Обчислити площу фігури обмеженою колами онлайн калькулятор. Знаходження площі фігури, обмеженої лініями y=f(x), x=g(y)

Переходимо до розгляду додатків інтегрального обчислення. На цьому уроці ми розберемо типове та найбільш поширене завдання обчислення площі плоскої фігури за допомогою певного інтегралу. Нарешті всі, хто шукає сенс у вищій математиці, - нехай знайдуть його. Мало. Доведеться ось у житті наближати дачну ділянку елементарними функціями і знаходити її площу за допомогою певного інтегралу.

Для успішного освоєння матеріалу необхідно:

1) Розбиратися у невизначеному інтегралі хоча б на середньому рівні. Таким чином, чайникам для початку слід ознайомитись з уроком Не.

2) Вміти застосовувати формулу Ньютона-Лейбніца та обчислювати певний інтеграл. Налагодити теплі дружні стосунки із певними інтегралами можна на сторінці Певний інтеграл. Приклади рішень. Завдання «обчислити площу за допомогою певного інтегралу» завжди передбачає побудову кресленняТому актуальним питанням будуть також ваші знання та навички побудови креслень. Як мінімум, треба вміти будувати пряму, параболу та гіперболу.

Почнемо з криволінійної трапеції. Криволінійна трапеція - це плоска фігура, обмежена графіком деякої функції y = f(x), віссю OXта лініями x = a; x = b.

Площа криволінійної трапеції чисельно дорівнює певному інтегралу

Будь-який певний інтеграл (який існує) має дуже хороший геометричний зміст. На уроці Певний інтеграл. Приклади рішеньми говорили, що певний інтеграл це число. А зараз настав час констатувати ще один корисний факт. З погляду геометрії певний інтеграл – це ПЛОЩА. Тобто, певному інтегралу (якщо він існує) геометрично відповідає площа деякої фігури. Розглянемо певний інтеграл

Підінтегральна функція

задає на площині криву (її за бажання можна накреслити), а сам певний інтеграл чисельно дорівнює площі відповідної криволінійної трапеції.

Приклад 1

, , , .

Це типове формулювання завдання. Найважливіший момент рішення – побудова креслення. Причому креслення необхідно побудувати ПРАВИЛЬНО.

При побудові креслення я рекомендую наступний порядок: спочаткукраще побудувати всі прямі (якщо вони є) і тільки потім– параболи, гіперболи, графіки інших функцій. З технікою поточкової побудови можна ознайомитись у довідковому матеріалі Графіки та властивості елементарних функцій. Там же можна знайти дуже корисний стосовно нашого уроку матеріал – як швидко побудувати параболу.

У цій задачі рішення може виглядати так.

Виконаємо креслення (зверніть увагу, що рівняння y= 0 задає вісь OX):

Штрихувати криволінійну трапецію не будемо, тут очевидно, про яку площу йдеться. Рішення продовжується так:

На відрізку [-2; 1] графік функції y = x 2 + 2 розташований над віссюOXтому:

Відповідь: .

У кого виникли труднощі з обчисленням певного інтегралу та застосуванням формули Ньютона-Лейбніца

зверніться до лекції Певний інтеграл. Приклади рішень. Після того, як завдання виконане, завжди корисно поглянути на креслення і прикинути, чи реальна вийшла відповідь. У цьому випадку «на око» підраховуємо кількість клітинок у кресленні – ну, приблизно 9 набереться, схоже на правду. Цілком зрозуміло, що якби в нас вийшов, скажімо, відповідь: 20 квадратних одиниць, то, очевидно, що десь припущена помилка - у розглянуту фігуру 20 клітинок явно не вміщається, від сили десяток. Якщо відповідь вийшла негативною, то завдання теж вирішено некоректно.

Приклад 2

Обчислити площу фігури, обмеженою лініями xy = 4, x = 2, x= 4 та віссю OX.

Це приклад самостійного рішення. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

Що робити, якщо криволінійна трапеція розташована під віссюOX?

Приклад 3

Обчислити площу фігури, обмеженою лініями y = e - x, x= 1 та координатними осями.

Рішення: Виконаємо креслення:

Якщо криволінійна трапеція повністю розташована під віссю OX , то її площу можна знайти за формулою:

В даному випадку:

Увага! Не слід плутати два типи завдань:

1) Якщо Вам запропоновано вирішити просто певний інтеграл без жодного геометричного сенсу, то він може бути негативним.

2) Якщо Вам запропоновано знайти площу фігури за допомогою певного інтеграла, то площа завжди позитивна! Саме тому у щойно розглянутій формулі фігурує мінус.

На практиці найчастіше фігура розташована і у верхній і нижній півплощині, а тому, від найпростіших шкільних завдань переходимо до більш змістовних прикладів.

Приклад 4

Знайти площу плоскої фігури, обмеженою лініями y = 2x – x 2 , y = -x.

Рішення: Спочатку потрібно виконати креслення. При побудові креслення у завдання на площу нас найбільше цікавлять точки перетину ліній. Знайдемо точки перетину параболи y = 2x – x 2 та прямий y = -x. Це можна зробити двома способами. Перший спосіб – аналітичний. Вирішуємо рівняння:

Отже, нижня межа інтегрування a= 0, верхня межа інтегрування b= 3. Часто вигідніше і швидше побудувати лінії поточечно, у своїй межі інтегрування з'ясовуються хіба що «самі собою». Тим не менш, аналітичний спосіб знаходження меж все-таки доводиться іноді застосовувати, якщо, наприклад, графік досить великий, або поточена побудова не виявила меж інтегрування (вони можуть бути дрібними або ірраціональними). Повертаємося до нашого завдання: раціональніше спочатку побудувати пряму і лише потім параболу. Виконаємо креслення:

Повторимося, що з поточечному побудові межі інтегрування найчастіше з'ясовуються «автоматоматично».

А тепер робоча формула:

Якщо на відрізку [ a; b] деяка безперервна функція f(x) більше або дорівнюєдеякої безперервної функції g(x), то площу відповідної фігури можна знайти за формулою:

Тут уже не треба думати, де розташована постать – над віссю чи під віссю, а важливо, який графік Вище(щодо іншого графіка), а який – НИЖЧЕ.

У прикладі очевидно, що на відрізку парабола розташовується вище прямої, а тому з 2 x – x 2 необхідно відняти - x.

Завершення рішення може мати такий вигляд:

Потрібна фігура обмежена параболою y = 2x – x 2 зверху та прямий y = -xзнизу.

На відрізку 2 x – x 2 ≥ -x. За відповідною формулою:

Відповідь: .

Насправді, шкільна формула для площі криволінійної трапеції у нижній напівплощині (див. приклад №3) – окремий випадок формули

Оскільки вісь OXзадається рівнянням y= 0, а графік функції g(x) розташований нижче осі OX, то

А зараз пара прикладів для самостійного вирішення

Приклад 5

Приклад 6

Знайти площу фігури, обмеженою лініями

У ході вирішення завдань на обчислення площі за допомогою певного інтегралу іноді трапляється кумедний казус. Креслення виконано правильно, розрахунки – правильно, але, за неуважністю,… знайдено площу не тієї фігури.

Приклад 7

Спочатку виконаємо креслення:

Фігура, площу якої нам потрібно знайти, заштрихована синім кольором(Уважно дивіться на умову – чим обмежена фігура!). Але на практиці, через неуважність, нерідко вирішують, що потрібно знайти площу фігури, яка заштрихована зеленим кольором!

Цей приклад ще й корисний тим, що в ньому площа фігури вважається двома певними інтегралами. Дійсно:

1) На відрізку [-1; 1] над віссю OXрозташований графік прямий y = x+1;

2) На відрізку над віссю OXрозташований графік гіперболи y = (2/x).

Цілком очевидно, що площі можна (і потрібно) приплюсувати, тому:

Відповідь:

Приклад 8

Обчислити площу фігури, обмеженою лініями

Представимо рівняння у «шкільному» вигляді

і виконаємо крапковий креслення:

З креслення видно, що верхня межа у нас «хороша»: b = 1.

Але чому дорівнює нижня межа?! Зрозуміло, що це ціле число, але яке?

Можливо, a=(-1/3)? Але де гарантія, що креслення виконано з ідеальною точністю, цілком може виявитися, що a=(-1/4). А якщо ми взагалі неправильно збудували графік?

У таких випадках доводиться витрачати додатковий час та уточнювати межі інтегрування аналітично.

Знайдемо точки перетину графіків

Для цього розв'язуємо рівняння:

Отже, a=(-1/3).

Подальше рішення тривіальне. Головне, не заплутатися у підстановках та знаках. Обчислення тут не найпростіші. На відрізку

, ,

за відповідною формулою:

На закінчення уроку розглянемо два завдання складніше.

Приклад 9

Обчислити площу фігури, обмеженою лініями

Рішення: Зобразимо цю фігуру на кресленні.

Для поточкового побудови креслення потрібно знати зовнішній вигляд синусоїди. Взагалі корисно знати графіки всіх елементарних функцій, а також деякі значення синуса. Їх можна знайти у таблиці значень тригонометричних функцій. У ряді випадків (наприклад, у цьому) допускається побудова схематичного креслення, на якому принципово правильно повинні бути відображені графіки та межі інтегрування.

З межами інтегрування тут проблем немає, вони випливають прямо з умови:

- "ікс" змінюється від нуля до "пі". Оформляємо подальше рішення:

На відрізку графік функції y= sin 3 xрозташований над віссю OXтому:

(1) Як інтегруються синуси та косинуси у непарних ступенях, можна подивитися на уроці Інтеграли від тригонометричних функцій. Відщипуємо один синус.

(2) Використовуємо основне тригонометричне тотожність у вигляді

(3) Проведемо заміну змінної t= cos x, тоді: розташований над віссю , тому:

Примітка:зверніть увагу, як береться інтеграл від тангенсу в кубі, тут використано наслідок основної тригонометричної тотожності

З цієї статті ви дізнаєтеся, як знайти площу фігури, обмеженою лініями, використовуючи обчислення за допомогою інтегралів. Вперше з постановкою такого завдання ми стикаємося у старших класах, коли тільки-но пройдено вивчення певних інтегралів і настав час приступити до геометричної інтерпретації отриманих знань на практиці.

Отже, що буде потрібно для успішного вирішення задачі з пошуку площі фігури за допомогою інтегралів:

Вміння грамотно будувати креслення;
Вміння вирішувати певний інтеграл за допомогою відомої формули Ньютона-Лейбніца;
Вміння «побачити» вигідніший варіант рішення - тобто. зрозуміти, як у тому чи іншому випадку буде зручніше проводити інтегрування? Вздовж осі ікс (OX) чи осі ігорок (OY)?
Ну і куди без коректних обчислень? Сюди входить розуміння як вирішувати той інший тип інтегралів і правильні чисельні обчислення.

Алгоритм розв'язання задачі з обчислення площі фігури, обмеженої лініями:

1. Будуємо креслення. Бажано це робити на листку в клітку з великим масштабом. Підписуємо олівцем над кожним графіком назву цієї функції. Підпис графіків робиться виключно задля зручності подальших обчислень. Отримавши графік шуканої постаті, найчастіше буде видно відразу, які межі інтегрування буде використано. Таким чином, ми вирішуємо завдання графічним методом. Однак буває так, що значення меж дробові чи ірраціональні. Тому, можна зробити додаткові розрахунки, переходимо за крок два.

2. Якщо явно не задані межі інтегрування, то знаходимо точки перетину графіків один з одним, і дивимося, чи наше графічне рішення збігається з аналітичним.

3. Далі необхідно проаналізувати креслення. Залежно від цього, як розташовуються графіки функцій, існують різні підходи до знаходження площі фігури. Розглянемо різні приклади перебування площі фігури з допомогою інтегралів.

3.1. Найкласичніший і найпростіший варіант завдання, це коли потрібно знайти площу криволінійної трапеції. Що таке криволінійна трапеція? Це плоска фігура, обмежена віссю ікс (у = 0), Прямими х = а, х = bі будь-який кривий, безперервний на проміжку від aдо b. При цьому дана фігура невід'ємна і розташовується не нижче осі абсцис. У цьому випадку площа криволінійної трапеції чисельно дорівнює певному інтегралу, що обчислюється за формулою Ньютона-Лейбніца:

Приклад 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Якими лініями обмежена фігура? Маємо параболу y = x2 - 3x + 3, яка розташовується над віссю ОХ, Вона невід'ємна, т.к. всі точки цієї параболи мають позитивні значення. Далі задані прямі х = 1і х = 3, які пролягають паралельно до осі ОУ, є обмежувальними лініями фігури зліва та справа. Ну і у = 0, вона ж вісь ікс, яка обмежує фігуру знизу. Отримана фігура заштрихована, як видно із малюнка зліва. В даному випадку можна відразу приступати до вирішення задачі. Перед нами простий приклад криволінійної трапеції, яку вирішуємо за допомогою формули Ньютона-Лейбніца.

3.2. У попередньому пункті 3.1 розібрано випадок, коли криволінійна трапеція розташована над віссю ікс. Тепер розглянемо випадок, коли умови завдання такі самі, крім того, що функція пролягає під віссю ікс. До стандартної формули Ньютона-Лейбніца додається мінус. Як розв'язувати цю задачу розглянемо далі.

Приклад 2 . Обчислити площу фігури, обмеженою лініями y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

У цьому прикладі маємо параболу y = x2 + 6x + 2, яка бере свій початок з-під осі ОХпрямі х = -4, х = -1, у = 0. Тут у = 0обмежує шукану фігуру зверху. Прямі х = -4і х = -1це межі, у межах яких обчислюватиметься певний інтеграл. Принцип вирішення задачі на пошук площі фігури практично повністю збігається з прикладом номер 1. Єдина відмінність у тому, що задана функція не позитивна, і все також безперервна на проміжку [-4; -1] . Що означає не позитивна? Як видно з малюнка, фігура, яка полягає в рамках заданих іксів, має виключно «негативні» координати, що нам і потрібно побачити і пам'ятати при вирішенні задачі. Площу фігури шукаємо за формулою Ньютона-Лейбніца, тільки зі знаком мінус на початку.

Статтю не завершено.

Отже, що буде потрібно для успішного вирішення задачі з пошуку площі фігури за допомогою інтегралів:

Вміння грамотно будувати креслення;
Вміння вирішувати певний інтеграл за допомогою відомої формули Ньютона-Лейбніца;
Вміння «побачити» вигідніший варіант рішення - тобто. зрозуміти, як у тому чи іншому випадку буде зручніше проводити інтегрування? Вздовж осі ікс (OX) чи осі ігорок (OY)?
Ну і куди без коректних обчислень? Сюди входить розуміння як вирішувати той інший тип інтегралів і правильні чисельні обчислення.

Алгоритм розв'язання задачі з обчислення площі фігури, обмеженої лініями:

Приклад 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Приклад 2 . Обчислити площу фігури, обмеженою лініями y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

Статтю не завершено.

Завдання № 3. Зробіть креслення та обчисліть площу фігури, обмеженою лініями

Додаток інтеграла до вирішення прикладних завдань

Обчислення площі

Певний інтеграл безперервної невід'ємної функції f(x) чисельно дорівнюєплощі криволінійної трапеції, обмеженої кривою y = f(x), віссю Ох і прямими х = а і х = b. Відповідно до цього формула площі записується так:

Розглянемо деякі приклади на обчислення площ плоских фігур.

Завдання № 1. Обчислити площу, обмежену лініями y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.

Рішення.Побудуємо фігуру, площу якої ми маємо обчислити.

y = x 2 + 1 – це парабола гілки якої спрямовані вгору, і парабола зміщена щодо осі O y вгору одну одиницю (рисунок 1).

Малюнок 1. Графік функції y = x 2 + 1

Завдання № 2. Обчислити площу, обмежену лініями y = x 2 – 1, y = 0 у межах від 0 до 1.

Рішення.Графіком даної функції є парабола гілки, якої спрямовані вгору, і парабола зміщена щодо осі O y вниз одну одиницю (рисунок 2).

Малюнок 2. Графік функції y = x 2 – 1

Завдання № 3. Зробіть креслення та обчисліть площу фігури, обмеженою лініями

y = 8 + 2x - x 2 і y = 2x - 4.

Рішення.Перша з цих двох ліній – парабола, спрямована гілками вниз, оскільки коефіцієнт при x 2 негативний, а друга лінія – пряма, що перетинає обидві осі координат.

Для побудови параболи знайдемо координати її вершини: y=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – абсцис вершини; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 – її ордината, N(1;9) – вершина.

Тепер знайдемо точки перетину параболи та прямий, розв'язавши систему рівнянь:

Прирівнюючи праві частини рівняння, ліві частини яких рівні.

Отримаємо 8 + 2x - x 2 = 2x - 4 або x 2 - 12 = 0, звідки .

Отже, точки – точки перетину параболи та прямий (рисунок 1).

Малюнок 3 Графіки функцій y = 8 + 2x – x 2 та y = 2x – 4

Побудуємо пряму y = 2x - 4. Вона проходить через точки (0; -4), (2; 0) на осях координат.

Для побудови параболи можна ще її точки перетину з віссю 0x, тобто коріння рівняння 8 + 2x – x 2 = 0 або x 2 – 2x – 8 = 0. За теоремою Вієта легко знайти його коріння: x 1 = 2, x 2 = 4.

На малюнку 3 зображено фігуру (параболічний сегмент M 1 N M 2), обмежений даними лініями.

Друга частина завдання полягає у знаходженні площі цієї фігури. Її площу можна знайти за допомогою певного інтегралу за формулою .

Стосовно цієї умови отримаємо інтеграл:

2 Обчислення об'єму тіла обертання

Обсяг тіла, отриманого від обертання кривої y = f(x) навколо осі Ох, обчислюється за формулою:

При обертанні навколо осі О y формула має вигляд:

Завдання №4. Визначити об'єм тіла, отриманого від обертання криволінійної трапеції, обмеженої прямими х = 0 х = 3 та кривою y = навколо осі О х.

Рішення.Побудуємо рисунок (рисунок 4).

Малюнок 4. Графік функції y =

Обсяг, що шукається, дорівнює

Завдання №5. Обчислити обсяг тіла, отриманого від обертання криволінійної трапеції, обмеженою кривою y = x 2 і прямими y = 0 і y = 4 навколо осі O y .

Рішення.Маємо:

Запитання для повторення

а)

Рішення.

Перший та найважливіший момент рішення - побудова креслення.

Виконаємо креслення:

Рівняння y=0 задає вісь «іксів»;

- х=-2 і х = 1 - Прямі, паралельні осі Оу;

- у = х 2 +2 - парабола, гілки якої спрямовані вгору, з вершиною у точці (0; 2).

Зауваження.Для побудови параболи досить визначити точки її перетину з координатними осями, тобто. поклавши х = 0 знайти перетин з віссю Оу і вирішивши відповідне квадратне рівняння, знайти перетин з віссю Ох .

Вершину параболи можна знайти за формулами:

Можна побудувати лінії та крапково.

На відрізку [-2; 1] графік функції y=x 2 +2 розташований над віссю Ox тому:

Відповідь: S = 9 кв.

Після того, як завдання виконане, завжди корисно поглянути на креслення і прикинути, чи реальна вийшла відповідь. У цьому випадку «на вічко» підраховуємо кількість клітин у кресленні - ну, приблизно 9 набереться, схоже на правду. Цілком зрозуміло, що якби в нас вийшов, скажімо, відповідь: 20 квадратних одиниць, то, очевидно, що десь припущена помилка - у розглянуту фігуру 20 клітинок явно не вміщається, від сили десяток. Якщо відповідь вийшла негативною, то завдання теж вирішено некоректно.

Що робити, якщо криволінійна трапеція розташована під віссю Ох?

b)Обчислити площу фігури, обмеженою лініями y=-e x , x=1 та координатними осями.

Рішення.

Виконаємо креслення.

Якщо криволінійна трапеція повністю розташована під віссю Ох , то її площу можна знайти за формулою:

Відповідь: S=(e-1) кв.од.»1,72 кв.од.

Увага! Не слід плутати два типи завдань:

На практиці найчастіше фігура розташована і у верхній і нижній півплощині.

с)Знайти площу плоскої фігури, обмеженою лініями у=2х-х 2, у=-х.

Рішення.

Спочатку потрібно виконати креслення. Загалом кажучи, при побудові креслення у завданнях на площу нас найбільше цікавлять точки перетину ліній. Знайдемо точки перетину параболи і прямий Це можна зробити двома способами. Перший спосіб – аналітичний.

Вирішуємо рівняння:

Отже, нижня межа інтегрування а=0 , верхня межа інтегрування b=3 .

Будуємо задані лінії: 1. Парабола – вершина в точці (1; 1); перетин з віссю Ох -точки (0; 0) та (0; 2). 2. Пряма – бісектриса 2-го та 4-го координатних кутів. А тепер Увага! Якщо на відрізку [ a;b] деяка безперервна функція f(x)більше або дорівнює певній безперервній функції g(x), то площу відповідної фігури можна знайти за формулою: .

І не важливо, де розташована фігура - над віссю або під віссю, а важливо, який графік Вище (щодо іншого графіка), а який-НИЖЧЕ. У прикладі очевидно, що на відрізку парабола розташовується вище прямої, а тому необхідно відняти

Можна побудувати лінії поточечно, у своїй межі інтегрування з'ясовуються хіба що «самі собою». Тим не менш, аналітичний спосіб знаходження меж все-таки доводиться іноді застосовувати, якщо, наприклад, графік досить великий, або поточена побудова не виявила меж інтегрування (вони можуть бути дрібними або ірраціональними).