Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтесь з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запитане надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно або доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтесь з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запитане надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно або доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Розв'язання логарифмічних рівнянь. Частина 1

Логарифмічним рівняннямназивається рівняння, у якому невідоме міститься під знаком логарифму (зокрема, на підставі логарифму).

Найпростіше логарифмічне рівняннямає вигляд:

Рішення будь-якого логарифмічного рівнянняпередбачає перехід від логарифмів до виразів, які стоять під знаком логарифмів. Однак ця дія розширює область допустимих значень рівняння та може призвести до появи сторонніх коренів. Щоб уникнути появи сторонніх коренів, можна вчинити одним із трьох способів:

1. Зробити рівносильний перехідвід вихідного рівняння до системи, що включає

в залежності від того, яка нерівність чи простіше.

Якщо рівняння містить невідоме на підставі логарифму:

то ми переходимо до системи:

2. Окремо знайти область допустимих значень рівнянняпотім вирішити рівняння і перевірити, чи задовольняють знайдені рішення рівняння.

3. Розв'язати рівняння, а потім зробити перевірку:підставити знайдені рішення у вихідне рівняння, і перевірити, чи отримаємо ми правильну рівність.

Логарифмічне рівняння будь-якого рівня складності зрештою завжди зводиться до найпростішого логарифмічного рівняння.

Всі логарифмічні рівняння можна умовно поділити на чотири типи:

1 . Рівняння, які містять логарифми лише першою мірою. Вони за допомогою перетворень та використання приводяться до вигляду

приклад. Розв'яжемо рівняння:

Прирівняємо вирази, що стоять під знаком логарифму:

Перевіримо, чи задовольняє наш корінь рівняння:

Так, задовольняє.

Відповідь: х = 5

2 . Рівняння, що містять логарифми в ступені, відмінному від 1 (зокрема, у знаменнику дробу). Такі рівняння вирішуються за допомогою введення заміни змінної.

приклад.Розв'яжемо рівняння:

Знайдемо ОДЗ рівняння:

Рівняння містить логарифми у квадраті, тому вирішується за допомогою заміни змінної.

Важливо! Перш ніж вводити заміну, потрібно "розтягти" логарифми, що входять до складу рівняння на "цеглинки", використовуючи властивості логарифмів.

При "розтягуванні" логарифмів важливо дуже акуратно застосовувати властивості логарифмів:

Крім того, тут є ще одне тонке місце, і щоб уникнути поширеної помилки, скористаємося проміжною рівністю: запишемо ступінь логарифму в такому вигляді:

Аналогічно,

Підставимо отримані вирази у вихідне рівняння. Отримаємо:

Тепер бачимо, що невідоме міститься у рівнянні у складі . Введемо заміну: . Так як може набувати будь-якого дійсного значення, на змінну ми ніяких обмежень не накладаємо.

Логарифмічні рівняння. Від простого – до складного.

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")

Що таке логарифмічне рівняння?

Це рівняння із логарифмами. Ось здивував, так?) Тоді уточню. Це рівняння, в якому невідомі (ікси) та вирази з ними знаходяться всередині логарифмів.І лише там! Це важливо.

Ось вам приклади логарифмічних рівнянь:

log 3 х = log 3 9

log 3 (х 2 -3) = log 3 (2х)

log х +1 (х 2 +3х-7) = 2

lg 2 (x+1)+10 = 11lg(x+1)

Ну, ви зрозуміли... )

Зверніть увагу! Найрізноманітніші вирази з іксами розташовуються виключно усередині логарифмів.Якщо, раптом, у рівнянні виявиться ікс десь зовні, наприклад:

log 2 х = 3+х,

це вже рівняння змішаного типу. Такі рівняння немає чітких правил решения. Ми їх поки що розглядати не будемо. До речі, трапляються рівняння, де всередині логарифмів тільки числа. Наприклад:

Що тут сказати? Пощастило вам, якщо таке трапилося! Логарифм з числами – це якесь число.І все. Достатньо знати властивості логарифмів, щоби вирішити таке рівняння. Знання спеціальних правил, прийомів, пристосованих саме для вирішення логарифмічних рівнянь,тут не потрібно.

Отже, що таке логарифмічне рівняння- Розібралися.

Як розв'язувати логарифмічні рівняння?

Рішення логарифмічних рівнянь- Штука, взагалі-то, не дуже проста. Так і розділ у нас - на четвірку... Потрібний пристойний запас знань з будь-яких суміжних тем. Крім того, існує у цих рівняннях особлива фішка. І фішка це настільки важлива, що її сміливо можна назвати головною проблемою у вирішенні логарифмічних рівнянь. Ми з цією проблемою у наступному уроці детально розберемося.

А зараз – не хвилюйтеся. Ми підемо правильним шляхом, від простого до складного.на конкретних прикладах. Головне, вникайте у прості речі і не лінуйтеся ходити за посиланнями, я їх не просто так поставив... І все у вас вийде. Обов'язково.

Почнемо з найпростіших рівнянь. Для їх вирішення бажано мати уявлення про логарифм, але не більше. Просто без поняття логарифма,братися за рішення логарифмічнихрівнянь - якось і ніяково навіть... Дуже сміливо, я б сказав).

Найпростіші логарифмічні рівняння.

Це рівняння виду:

1. log 3 x = log 3 9

2. log 7 (2х-3) = log 7 х

3. log 7 (50х-1) = 2

Процес вирішення будь-якого логарифмічного рівнянняполягає у переході від рівняння з логарифмами до рівняння без них. У найпростіших рівняннях цей перехід здійснюється за один крок. Тому і найпростіші.)

І вирішуються такі логарифмічні рівняння напрочуд просто. Дивіться самі.

Вирішуємо перший приклад:

log 3 х = log 3 9

Для вирішення цього прикладу майже нічого знати і не треба, так... Чисто інтуїція! особливоне подобається у цьому прикладі? Що-що... Логарифми не подобаються! Правильно. От і позбудемося їх. Уважно дивимося на приклад, і у нас виникає природне бажання... Прямо-таки непереборне! Взяти та викинути логарифми взагалі. І, що тішить, це можназробити! Математика дозволяє. Логарифми зникають,виходить відповідь:

Здорово, правда? Так можна (і треба) робити завжди. Ліквідація логарифмів подібним чином - один із основних способів розв'язання логарифмічних рівнянь та нерівностей. У математиці ця операція називається потенціювання.Є, звісно, ​​свої правила на таку ліквідацію, але їх замало. Запам'ятовуємо:

Ліквідувати логарифми без жодних побоювань можна, якщо вони:

а) однакові числові підстави

в) логарифми зліва-право чисті (без будь-яких коефіцієнтів) і перебувають у гордій самоті.

Поясню останній пункт. У рівнянні, скажімо,

log 3 х = 2log 3 (3х-1)

прибирати логарифми не можна. Двійка справа не дозволяє. Коефіцієнт, розумієш... У прикладі

log 3 х+log 3 (х+1) = log 3 (3+х)

теж не можна потенціювати рівняння. У лівій частині немає самотнього логарифму. Їх там два.

Коротше, прибирати логарифми можна, якщо рівняння виглядає так і тільки так:

log а (.....) = log а (.....)

У дужках, де багатокрапка, можуть бути які завгодно висловлювання.Прості, суперскладні, усілякі. Які завгодно. Важливо, що після ліквідації логарифмів у нас залишається Найпростіше рівняння.Передбачається, звичайно, що вирішувати лінійні, квадратні, дробові, показові та інші рівняння без логарифмів ви вже вмієте.

Тепер легко можна вирішити другий приклад:

log 7 (2х-3) = log 7 х

Власне, в голові вирішується. Потенціюємо, отримуємо:

Ну що, дуже складно?) Як бачите, логарифмічначастина рішення рівняння полягає тільки у ліквідації логарифмів.А далі йде рішення рівняння, що залишилося, вже без них. Пустельна справа.

Вирішуємо третій приклад:

log 7 (50х-1) = 2

Бачимо, що зліва стоїть логарифм:

Згадуємо, що це логарифм - якесь число, у якому треба звести основу (тобто. сім), щоб отримати подлогарифмное вираз, тобто. (50х-1).

Але це число одно двом! За рівнянням. Отже:

Ось по суті, і все. Логарифм зник,залишилося невинне рівняння:

Ми вирішили це логарифмічне рівняння, виходячи тільки з сенсу логарифму. Що, ліквідувати логарифми таки простіше?) Згоден. До речі, якщо з двійки логарифм зробити, можна цей приклад і через ліквідацію вирішити. З будь-якого числа можна зробити логарифм. Причому такий, який нам треба. Дуже корисний прийом у розв'язанні логарифмічних рівнянь та (особливо!) нерівностей.

Чи не вмієте з числа логарифм робити!? Нічого не страшного. У розділі 555 цей прийом докладно описано. Можете освоїти та застосовувати його на повну котушку! Він дуже зменшує кількість помилок.

Абсолютно аналогічно (за визначенням) вирішується і четверте рівняння:

Ось і всі справи.

Підіб'ємо підсумки цього уроку. Ми розглянули на прикладах вирішення найпростіших логарифмічних рівнянь. Це дуже важливо. І не лише тому, що такі рівняння бувають на контрольних-іспитах. Справа в тому, що навіть найзліші та заморочені рівняння обов'язково зводяться до найпростіших!

Власне, найпростіші рівняння – це фінішна частина рішення будь-якихрівнянь. І цю фінішну частину треба розуміти залізно! І ще. Обов'язково дочитайте цю сторінку до кінця. Є там сюрприз...)

Вирішуємо тепер самостійно. Набиваємо руку, так би мовити...)

Знайти корінь (або суму коренів, якщо їх кілька) рівнянь:

ln(7х+2) = ln(5х+20)

log 2 (х 2 +32) = log 2 (12x)

log 16 (0,5х-1,5) = 0,25

log 0,2 (3х-1) = -3

ln(е 2 +2х-3) = 2

log 2 (14х) = log 2 7 + 2

Відповіді (безладно, зрозуміло): 42; 12; 9; 25; 7; 1,5; 2; 16.

Що, не все виходить? Буває. Не журіться! У розділі 555 рішення всіх цих прикладів розписано зрозуміло та докладно. Там точно розберетеся. Та ще й корисні практичні прийоми освоїте.

Все вийшло! Усі приклади "однієї лівої"?) Вітаю!

Настав час відкрити вам гірку правду. Успішне вирішення цих прикладів зовсім не гарантує успіх у вирішенні решти всіх логарифмічних рівнянь. Навіть найпростіших, подібних до цих. На жаль.

Річ у тім, що рішення будь-якого логарифмічного рівняння (навіть найпростішого!) складається з двох рівноцінних елементів.Рішення рівняння та робота з ОДЗ. Одну частину – рішення самого рівняння – ми освоїли. Не так вже й важко,вірно?

Для цього уроку я спеціально підібрав такі приклади, в яких ОДЗ на відповіді ніяк не позначається. Але не всі такі добрі, як я, правда?

Тому треба обов'язково освоїти й іншу частину. ОДЗ. Це і є головна проблема у вирішенні логарифмічних рівнянь. І не тому, що важка – ця частина ще простіше за першу. А тому, що про ОДЗ просто забувають. Або не знають. Або і те, й інше). І падають на рівному місці...

У наступному уроці ми розправимося з цією проблемою. Ось тоді можна буде впевнено вирішувати будь-якінескладні логарифмічні рівняння та підбиратися до цілком солідних завдань.

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

З рівняннями ми всі знайомі з початкових класів. Ще там ми вчилися вирішувати найпростіші приклади і треба визнати, що вони знаходять своє застосування навіть у вищій математиці. З рівняннями все просто, в тому числі з квадратними. Якщо у вас проблеми з цією темою, рекомендуємо вам повторити її.

Логарифми ви, мабуть, теж уже пройшли. Тим не менш, вважаємо за важливе розповісти, що це для тих, хто ще не знає. Логарифм прирівнюється до ступеня, в який потрібно звести основу, щоб вийшло число, яке стоїть праворуч від знака логарифму. Наведемо приклад, виходячи з якого вам все стане ясно.

Якщо ви зведете 3 в четвертий ступінь вийде 81. Тепер підставте за аналогією числа, і остаточно зрозумієте, як вирішуються логарифми. Тепер залишилося лише поєднати два розглянуті поняття. Спочатку ситуація видається надзвичайно складною, але при найближчому розгляді ваги стає на свої місця. Ми впевнені, що після цієї короткої статті у вас не буде проблем у цій частині ЄДІ.

Сьогодні виділяють безліч способів вирішення подібних конструкцій. Ми розповімо про найпростіші, ефективніші та найбільш застосовні у разі завдань ЄДІ. Рішення логарифмічних рівнянь має починатися із найпростішого прикладу. Найпростіші логарифмічні рівняння складаються з функції та однієї змінної у ній.

Важливо врахувати, що x є всередині аргументу. A та b повинні бути числами. У такому разі ви можете просто висловити функцію через число в мірі. Виглядає це в такий спосіб.

Зрозуміло, рішення логарифмічного рівняння таким методом призведе до правильної відповіді. Ніг проблема переважної більшості учнів у тому випадку полягає в тому, що вони не розуміють, що і звідки береться. В результаті доводиться миритися з помилками та не отримувати бажаних балів. Найприкрішою помилкою буде, якщо ви переплутаєте літери місцями. Щоб розв'язати рівняння у такий спосіб, потрібно зазубрити цю стандартну шкільну формулу, бо зрозуміти її складно.

Щоб було простіше, можна вдатися до іншого способу – канонічної форми. Ідея вкрай проста. Знову зверніть увагу на завдання. Пам'ятайте, що a – число, а не функція або змінна. А не одно одному і більше нуля. На b жодних обмежень діє. Тепер із усіх формул згадуємо одну. B можна виразити в такий спосіб.

З цього випливає, що всі вихідні рівняння з логарифмами можна подати у вигляді:

Тепер ми можемо відкинути логарифми. Вийде проста конструкція, яку ми вже бачили раніше.

Зручність даної формули полягає в тому, що її можна застосовувати в різних випадках, а не тільки для найпростіших конструкцій.

Не хвилюйтеся щодо ООФ!

Багато досвідчені математики помітять, що ми не приділили уваги області визначення. Зводиться правило до того, що F(x) обов'язково більше 0. Ні, ми не пропустили цей момент. Зараз ми говоримо про ще одну серйозну перевагу канонічної форми.

Зайвого коріння тут не виникне. Якщо змінна зустрічатиметься лише одному місці, то область визначення перестав бути необхідністю. Вона виконується автоматично. Щоб переконатися в цій думці, займіться розв'язанням кількох простих прикладів.

Як вирішувати логарифмічні рівняння з різними підставами

Це вже складні логарифмічні рівняння, і підхід до їх вирішення має бути особливим. Тут рідко виходить обмежитися горезвісною канонічною формою. Почнемо нашу докладну розповідь. Ми маємо таку конструкцію.

Зверніть увагу на дріб. У ній є логарифм. Якщо ви побачите таке завдання, варто згадати один цікавий прийом.

Що це означає? Кожен логарифм можна подати у вигляді приватного двох логарифмів зі зручною основою. І в даної формули є окремий випадок, який застосовується з цим прикладом (маємо на увазі, якщо c = b).

Саме такий дріб ми й бачимо у нашому прикладі. Таким чином.

По суті, перевернули дріб і набули більш зручного виразу. Запам'ятайте цей алгоритм!

Тепер потрібно, що логарифмічне рівняння не мало різних підстав. Уявімо основу дробом.

У математиці є правило, виходячи з якого, можна винести ступінь із основи. Виходить така конструкція.

Здавалося б, що заважає тепер перетворити наш вираз на канонічну форму та елементарно вирішити її? Не все так просто. Дробів перед логарифмом не повинно бути. Виправляємо цю ситуацію! Дріб дозволяється виносити як ступінь.

Відповідно.

Якщо підстави однакові, ми можемо усунути логарифми і прирівняти самі вирази. Так ситуація стане в рази простішою, ніж була. Залишиться елементарне рівняння, яке кожен із нас умів вирішувати ще у 8 або навіть у 7 класі. Розрахунки ви зможете зробити самі.

Ми отримали єдино правильне коріння цього логарифмічного рівняння. Приклади розв'язання логарифмічного рівняння досить прості, чи не так? Тепер і у вас вдасться самостійно розібратися навіть із найскладнішими завданнями для підготовки та здачі ЄДІ.

Що зрештою?

У випадку будь-яких логарифмічних рівнянь ми виходимо з одного дуже важливого правила. Необхідно діяти так, щоб навести вираз до максимально простого вигляду. У такому разі у вас буде більше шансів не просто вирішити завдання правильно, але ще й зробити це максимально простим та логічним шляхом. Саме так завжди діють математики.

Настійно не рекомендуємо шукати складних шляхів, особливо в цьому випадку. Запам'ятайте кілька простих правил, які дозволять перетворити будь-який вираз. Наприклад, привести два або три логарифми до однієї основи або вивести ступінь із основи і виграти на цьому.

Також варто пам'ятати, що у вирішенні логарифмічних рівнянь необхідно постійно тренуватися. Поступово ви переходите до все більш складних конструкцій, а це призведе вас до впевненого вирішення всіх варіантів завдань на ЄДІ. Готуйтеся до іспитів завчасно, та й удачі вам!