутники. Їхні периметри визначаються спеціальними методами.

Інструкція

1. Якщо ця фігура – ​​прямокутник (чи паралелограм) АВСД, він має такі характеристики: паралельні боку попарно рівні (див. рисунок). АВ = ЦД та АС = ВД. Знаючи таке ставлення сторін у цій фігурі, можна вивести периметр прямокутника(і паралелограма): Р = АВ + ЦД + АС + ВД. Нехай одні сторони дорівнюють числу а, інші – числу в, тоді Р = а + а + в + в = 2 * а = 2 * в = 2 * (а + в). Приклад 1. У прямокутнику АВСР сторони дорівнюють АВ = СД = 7 см і АС = ВД = 3 см. Виявити периметр такого прямокутника. Рішення: Р = 2 * (а + в). Р = 2 * (7 +3) = 20 см.

2. Вирішуючи завдання у сумі довжин сторін із фігурою, званої квадрат чи ромб, слід використовувати кілька видозмінену формулу периметра. Квадрат і ромб - фігури, що мають ідентичні чотири сторони. Виходячи з визначення периметра, Р = АВ + ЦД + АС + ВД і допускаючи позначення довжини буквою а, то Р = а + а + а + а = 4 * а. Приклад 2. Ромб має довжину сторони 2 см. Виявити його периметр. Рішення: 4*2 см = 8 см.

3. Якщо цей чотирикутник є трапецією, то в цьому випадку легко необхідно скласти довжини чотирьох сторін. Р = АВ + ЦД + АС + ВД. Приклад 3. Виявити периметр трапеції АВСД, якщо її сторони дорівнюють: АВ = 1 см, ЦД = 3 см, АС = 4 см, ВД = 2 см. Рішення: Р = АВ + ЦД + АС + ВД = 1 см + 3 см + 4 см + 2 см = 10 см. Може статися таке, що трапеція виявиться рівнобокою (у неї дві бічні сторони рівні), тоді її периметр може звестися до формули: Р = АВ + ЦД + АС + ВД = а + в + а + с = 2 * а + + с. Приклад 4. Виявити периметр рівнобічної трапеції, якщо її бічні грані дорівнюють 4 см, а основи – 2 см і 6 см. Рішення: Р = 2*а + + с = 2 * 4см + 2 см + 6 см = 16 см.

Відео на тему

Корисна порада
Ніхто не заважає шукати периметр чотирикутника (і будь-якої іншої фігури), як суму довжин сторін, не застосовуючи виведені формули. Вони дано для комфорту та полегшення обчислення. Не є помилкою спосіб вирішення, значимий правильний результат та вміння математичної термінології.

Порада 4: Як виявити основи прямокутної трапеції

Математична постать із чотирма кутами називається трапецією, якщо пара протилежних її сторін паралельна, інша пара – ні. Паралельні сторони називають підставами трапеції, дві інші – бічними. У прямокутній трапеціїодин із кутів при бічній стороні – прямий.

Інструкція

1. Завдання 1. Виявіть основи BC і AD прямокутної трапеціїякщо вестима довжина діагоналі AC = f; довжина бічної сторони CD = c і кут при ній ADC = ?.Рішення: Розгляньте прямокутний трикутник CED. Відомі гіпотенуза c та кут між гіпотенузою та катетом EDC. Виявіть довжини сторін CE та ED: за формулою кута CE = CD*sin(ADC); ED = CD * cos (ADC). Виходить: CE = c * sin?; ED = c * cos?

2. Розгляньте прямокутний трикутник ACE. Гіпотенуза AC і катет CE вам відомі, виявіть сторону AE за правилом прямокутного трикутника: сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи. Виходить: AE (2) = AC (2) - CE (2) = f (2) - c * sin?. Обчисліть квадратний корінь із правої частини рівності. Ви виявили верхню основу прямокутної трапеції .

3. Довжина основи AD є сумою довжин 2-х відрізків AE та ED. AE = квадратний корінь (f (2) - c * sin?); ED = c*cos?). Виходить: AD = квадратний корінь(f(2) – c*sin?) + c*cos?. Ви виявили нижню основу прямокутної трапеції .

4. Завдання 2. Виявіть основи BC і AD прямокутної трапеціїякщо вестима довжина діагоналі BD = f; довжина бічної сторони CD = c і кут при ній ADC = ?.Рішення: Розгляньте прямокутний трикутник CED. Виявіть довжини сторін CE та ED: CE = CD*sin(ADC) = c*sin?; ED = CD * cos (ADC) = c * cos?

5. Розгляньте прямокутник ABCE. За властивістю прямокутника AB = CE = c * sin? Розгляньте прямокутний трикутник ABD. За якістю прямокутного трикутника квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів. Отже AD(2) = BD(2) – AB(2) = f(2) – c*sin?. Ви виявили нижню основу прямокутної трапеції AD = квадратний корінь (f (2) - c * sin?).

6. За правилом прямокутника BC = AE = AD – ED = квадратний корінь (f(2) – c*sin?) – с*cos?. Ви виявили верхню основу прямокутної трапеції .

Трапеція є чотирикутником з двома паралельними і двома не паралельними сторонами. Щоб визначити її периметр, треба знати розміри всіх сторін трапеції. При цьому дані завдання можуть бути різними.

Вам знадобиться

• - Калькулятор;
• – таблиці синусів, косінусів та тангенсів;
• - Папір;
• - креслярське приладдя.

Інструкція

1. Найпримітивніший варіант завдання – коли дано всі сторони трапеції. В цьому випадку їх потрібно легко скласти. Дозволено скористатися подальшою формулою: p=a+b+c+d, де p – периметр, а літерами a, b, c і d позначені сторони, що протилежні кутам, позначеним відповідними великими літерами.

2. Є дана рівнобедрена трапеція, досить скласти дві її основи і додати до них подвоєний розмір боку. Тобто периметр у цьому випадку обчислюється за формулою: p = a + c + 2b, де b – сторона трапеції, а і с – основи.

3. Розрахунки будуть дещо більшими, якщо якусь із сторін потрібно обчислити. Скажімо, ведемо довгу основу, прилеглі до нього кути та висота. Вам потрібно обчислити коротку основу та бік. Для цього накресліть трапецію ABCD, із верхнього кута B проведіть висоту BE. У вас вийде трикутник АВЕ. Вам ведемо кут А, відповідно, ви знаєте його синус. У цих задачах вказана також висота BE, яка одночасно є катетом прямокутного трикутника, що протилежить знаменитому вам кутку. Щоб виявити гіпотенузу АВ яка одночасно є стороною трапеції, досить BE поділити на sinA. Так само виявіть довжину 2-ї сторони. Для цього необхідно провести висоту з іншого верхнього кута, тобто CF. Зараз вам вести більшу підставу і сторони. Для обчислення периметра цього небагато, потрібен ще розмір меншої основи. Відповідно, в 2-х трикутниках, що утворилися всередині трапеції, потрібно виявити розміри відрізків AE і DF. Це можна зробити, скажімо, через косинуси ведених вам кутів А і D. Косинус - це відношення прилеглого катета до гіпотенузи. Щоб знайти катет, потрібно гіпотенузу помножити на косинус. Далі периметр обчисліть за тією самою формулою, що й у першому кроці, тобто склавши всі сторони.

4. Ще один варіант: дано дві підстави, висота та одна зі сторін, необхідно виявити другу сторону. Це також краще робити із застосуванням тригонометричних функцій. Для цього накресліть трапецію. Можливо, вам вестимуться підстави АD і ВС, а також сторона АВ і висота BF. За цими даними ви можете виявити кут A (через синус, тобто відношення висоти до знаменитої стороні), відрізок АF (через косинус або тангенс, від того що кут вам вже відомий. Пригадайте також характеристики кутів трапеції - сума кутів, що прилягають до однієї сторони , становить 180 °. Проведіть висоту CF. У вас вийшов ще один прямокутний трикутник, в якому вам потрібно виявити гіпотенузу CD і катет DF. АF. Тепер у прямокутному трикутнику СFD вам відомі два катета, тобто ви можете виявити тангенс кута D, а по ньому - і сам кут.

Відео на тему

Яких тільки завдань нам не доводиться вирішувати, фантазія укладачів підручників з математики воістину невичерпна. Наприклад, як знайти периметр трапеції? Для початку розберемося, що таке трапеція. Не варто боятися цієї постаті. Це всього лише прямокутник, у якого дві сторони завжди паралельні один одному і називаються основами, а інші називаються бічними, і вони можуть бути різними. Якщо бічні сторони трапеції рівні, вона називається равнобедренной. Також є поняття прямокутної трапеції, яка має одну з бічних сторін з'єднана з основою трапеції під прямим кутом.

Як знаходити периметр трапеції

Що таке периметр? Периметр - це сума довжин всіх сторін прямокутника, до яких трапеція також має безпосереднє відношення. Решта завдань, де невідомі деякі величини, зводяться також до підсумовування сторін після того, як всі невідомі будуть знайдені.

А якщо всі сторони рівні? Якщо вам дано для вирішення завдання, де дано всю сторону трапеції a b c d, їх просто потрібно скласти все разом, отриманий результат і буде периметром. Периметр прямокутної трапеції. Припустимо, що нам дана прямокутна трапеція, де відома нижня основа AD=a, неперпендикулярна сторона CD=d, а також кут Альфа.

Як вирішувати? Проводимо з вершини З висоту, яка одразу поділяє нашу трапецію на прямокутник ABCE та трикутник ECD. Цей трикутник у нас прямий, ми знаємо його гіпотенузу CD, яка дорівнює d. Тепер знаходимо катети трикутника за формулою CE = CD * sin (ADC) і ED = CD * cos (ADC). Тепер ми знаємо майже все. ВС = АD-ЕD, а сторона АВ відповідно дорівнює знайденому раніше катету РЄ. Тепер залишилося лише скласти всі знайдені сторони, і відповідь готова.

Периметр рівнобедреної трапеції

1. Відомі бічні сторони та середня лінія. Як знайти периметр рівнобедреної трапеції, якщо вам відомі лише бічні рівні сторони AB та CD та середня лінія EF? Середня лінія трапеції, як відомо, паралельна основам, і до того ж дорівнює напівсумі цих основ. І щоб знайти довжину основ, нам потрібно лише подвоїти довжину середньої лінії. Виходячи з цих даних, рішення таке: Р=2EF+2AB
2. Відомі підстави та висота. У задачі можуть бути відомі лише довжини основ та висота трапеції. Висота утворює прямокутний трикутник, причому їх виходить два рівні. Нижній катет дуже просто: (АD-ВС)/2. Тепер нам відомі обидва катеты, залишається лише знайти гіпотенузу, застосувавши теорему Піфагора. Гіпотенуза у нас дорівнює кореню із суми квадратів катетів.
3. Отже, ми знайшли бічний бік трапеції, їх у нас дві і вони рівні, підстави нам відомі спочатку, тому нам тепер залишається все тільки скласти, і ми отримаємо периметр, що шукається. Таким чином, знаходити периметр трапеції зовсім нескладно. Головне і першорядне в цій справі, знати її властивості, і тоді у вас ніколи не буде проблем із вирішенням завдань із трапецій. Тому, перш ніж братися за обчислення, не завадить трохи теорії.

Вміст:

Трапеція – це чотирикутник із двома паралельними сторонами. Щоб знайти периметр трапеції потрібно скласти довжини всіх чотирьох сторін. Найчастіше завдання довжини деяких сторін не дано, але відомі інші величини, наприклад, висота або кут трапеції. За допомогою відомих величин, а також геометричних та тригонометричних правил можна знайти невідомі сторони трапеції.

Кроки

1 По відомим боковим сторонам та основам

1. 1 Запишіть формулу для обчислення периметра трапеції.Формула: P = T + B + L + R
2. 2 У формулу підставте відомі довжини сторін.Не використовуйте цей метод, якщо не дано значення всіх чотирьох сторін.
   • Наприклад, верхня основа трапеції дорівнює 2 см, нижня основа дорівнює 3 см, а кожна бічна сторона дорівнює 1 см. У цьому випадку формула набуде наступного вигляду:
     P = 2 + 3 + 1 + 1 3 Складіть довжини сторін.Так ви знайдете периметр трапеції.
     • У нашому прикладі:
       P = 2 + 3 + 1 + 1

       2 За відомими висотами, боковими сторонами і верхньою основою

       1. 2 Позначте кожну висоту.
       2. 3 Ця частина дорівнює верхньому підставі (тобто верхній стороні прямокутника), оскільки протилежні сторони прямокутника рівні. Не використовуйте цей метод, якщо не дано значення верхньої основи.
       3. 4 Формула: a 2 + b 2 = c 2
       4. 5 Бічний бік трапеції підставте замість c 6 Зведіть у квадрат відомі значення.Потім за допомогою віднімання відокремте змінну b 7 Вийміть квадратний корінь, щоб знайти b.) Ви знайдете основу першого прямокутного трикутника. Напишіть знайдене значення під основою відповідного трикутника.
          • У нашому прикладі:
            b 2 = 45 8 Знайдіть невідому сторону другого прямокутного трикутника.Для цього запишіть теорему Піфагора другого трикутника і дійте так, як описано вище. Якщо дана рівнобедрена трапеція, у якої бічні сторони рівні, два прямокутних трикутника є рівними, тобто будь-яка сторона одного трикутника дорівнює відповідній стороні іншого.
            • Наприклад, якщо другий бічний бік трапеції дорівнює 7 см, то формула запишеться так:
              a 2 + b 2 = c 2 9 Периметр будь-якого багатокутника дорівнює сумі всіх сторін: P = T + B + L + R

              3 За відомою висотою, основами та нижніми кутами

              1. 1 Розбийте трапецію на прямокутник і два прямокутні трикутники.Для цього проведіть висоту з кожної вершини трапеції.
                 • Якщо одна сторона трапеції перпендикулярна основам, ви не зможете отримати два прямокутні трикутники. У цьому випадку бічна сторона, перпендикулярна до основ, дорівнює висоті, а трапеція розбивається на прямокутник і один прямокутний трикутник.
              2. 2 Позначте кожну висоту.Оскільки висоти є протилежними сторонами прямокутника, вони рівні.
                 • Наприклад, висота трапеції дорівнює 6 см. З вершин трапеції проведіть дві висоти (до нижньої основи). Біля кожної висоти напишіть "6 см" (без лапок).
              3. 3 Позначте середню частину нижньої основи (вона є нижньою стороною прямокутника).Ця частина дорівнює верхньому підставі (тобто верхній стороні прямокутника), оскільки протилежні сторони прямокутника рівні.
                 • Наприклад, якщо верхня основа трапеції дорівнює 6 см, то середня частина нижньої основи також дорівнює 6 см.
              4. 4 Напишіть функцію (формулу) синуса кута першого прямокутного трикутника.Функція: sin ⁡ θ = B H 5 У формулу синуса підставте певні величини.Замість протилежної сторони підставте висоту трикутника. Ви знайдете гіпотенузу, тобто бічну сторону трапеції.
                 • Наприклад, якщо нижній кут трапеції дорівнює 35 градусів, а висота трикутника дорівнює 6 см, формула запишеться так:
                   sin ⁡ (35) = 6 H 6 Знайдіть синус кута.Це робиться за допомогою наукового калькулятора, а саме клавіш SIN. Знайдене значення підставте формулу.
                   • За допомогою калькулятора ви знайдете, що синус кута 35 градусів приблизно дорівнює 0,5738. Таким чином, формула набуде наступного вигляду:
                     0 , 5738 = 6 H 7 Знайдіть змінну H.Для цього помножте кожну сторону рівняння (формули) на Н, а потім кожну сторону рівняння розділіть на синус кута. Або просто розділіть висоту трикутника на синус кута.
                     • У нашому прикладі:
                       0 , 5738 = 6 H 8 Знайдіть гіпотенузу другого прямокутного трикутника.Напишіть функцію (формулу) синуса кута другого прямокутного трикутника: sin ⁡ θ = B H 9 Запишіть теорему Піфагора першого прямокутного трикутника.Формула: a 2 + b 2 = c 2 10 У формулу підставте відомі величини першого трикутника.Бічний бік трапеції підставте замість c 11 Знайдіть b 12 Знайдіть основу другого прямокутного трикутника.Для цього скористайтесь теоремою Піфагора (a 2 + b 2 = c 2 13 Складіть значення всіх сторін трапеції.Периметр будь-якого багатокутника дорівнює сумі всіх сторін: P = T + B + L + R або трикутник 90-45-45) існують формули, за допомогою яких можна знайти невідомі сторони без використання функції синуса або теореми Піфагора.
                     • Щоб знайти синус кута, скористайтеся науковим калькулятором – введіть кут, а потім натисніть клавішу SIN. Або використовуйте тригонометричні таблиці.

                     Що вам знадобиться

                     • Калькулятор
                     • Олівець
                     • Папір