Вирішувати фізичні завдання чи приклади з математики зовсім неможливо без знань про похідну та методи її обчислення. Похідна – одне з найважливіших понять математичного аналізу. Цій фундаментальній темі ми вирішили присвятити сьогоднішню статтю. Що таке похідна, який її фізичний та геометричний зміст, як порахувати похідну функції? Всі ці питання можна поєднати в одне: як зрозуміти похідну?
Геометричний та фізичний зміст похідної
Нехай є функція f(x) , задана в певному інтервалі (a, b) . Точки х і х0 належать до цього інтервалу. При зміні х змінюється сама функція. Зміна аргументу – різниця його значень х-х0 . Ця різниця записується як дельта ікс і називається збільшенням аргументу. Зміною або збільшенням функції називається різниця значень функції у двох точках. Визначення похідної:
Похідна функції у точці – межа відношення збільшення функції у цій точці до збільшення аргументу, коли останнє прагне нулю.
Інакше це можна записати так:
Який сенс у знаходженні такої межі? А ось який:
похідна від функції в точці дорівнює тангенсу кута між віссю OX і щодо графіку функції в даній точці.
Фізичний зміст похідної: похідна шляхи за часом дорівнює швидкості прямолінійного руху.
Дійсно, ще зі шкільних часів всім відомо, що швидкість – це приватна дорога. x=f(t) та часу t . Середня швидкість за деякий проміжок часу:
Щоб дізнатися швидкість руху в момент часу t0 потрібно обчислити межу:
Правило перше: виносимо константу
Константу можна винести за знак похідної. Більше того – це потрібно робити. При вирішенні прикладів математики візьміть за правило - якщо можете спростити вираз, обов'язково спрощуйте .
приклад. Обчислимо похідну:
Правило друге: похідна суми функцій
Похідна суми двох функцій дорівнює сумі похідних цих функцій. Те саме справедливо і для похідної різниці функцій.
Не наводитимемо доказ цієї теореми, а краще розглянемо практичний приклад.
Знайти похідну функції:
Правило третє: похідна робота функцій
Похідна твори двох функцій, що диференціюються, обчислюється за формулою:
Приклад: знайти похідну функції:
Рішення: 
Тут важливо сказати про обчислення похідних складних функцій. Похідна складної функції дорівнює добутку похідної цієї функції за проміжним аргументом на похідну проміжного аргументу за незалежною змінною.
У наведеному вище прикладі ми зустрічаємо вираз:
В даному випадку проміжний аргумент - 8х у п'ятому ступені. Для того, щоб обчислити похідну такого виразу спочатку вважаємо похідну зовнішньої функції за проміжним аргументом, а потім множимо на похідну безпосередньо проміжного аргументу незалежної змінної.
Правило четверте: похідна приватного двох функцій
Формула для визначення похідної від частки двох функцій:
Ми постаралися розповісти про похідні для чайників з нуля. Ця тема не така проста, як здається, тому попереджаємо: у прикладах часто зустрічаються пастки, так що будьте уважні при обчисленні похідних.
З будь-яким питанням з цієї та інших тем ви можете звернутися до студентського сервісу. За короткий термін ми допоможемо вирішити найскладнішу контрольну та розібратися із завданнями, навіть якщо ви ніколи раніше не займалися обчисленням похідних.
Операція відшукання похідної називається диференціюванням.
В результаті вирішення завдань про відшукання похідних у найпростіших (і не дуже простих) функцій визначення похідної як межі відношення прирощення до прирощення аргументу з'явилися таблиця похідних і точно визначені правила диференціювання. Першими на ниві знаходження похідних попрацювали Ісаак Ньютон (1643-1727) та Готфрід Вільгельм Лейбніц (1646-1716).
Тому в наш час, щоб знайти похідну будь-якої функції, не треба обчислювати згадану вище межу відношення збільшення функції до збільшення аргументу, а потрібно лише скористатися таблицею похідних та правилами диференціювання. Для знаходження похідної підходить наступний алгоритм.
Щоб знайти похідну, треба вираз під знаком штриха розібрати на складові прості функціїта визначити, якими діями (твір, сума, приватна)пов'язані ці функції. Далі похідні елементарних функцій знаходимо у таблиці похідних, а формули похідних твору, суми та частки - у правилах диференціювання. Таблиця похідних та правила диференціювання дані після перших двох прикладів.
приклад 1.Знайти похідну функції
Рішення. З правил диференціювання з'ясовуємо, що похідна суми функцій є сума похідних функцій, тобто.
З таблиці похідних з'ясовуємо, що похідна "ікса" дорівнює одиниці, а похідна синуса - косінус. Підставляємо ці значення у суму похідних і знаходимо необхідну умовою завдання похідну:
приклад 2.Знайти похідну функції
Рішення. Диференціюємо як похідну суми, в якій другий доданок з постійним множником, його можна винести за знак похідної:
Якщо поки що виникають питання, звідки береться, вони, як правило, прояснюються після ознайомлення з таблицею похідних та найпростішими правилами диференціювання. До них ми і переходимо зараз.
Таблиця похідних простих функцій
| 1. Похідна константи (числа). Будь-якого числа (1, 2, 5, 200 ...), яке є у виразі функції. Завжди дорівнює нулю. Це дуже важливо пам'ятати, тому що потрібно дуже часто | |
| 2. Похідна незалежною змінною. Найчастіше "ікса". Завжди дорівнює одиниці. Це також важливо запам'ятати надовго | |
| 3. Похідна ступеня. У ступінь під час вирішення завдань необхідно перетворювати неквадратні коріння. | |
| 4. Похідна змінної у ступені -1 | |
| 5. Похідна квадратного кореня | |
| 6. Похідна синуса | |
| 7. Похідна косинуса |  |
| 8. Похідна тангенса |  |
| 9. Похідна котангенсу |  |
| 10. Похідна арксинусу |  |
| 11. Похідна арккосинусу |  |
| 12. Похідна арктангенса |  |
| 13. Похідна арккотангенса |  |
| 14. Похідна натурального логарифму | |
| 15. Похідна логарифмічна функція |  |
| 16. Похідна експоненти | |
| 17. Похідна показової функції |
Правила диференціювання
| 1. Похідна суми чи різниці |  |
| 2. Похідна твори |  |
| 2a. Похідна вирази, помноженого на постійний множник | |
| 3. Похідна приватного |  |
| 4. Похідна складної функції |  |
Правило 1.Якщо функції
диференційовані в деякій точці, то в тій же точці диференційовані і функції
причому
тобто. похідна суми алгебраїчної функцій дорівнює сумі алгебри похідних цих функцій.
Слідство. Якщо дві функції, що диференціюються, відрізняються на постійний доданок, то їх похідні рівні, тобто.
Правило 2Якщо функції
диференційовані в деякій точці, то в тій же точці диференційовано та їх добуток
причому
тобто. похідна твори двох функцій дорівнює сумі творів кожної з цих функцій похідну інший.
Наслідок 1. Постійний множник можна виносити за знак похідної:
Наслідок 2. Похідна твори кількох функцій, що диференціюються, дорівнює сумі творів похідної кожного з співмножників на всі інші.
Наприклад, для трьох множників:
Правило 3Якщо функції
диференційовані в деякій точці і , то в цій точці диференційовано та їх приватнеu/v , причому
тобто. похідна приватного двох функцій дорівнює дробу, чисельник якого є різниця творів знаменника на похідну чисельника і чисельника на похідну знаменника, а знаменник є квадрат колишнього чисельника.
Де що шукати на інших сторінках
При знаходженні похідної твори і частки у реальних завданнях завжди потрібно застосовувати відразу кілька правил диференціювання, тому більше прикладів на ці похідні - у статті"Виробничі твори та приватні функції".
Зауваження.Слід не плутати константу (тобто число) як доданок у сумі і як постійний множник! У разі доданку її похідна дорівнює нулю, а у разі постійного множника вона виноситься за знак похідних. Це типова помилка, яка зустрічається на початковому етапі вивчення похідних, але в міру вирішення вже кількох одно-двоскладових прикладів середній студент цієї помилки вже не робить.
А якщо при диференціюванні твору чи приватного у вас з'явився доданок u"v, в якому u- число, наприклад, 2 або 5, тобто константа, то похідна цього числа дорівнюватиме нулю і, отже, все доданок буде дорівнює нулю (такий випадок розібраний у прикладі 10).
Інша часта помилка - механічне рішення похідної складної функції як похідної простий функції. Тому похідної складної функціїприсвячено окрему статтю. Але спочатку вчитимемося знаходити похідні простих функцій.
По ходу не обійтися без перетворень виразів. Для цього може знадобитися відкрити у нових вікнах посібники Дії зі ступенями та коріннямі Дії з дробами .
Якщо Ви шукаєте рішення похідних дробів зі ступенями та корінням, тобто, коли функція має вигляд начебто 
, то слідуйте на заняття "Похідна суми дробів зі ступенями та корінням".
Якщо ж перед Вами завдання начебто 
, то Вам на заняття "Виробні простих тригонометричних функцій".
Покрокові приклади - як знайти похідну
приклад 3.Знайти похідну функції
Рішення. Визначаємо частини виразу функції: весь вираз представляє твір, яке співмножники - суми, у другий у тому числі одне з доданків містить постійний множник. Застосовуємо правило диференціювання твору: похідна твори двох функцій дорівнює сумі творів кожної з цих функцій на похідну інший:
Далі застосовуємо правило диференціювання суми: похідна суми алгебраїчної функцій дорівнює сумі алгебри похідних цих функцій. У нашому випадку в кожній сумі другий доданок зі знаком мінус. У кожній сумі бачимо і незалежну змінну, похідна якої дорівнює одиниці, і константу (число), похідна якої дорівнює нулю. Отже, "ікс" у нас перетворюється на одиницю, а мінус 5 - на нуль. У другому виразі "ікс" помножено на 2, так що двійку множимо на ту ж одиницю як похідну "ікса". Отримуємо такі значення похідних:
Підставляємо знайдені похідні у суму творів і отримуємо необхідну умовою завдання похідну всієї функції:
приклад 4.Знайти похідну функції
Рішення. Від нас потрібно знайти похідну приватного. Застосовуємо формулу диференціювання частки: похідна частки двох функцій дорівнює дробу, чисельник якого є різниця творів знаменника на похідну чисельника і чисельника на похідну знаменника, а знаменник є квадрат колишнього чисельника. Отримуємо:
Похідну співмножників у чисельнику ми вже знайшли в прикладі 2. Не забудемо також, що твір, що є другим співмножником у чисельнику в поточному прикладі береться зі знаком мінус:
Якщо Ви шукаєте вирішення таких завдань, в яких треба знайти похідну функції, де суцільне нагромадження коренів та ступенів, як, наприклад, 
, то ласкаво просимо на заняття "Виробна суми дробів зі ступенями і корінням" .
Якщо ж Вам потрібно дізнатися більше про похідні синуси, косінуси, тангенси та інші тригонометричні функції, тобто, коли функція має вигляд начебто , то Вам на урок "Виробні простих тригонометричних функцій" .
Приклад 5.Знайти похідну функції
Рішення. У цій функції бачимо твір, один із співмножників яких - квадратний корінь із незалежної змінної, з похідною якого ми ознайомились у таблиці похідних. За правилом диференціювання твору та табличного значення похідної квадратного кореня отримуємо:
Приклад 6.Знайти похідну функції
Рішення. У цій функції бачимо приватне, ділене якого - квадратний корінь із незалежної змінної. За правилом диференціювання приватного, яке ми повторили і застосували в прикладі 4, та табличного значення похідної квадратного кореня отримуємо:
Щоб позбутися дробу в чисельнику, множимо чисельник і знаменник на .
Якщо слідувати визначенню, то похідна функції у точці — це межа відношення збільшення функції Δ yдо збільшення аргументу Δ x:
Начебто все зрозуміло. Але спробуйте порахувати за цією формулою, скажімо, похідну функції f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x· sin x. Якщо все робити за визначенням, то через кілька сторінок обчислень ви просто заснете. Тому існують простіші та ефективніші способи.
Спочатку зазначимо, що з усього різноманіття функцій можна назвати звані елементарні функції. Це відносно прості вирази, похідні яких давно обчислені та занесені до таблиці. Такі функції досить просто запам'ятати — разом із їх похідними.
Похідні елементарних функцій
Елементарні функції – це все, що наведено нижче. Похідні цих функцій треба знати напам'ять. Тим більше, що завчити їх зовсім нескладно — на те вони й елементарні.
Отже, похідні елементарних функцій:
| Назва | Функція | Похідна |
| Константа | f(x) = C, C ∈ R | 0 (так-так, нуль!) |
| Ступінь із раціональним показником | f(x) = x n | n · x n − 1 |
| Сінус | f(x) = sin x | cos x |
| Косінус | f(x) = cos x | − sin x(мінус синус) |
| Тангенс | f(x) = tg x | 1/cos 2 x |
| Котангенс | f(x) = ctg x | − 1/sin 2 x |
| Натуральний логарифм | f(x) = ln x | 1/x |
| Довільний логарифм | f(x) = log a x | 1/(x· ln a) |
| Показова функція | f(x) = e x | e x(нічого не змінилося) |
Якщо елементарну функцію помножити на довільну постійну, то похідна нової функції також легко вважається:
(C · f)’ = C · f ’.
Загалом константи можна виносити за знак похідної. Наприклад:
(2x 3)' = 2 · ( x 3)' = 2 · 3 x 2 = 6x 2 .
Очевидно, елементарні функції можна складати одна з одною, множити, ділити і багато іншого. Так з'являться нові функції, не особливо елементарні, але теж диференційовані за певними правилами. Ці правила розглянуті нижче.
Похідна суми та різниці
Нехай дані функції f(x) та g(x), похідні яких нам відомі. Наприклад, можна взяти елементарні функції, розглянуті вище. Тоді можна знайти похідну суми та різниці цих функцій:
- (f + g)’ = f ’ + g ’
- (f − g)’ = f ’ − g ’
Отже, похідна суми (різниці) двох функцій дорівнює сумі (різниці) похідних. Доданків може бути більше. Наприклад, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.
Строго кажучи, в алгебрі немає поняття «віднімання». Є поняття «негативний елемент». Тому різниця f − gможна переписати як суму f+ (−1) · gі тоді залишиться лише одна формула — похідна суми.
f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.
Функція f(x) - це сума двох елементарних функцій, тому:
f ’(x) = (x 2 + sin x)’ = (x 2)' + (sin x)’ = 2x+ cos x;
Аналогічно міркуємо для функції g(x). Тільки там уже три доданки (з погляду алгебри):
g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).
Відповідь:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x
2 + 1).
Похідна робота
Математика - наука логічна, тому багато хто вважає, що якщо похідна суми дорівнює сумі похідних, то похідна твори strike"> дорівнює твору похідних. А ось фіг вам! Похідна твори вважається зовсім за іншою формулою. А саме:
(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’
Формула проста, але її часто забувають. І не лише школярі, а й студенти. Результат – неправильно вирішені завдання.
Завдання. Знайти похідні функції: f(x) = x 3 · cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .
Функція f(x) є твір двох елементарних функцій, тому все просто:
f ’(x) = (x 3 · cos x)’ = (x 3)' · cos x + x 3 · (cos x)’ = 3x 2 · cos x + x 3 · (− sin x) = x 2 · (3cos x − x· sin x)
У функції g(x) перший множник трохи складніше, але загальна схема від цього не змінюється. Очевидно, перший множник функції g(x) є багаточлен, і його похідна - це похідна суми. Маємо:
g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x− 7) · ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .
Відповідь:
f ’(x) = x 2 · (3cos x − x· sin x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e
x
.
Зверніть увагу, що на останньому етапі похідна розкладається на множники. Формально цього робити не потрібно, проте більшість похідних обчислюються не власними силами, а щоб дослідити функцію. А значить, далі похідна прирівнюватиметься до нуля, з'ясовуватимуться її знаки і так далі. Для такої справи краще мати вираз, розкладений на множники.
Якщо є дві функції f(x) та g(x), причому g(x) ≠ 0 на цікавій для нас безлічі, можна визначити нову функцію h(x) = f(x)/g(x). Для такої функції також можна знайти похідну:
Неслабо, так? Звідки взявся мінус? Чому g 2? А ось так! Це одна із найскладніших формул — без пляшки не розберешся. Тому найкраще вивчати її на конкретних прикладах.
Завдання. Знайти похідні функції:
У чисельнику та знаменнику кожного дробу стоять елементарні функції, тому все, що нам потрібно – це формула похідної частки:
За традицією, розкладемо чисельник на множники — це значно спростить відповідь:
Складна функція - це не обов'язково формула завдовжки півкілометра. Наприклад, достатньо взяти функцію f(x) = sin xта замінити змінну x, скажімо, на x 2 + ln x. Вийде f(x) = sin ( x 2 + ln x) - це і є складна функція. Вона теж має похідну, проте знайти її за правилами, розглянутими вище, не вийде.
Як бути? У таких випадках допомагає заміна змінної та формула похідної складної функції:
f ’(x) = f ’(t) · t', якщо xзамінюється на t(x).
Як правило, з розумінням цієї формули справа ще сумніше, ніж з похідною приватного. Тому її також краще пояснити на конкретних прикладах, з докладним описом кожного кроку.
Завдання. Знайти похідні функції: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = sin ( x 2 + ln x)
Зауважимо, що якщо у функції f(x) замість виразу 2 x+ 3 буде просто x, то вийде елементарна функція f(x) = e x. Тому робимо заміну: нехай 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Шукаємо похідну складної функції за формулою:
f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’
А тепер – увага! Виконуємо зворотну заміну: t = 2x+ 3. Отримаємо:
f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 · (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 · 2 = 2 · e 2x + 3
Тепер розберемося із функцією g(x). Очевидно, треба замінити x 2 + ln x = t. Маємо:
g ’(x) = g ’(t) · t' = (sin t)’ · t' = cos t · t ’
Зворотна заміна: t = x 2 + ln x. Тоді:
g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)’ = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).
Ось і все! Як очевидно з останнього висловлювання, все завдання звелося до обчислення похідної суми.
Відповідь:
f ’(x) = 2 · e
2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) · cos ( x 2 + ln x).
Дуже часто на своїх уроках замість терміну "похідна" я використовую слово "штрих". Наприклад, штрих від суми дорівнює сумі штрихів. Так зрозуміліше? Ну от і добре.
Таким чином, обчислення похідної зводиться до позбавлення цих самих штрихів за правилами, розглянутими вище. Як останній приклад повернемося до похідного ступеня з раціональним показником:
(x n)’ = n · x n − 1
Мало хто знає, що в ролі nцілком може виступати дрібне число. Наприклад, корінь - це x 0,5. А що, коли під корінням стоятиме щось наворочене? Знову вийде складна функція – такі конструкції люблять давати на контрольних роботах та іспитах.
Завдання. Знайти похідну функції:
Для початку перепишемо корінь у вигляді ступеня з раціональним показником:
f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .
Тепер робимо заміну: нехай x 2 + 8x − 7 = t. Знаходимо похідну за формулою:
f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' · t' = 0,5 · t−0,5 · t ’.
Робимо зворотну заміну: t = x 2 + 8x− 7. Маємо:
f ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x− 7) −0,5 · ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 · (2 x+ 8) · ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .
Нарешті, повертаємось до коріння:
Подано доказ та виведення формули для похідної синуса - sin(x). Приклади обчислення похідних від sin 2x, синуса у квадраті та кубі. Висновок формули для похідної синусу n-го порядку.
Похідна за змінною x від синуса x дорівнює косінусу x:
(sin x)′ = cos x.
Доказ
Для виведення формули похідної синуса ми скористаємося визначенням похідної:
.
Щоб знайти цю межу, нам потрібно перетворити вираз таким чином, щоб звести його до відомих законів, властивостей та правил. Для цього нам потрібно знати чотири властивості.
1)
Значення першої чудової межі:
(1)
;
2)
Безперервність функції косинус:
(2)
;
3)
Тригонометричні формули. Нам знадобиться така формула:
(3)
;
4)
Властивість меж:
Якщо і , то
(4)
.
Застосовуємо ці правила до нашої межі. Спочатку перетворимо алгебраїчне вираз
.
Для цього застосуємо формулу
(3)
.
У нашому випадку
; . Тоді
;
;
;
.
Тепер зробимо підстановку. При , . Застосуємо першу чудову межу (1):
.
Зробимо таку ж підстановку та використовуємо властивість безперервності (2):
.
Оскільки межі, обчислені вище, існують, то застосовуємо властивість (4):
.
Формула похідної синусу доведена.
Приклади
Розглянемо прості приклади знаходження похідних від функцій, які містять синус. Ми знайдемо похідні від наступних функцій:
y = sin 2x; y = sin 2 xта y = sin 3 x.
Приклад 1
Знайти похідну від sin 2x.
Рішення
Спочатку знайдемо похідну від найпростішої частини:
(2x) '= 2(x)' = 2 · 1 = 2.
Застосовуємо.
.
Тут.
Відповідь
(sin 2x) = 2 cos 2x.
Приклад 2
Знайти похідну від синуса в квадраті:
y = sin 2 x.
Рішення
Перепишемо вихідну функцію у більш зрозумілому вигляді:
.
Знайдемо похідну від найпростішої частини:
.
Застосовуємо формулу похідної складної функції.
.
Тут.
Можна застосувати одну із формул тригонометрії. Тоді
.
Відповідь
Приклад 3
Знайти похідну від синуса в кубі:
y = sin 3 x.
Похідні вищих порядків
Зауважимо, що похідну від sin xпершого порядку можна виразити через синус наступним чином:
.
Знайдемо похідну другого порядку, використовуючи формулу похідної складної функції:
.
Тут.
Тепер ми можемо помітити, що диференціювання sin xпризводить до збільшення його аргументу на . Тоді похідна n-го порядку має вигляд:
(5)
.
Доведемо це, застосовуючи метод математичної індукції.
Ми вже перевірили, що при формула (5) справедлива.
Припустимо, що формула (5) справедлива за деякого значення . Доведемо, що з цього випливає, що формула (5) виконується для .
Випишемо формулу (5) при:
.
Диференціюємо це рівняння, застосовуючи правило диференціювання складної функції:
.
Тут.
Отже, ми знайшли:
.
Якщо підставити , то ця формула набуде вигляду (5).
Формулу доведено.
