На цьому відеоуроці до вивчення пропонується тема Функція y = x 2 . Графічне розв'язання рівнянь». У ході цього заняття учні зможуть познайомитися з новим способом розв'язання рівнянь - графічним, який ґрунтується на знанні властивостей графіків функцій. Вчитель покаже, як вирішити графічним способом функцію y=x 2 .

Тема:Функція

Урок:Функція. Графічне вирішення рівнянь

Графічне розв'язання рівнянь ґрунтується на знанні графіків функцій та їх властивостей. Перерахуємо функції, графіки яких ми знаємо:

1) графіком є ​​пряма лінія, паралельна осі абсцис, що проходить через точку на осі ординат. Розглянемо приклад: у = 1:

За різних значень ми отримуємо сімейство прямих паралельних осі абсцис.

2) Функція прямої пропорційності графік цієї функції - це пряма, яка проходить через початок координат. Розглянемо приклад:

Дані графіки ми вже будували в попередніх уроках, нагадаємо, що для побудови кожної прямої потрібно вибрати точку, яка задовольняє їй, а другою точкою взяти початок координат.

Нагадаємо роль коефіцієнта k: при функція зростає, кут між прямим і позитивним напрямком осі х гострий; при функція зменшується, кут між прямим і позитивним напрямком осі х тупою. Крім того, між двома параметрами k одного знака існує таке співвідношення: при позитивних k чим він більший, тим швидше функція зростає, а при негативних - функція швидше зменшується при великих значеннях k по модулю.

3) Лінійна функція. При - одержуємо точку перетину з віссю ординат і всі прямі такого виду проходять через точку (0; m). Крім того, при функція зростає, кут між прямим і позитивним напрямом осі х гострий; при функція зменшується, кут між прямим і позитивним напрямком осі х тупою. І звичайно величина k впливає швидкість зміни значення функції.

4). Графіком цієї функції є парабола.

Розглянемо приклади.

Приклад 1 - графічно розв'язати рівняння:

Функції такого виду ми не знаємо, тому потрібно перетворити задане рівняння, щоб працювати з відомими функціями:

Ми отримали в обох частинах рівняння знайомі функції:

Побудуємо графіки функцій:

Графіки мають дві точки перетину: (-1; 1); (2; 4)

Перевіримо, чи правильно знайдено рішення, підставимо координати до рівняння:

Першу точку знайдено правильно.

, , , , , ,

Другу точку також знайдено правильно.

Отже, рішеннями рівняння є і

Поступаємо аналогічно до попереднього прикладу: перетворимо задане рівняння до відомих нам функцій, побудуємо їх графіки, знайдемо струми перетину і звідси вкажемо рішення.

Отримуємо дві функції:

Побудуємо графіки:

Дані графіки немає точок перетину, отже задане рівняння немає рішень

Висновок: у цьому уроці ми провели огляд відомих нам функцій та його графіків, згадали їх властивості і розглянули графічний спосіб розв'язання рівнянь.

1. Дорофєєв Г.В., Суворова С.Б., Бунімович Є.А. та ін Алгебра 7. 6 видання. М: Просвітництво. 2010 р.

2. Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С. Алгебра 7. М: ВЕНТАНА-ГРАФ

3. Колягін Ю.М., Ткачова М.В., Федорова Н.Є. та ін Алгебра 7. М.: Просвітництво. 2006 р.

Завдання 1: Макарічев Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І. та ін Алгебра 7, № 494, ст.110;

Завдання 2: Макарічев Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І. та ін Алгебра 7, № 495, ст.110;

Завдання 3: Макарічев Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І. та ін Алгебра 7, № 496, ст.110;

Графічне вирішення рівнянь

Розквіт, 2009

Вступ

Необхідність вирішувати квадратні рівняння ще в давнину була викликана потребою вирішувати завдання, пов'язані зі знаходженням площ земельних ділянок та із земляними роботами військового характеру, а також з розвитком астрономії та самої математики. Квадратні рівняння вавілоняни вміли вирішувати ще близько 2000 років до н. Правило розв'язання цих рівнянь, викладене у Вавилонських текстах, збігається сутнісно із сучасними, проте невідомо, як дійшли вавилоняни до цього правила.

Формули розв'язання квадратних рівнянь у Європі були вперше викладені у «Книзі абака», написаній у 1202 році італійським математиком Леонардо Фібоначчі. Його книга сприяла поширенню знань алгебри не тільки в Італії, а й Німеччині, Франції та інших країнах Європи.

Але загальне правило розв'язання квадратних рівнянь, при всіляких комбінаціях коефіцієнтів b і c було сформульовано у Європі лише 1544 року М. Штифелем.

У 1591 році Франсуа Вієт ввів формули для розв'язання квадратних рівнянь.

У стародавньому Вавилоні могли вирішити деякі види квадратних рівнянь.

Діофант Олександрійський і Евклід, Аль-Хорезміі Омар Хайямвирішували рівняння геометричними та графічними способами.

У 7 класі ми вивчали функції у = С, у =kx, у =kx+ m, у =x 2,у = -x 2, у 8 класі – у = √x, у =|x|, у =ax2 + bx+ c, у =k/ x. У підручнику алгебри 9 класу я побачила ще не відомі мені функції: у =x 3, у =x 4,у =x 2n, у =x- 2n, у = 3√x, (x– a) 2 + (у –b) 2 = r 2 та інші. Існують правила побудови графіків цих функцій. Мені стало цікаво, чи є ще функції, що підкоряються цим правилам.

Моя робота полягає у дослідженні графіків функцій та графічному вирішенні рівнянь.

1. Які бувають функції

Графік функції – це безліч усіх точок координатної площини, абсциси яких дорівнюють значенням аргументів, а ординати – відповідним значенням функції.

Лінійна функція задається рівнянням у =kx+ b, де kі b- Деякі числа. Графік цієї функції є пряма.

Функція зворотної пропорційності у =k/ xде k ¹ 0. Графік цієї функції називається гіперболою.

Функція (x– a) 2 + (у –b) 2 = r2 , де а, bі r- Деякі числа. Графіком цієї функції є коло радіусу r із центром у т. а ( а, b).

Квадратична функція y= ax2 + bx+ cде а,b, з– деякі числа та а¹ 0. Графіком цієї функції є парабола.

Рівняння у2 (a– x) = x2 (a+ x) . Графіком цього рівняння буде крива, яка називається строфоїдою.

/>Рівняння (x2 + y2 ) 2 = a(x2 – y2 ) . Графік цього рівняння називається лемніскатою Бернуллі.

Рівняння. Графік цього рівняння називається астроідою.

Крива (x2 y2 - 2 a x)2 =4 a2 (x2 + y2 ) . Ця крива називається кардіоїдою.

Функції: у =x 3 – кубічна парабола, у =x 4, у = 1/x 2.

2. Поняття рівняння, його графічного розв'язання

Рівняння- Вираз, що містить змінну.

Розв'язати рівняння- Це означає знайти все його коріння, або довести, що їх немає.

Корінь рівняння- Це число, при підстановці якого в рівняння виходить вірна числова рівність.

Розв'язання рівнянь графічним способомдозволяє знайти точне чи наближене значення коренів, дозволяє знайти кількість коренів рівняння.

При побудові графіків та розв'язанні рівнянь використовуються властивості функції, тому метод частіше називають функціонально-графічним.

Для вирішення рівняння «ділимо» на дві частини, вводимо дві функції, будуємо їх графіки, знаходимо координати точок перетину графіків. Абсциси цих точок і є корінням рівняння.

3. Алгоритм побудови графіка функції

Знаючи графік функції у =f(x) , можна побудувати графіки функцій у =f(x+ m) ,у =f(x)+ lі у =f(x+ m)+ l. Всі ці графіки виходять із графіка функції у =f(x) за допомогою перетворення паралельного перенесення: на │ m│ одиниць масштабу вправо або вліво вздовж осі x і на │ l│ одиниць масштабу вгору або вниз вздовж осі y.

4. Графічне розв'язання квадратного рівняння

Приклад квадратичної функції ми розглянемо графічне рішення квадратного рівняння. Графіком квадратичної функції парабола.

Що знали про параболі стародавні греки?

Сучасна математична символіка виникла у 16 ​​столітті.

У давньогрецьких математиків ні координатного методу, ні поняття функції не було. Проте властивості параболи були вивчені ними докладно. Винахідливість античних математиків просто вражає уяву, адже вони могли використовувати лише креслення та словесні описи залежностей.

Найбільш повно досліджував параболу, гіперболу та еліпс Аполоній Пергський, який жив у 3 столітті до н. Він же дав цим кривим назви і вказав, яким умовам задовольняють точки, що лежать на тій чи іншій кривій (адже формул не було!).

Існує алгоритм побудови параболи:

Знаходимо координати вершини параболи А (х0; у0): х=- b/2 a;

y0=ахо2+вх0+с;

Знаходимо вісь симетрії параболи (пряма х = х0);

PAGE_BREAK--

Складаємо таблицю значень для побудови контрольних точок;

Будуємо отримані точки і побудуємо точки їм симетричні щодо осі симетрії.

1. За алгоритмом збудуємо параболу y= x2 – 2 x– 3 . Абсциси точок перетину з віссю xі є коріння квадратного рівняння x2 – 2 x– 3 = 0.

Існує п'ять способів графічного розв'язання цього рівняння.

2. Розіб'ємо рівняння на дві функції: y= x2 і y= 2 x+ 3

3. Розіб'ємо рівняння на дві функції: y= x2 –3 і y=2 x. Коріння рівняння – абсциси точок перетину параболи із прямою.

4. Перетворимо рівняння x2 – 2 x– 3 = 0 за допомогою виділення повного квадрата на функції: y= (x–1) 2 і y=4. Коріння рівняння – абсциси точок перетину параболи із прямою.

5. Розділимо почленно обидві частини рівняння x2 – 2 x– 3 = 0 на x, отримаємо x– 2 – 3/ x= 0 , Розіб'ємо дане рівняння на дві функції: y= x– 2, y= 3/ x. Коріння рівняння – абсциси точок перетину прямої та гіперболи.

5. Графічне вирішення рівнянь ступеняn

приклад 1.Розв'язати рівняння x5 = 3 – 2 x.

y= x5 , y= 3 – 2 x.

Відповідь: x = 1.

приклад 2.Розв'язати рівняння 3 √ x= 10 – x.

Корінням цього рівняння є абсциса точки перетину графіків двох функцій: y= 3 √ x, y= 10 – x.

Відповідь: x = 8.

Висновок

Розглянувши графіки функцій: у =ax2 + bx+ c, у =k/ x, у = √x, у =|x|, у =x 3, у =x 4,у = 3√x, я помітила, що всі ці графіки будуються за правилом паралельного перенесення щодо осей xі y.

Приклад рішення квадратного рівняння можна зробити висновки, що графічний спосіб застосовний і для рівнянь ступеня n.

Графічні способи розв'язання рівнянь красиві та зрозумілі, але не дають стовідсоткової гарантії розв'язання будь-якого рівняння. Абсциси точок перетину графіків можуть бути наближеними.

У 9 класі і в старших класах я ще знайомитимуся з іншими функціями. Мені цікаво знати: чи підпорядковуються ті функції правилам паралельного перенесення при побудові їх графіків.

Наступного року мені також хочеться розглянути питання графічного вирішення систем рівнянь і нерівностей.

Література

1. Алгебра. 7 клас. Ч. 1. Підручник для загальноосвітніх установ/А.Г. Мордкович. М: Мнемозіна, 2007.

2. Алгебра. 8 клас. Ч. 1. Підручник для загальноосвітніх установ/А.Г. Мордкович. М: Мнемозіна, 2007.

3. Алгебра. 9 клас. Ч. 1. Підручник для загальноосвітніх установ/А.Г. Мордкович. М: Мнемозіна, 2007.

4. Глейзер Г.І. Історія математики у школі. VII-VIII класи. - М.: Просвітництво, 1982.

5. Журнал Математика №5 2009; №8 2007; №23 2008.

6. Графічне вирішення рівнянь сайти в Інтернеті: Тол ВІКІ; stimul.biz/ru; wiki.iot.ru/images; berdsk.edu; pege 3-6.htm.

>>Математика: Графічне вирішення рівнянь

Графічне вирішення рівнянь

Підсумуємо наші знання про графікахфункцій. Ми з вами навчилися будувати графіки наступних функцій:

у = b (пряму, паралельну осі х);

y = kx (пряму, яка проходить через початок координат);

y – kx + m (пряму);

у = х 2 (параболу).

Знання цих графіків дозволить нам у разі потреби замінити аналітичну модельгеометричної (графічної), наприклад, замість моделі у = х 2 (яка являє собою рівність з двома змінними х та у) розглядати параболу в координатній площині. Зокрема це іноді корисно для вирішення рівнянь. Як це робиться, обговоримо на кількох прикладах.

А. В. Погорєлов, Геометрія для 7-11 класів, Підручник для загальноосвітніх установ

Зміст уроку конспект урокуопорний каркас презентація уроку акселеративні методи інтерактивні технології Практика завдання та вправи самоперевірка практикуми, тренінги, кейси, квести домашні завдання риторичні питання від учнів Ілюстрації аудіо-, відеокліпи та мультимедіафотографії, картинки графіки, таблиці, схеми гумор, анекдоти, приколи, комікси притчі, приказки, кросворди, цитати Доповнення рефератистатті фішки для допитливих шпаргалки підручники основні та додаткові словник термінів інші Вдосконалення підручників та уроківвиправлення помилок у підручникуоновлення фрагмента у підручнику елементи новаторства на уроці заміна застарілих знань новими Тільки для вчителів ідеальні урокикалендарний план на рік методичні рекомендації програми обговорення Інтегровані уроки

Якщо ви хочете навчитися плавати, то сміливо входите у воду, а якщо хочете навчитися вирішувати завдання – вирішуйте їх.

Д. Пойа

Рівняння– це рівність, що містить одне чи кілька невідомих, за умови, що ставиться завдання знаходження тих значень невідомих, котрим воно істинно.

Розв'язати рівняння- Це означає знайти всі значення невідомих, при яких воно звертається у вірну числову рівність, або встановити, що таких значень немає.

Область допустимих значеньрівняння (О.Д.З.)- Це безліч всіх тих значень змінної (змінних), при яких визначені всі вирази, що входять до рівняння.

Багато рівнянь, поданих у ЄДІ, вирішуються стандартними методами. Але ніхто не забороняє використовувати щось незвичайне, навіть у найпростіших випадках.

Так, наприклад, розглянемо рівняння 3 – x 2 = 6 / (2 – x).

Вирішимо його графічно, а потім знайдемо збільшене в шість разів середнє арифметичне його коріння.

Для цього розглянемо функції y = 3 – x 2і y = 6 / (2 - x)та побудуємо їх графіки.

Функція y = 3 – х 2 – квадратична.

Перепишемо цю функцію у вигляді y = -x 2 + 3. Її графіком є ​​парабола, гілки якої спрямовані вниз (бо a = -1< 0).

Вершина параболи буде зміщена по осі ординат на 3 одиниці вгору. Таким чином, координата вершини (0; 3).

Щоб знайти координати точок перетину параболи з віссю абсцис, прирівняємо цю функцію до нуля і вирішимо отримане рівняння:

Таким чином, у точках з координатами (√3; 0) та (-√3; 0) парабола перетинає вісь абсцис (рис. 1).

Графіком функції y = 6/(2 – x) є гіпербола.

Графік цієї функції можна побудувати за допомогою таких перетворень:

1) y = 6/x – зворотна пропорційність. Графік функції – гіпербола. Її можна побудувати за точками, для цього складемо таблицю значень для x та y:

x | -6 | -3 | -2 | -1 | 1 | 2 | 3 | 6 |

y | -1 | -2 | -3 | -6 | 6 | 3 | 2 | 1 |

2) y = 6 / (-x) – графік функції, отриманої у пункті 1, симетрично відображаємо щодо осі ординат (рис. 3).

3) y = 6 / (-x + 2) – зрушуємо графік, отриманий у пункті 2, по осі абсцис на дві одиниці вправо (рис. 4).

Тепер зобразимо графіки функцій y = 3 – x 2 та y = 6 / (2 – x) в одній системі координат (рис. 5).

На малюнку видно, що графіки перетинаються у трьох точках.

Важливо розуміти, що графічний спосіб рішення дозволяє знайти точне значення кореня. Отже, числа –1; 0; 3 (абсциси точок перетину графіків функцій) є поки що передбачуваним корінням рівняння.

За допомогою перевірки переконаємось, що числа -1; 0; 3 – справді коріння вихідного рівняння:

Корінь -1:

3 – 1 = 6 / (2 – (-1));

3 – 0 = 6 / (2 – 0);

3 – 9 = 6 / (2 – 3);

Їхнє середнє арифметичне:

(-1 + 0 + 3) / 3 = 2/3.

Збільшимо його у шість разів: 6 · 2/3 = 4.

Дане рівняння, звичайно ж, можна вирішити і більш звичним способом - алгебраїчним.

Отже, знайти збільшене у шість разів середнє арифметичне коріння рівняння 3 – x 2 = 6 / (2 - x).

Почнемо рішення рівняння з пошуку О.Д.З. У знаменнику дробу не повинен виходити нуль, тому:

Щоб вирішити рівняння, скористаємося основною властивістю пропорції, це дозволить позбутися дробу.

(3 – x 2) (2 - x) = 6.

Розкриємо дужки і наведемо такі складові:

6 - 3x – 2x2+x3=6;

x 3 – 2x 2 - 3x = 0.

Винесемо загальний множник за дужки:

x(x 2 – 2x - 3) = 0.

Скористаємося тим, що добуток дорівнює нулю лише тоді, коли хоча б один із множників дорівнює нулю, тому маємо:

x = 0 або x 2 – 2x - 3 = 0.

Розв'яжемо друге рівняння.

x 2 – 2x - 3 = 0. Воно квадратне, тому скористаємося дискримінантом.

D = 4 – 4 · (-3) = 16;

x 1 = (2 + 4) / 2 = 3;

x 2 = (2 – 4) / 2 = -1.

Усі три отриманих кореня задовольняють О.Д.З.

Тому знайдемо їхнє середнє арифметичне і збільшимо його у шість разів:

6 · (-1 + 3 + 0) / 3 = 4.

Насправді графічний спосіб розв'язання рівнянь застосовується досить рідко. Це з тим, що графічне уявлення функцій дозволяє вирішувати рівняння лише наближено. В основному цей метод використовують у тих завданнях, де важливий пошук не самого коріння рівняння – їх чисельних значень, а лише їх кількості.

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Одним із способів розв'язання рівнянь є графічний спосіб. Він заснований на побудові графіків функції та визначення точок їх перетину. Розглянемо графічний спосіб розв'язання квадратного рівняння a*x^2+b*x+c=0.

Перший спосіб вирішення

Перетворимо рівняння a*x^2+b*x+c=0 на вигляд a*x^2 =-b*x-c. Будуємо графіки двох функцій y=a*x^2 (парабола) та y=-b*x-c (пряма). Шукаємо точки перетину. Абсциси точок перетину і будуть рішенням рівняння.

Покажемо на прикладі:розв'язати рівняння x^2-2*x-3=0.

Перетворимо його на x^2 =2*x+3. Будуємо в одній системі координат графіки функції y=x^2 та y=2*x+3.

Графіки перетинаються у двох точках. Їхні абсциси будуть корінням нашого рівняння.

Рішення за формулою

Для переконливості перевіримо це рішення аналітичним шляхом. Розв'яжемо квадратне рівняння за формулою:

D = 4-4 * 1 * (-3) = 16.

X1 = (2 +4) / 2 * 1 = 3.

X2 = (2-4) / 2 * 1 = -1.

Значить, рішення збігаються.

Графічний спосіб розв'язання рівнянь має свій недолік, з допомогою нього який завжди можна отримати точне рішення рівняння. Спробуємо розв'язати рівняння x 2 = 3 + x.

Побудуємо в одній системі координат параболу y=x^2 і пряму y=3+x.

Знову отримали схожий малюнок. Пряма та парабола перетинаються у двох точках. Але точні значення абсцис цих точок ми сказати не можемо, тільки наближені: x-1,3 x-2,3.

Якщо нас влаштовують відповіді такої точності, можна скористатися цим методом, але таке буває рідко. Зазвичай потрібні точні рішення. Тому графічний спосіб використовують рідко, і переважно перевірки вже наявних рішень.

Потрібна допомога у навчанні?

Попередня тема: