Як обчислити квадратний корінь зі 100. Квадратний корінь

Досить часто при вирішенні завдань ми стикаємося з великими числами, з яких треба витягти квадратний корінь. Багато учнів вирішують, що це помилка, і починають вирішувати весь приклад. У жодному разі не можна так чинити! На те є дві причини:

Коріння з великих чисел справді зустрічається у завданнях. Особливо у текстових;
Існує алгоритм, за допомогою якого це коріння вважається майже усно.

Цей алгоритм ми сьогодні розглянемо. Можливо, якісь речі здадуться вам незрозумілими. Але якщо ви уважно поставитеся до цього уроку, то отримаєте потужну зброю проти квадратного коріння.

Отже, алгоритм:

Обмежити корінь, що шукається, зверху і знизу числами, кратними 10. Таким чином, ми скоротимо діапазон пошуку до 10 чисел;
З цих 10 чисел відсіяти ті, які точно не можуть бути корінням. В результаті залишаться 1-2 числа;
Звести ці 1-2 числа у квадрат. Те з них, квадрат якого дорівнює вихідному числу, і буде коренем.

Перш ніж застосовувати цей алгоритм працює на практиці, погляньмо на кожен окремий крок.

Обмеження коріння

Насамперед треба з'ясувати, між якими числами розташоване наше коріння. Дуже бажано, щоб числа були кратні десяти:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Отримаємо ряд чисел:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Що нам дають ці цифри? Все просто: ми маємо кордони. Візьмемо, наприклад, число 1296. Воно лежить між 900 і 1600. Отже, його корінь може бути менше 30 і більше 40:

[Підпис до малюнка]

Те саме — з будь-яким іншим числом, з якого можна знайти квадратний корінь. Наприклад, 3364:

[Підпис до малюнка]

Таким чином, замість незрозумілого числа ми отримуємо цілком конкретний діапазон, де лежить вихідний корінь. Щоб ще більше звузити область пошуку, переходимо до другого кроку.

Відсів свідомо зайвих чисел

Отже, ми маємо 10 чисел — кандидатів на корінь. Ми отримали їх дуже швидко, без складних роздумів та множень у стовпчик. Час рухатися далі.

Не повірите, але зараз ми скоротимо кількість чисел-кандидатів до двох — і знову без складних обчислень! Достатньо знати спеціальне правило. Ось воно:

Остання цифра квадрата залежить лише від останньої цифри вихідного числа.

Іншими словами, достатньо поглянути на останню цифру квадрата — і ми одразу зрозуміємо, на що закінчується вихідне число.

Існує лише 10 цифр, які можуть стояти на останньому місці. Спробуємо з'ясувати, на що вони перетворюються при зведенні на квадрат. Погляньте на таблицю:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Ця таблиця - ще один крок на шляху до обчислення кореня. Як бачите, цифри у другому рядку виявилися симетричними щодо п'ятірки. Наприклад:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Як бачите, остання цифра обох випадках однакова. А це означає, що, наприклад, корінь із 3364 обов'язково закінчується на 2 або на 8. З іншого боку, ми пам'ятаємо обмеження з попереднього пункту. Отримуємо:

[Підпис до малюнка]

Червоні квадрати показують, що ми поки що не знаємо цієї цифри. Але корінь лежить у межах від 50 до 60, на якому є тільки два числа, що закінчуються на 2 і 8:

[Підпис до малюнка]

От і все! З усіх можливих коренів ми залишили лише два варіанти! І це у найважчому випадку, адже остання цифра може бути 5 чи 0. І тоді залишиться єдиний кандидат у корені!

Фінальні обчислення

Отже, у нас залишилося 2 числа-кандидати. Як дізнатися, яке з них є коренем? Відповідь очевидна: звести обидва числа у квадрат. Те, що у квадраті дасть вихідне число, і буде коренем.

Наприклад, для числа 3364 ми знайшли два числа-кандидати: 52 та 58. Зведемо їх у квадрат:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 · 50 · 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 · 60 · 2 + 4 = 3364.

От і все! Вийшло, що корінь дорівнює 58! При цьому, щоб спростити обчислення, я скористався формулою квадратів суми та різниці. Завдяки чому навіть не довелося множити числа у стовпчик! Це ще один рівень оптимізації обчислень, але, зрозуміло, не обов'язковий:)

Приклади обчислення коренів

Теорія – це, звичайно, добре. Але перевіримо її на практиці.

[Підпис до малюнка]

Для початку з'ясуємо, між якими числами лежить число 576:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Тепер дивимось на останню цифру. Вона дорівнює 6. Коли це відбувається? Тільки якщо корінь закінчується на 4 або 6. Отримуємо два числа:

Залишилося звести кожне число квадрат і порівняти з вихідним:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Чудово! Перший квадрат виявився дорівнює вихідному числу. Значить, це є корінь.

Завдання. Обчисліть квадратний корінь:
[Підпис до малюнка]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Дивимося на останню цифру:

1369 → 9;
33; 37.

Зводимо у квадрат:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 · 30 · 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 · 40 · 3 + 9 = 1369.

Ось і відповідь: 37.

Завдання. Обчисліть квадратний корінь:
[Підпис до малюнка]

Обмежуємо число:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Дивимося на останню цифру:

2704 → 4;
52; 58.

Зводимо у квадрат:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 · 50 · 2 + 4 = 2704;

Отримали відповідь: 52. Друге число зводити до квадрата вже не потрібно.

Завдання. Обчисліть квадратний корінь:
[Підпис до малюнка]

Обмежуємо число:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Дивимося на останню цифру:

4225 → 5;
65.

Як бачимо, після другого кроку залишився лише один варіант: 65. Це і шуканий корінь. Але давайте таки зведемо його в квадрат і перевіримо:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 · 60 · 5 + 25 = 4225;

Все правильно. Записуємо відповідь.

Висновок

На жаль, не краще. Давайте розберемося у причинах. Їх дві:

На будь-якому нормальному іспиті з математики, чи то ГІА чи ЄДІ, користуватися калькуляторами заборонено. І за пронесений до класу калькулятор можуть запросто вигнати з іспиту.
Не уподібнюйтесь тупим американцям. Які не те що коріння — вони два простих числа скласти не можуть. А побачивши дробів вони взагалі починається істерика.

Завдання знаходження кореня в математиці є оберненим завданням зведення числа в ступінь. Коріння бувають різні: коріння другого ступеня, коріння третього ступеня, коріння четвертого ступеня і таке інше. Це залежить від того, в яку міру спочатку було зведено число. Корінь позначається символом: - це квадратний корінь, тобто корінь з другого ступеня, якщо у кореня ступінь більший, ніж другий, то над знаком кореня приписується відповідний ступінь. Число, що знаходиться під знаком кореня - це підкорене вираз. При знаходженні кореня існує кілька правил, які допоможуть не помилитись у знаходженні кореня:

Корінь парного ступеня (якщо ступінь дорівнює 2, 4, 6, 8 тощо) з негативного числа НЕ існує. Якщо підкорене вираз негативно, але шукається корінь непарного ступеня (3, 5, 7 тощо), результат буде негативним.
Корінь будь-якого ступеня від одиниці завжди одиниця: √1 = 1.
Корінь нуля є нуль: √0 = 0.

Як знайти корінь із числа 100

Якщо задачі не написано, корінь якого ступеня необхідно знайти, то зазвичай мається на увазі, що необхідно знайти корінь другого ступеня (квадратний).
Знайдемо √100 =? Нам необхідно знайти таке число, при зведенні якого на другий ступінь, вийде число 100. Очевидно, що таким числом є число 10, тому що: 10 2 = 100. Отже, √100 = 10: квадратний корінь зі 100 дорівнює 10.

Серед безлічі знань, які є ознакою грамотності, на першому місці стоїть абетка. Наступним, таким самим «знаковим» елементом, є навички складання-множення і, що примикають до них, але зворотні за змістом, арифметичні операції віднімання-поділу. Засвоєні в далекому шкільному дитинстві навички, служать вірою та правдою вдень і вночі: ТБ, газета, СМС, І всюди читаємо, пишемо, вважаємо, складаємо, віднімаємо, множимо. А, скажіть, чи часто вам доводилося по життю, добувати коріння, окрім як на дачі? Наприклад, таке цікаве завдання, типу, корінь квадратний з числа 12345 ... Є ще порох в порохівницях? Подужаємо? Та немає нічого простішого! Де тут мій калькулятор... А без нього, врукопашну, слабко?

Спочатку уточнимо, що це таке - квадратний корінь числа. Взагалі кажучи, «витягти корінь із числа» означає виконати арифметичну дію протилежну зведенню в ступінь - ось вам і єдність протилежностей у життєвому додатку. припустимо, квадрат, це множення числа на себе, тобто, як вчили у школі, Х * Х = А чи іншого запису Х2 = А, а словами - «Х квадраті дорівнює А». Тоді обернена задача звучить так: квадратний корінь числа А, являє собою число Х, яке будучи зведене в квадрат і А.

Вилучаємо квадратний корінь

Зі шкільного курсу арифметики відомі способи обчислень «у стовпчик», які допомагають виконати будь-які підрахунки із застосуванням перших чотирьох арифметичних дій. На жаль… Для квадратних, і не лише квадратних, коріння таких алгоритмів не існує. А в такому разі, як витягти квадратний корінь без калькулятора? З визначення квадратного кореня висновок один - необхідно підбирати значення результату послідовним перебором чисел, квадрат яких наближається до значення підкореного виразу. Тільки і всього! Не встигне пройти годину-другу, як можна порахувати, використовуючи добре відомий прийом множення в стовпчик, будь-який квадратний корінь. За наявності навичок для цього достатньо кількох хвилин. Навіть не зовсім просунутий користувач калькулятора чи ПК робить це одним махом – прогрес.

А якщо серйозно, то обчислення квадратного кореня часто виконують, використовуючи прийом артилерійської вилки: спочатку беруть число, квадрат якого, приблизно, відповідає підкореному виразу. Краще, якщо «наш квадрат» трохи менший за цей вислів. Потім коригують число за власним вмінням-розумінням, наприклад, множать на два, і ... знову зводять у квадрат. Якщо результат більший за число під коренем, послідовно коригуючи вихідне число, поступово наближаються до його «колеги» під коренем. Як бачите - ніякого калькулятора, тільки вміння рахувати «в стовпчик». Звичайно ж, є безліч науково-аргументованих та оптимізованих алгоритмів обчислень квадратного кореня, але для домашнього застосування зазначений вище прийом дає 100% впевненість у результаті.

Так, мало не забув, щоб підтвердити свою збільшену грамотність, обчислимо квадратний корінь раніше вказаного числа 12345. Робимо покроково:

1. Візьмемо, суто інтуїтивно, Х=100. Підрахуємо: Х * Х = 10000. Інтуїція на висоті – результат менше 12345.

2. Спробуємо теж чисто інтуїтивно, Х = 120. Тоді: Х * Х = 14400. І знову з інтуїцією порядок - результат більше 12345.

3. Вище отримана «вилка» 100 і 120. Виберемо нові числа – 110 та 115. Отримуємо, відповідно, 12100 та 13225 – вилка звужується.

4. Пробуємо на «може» Х = 111. Отримуємо Х * Х = 12321. Це число вже досить близько до 12345. Відповідно до необхідної точності «припасування» можна продовжити або зупинитися на отриманому результаті. От і все. Як і було обіцяно – все дуже просто та без калькулятора.

Зовсім небагато історії…

Додумалися до використання квадратного коріння ще піфагорійці, учні школи та послідовники Піфагора, за 800 років до н.е. і одразу, «нарвалися» на нові відкриття в області чисел. І звідки що?

1. Розв'язання задачі із вилученням кореня, дає результат у вигляді чисел нового класу. Їх назвали ірраціональними, інакше кажучи, "нерозумними", т.к. вони не записуються закінченим числом. Найкласичніший приклад такого роду - квадратний корінь з 2. Цей випадок відповідає обчисленню діагоналі квадрата зі стороною, що дорівнює 1 - ось воно, вплив школи Піфагора. Виявилося, що у трикутника з цілком конкретним одиничним розміром сторін, гіпотенуза має розмір, що виражається числом, у якого немає кінця. Так у математиці з'явилися

2. Відомо, що Виявилося, що ця математична операція містить ще один каверз - витягуючи корінь, ми не знаємо, квадратом якого числа, позитивного або негативного, є підкорене вираз. Ця невизначеність, подвійний результат від однієї операції, і записується.

Вивчення пов'язаних із цим явищем проблем стало направленням у математиці під назвою теорія комплексної змінної, що має велике практичне значення у математичній фізиці.

Цікаво, що позначення кореня – радикал – застосував у своїй «Універсальній арифметиці» той самий всюдисущий І. Ньютон, а точно сучасний вид запису кореня відомий з 1690 року з книги француза Роля «Керівництво алгебри».

Сьогодні ми з вами розберемося на цій сторінці нашого сайту сайт про те, квадратний корінь зі 100 скільки буде. Давайте разом з вами розберемося скільки буде квадратний корінь зі 100, тому що над цією темою багато десятиліть ламали свої уми 1000 наукових співробітників і багато хто прийшов без поворотного висновку за розрахунками, що такого кореня взагалі не існує і його просто неможливо вирахувати. Також дуже важливо в даному випадку поставити саме правильне питання щодо виявлення квадратного кореня зі 100. Якщо бути точним, то ми будемо вираховувати арифметичний корінь квадрата зі 100 так як у звичайному квадратному корені зі 100 у результаті у нас буде виходити два числа: 10 і - 10.

Суму потрібних нам цих чисел ми можемо вважати простим арифметичним прийомом за допомогою вертикальної, звичною рисою, цифри та коріння, які прописуються праворуч внизу. Там ми знаходитимемо потрібний нам квадрат одиниць кореня, потім множимо десятки і знаходимо подвоєний а не потроєний твір десятка будь-якого кореня на одиниці. Деякі цифри нам доведеться зводити в квадрат, щоб у сумі вийшло двозначне число, якщо в результаті у нас вийшло число 10, то ми все зробили з вами правильно. Головне спочатку перед початком розрахунків хоча б трохи потоваришувати з математикою та з математичною прогресією складання квадратного кореня.

Запам'ятайте одне єдине і основне правило: щоб нам витягти потрібний квадратний корінь з будь-якого цілого числа, в першу чергу витягуємо будь-який потрібний нам корінь з числа його сум і сотень. Якщо число дорівнює або більше 100, тоді ми починаємо шукати корінь із сотень фактичних чисел цих даних сотень, потім із десятків тисяч фактичного числа, тим більше якщо дане число набагато більше ніж 100, потім вже в обов'язковому порядку витягуємо корінь числа із сотень десятків тисяч або якщо бути точніше: із мільйона цього числа. На цю тему є багато правил та різноманітних наукових рекомендацій, шкільних програм із вилучення квадратного кореня з числа 100 буде завжди незмінним.

Якщо розглядати прогрес знаходження кореня з числа 100, нам треба звернути увагу, що в корені знаходиться стільки ж цифр, скільки і під кінцевим числом граней, при цьому ліва грань може складатися лише з однієї цифри. Виходячи з усього цього, найточнішим на планеті земля квадратним коренем з будь-якого числа, називатиметься така сума чисел, квадрат якого точно при підрахунках дорівнює цьому числу. Саме на цьому ми можемо закінчити свій короткий курс з обчислення квадратного кореня зі 100 який дорівнюватиме (10) десяти.

Константинова Віра

Як знайти корінь числа

Завдання знаходження кореня в математиці є оберненим завданням зведення числа в ступінь. Коріння бувають різні: коріння другого ступеня, коріння третього ступеня, коріння четвертого ступеня і таке інше. Це залежить від того, в яку міру спочатку було зведено число. Корінь позначається символом: √ – це квадратний корінь, тобто корінь з другого ступеня, якщо у кореня ступінь більший, ніж другий, то над знаком кореня приписується відповідний ступінь. Число, яке знаходиться під знаком кореня - це підкорене вираз. При знаходженні кореня існує кілька правил, які допоможуть не помилитись у знаходженні кореня:

Корінь парного ступеня (якщо ступінь дорівнює 2, 4, 6, 8 тощо) з негативного числа НЕ існує. Якщо підкорене вираз негативно, але шукається корінь непарного ступеня (3, 5, 7 тощо), результат буде негативним.
Корінь будь-якого ступеня від одиниці завжди одиниця: √1 = 1.
Корінь нуля є нуль: √0 = 0.

Як знайти корінь із числа 100

Поглянув ще раз на табличку... І поїхали!

Почнемо з простенького:

Хвилинку. це, а це означає, що ми можемо записати так:

Засвоїв? Ось тобі наступний:

Коріння з чисел, що вийшло, рівно не витягуються? Не біда – ось тобі такі приклади:

А якщо множників не два, а більше? Теж саме! Формула множення коренів працює з будь-якою кількістю множників:

Тепер повністю самостійно:

Відповіді:Молодець! Погодься, все дуже легко, головне знати таблицю множення!

Розподіл коренів

З множенням коренів розібралися, тепер приступимо до властивості поділу.

Нагадаю, що формула у загальному вигляді виглядає так:

А значить це, що корінь із частки дорівнює приватному коріння.

Ну що, давай розбиратись на прикладах:

Ось і вся наука. А ось такий приклад:

Все не так гладко, як у першому прикладі, але як бачиш, нічого складного немає.

А що, якщо трапиться такий вираз:

Потрібно просто застосувати формулу у зворотному напрямку:

А ось такий приклад:

Ще ти можеш зустріти такий вираз:

Все те саме, тільки тут треба згадати, як перекладати дроби (якщо не пам'ятаєш, зазирни в тему і повертайся!). Згадав? Тепер вирішуємо!

Впевнена, що ти з усім, усім впорався, тепер спробуємо зводити коріння у міру.

Зведення в ступінь

А що буде, якщо квадратний корінь звести в квадрат? Все просто, згадаємо сенс квадратного кореня з числа - це число, квадратний корінь якого дорівнює.

Так от, якщо ми зводимо число, квадратний корінь якого дорівнює, квадрат, то що отримуємо?

Ну звичайно, !

Розглянемо на прикладах:

Все просто, правда? А якщо корінь буде іншою мірою? Нічого страшного!

Дотримуйся тієї ж логіки і пам'ятай властивості та можливі дії зі ступенями.

Почитай теорію на тему « » і тобі все стане гранично ясно.

Ось, наприклад, такий вираз:

У цьому прикладі ступінь парний, а якщо він буде непарний? Знову ж таки, застосуй властивості ступеня і розклади все на множники:

З цим начебто все ясно, а як витягти корінь із числа в міру? Ось, наприклад, таке:

Досить просто, правда? А якщо ступінь більше двох? Дотримуємося тієї ж логіки, використовуючи властивості ступенів:

Ну як усе зрозуміло? Тоді виріши самостійно приклади:

А ось і відповіді:

Внесення під знак кореня

Що ми тільки не навчилися робити з корінням! Залишилося тільки потренуватися вносити число під корінь!

Це дуже легко!

Допустимо, у нас записано число

Що ми можемо зробити з ним? Ну звичайно, сховати трійку під коренем, пам'ятаючи при цьому, що трійка - корінь квадратний!

Навіщо нам це потрібне? Так просто, щоб розширити наші можливості при вирішенні прикладів:

Як тобі така властивість коріння? Істотно спрощує життя? На мене, так точно! Тільки Слід пам'ятати, що вносити під знак квадратного кореня ми можемо лише позитивні числа.

Виріши самостійно ось цей приклад -
Впорався? Давай дивитися, що в тебе має вийти:

Молодець! У тебе вдалося внести число під знак кореня! Перейдемо до не менш важливого – розглянемо, як порівнювати числа, що містять квадратний корінь!

Порівняння коренів

Навіщо нам вчитися порівнювати числа, які містять квадратний корінь?

Дуже просто. Часто, у великих і тривалих виразах, що зустрічаються на іспиті, ми отримуємо ірраціональну відповідь (пам'ятаєш, що це таке? Ми з тобою сьогодні про це вже говорили!)

Отримані відповіді нам необхідно розташувати на координатній прямій, наприклад, щоб визначити, який інтервал підходить для розв'язування рівняння. І ось тут виникає заковика: калькулятора на іспиті немає, а без нього як уявити, яке число більше, а яке менше? Отож і воно!

Наприклад, визнач, що більше: чи?

Відразу і не скажеш. Ну що, скористаємось розібраною властивістю внесення числа під знак кореня?

Тоді вперед:

Ну і, очевидно, чим більше число під знаком кореня, тим більше сам корінь!

Тобто. якщо, отже, .

Звідси твердо робимо висновок, що. І ніхто не переконає нас у протилежному!

Вилучення коренів із великих чисел

До цього ми вносили множник під знак кореня, а як його винести? Треба просто розкласти його на множники та витягти те, що витягується!

Можна було піти іншим шляхом і розкласти на інші множники:

Непогано, правда? Будь-який із цих підходів вірний, вирішуй як тобі зручно.

Розкладання на множники стане в нагоді при вирішенні таких нестандартних завдань, як ось це:

Не лякаємось, а діємо! Розкладемо кожен множник під коренем на окремі множники:

А тепер спробуй самостійно (без калькулятора! його на іспиті не буде):

Хіба це кінець? Не зупиняємось на півдорозі!

Ось і все, не так все і страшно, правда?

Вийшло? Молодець, все правильно!

А тепер спробуй такий приклад вирішити:

А приклад - міцний горішок, так відразу і не розберешся, як до нього підступитися. Але нам він, звичайно, по зубах.

Ну що, почнемо розкладати на множники? Відразу зауважимо, що можна поділити число на (згадуємо ознаки ділимості):

А тепер, спробуй сам (знову ж таки, без калькулятора!):

Ну що, вийшло? Молодець, все правильно!

Підведемо підсумки

Квадратним коренем (арифметичним квадратним коренем) із невід'ємного числа називається таке невід'ємне число, квадрат якого дорівнює.
.
Якщо ми просто витягуємо квадратний корінь із чогось, то завжди отримуємо один невід'ємний результат.
Властивості арифметичного кореня:
При порівнянні квадратного коріння необхідно пам'ятати, що чим більше число під знаком кореня, тим більше сам корінь.